\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Variations et extremums}
\subtitle{QCM}
\author{Seconde}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Définition d'une fonction croissante}
    Que signifie « $f$ est croissante sur l'intervalle $I$ » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Pour tous $a$ et $b$ de $I$, si $a < b$ alors
$f(a) \leq f(b)$}
        \item[B.] $f(x) > 0$ pour tout $x$ de $I$
        \item[C.] La courbe de $f$ est au-dessus de l'axe des abscisses
        \item[D.] $f(a) < f(b)$ pour certains $a < b$ de $I$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Lire un maximum sur la courbe}
    La courbe ci-dessous représente une fonction $f$ définie sur
$[-4\,;\,4]$. Quel est le maximum de $f$, et en quelle valeur
est-il atteint ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-4.7,-2.7) grid (4.7,2.7);
  \draw[->] (-4.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,2.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-4:4,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\x,{4*\x/(\x*\x+1)});
  \draw[dashed] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);
  \draw[dashed] (-1,0) -- (-1,-2) -- (0,-2);
  \node[blue,font=\small] at (3.4,1.35) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Le maximum vaut $2$, atteint en $x = 1$}
        \item[B.] Le maximum vaut $1$, atteint en $x = 2$
        \item[C.] Le maximum vaut $4$
        \item[D.] Il n'y a pas de maximum, car la courbe redescend
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Lire les variations sur la courbe}
    D'après la courbe ci-dessous, sur quel intervalle la fonction
$f$ est-elle croissante ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-4.7,-2.7) grid (4.7,2.7);
  \draw[->] (-4.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,2.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-4:4,smooth,samples=80,thick,blue] plot (\x,{4*\x/(\x*\x+1)});
  \draw[dashed] (1,0) -- (1,2) -- (0,2);
  \draw[dashed] (-1,0) -- (-1,-2) -- (0,-2);
  \node[blue,font=\small] at (3.4,1.35) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sur $[-1\,;\,1]$}
        \item[B.] Sur $[0\,;\,2]$
        \item[C.] Sur $[-2\,;\,2]$
        \item[D.] Sur $[-4\,;\,-1]$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Comparer des images sans calcul}
    Soit $f$ une fonction croissante sur $[0\,;\,10]$. Comment se
comparent $f(3)$ et $f(7)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(3) \leq f(7)$}
        \item[B.] $f(3) \geq f(7)$
        \item[C.] $f(3) = f(7)$
        \item[D.] On ne peut pas comparer sans connaître la formule de $f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Variations d'une fonction affine}
    Quel est le sens de variation de la fonction affine
$f(x) = -2x + 7$ sur $\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Décroissante, car son coefficient directeur $-2$ est
négatif}
        \item[B.] Croissante, car $7$ est positif
        \item[C.] Croissante puis décroissante
        \item[D.] Constante
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Retrouver une fonction affine}
    Soit $f$ une fonction affine telle que $f(0) = 2$ et
$f(4) = 10$. Quelle est son expression ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(x) = 2x + 2$}
        \item[B.] $f(x) = 2x + 10$
        \item[C.] $f(x) = 4x + 2$
        \item[D.] $f(x) = 8x + 2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Variations de la fonction carré}
    Quel est le tableau de variations de la fonction carré sur
$\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Décroissante sur $]-\infty\,;\,0]$, croissante sur
$[0\,;\,+\infty[$}
        \item[B.] Croissante sur $\mathbb{R}$ tout entier
        \item[C.] Croissante sur $]-\infty\,;\,0]$, décroissante sur
$[0\,;\,+\infty[$
        \item[D.] Décroissante sur $\mathbb{R}$ tout entier
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} L'inverse est-elle décroissante partout ?}
    La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;\,+\infty[$ et
sur $]-\infty\,;\,0[$. Peut-on dire qu'elle est décroissante
sur l'ensemble $]-\infty\,;\,0[ \,\cup\, ]0\,;\,+\infty[$ tout
entier ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : par exemple $-1 < 1$ alors que $f(-1) = -1 <
f(1) = 1$, l'ordre n'est pas renversé}
        \item[B.] Oui : elle est décroissante des deux côtés, donc partout
        \item[C.] Oui, car sa courbe descend toujours
