\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Calcul intégral}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Sens géométrique de l'intégrale}
    Soit $f$ continue et \textbf{positive} sur $[a\,;\,b]$. Que
représente $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{L'aire, en unités d'aire, du domaine entre la courbe de
$f$, l'axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$}
        \item[B.] La longueur de la courbe de $f$ entre $a$ et $b$
        \item[C.] L'accroissement $f(b) - f(a)$
        \item[D.] La pente moyenne de la courbe entre $a$ et $b$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{3}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{2}$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Une intégrale avec $\dfrac{1}{x}$}
    Que vaut $\displaystyle\int_1^e \dfrac{1}{x}\,dx$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$}
        \item[B.] $e - 1$
        \item[C.] $e$
        \item[D.] $-\dfrac{1}{e^2} + 1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Utiliser la linéarité}
    On sait que $\displaystyle\int_0^2 f = 4$ et
$\displaystyle\int_0^2 g = -1$. Que vaut
$\displaystyle\int_0^2 \left(2f + 3g\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$}
        \item[B.] $11$
        \item[C.] $3$
        \item[D.] $8$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Intégrale d'une fonction négative}
    Soit $f$ continue et \textbf{négative} sur $[0\,;\,2]$, avec
$\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = -3$. Quelle est l'aire du
domaine compris entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et
les droites $x = 0$ et $x = 2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$ unités d'aire}
        \item[B.] $-3$ unités d'aire
        \item[C.] $0$
        \item[D.] $6$ unités d'aire
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Relation de Chasles}
    On sait que $\displaystyle\int_0^2 f = 3$ et
$\displaystyle\int_0^5 f = 10$. Que vaut
$\displaystyle\int_2^5 f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$7$}
        \item[B.] $13$
        \item[C.] $-7$
        \item[D.] $30$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Valeur moyenne d'une fonction}
    Soit $f$ continue sur $[1\,;\,4]$ avec
$\displaystyle\int_1^4 f(x)\,dx = 9$. Quelle est la valeur
moyenne de $f$ sur $[1\,;\,4]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$}
        \item[B.] $9$
        \item[C.] $\dfrac{9}{4}$
        \item[D.] $27$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Intégration par parties}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 x\,e^x\,dx$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$}
        \item[B.] $e - 1$
        \item[C.] $e$
        \item[D.] $\dfrac{e^2}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Aire sous une parabole}
    Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de
$f(x) = 4 - x^2$, l'axe des abscisses et les droites $x = -2$
et $x = 2$. Quelle est son aire ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.75]
  \fill[blue!20,domain=-2:2,samples=60] plot (\x,{4-\x*\x}) -- (2,0) -- (-2,0) -- cycle;
  \draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-0.7) grid (3.7,4.7);
  \draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-3,-2,-1,1,2,3} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.55:2.55,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{4-\x*\x});
  \node[blue,font=\small] at (3,2.4) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{32}{3}$ unités d'aire}
        \item[B.] $\dfrac{16}{3}$ unités d'aire
        \item[C.] $16$ unités d'aire
        \item[D.] $8$ unités d'aire
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} La fonction $x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt$}
    Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On pose
$F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$. Que vaut $F'(x)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(x)$}
        \item[B.] $f'(x)$
        \item[C.] $F(x) - F(a)$
        \item[D.] $f(x) - f(a)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Rectangles et fonction décroissante}
    Pour approcher $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$ avec $f$
continue et \textbf{décroissante}, on découpe $[0\,;\,1]$ en $n$
morceaux égaux et on somme les aires des rectangles dont la
hauteur est prise au bord \textbf{gauche} de chaque morceau. Cette
somme est :\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Supérieure ou égale à l'intégrale}
        \item[B.] Inférieure ou égale à l'intégrale
        \item[C.] Exactement égale à l'intégrale
        \item[D.] Tantôt au-dessus, tantôt en dessous, selon $n$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Aire entre deux courbes}
    Sur $[0\,;\,1]$, on a $x \geq x^2$. Quelle est l'aire du
domaine compris entre les courbes de $f(x) = x$ et de
$g(x) = x^2$ sur cet intervalle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{1}{6}$ unité d'aire}
        \item[B.] $\dfrac{1}{2}$ unité d'aire
        \item[C.] $\dfrac{1}{3}$ unité d'aire
        \item[D.] $\dfrac{5}{6}$ unité d'aire
