\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Probabilités}
\subtitle{QCM}
\author{Seconde}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Qu'est-ce qu'une probabilité ?}
    Lequel de ces nombres peut être la probabilité d'un
événement ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}3$}
        \item[B.] $1{,}2$
        \item[C.] $-0{,}1$
        \item[D.] $\dfrac{7}{5}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Probabilité de l'événement contraire}
    Soit $A$ un événement de probabilité $P(A) = 0{,}3$. Que vaut
la probabilité de son contraire $\overline{A}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}7$}
        \item[B.] $0{,}3$
        \item[C.] $-0{,}3$
        \item[D.] $\dfrac{1}{0{,}3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Un dé équilibré}
    On lance un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la
probabilité d'obtenir un nombre pair ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{6}$
        \item[C.] $\dfrac{1}{3}$
        \item[D.] $\dfrac{2}{6}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Tirage dans une urne}
    Une urne contient $5$ boules rouges et $3$ boules bleues,
indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle
est la probabilité qu'elle soit rouge ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{5}{8}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{2}$, car il y a deux couleurs
        \item[C.] $\dfrac{5}{3}$
        \item[D.] $\dfrac{3}{8}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} L'équiprobabilité est une hypothèse}
    Un jeu a deux issues : « gagner » ou « perdre ». La
probabilité de gagner est-elle nécessairement $\dfrac{1}{2}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : l'équiprobabilité est une hypothèse de modèle, pas
une conséquence du nombre d'issues}
        \item[B.] Oui : deux issues, donc une chance sur deux
        \item[C.] Oui, si le jeu est électronique
        \item[D.] Non : la probabilité de gagner est toujours inférieure à
$\dfrac{1}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Multiplier le long d'un chemin}
    L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes.
Quelle est la probabilité du chemin « $A$ puis $B$ »
(c'est-à-dire de l'événement $A \cap B$) ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\small]
  \coordinate (R) at (0,0);
  \node (A) at (2.2,1.4) {$A$};
  \node (nA) at (2.2,-1.4) {$\overline{A}$};
  \node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};
  \node (nB1) at (4.4,0.7) {$\overline{B}$};
  \node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};
  \node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\overline{B}$};
  \draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};
  \draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};
  \draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};
  \draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};
  \draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};
  \draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}3 \times 0{,}6 = 0{,}18$}
        \item[B.] $0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$
        \item[C.] $0{,}6$
        \item[D.] $0{,}3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Que signifie $P_A(B)$ ?}
    Que désigne la notation $P_A(B)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La probabilité que $B$ se réalise, \textbf{sachant que} $A$
est réalisé}
        \item[B.] La probabilité que $A$ et $B$ se réalisent tous les deux
        \item[C.] La probabilité que $A$ se réalise sachant $B$
        \item[D.] Le produit $P(A) \times P(B)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Conditionnelle dans un tableau d'effectifs}
    Dans un lycée de $100$ élèves, il y a $60$ filles, dont $24$
demi-pensionnaires. On choisit un élève au hasard et on
apprend que c'est une fille. Quelle est la probabilité
qu'elle soit demi-pensionnaire ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{24}{60} = 0{,}4$}
        \item[B.] $\dfrac{24}{100} = 0{,}24$
        \item[C.] $\dfrac{60}{100} = 0{,}6$
        \item[D.] $\dfrac{24}{44}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} $P_A(B)$ et $P_B(A)$}
    En général, les probabilités conditionnelles $P_A(B)$ et
$P_B(A)$ sont-elles égales ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : elles ont des conditions différentes et diffèrent
en général}
        \item[B.] Oui : c'est la même intersection $A \cap B$
        \item[C.] Oui, dès que $A$ et $B$ sont compatibles
        \item[D.] Non, elles sont toujours complémentaires ($P_A(B) +
P_B(A) = 1$)
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Compléter une loi de probabilité}
    Une expérience a trois issues $a$, $b$, $c$ avec
$P(a) = 0{,}2$ et $P(b) = 0{,}5$. Que vaut $P(c)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}3$}
        \item[B.] $0{,}7$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] Impossible à déterminer
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Fréquences et loi des grands nombres}
    On simule $10\,000$ lancers d'une pièce équilibrée avec un
programme Python. Qu'observe-t-on pour la fréquence de
« pile », d'après la loi des grands nombres (version
vulgarisée du programme) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle est, sauf exception, proche de $0{,}5$}
        \item[B.] Elle vaut exactement $0{,}5$
        \item[C.] Après une série de piles, la pièce compense avec plus de
faces
        \item[D.] Rien de prévisible : la fréquence peut être n'importe où
entre $0$ et $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Interpréter une pondération de l'arbre}
    Dans l'arbre ci-dessous, que représente le nombre $0{,}2$
porté par la branche allant de $\overline{A}$ vers $B$ ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\small]
  \coordinate (R) at (0,0);
  \node (A) at (2.2,1.4) {$A$};
  \node (nA) at (2.2,-1.4) {$\overline{A}$};
  \node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};
