\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Modélisation quadratique}
\subtitle{QCM}
\author{Première tronc commun}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Orientation d'une parabole}
    La courbe de la fonction $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$ est une
parabole. Dans quel sens est-elle tournée ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Vers le bas, car le coefficient de $x^2$ est négatif}
        \item[B.] Vers le haut, car $3$ et $1$ sont positifs
        \item[C.] Vers le bas, car la courbe passe par $1$ en $x = 0$
        \item[D.] On ne peut pas savoir sans tracer
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Racines lues sur la parabole}
    La parabole $\mathcal{P}$ ci-dessous représente une fonction
polynôme de degré 2. Quelles sont ses racines ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-1.32:3.32,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{-\x*\x+2*\x+3});
  \node[blue,font=\small] at (3.6,2.2) {$\mathcal{P}$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-1$ et $3$}
        \item[B.] $1$ et $4$
        \item[C.] $3$ seulement
        \item[D.] $0$ et $3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Axe de symétrie}
    Pour la même parabole (racines $-1$ et $3$, sommet en
hauteur $4$), quel est l'axe de symétrie ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-1.32:3.32,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{-\x*\x+2*\x+3});
  \node[blue,font=\small] at (3.6,2.2) {$\mathcal{P}$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La droite verticale $x = 1$, à mi-chemin des racines}
        \item[B.] La droite horizontale $y = 4$
        \item[C.] La droite $x = 2$
        \item[D.] L'axe des ordonnées
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Sommet sans formule}
    Une fonction polynôme de degré 2 a pour racines $2$ et $8$,
et sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse
son minimum est-il atteint ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{En $x = 5$, milieu des racines}
        \item[B.] En $x = 6$, car $8 - 2 = 6$
        \item[C.] En $x = 2$, la première racine
        \item[D.] Impossible à dire sans le discriminant
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Racines d'une forme factorisée}
    Soit $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$. Quelles sont les racines de
$f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$ et $5$}
        \item[B.] $-1$ et $-5$
        \item[C.] $2$, $1$ et $5$
        \item[D.] $1$ et $-5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Signe d'une forme factorisée}
    Toujours avec $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$, sur quel intervalle
$f(x)$ est-il strictement négatif ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sur $]1\,;\,5[$}
        \item[B.] Sur $]-\infty\,;\,1[$
        \item[C.] Sur $]5\,;\,+\infty[$
        \item[D.] Nulle part, car $2 > 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Associer expression et courbe}
    Quelle est l'allure de la courbe de $f(x) = x^2 + 3$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Une parabole tournée vers le haut, de sommet
$(0\,;\,3)$ sur l'axe des ordonnées}
        \item[B.] Une parabole de sommet $(3\,;\,0)$
        \item[C.] Une parabole coupant l'axe des abscisses en $-3$ et $3$
        \item[D.] Une droite de pente $3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Trajectoire parabolique}
    La hauteur d'un ballon est modélisée par $h(t) = -5t^2 +
10t$ ($h$ en mètres, $t$ en secondes). À quel instant la
hauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{À $t = 1$ s, hauteur $5$ m}
        \item[B.] À $t = 2$ s, hauteur $10$ m
        \item[C.] À $t = 1$ s, hauteur $10$ m
        \item[D.] La hauteur augmente sans fin
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Axe de symétrie par la méthode $f(x) = c$}
    Soit $f(x) = x^2 - 6x + 2$. En résolvant $f(x) = 2$, on
trouve $x = 0$ ou $x = 6$. Qu'en déduit-on pour l'axe de
symétrie de la parabole ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{C'est la droite $x = 3$, milieu des deux antécédents de
$2$}
        \item[B.] C'est la droite $x = 6$
        \item[C.] C'est la droite $y = 2$
        \item[D.] On ne peut rien en déduire
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Tableau de variations}
    Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient de $x^2$
\textbf{négatif} et son sommet en $x = 2$. Quel est son tableau
de variations ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Croissante sur $]-\infty\,;\,2]$, décroissante sur
$[2\,;\,+\infty[$}
        \item[B.] Décroissante puis croissante
        \item[C.] Croissante sur tout $\mathbb{R}$
        \item[D.] Décroissante sur $]-\infty\,;\,2]$, car le coefficient
est négatif
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Chiffre d'affaires et prix}
    Le chiffre d'affaires d'un produit vendu au prix unitaire
$p$ est modélisé par $R(p) = p\,(100 - 2p)$ (en euros).
Quel prix maximise le chiffre d'affaires ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$p = 25$ euros}
        \item[B.] $p = 50$ euros
        \item[C.] Le plus cher possible
        \item[D.] $p = 100$ euros
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Quand choisir un modèle quadratique ?}
    Quel phénomène appelle naturellement une modélisation par
une fonction polynôme de degré 2 ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Une grandeur qui croît puis décroît (ou l'inverse), avec
un maximum ou un minimum}
        \item[B.] Une grandeur qui augmente du même montant chaque année
        \item[C.] Une grandeur qui double à intervalles réguliers
        \item[D.] Une grandeur constante
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Ordonnée à l'origine d'une forme factorisée}
    Soit $f(x) = (x - 1)(x - 5)$. Où la parabole coupe-t-elle
l'axe des ordonnées ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{En $y = 5$, car $f(0) = (-1)(-5) = 5$}
        \item[B.] En $y = -5$
        \item[C.] En $y = 1$ et $y = 5$
        \item[D.] En $y = 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Sommet au milieu des racines}
    La parabole $f(x) = (x - 1)(x - 5)$ a pour racines $1$ et
$5$. Quelle est l'abscisse de son sommet ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$ : le milieu des racines}
        \item[B.] $4$ : la moyenne pondérée vers la grande racine
        \item[C.] $5$
        \item[D.] $6$ : la somme des racines
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Signe avec parabole renversée}
    Soit $f(x) = -(x - 2)(x - 6)$. Sur quel intervalle $f$
est-elle positive ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sur $[2\ ;\ 6]$ : entre les racines}
        \item[B.] À l'extérieur des racines
        \item[C.] Nulle part : le signe moins rend tout négatif
        \item[D.] Partout
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Les solutions de $f(x) = c$ par symétrie}
    Une parabole a son axe de symétrie en $x = 3$. L'équation
$f(x) = c$ admet une solution $x = 1$. Quelle est l'autre ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = 5$ : le symétrique de $1$ par rapport à $3$}
        \item[B.] $x = -1$
        \item[C.] $x = 3$
        \item[D.] Il n'y en a pas d'autre
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} L'enclos d'aire maximale}
    Avec $20$ mètres de grillage, on forme un rectangle dont un
côté mesure $x$ : l'aire vaut $A(x) = x(10 - x)$. Quelle
valeur de $x$ maximise l'aire ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = 5$ : le sommet de la parabole, au milieu des
racines $0$ et $10$}
        \item[B.] $x = 10$ : le côté le plus long possible
        \item[C.] $x = 20$
        \item[D.] Aucune : plus $x$ grandit, plus l'aire grandit
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} La balle retombe}
    La hauteur d'une balle est modélisée par $h(t) = -5t^2 +
10t$ (en mètres, $t$ en secondes). Quand retombe-t-elle au
sol, et quelle hauteur maximale atteint-elle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $5$ m à $t = 1$ s}
        \item[B.] Au sol à $t = 10$ s ; hauteur maximale $10$ m
        \item[C.] Elle ne retombe jamais : le temps n'a pas de racine
        \item[D.] Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $10$ m à $t = 1$ s
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
