\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Phénomènes aléatoires}
\subtitle{QCM}
\author{Première tronc commun}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Probabilité conditionnelle}
    Que désigne $P_A(B)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La probabilité de $B$ \textbf{sachant que} $A$ est réalisé}
        \item[B.] La probabilité que $A$ et $B$ se réalisent ensemble
        \item[C.] La probabilité de $A$ sachant $B$
        \item[D.] La probabilité que $A$ se produise avant $B$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Probabilité d'un chemin}
    Sur l'arbre pondéré ci-dessous, quelle est la probabilité de
l'événement $A \cap B$ (chemin du haut) ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\small]
  \coordinate (R) at (0,0);
  \node (A) at (2.2,1.4) {$A$};
  \node (nA) at (2.2,-1.4) {$\overline{A}$};
  \node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};
  \node (nB1) at (4.4,0.7) {$\overline{B}$};
  \node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};
  \node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\overline{B}$};
  \draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};
  \draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};
  \draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};
  \draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};
  \draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};
  \draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$}
        \item[B.] $0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$
        \item[C.] $0{,}6$
        \item[D.] $0{,}9 \times 0{,}18$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Événements indépendants}
    Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ sont
indépendants (avec $P(B) \neq 0$) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Lorsque $P_B(A) = P(A)$}
        \item[B.] Lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps
        \item[C.] Lorsqu'ils ont la même probabilité
        \item[D.] Lorsqu'ils concernent deux jours différents
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Vérifier une indépendance}
    On donne $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \cap B) =
0{,}2$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui, car $0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)$}
        \item[B.] Non, car $0{,}4 \neq 0{,}5$
        \item[C.] Non, car $A$ et $B$ peuvent se réaliser ensemble
        \item[D.] On ne peut pas répondre sans arbre pondéré
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Test de dépistage et faux positifs}
    Sur $1000$ personnes, $100$ sont porteuses d'un virus. Un
test détecte $90$ des $100$ porteurs, mais il est aussi
positif, à tort, pour $90$ des $900$ non-porteurs. Parmi les
personnes testées positives, quelle est la proportion de
porteurs réels ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$50\ \%$}
        \item[B.] $90\ \%$
        \item[C.] $9\ \%$
        \item[D.] $18\ \%$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Répéter une épreuve de Bernoulli}
    Une opération réussit avec la probabilité $0{,}9$. On la
répète $3$ fois de façon indépendante. Quelle est la
probabilité de $3$ réussites ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}9^3 = 0{,}729$}
        \item[B.] $0{,}9 \times 3 = 2{,}7$
        \item[C.] $0{,}9$
        \item[D.] $0{,}27$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Taille de l'arbre}
    On représente par un arbre la répétition de $4$ épreuves de
Bernoulli. Combien l'arbre compte-t-il de chemins complets ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2^4 = 16$}
        \item[B.] $8$
        \item[C.] $4$
        \item[D.] $24$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} « Au moins une » réussite}
    On lance $3$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la
probabilité d'obtenir \textbf{au moins un} pile ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{7}{8}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{8}$
        \item[C.] $\dfrac{1}{2}$
        \item[D.] $\dfrac{3}{8}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Deux dés indépendants}
    On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité
d'obtenir un double six ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{36}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{12}$
        \item[C.] $\dfrac{2}{6}$
        \item[D.] $\dfrac{1}{6}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Pierre-feuille-ciseaux}
    Au jeu pierre-feuille-ciseaux, votre adversaire joue chaque
coup au hasard (les trois gestes équiprobables). Quelle est
la probabilité que vous \textbf{gagniez} la manche ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{3}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{2}$
        \item[C.] $\dfrac{1}{9}$
        \item[D.] $\dfrac{2}{3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Le problème de Monty Hall}
    Trois portes : une cache un lot, deux sont perdantes. Vous en
choisissez une ; l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre
une \textbf{autre} porte, perdante, puis vous propose de changer.
Quelle est la probabilité de gagner \textbf{si vous changez} de
porte ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{2}{3}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{2}$, car il reste deux portes
        \item[C.] $\dfrac{1}{3}$
        \item[D.] Impossible à déterminer
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Le modèle et la réalité}
    Pour étudier un dé trouvé dans un grenier, on choisit le
modèle équiprobable ($P(\text{six}) = \frac{1}{6}$). Ce choix
se démontre-t-il ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : une loi de probabilité est une hypothèse de
modélisation ; on peut la mettre à l'épreuve par
l'expérience, pas la démontrer}
        \item[B.] Oui : six faces, donc un sixième chacune,
mathématiquement prouvé
        \item[C.] Oui, en lançant le dé exactement $6$ fois
        \item[D.] Non : les probabilités ne s'appliquent pas aux objets
réels
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Probabilité du contraire}
    La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}35$.
Quelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}65$}
        \item[B.] $0{,}35$
        \item[C.] $-0{,}35$
        \item[D.] On ne peut pas savoir
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Somme des branches d'un nœud}
    D'un nœud d'un arbre partent deux branches de probabilités
$0{,}6$ et $p$. Que vaut $p$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}4$}
        \item[B.] $0{,}6$
        \item[C.] $1{,}6$
        \item[D.] N'importe quelle valeur entre $0$ et $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Probabilité d'une réunion}
    On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$ et $P(A \cap B) =
0{,}1$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}7$}
        \item[B.] $0{,}8$
        \item[C.] $0{,}15$
        \item[D.] $0{,}9$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} L'arbre du tirage sans remise}
    Une urne contient $4$ jetons rouges et $6$ noirs. On tire
deux jetons \textbf{sans remise}. Quelle est la probabilité de la
deuxième branche « rouge sachant rouge au premier tirage » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{3}{9}$ : il reste $3$ rouges parmi $9$ jetons}
        \item[B.] $\dfrac{4}{10}$ : la même qu'au premier tirage
        \item[C.] $\dfrac{4}{9}$
        \item[D.] $\dfrac{3}{10}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Fréquence simulée et probabilité}
    On simule $10\,000$ lancers d'une punaise : elle retombe
pointe en l'air $3\,470$ fois. Que peut-on en tirer ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Une estimation : $P(\text{pointe en l'air}) \approx
0{,}35$, d'autant plus fiable que le nombre d'essais est
grand}
        \item[B.] Rien : seule une formule théorique donne une probabilité
        \item[C.] $P = 0{,}5$ : pointe en l'air ou pas, deux issues
        \item[D.] $P = 0{,}347$ exactement
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Indépendants ou incompatibles ?}
    Deux événements $A$ et $B$ ont des probabilités non nulles.
S'ils sont incompatibles ($A \cap B = \varnothing$),
peuvent-ils être indépendants ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : l'incompatibilité donne $P(A \cap B) = 0 \neq
P(A) \times P(B)$}
        \item[B.] Oui : incompatibles et indépendants sont synonymes
        \item[C.] Oui, si leurs probabilités sont égales
        \item[D.] Cela dépend de l'expérience
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
