\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Variation exponentielle}
\subtitle{QCM}
\author{Première tronc commun}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Reconnaître une croissance exponentielle}
    Un capital placé à intérêts \textbf{composés} de $5\ \%$ par an
est multiplié par $1{,}05$ chaque année. La suite des
capitaux annuels est :\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Géométrique, de raison $1{,}05$}
        \item[B.] Arithmétique, de raison $1{,}05$
        \item[C.] Géométrique, de raison $0{,}05$
        \item[D.] Arithmétique, de raison $5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Formule explicite}
    Un capital initial de $2000$ euros est multiplié par
$1{,}05$ chaque année. Quelle formule donne le capital
$u(n)$ après $n$ années ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$u(n) = 2000 \times 1{,}05^n$}
        \item[B.] $u(n) = 2000 + 0{,}05\,n$
        \item[C.] $u(n) = 2000 \times 0{,}05^n$
        \item[D.] $u(n) = 2000 \times 1{,}05 \times n$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Sens de variation}
    Soit la suite géométrique $u(n) = 50 \times 0{,}9^n$
(termes strictement positifs). Quel est son sens de
variation ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Décroissante, car la raison $0{,}9$ est entre $0$ et $1$}
        \item[B.] Croissante, car $50$ est positif
        \item[C.] Décroissante, car $0{,}9$ est négatif
        \item[D.] Constante
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} L'exposant $\frac{1}{n}$}
    Que vaut $2^{1/2}$ (deux à la puissance un demi) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\sqrt{2} \approx 1{,}41$}
        \item[B.] $1$
        \item[C.] $\dfrac{2}{2} = 1$
        \item[D.] $1{,}5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Propriétés de $a^x$}
    Pour $a > 0$ et $x, y \geq 0$, que vaut
$a^x \times a^y$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$a^{x+y}$}
        \item[B.] $a^{xy}$
        \item[C.] $2a^{x+y}$
        \item[D.] $a^x + a^y$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Taux d'évolution moyen}
    Une grandeur a augmenté de $21\ \%$ en deux ans. Quel est le
taux d'évolution annuel \textbf{moyen} ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$10\ \%$ par an, car $1{,}1^2 = 1{,}21$}
        \item[B.] $10{,}5\ \%$ par an, la moitié de $21\ \%$
        \item[C.] $21\ \%$ par an
        \item[D.] $4{,}58\ \%$ par an
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Un autre taux moyen}
    Le chiffre d'affaires d'une entreprise a été multiplié par
$1{,}44$ en deux ans. Quel taux annuel moyen cela
représente-t-il ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$+20\ \%$ par an, car $1{,}44^{1/2} = 1{,}2$}
        \item[B.] $+22\ \%$ par an, car $44 \div 2 = 22$
        \item[C.] $+44\ \%$ par an
        \item[D.] $+1{,}2\ \%$ par an
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Décroissance par demi-vie}
    Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à
chaque demi-vie. Quelle proportion des noyaux initiaux
reste-t-il après \textbf{trois} demi-vies ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{8}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{6}$
        \item[C.] $\dfrac{1}{3}$
        \item[D.] $0$ : tout a disparu
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Problème de seuil exponentiel}
    Une population de bactéries \textbf{double} chaque heure. Elle
compte $100$ individus à l'instant initial. Au bout de
combien d'heures dépasse-t-elle $1500$ individus ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$4$ heures}
        \item[B.] $15$ heures
        \item[C.] $3$ heures
        \item[D.] $8$ heures
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Ordre de grandeur d'un doublement répété}
    Une quantité double $10$ fois de suite. Par quel facteur
global est-elle environ multipliée ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Environ $1000$, car $2^{10} = 1024$}
        \item[B.] $20$, car $2 \times 10$
        \item[C.] $100$
        \item[D.] $512$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Exponentiel contre linéaire}
    Une population croît de $2\ \%$ par an (exponentiel) ; ses
ressources alimentaires croissent d'une quantité fixe par an
(linéaire). D'après ce modèle (dit de Malthus), que se
passe-t-il à long terme ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La population finit toujours par croître plus vite que
les ressources}
        \item[B.] Les ressources gardent l'avantage si leur croissance
annuelle est assez grande
        \item[C.] Les deux croissances restent proportionnelles
        \item[D.] Le modèle ne permet aucune conclusion
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Le facteur de reproduction d'une épidémie}
    Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en
moyenne $3$ (facteur de reproduction $R_0 = 3$). En partant
d'\textbf{un} cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à
la quatrième génération de contaminations ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3^4 = 81$}
        \item[B.] $3 \times 4 = 12$
        \item[C.] $4^3 = 64$
        \item[D.] $27$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} La puissance $a^0$}
    Pour $a > 0$, que vaut $a^0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $a$
        \item[D.] Cela dépend de $a$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Trois années de croissance}
    Une population augmente de $2\ \%$ chaque année. Par quel
nombre est-elle multipliée au bout de $3$ ans ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1{,}02^3 \approx 1{,}0612$}
        \item[B.] $1{,}06$ exactement
        \item[C.] $3 \times 1{,}02 = 3{,}06$
        \item[D.] $1{,}02 + 3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Deux baisses de $10\ \%$}
    Une valeur baisse de $10\ \%$ par an pendant deux ans.
Quelle est la baisse totale ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$19\ \%$, car $0{,}9^2 = 0{,}81$}
        \item[B.] $20\ \%$
        \item[C.] $81\ \%$
        \item[D.] $1\ \%$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Capital à intérêts composés}
    Un capital de $1\,000$ euros est placé à $4\ \%$ par an
(intérêts composés). Que vaut-il après $2$ ans ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1\,081{,}60$ euros}
        \item[B.] $1\,080$ euros
        \item[C.] $1\,008$ euros
        \item[D.] $2\,080$ euros
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Le duel à long terme}
    Modèle A : $+1\,000$ par an (linéaire). Modèle B :
$+1\ \%$ par an (exponentiel), départ $10\,000$. Que
dire du long terme ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{B finit toujours par dépasser A : une croissance
exponentielle dépasse tôt ou tard toute croissance
linéaire}
        \item[B.] A gagne toujours : $1\,000$ est plus grand que $1\ \%$
de $10\,000$
        \item[C.] Ils restent à égalité de rythme
        \item[D.] Impossible à dire sans la durée exacte
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Deux demi-vies du carbone 14}
    Le carbone 14 perd la moitié de sa quantité tous les
$5\,730$ ans (demi-vie). Quelle proportion reste-t-il après
$11\,460$ ans (deux demi-vies) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$25\ \%$ : la moitié de la moitié}
        \item[B.] $0\ \%$ : deux moitiés font un tout
        \item[C.] $50\ \%$
        \item[D.] $75\ \%$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