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Intégrale d'une constante}
    Que vaut $\displaystyle\int_2^5 3\,dt$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$9$}
        \item[B.] $3$
        \item[C.] $15$
        \item[D.] $\dfrac{9}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Échanger les bornes}
    Sachant que $\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1}{3}$,
que vaut $\displaystyle\int_1^0 x^2\,dx$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-\dfrac{1}{3}$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{3}$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] $\dfrac{2}{3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Une intégrale d'exponentielle}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^1 e^t\,dt$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$e - 1$}
        \item[B.] $e$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $e + 1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Positivité de l'intégrale}
    $f$ est continue et positive sur $[a\ ;\ b]$ (avec $a <
b$). Que peut-on dire de $\displaystyle\int_a^b f(t)\,dt$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle est positive ou nulle}
        \item[B.] Elle est strictement positive
        \item[C.] On ne peut rien dire sans calculer
        \item[D.] Elle vaut $f(b) - f(a)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Comparer deux intégrales}
    Sur $[0\ ;\ 1]$, on sait que $f(t) \leq g(t)$ pour tout
$t$. Que peut-on en déduire ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \leq \int_0^1 g(t)\,dt$}
        \item[B.] $\displaystyle\int_0^1 f(t)\,dt \geq \int_0^1 g(t)\,dt$
        \item[C.] Rien : l'intégrale ne respecte pas les inégalités
        \item[D.] $f(t) = g(t)$ quelque part
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Une intégrale de cosinus}
    Que vaut $\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos t\,dt$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $\dfrac{\pi}{2}$
        \item[D.] $-1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q19 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 19 \textemdash{} Intégrale d'une fonction impaire}
    Que vaut $\displaystyle\int_{-2}^{2} t^3\,dt$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$ : la fonction est impaire sur un intervalle centré
en $0$}
        \item[B.] $8$
        \item[C.] $16$
        \item[D.] $4$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q20 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 20 \textemdash{} Intégrale nulle, fonction nulle ?}
    On sait que $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = 0$ avec
$f$ continue. Peut-on en déduire que $f$ est nulle sur
$[-1\ ;\ 1]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : $f(t) = t$ a une intégrale nulle sans être nulle}
        \item[B.] Oui : seule la fonction nulle a une intégrale nulle
        \item[C.] Oui, si $f$ est continue
        \item[D.] Non, mais $f$ doit s'annuler en $0$ précisément
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q21 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 21 \textemdash{} Calculer $\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt$}
    Par intégration par parties, que vaut
$\displaystyle\int_0^1 t\,e^t\,dt$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$}
        \item[B.] $e - 1$
        \item[C.] $\dfrac{e^2}{2}$
        \item[D.] $e$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q22 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 22 \textemdash{} Encadrer une intégrale}
    Sur $[0\ ;\ 2]$, on sait que $1 \leq f(t) \leq 3$. Quel
encadrement de $\displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt$ en
découle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 6$}
        \item[B.] $1 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 3$
        \item[C.] $0 \leq \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \leq 1$
        \item[D.] Aucun : il faut connaître $f$ exactement
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q23 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 23 \textemdash{} Dériver $x \mapsto \int_0^x f(t)\,dt$}
    Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$. Que vaut
$F'(x)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F'(x) = e^{-x^2}$}
        \item[B.] $F'(x) = -2x\,e^{-x^2}$
        \item[C.] $F'(x) = e^{-t^2}$
        \item[D.] Impossible : $e^{-t^2}$ n'a pas de primitive explicite
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q24 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 24 \textemdash{} Aire quand la fonction change de signe}
    Sur $[0\ ;\ 2\pi]$, $\displaystyle\int_0^{2\pi} \sin
t\,dt = 0$. Quelle est l'aire du domaine entre la courbe de
sinus et l'axe des abscisses sur cet intervalle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$4$ unités d'aire : $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin
t\,dt = 2$ au-dessus, autant en dessous, comptées
positivement}
        \item[B.] $0$, comme l'intégrale
        \item[C.] $2$
        \item[D.] $2\pi$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