        \item[D.] Non, car la fonction inverse est croissante sur les
négatifs
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Extremum d'une expression $(x - 2)^2 + 1$}
    Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 1$. Que peut-on dire de l'extremum de
$f$ sur $\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f$ admet un minimum égal à $1$, atteint en $x = 2$}
        \item[B.] $f$ admet un maximum égal à $1$, atteint en $x = 2$
        \item[C.] $f$ admet un minimum égal à $2$, atteint en $x = 1$
        \item[D.] $f$ n'a pas d'extremum, car elle est définie sur
$\mathbb{R}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Maximum sur un intervalle}
    Soit $f$ une fonction \textbf{croissante} sur $[1\,;\,5]$. Où $f$
atteint-elle son maximum sur cet intervalle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{En $x = 5$, et ce maximum vaut $f(5)$}
        \item[B.] En $x = 1$
        \item[C.] Le maximum vaut $5$
        \item[D.] Elle n'a pas de maximum
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Un problème d'optimisation}
    Avec $20$ mètres de grillage, on veut délimiter un enclos
rectangulaire (les quatre côtés grillagés). Quelle est l'aire
maximale possible ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$25$ m$^2$, avec un carré de côté $5$}
        \item[B.] $24$ m$^2$, avec un rectangle $6 \times 4$
        \item[C.] $100$ m$^2$
        \item[D.] Il n'y a pas de maximum : plus l'enclos est long, plus il
est grand
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Exploiter un tableau de variations}
    Une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,7]$ décroît de $f(0) = 5$
à $f(3) = -2$, puis croît de $f(3) = -2$ à $f(7) = 4$. Quel
est le minimum de $f$ sur $[0\,;\,7]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-2$, atteint en $x = 3$}
        \item[B.] $3$
        \item[C.] $0$, car c'est le début de l'intervalle
        \item[D.] $4$, la dernière valeur du tableau
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Minimum de $x^2 + 3$}
    Quel est le minimum de la fonction $f(x) = x^2 + 3$ sur
$\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$, atteint en $x = 0$}
        \item[B.] $0$, atteint en $x = 0$
        \item[C.] $3$, atteint en $x = 3$
        \item[D.] Il n'y a pas de minimum
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Définition d'une fonction décroissante}
    Que signifie « $f$ est décroissante sur l'intervalle $I$ » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Pour tous $a, b$ de $I$ : si $a < b$, alors $f(a) \geq
f(b)$ : l'ordre des images est renversé}
        \item[B.] $f(x) < 0$ pour tout $x$ de $I$
        \item[C.] Si $a < b$, alors $f(a) \leq f(b)$
        \item[D.] La courbe finit plus bas qu'elle ne commence
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Comparer via un tableau de variations}
    Le tableau indique que $f$ est croissante sur $[0\ ;\ 5]$.
Comment se comparent $f(1)$ et $f(4)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(1) \leq f(4)$}
        \item[B.] $f(1) \geq f(4)$
        \item[C.] $f(1) = f(4)$
        \item[D.] Impossible sans les valeurs de $f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Variations de $f(x) = -2x + 7$}
    Quel est le sens de variation de la fonction $f(x) = -2x +
7$ sur $\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Strictement décroissante, car son coefficient directeur
$-2$ est négatif}
        \item[B.] Croissante, car $7$ est positif
        \item[C.] Décroissante puis croissante
        \item[D.] Constante
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Nombre de solutions d'après un tableau}
    $f$ décroît de $8$ à $-2$ sur $[0\ ;\ 3]$, puis croît de
$-2$ à $6$ sur $[3\ ;\ 7]$. Combien de solutions a
l'équation $f(x) = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Deux : une dans chaque phase (descente et remontée)}
        \item[B.] Une seule
        \item[C.] Aucune : $0$ n'apparaît pas dans le tableau
        \item[D.] Trois
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Maximum d'une expression $-(x - 1)^2 + 4$}
    Quel est le maximum de $f(x) = -(x - 1)^2 + 4$ sur
$\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$4$, atteint en $x = 1$}
        \item[B.] $4$, atteint en $x = -1$
        \item[C.] $1$, atteint en $x = 4$
        \item[D.] Il n'y a pas de maximum : la fonction n'est pas bornée
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
