\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\subject{Mathématiques}
\title{Concentration et loi des grands nombres}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Énoncé de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev}
    Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $\mu$ et de
variance $V$. Que dit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
tout réel $\delta > 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$}
        \item[B.] $P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \geq
\dfrac{V}{\delta^2}$
        \item[C.] $P\left(|X - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta}$
        \item[D.] $P\left(X \geq \delta\right) \leq \dfrac{V}{\delta^2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Appliquer l'inégalité}
    Soit $X$ d'espérance $\mu = 10$ et de variance $V = 4$. Que
donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - 10| \geq 4\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}25$}
        \item[B.] $P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 1$
        \item[C.] $P\left(|X - 10| \geq 4\right) = 0{,}25$
        \item[D.] $P\left(|X - 10| \geq 4\right) \leq 0{,}5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Rôle de la variance}
    Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que traduit le fait
que la borne $\dfrac{V}{\delta^2}$ est proportionnelle à la
variance $V$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Moins une variable est dispersée, plus ses grands écarts à
la moyenne sont improbables}
        \item[B.] Plus la variance est grande, plus la variable est proche de
sa moyenne
        \item[C.] La variance donne la probabilité exacte des écarts
        \item[D.] La borne ne sert que si $V = 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Inégalité de concentration}
    Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une
variable d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Que dit
l'inégalité de concentration pour $\delta > 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{n\,\delta^2}$}
        \item[B.] $P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$
        \item[C.] $P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) \leq
\dfrac{nV}{\delta^2}$
        \item[D.] $P\left(|M_n - \mu| \geq \delta\right) = \dfrac{V}{n\,
\delta^2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Déterminer une taille d'échantillon}
    Soit une variable de variance $V = 1$. On veut garantir, via
l'inégalité de concentration, que
$P\left(|M_n - \mu| \geq 0{,}5\right) \leq 0{,}05$. Quelle
taille $n$ suffit ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$n \geq 80$}
        \item[B.] $n \geq 20$
        \item[C.] $n \geq 400$
        \item[D.] $n \geq 8$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Loi des grands nombres}
    Que dit la loi des grands nombres pour la moyenne $M_n$ d'un
échantillon d'une variable d'espérance $\mu$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Pour tout $\delta > 0$, $P\left(|M_n - \mu| \geq
\delta\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$}
        \item[B.] $M_n$ devient exactement égale à $\mu$ pour $n$ assez grand
        \item[C.] $M_n$ devient constante pour $n$ assez grand
        \item[D.] La somme $S_n$ tend vers $n\mu$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Fréquences et pile ou face}
    On lance une pièce équilibrée un grand nombre de fois. Que dit
la loi des grands nombres sur la fréquence de « pile » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle se rapproche de $0{,}5$ avec une probabilité d'écart
qui tend vers $0$}
        \item[B.] Après une série de « pile », un « face » devient plus
probable pour compenser
        \item[C.] Le nombre de « pile » égale exactement le nombre de
« face » dès que $n$ est pair
        \item[D.] La fréquence oscille sans se stabiliser
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Une borne universelle mais grossière}
    Pour une variable $X$ d'espérance $\mu$ et d'écart-type
$\sigma$, que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - \mu| \geq 2\sigma\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Au plus $\dfrac{1}{4}$, quelle que soit la loi de $X$}
        \item[B.] Environ $0{,}05$, comme le montrent les simulations
        \item[C.] Exactement $\dfrac{1}{4}$
        \item[D.] Au plus $\dfrac{1}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Quadrupler l'échantillon}
    Dans l'inégalité de concentration, on multiplie la taille
d'échantillon $n$ par $4$ (à $\delta$ fixé). Que devient la