  \node (nB1) at (4.4,0.7) {$\overline{B}$};
  \node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};
  \node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\overline{B}$};
  \draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};
  \draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};
  \draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};
  \draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};
  \draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};
  \draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La probabilité conditionnelle
$P_{\overline{A}}(B)$}
        \item[B.] La probabilité $P(B)$
        \item[C.] La probabilité $P(\overline{A} \cap B)$
        \item[D.] La probabilité $P(\overline{A})$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Événement certain, événement impossible}
    On lance un dé à six faces. Que vaut la probabilité de
l'événement « obtenir un nombre entre $1$ et $6$ » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$ : l'événement est certain}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $\dfrac{1}{6}$
        \item[D.] $6$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Événements incompatibles}
    $A$ et $B$ sont incompatibles (ils ne peuvent pas se
produire en même temps), avec $P(A) = 0{,}3$ et $P(B) =
0{,}4$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}7$}
        \item[B.] $0{,}12$
        \item[C.] $0{,}1$
        \item[D.] Impossible à savoir
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Deux pièces équilibrées}
    On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux « pile » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{4}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{2}$
        \item[C.] $\dfrac{1}{3}$
        \item[D.] $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} La formule de la réunion}
    On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) =
0{,}2$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}7$}
        \item[B.] $0{,}9$
        \item[C.] $0{,}2$
        \item[D.] $1{,}1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Somme de deux dés}
    On lance deux dés équilibrés et on additionne. Quelle est la
probabilité d'obtenir une somme égale à $7$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{11}$
        \item[C.] $\dfrac{3}{36}$
        \item[D.] $\dfrac{7}{36}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Contraire dans un monde conditionné}
    On sait que $P_A(B) = 0{,}7$. Que vaut $P_A(\bar{B})$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}3$}
        \item[B.] $0{,}7$
        \item[C.] Impossible sans connaître $P(A)$
        \item[D.] $-0{,}7$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q19 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 19 \textemdash{} Intersection dans un tableau}
    Sur $200$ élèves, le tableau croisé indique $30$ élèves à la
fois internes et sportifs. On choisit un élève au hasard.
Que vaut $P(\text{interne} \cap \text{sportif})$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{30}{200} = 0{,}15$}
        \item[B.] $30$
        \item[C.] $\dfrac{30}{100}$
        \item[D.] $0{,}85$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q20 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 20 \textemdash{} Branche manquante d'un arbre}
    Sur un arbre, trois branches partent d'un même nœud avec les
probabilités $0{,}25$, $0{,}45$ et $p$. Que vaut $p$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$p = 0{,}3$}
        \item[B.] $p = 0{,}7$
        \item[C.] $p = 0{,}25$
        \item[D.] Impossible à déterminer
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q21 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 21 \textemdash{} Deux tirages sans remise}
    Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ bleues. On tire
deux boules \textbf{sans remise}. Quelle est la probabilité
d'obtenir deux rouges ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}$}
        \item[B.] $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$
        \item[C.] $\dfrac{2}{5}$
        \item[D.] $\dfrac{6}{10}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q22 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 22 \textemdash{} « Au moins un » par le contraire}
    On lance deux fois un dé équilibré. Quelle est la
probabilité d'obtenir \textbf{au moins un} six ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1 - \dfrac{25}{36} = \dfrac{11}{36}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6}$
        \item[C.] $\dfrac{1}{36}$
        \item[D.] $\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q23 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 23 \textemdash{} « Et » ou « sachant » ?}
    Dans un lycée, $P(\text{interne} \cap \text{sportif}) =
0{,}15$ et $P_{\text{interne}}(\text{sportif}) = 0{,}6$.
Que signifie la différence entre ces deux nombres ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}15$ : proportion des élèves à la fois internes et
sportifs dans TOUT le lycée ; $0{,}6$ : proportion de
sportifs PARMI les internes}
        \item[B.] Les deux nombres devraient être égaux : il y a une
erreur d'énoncé
        \item[C.] $0{,}6$ est faux : une conditionnelle est toujours plus
petite que l'intersection
        \item[D.] $0{,}15$ concerne les internes, $0{,}6$ les sportifs
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q24 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 24 \textemdash{} Le faux « une chance sur deux »}
    « Au loto, soit je gagne, soit je perds : donc j'ai une
chance sur deux. » Que penser de ce raisonnement ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Il est faux : deux issues n'ont aucune raison d'être
équiprobables}
        \item[B.] Il est correct : deux issues, donc $\dfrac{1}{2}$
chacune
        \item[C.] Il est correct si on joue une seule fois
        \item[D.] Il est faux car il y a trois issues : gagner, perdre,
match nul
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