borne $\dfrac{V}{n\delta^2}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle est divisée par $4$}
        \item[B.] Elle est divisée par $2$
        \item[C.] Elle est divisée par $16$
        \item[D.] Elle est inchangée, seul $\delta$ compte
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Passer à l'événement contraire}
    Soit $X$ d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Que peut-on
déduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P\left(|X - \mu| < \delta\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P\left(|X - \mu| < \delta\right) \geq 1 -
\dfrac{V}{\delta^2}$}
        \item[B.] $P\left(|X - \mu| < \delta\right) \leq 1 -
\dfrac{V}{\delta^2}$
        \item[C.] $P\left(|X - \mu| < \delta\right) \leq
\dfrac{V}{\delta^2}$
        \item[D.] On ne peut rien en déduire
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Variance d'une fréquence}
    Soit $S_n \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ et $F_n = \dfrac{S_n}{n}$
la fréquence de succès. Que vaut $V(F_n)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{p(1-p)}{n}$}
        \item[B.] $np(1-p)$
        \item[C.] $p(1-p)$
        \item[D.] $\dfrac{p}{n}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Force et faiblesse de l'inégalité}
    Quel est l'intérêt principal de l'inégalité de
Bienaymé-Tchebychev, malgré des bornes souvent grossières ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle vaut pour \textbf{toute} variable aléatoire admettant une
variance, sans rien connaître de sa loi}
        \item[B.] Elle donne la valeur exacte des probabilités d'écart
        \item[C.] Elle ne s'applique qu'aux lois binomiales
        \item[D.] Elle remplace le calcul de l'espérance
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Doubler le seuil d'écart}
    Dans l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que devient la
borne $\dfrac{V(X)}{a^2}$ quand on double le seuil $a$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle est divisée par $4$}
        \item[B.] Elle est divisée par $2$
        \item[C.] Elle double
        \item[D.] Elle ne change pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Fréquence sur un grand échantillon}
    On simule $10\,000$ lancers d'un dé équilibré. Autour de
quelle valeur la fréquence d'apparition du six
doit-elle se stabiliser ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Autour de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$}
        \item[B.] Autour de $\dfrac{1}{2}$
        \item[C.] Autour de $6$
        \item[D.] Nulle part : une fréquence ne se stabilise jamais
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Appliquer l'inégalité avec des valeurs}
    $X$ a pour espérance $\mu = 100$ et pour variance $V(X) =
25$. Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour
$P(|X - 100| \geq 10)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{100} = 0{,}25$}
        \item[B.] $P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{25}{10} = 2{,}5$
        \item[C.] $P(|X - 100| \geq 10) = 0{,}25$ exactement
        \item[D.] $P(|X - 100| \geq 10) \leq \dfrac{10}{25} = 0{,}4$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Une borne qui ne dit rien}
    Avec $V(X) = 25$, l'inégalité donne $P(|X - \mu| \geq 4)
\leq \dfrac{25}{16} \approx 1{,}56$. Que faut-il en
conclure ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Rien : une probabilité est toujours $\leq 1$, la borne
est ici sans contenu}
        \item[B.] Que l'événement est certain
        \item[C.] Que l'inégalité est fausse dans ce cas
        \item[D.] Qu'il faut recalculer la variance
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Dimensionner un échantillon}
    $F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages ($V(F) \leq
\dfrac{1}{4n}$). Quelle taille $n$ garantit, par
Bienaymé-Tchebychev, $P(|F - p| \geq 0{,}05) \leq
0{,}05$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$n \geq 2000$, car $\dfrac{1}{4n \times 0{,}05^2} \leq
0{,}05 \iff n \geq \dfrac{1}{4 \times 0{,}05^3}$}
        \item[B.] $n \geq 400$
        \item[C.] $n \geq 20$
        \item[D.] Aucun $n$ ne suffit
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} La fréquence vise juste}
    $F$ est la fréquence de succès sur $n$ tirages indépendants
de probabilité $p$. Que vaut $E(F)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$E(F) = p$ : la fréquence vise la bonne cible, quelle
que soit la taille $n$}
        \item[B.] $E(F) = np$
        \item[C.] $E(F)$ se rapproche de $p$ seulement quand $n$ grandit
        \item[D.] $E(F) = \dfrac{p}{n}$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
