\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Continuité}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Continuité en un point}
    Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$.
Que signifie « $f$ est continue en $a$ » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$}
        \item[B.] $f$ est définie en $a$
        \item[C.] $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ existe
        \item[D.] $f$ est dérivable en $a$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Continuité et dérivabilité}
    Quelle affirmation est vraie ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur
cet intervalle}
        \item[B.] Toute fonction continue sur un intervalle est dérivable sur
cet intervalle
        \item[C.] Continuité et dérivabilité sont équivalentes
        \item[D.] Une fonction continue n'est jamais dérivable
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Théorème des valeurs intermédiaires}
    Soit $f$ continue sur $[1\,;\,4]$ avec $f(1) = -2$ et
$f(4) = 5$. Que peut-on affirmer sur l'équation $f(x) = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle admet \textbf{au moins} une solution dans $[1\,;\,4]$}
        \item[B.] Elle admet \textbf{exactement} une solution dans $[1\,;\,4]$
        \item[C.] Elle n'admet aucune solution
        \item[D.] On ne peut rien dire sans connaître l'expression de $f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Unicité de la solution}
    Soit $f$ continue et \textbf{strictement croissante} sur
$[1\,;\,4]$, avec $f(1) = -2$ et $f(4) = 5$. Que peut-on dire
de l'équation $f(x) = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle admet une unique solution dans $[1\,;\,4]$}
        \item[B.] Elle admet au moins deux solutions
        \item[C.] Elle peut ne pas avoir de solution
        \item[D.] La solution est $x = 2{,}5$, milieu de l'intervalle
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} L'hypothèse de continuité est essentielle}
    Soit $f$ définie sur $[0\,;\,2]$ (mais \textbf{pas nécessairement
continue}) avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 1$. L'équation
$f(x) = 0$ a-t-elle forcément une solution ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : sans continuité, la fonction peut sauter par-dessus
$0$}
        \item[B.] Oui, par le théorème des valeurs intermédiaires
        \item[C.] Oui, car $f$ change de signe
        \item[D.] Oui, si de plus $f$ est croissante
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$}
    Soit $f$ une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et $(u_n)$ la
suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. On suppose que $(u_n)$
converge vers un réel $\ell$. Que vérifie $\ell$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f(\ell) = \ell$}
        \item[B.] $f(\ell) = 0$
        \item[C.] $\ell = u_0$
        \item[D.] $f'(\ell) = 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Une étape de dichotomie}
    Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[1\,;\,2]$,
avec $f(1) < 0 < f(2)$. On calcule $f(1{,}5) < 0$. Dans quel
intervalle la méthode de dichotomie localise-t-elle la solution
de $f(x) = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$[1{,}5\,;\,2]$}
        \item[B.] $[1\,;\,1{,}5]$
        \item[C.] $[1{,}25\,;\,1{,}75]$
        \item[D.] On ne peut pas savoir
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Continuité des fonctions usuelles}
    Laquelle de ces fonctions est continue sur $\mathbb{R}$ tout
entier ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x \mapsto x^3 - 2x + 1$}
        \item[B.] $x \mapsto \dfrac{1}{x}$
        \item[C.] $x \mapsto \sqrt{x}$
        \item[D.] La fonction qui vaut $-1$ si $x < 0$ et $1$ si $x \geq 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Localiser la solution après un calcul}
    Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\,;\,1]$,
avec $f(0) = -1$ et $f(1) = 3$. On note $\alpha$ l'unique
solution de $f(x) = 0$. Sachant que $f(0{,}5) = 0{,}8$, que
peut-on dire de $\alpha$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\alpha \in \,]0\,;\,0{,}5[$}
        \item[B.] $\alpha \in \,]0{,}5\,;\,1[$
        \item[C.] $\alpha = 0{,}8$
        \item[D.] $\alpha \in \,]0{,}4\,;\,0{,}5[$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Image d'une suite convergente}
    Soit $f$ une fonction continue en $2$ avec $f(2) = 7$, et
$(u_n)$ une suite qui converge vers $2$. Que peut-on dire de la
suite $\left(f(u_n)\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle converge vers $7$}
        \item[B.] Elle converge vers $2$
        \item[C.] Elle converge vers $f(7)$
        \item[D.] On ne peut rien dire sans monotonie de $f$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Nombre de solutions d'après un tableau de variations}
    Une fonction $f$, continue sur $[0\,;\,4]$, croît strictement
de $f(0) = -3$ à $f(2) = 5$, puis décroît strictement de
$f(2) = 5$ à $f(4) = 1$. Combien l'équation $f(x) = 0$
admet-elle de solutions sur $[0\,;\,4]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Exactement une}
        \item[B.] Exactement deux
        \item[C.] Aucune
        \item[D.] Une infinité
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Ce que dit exactement le théorème}
    Soit $f$ continue sur $[a\,;\,b]$. Que garantit exactement le
théorème des valeurs intermédiaires ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte
\textbf{au moins une fois} sur $[a\,;\,b]$}
        \item[B.] Toute valeur comprise entre $f(a)$ et $f(b)$ est atteinte
\textbf{exactement une fois}
        \item[C.] $f$ ne prend aucune valeur en dehors de
$[f(a)\,;\,f(b)]$
        \item[D.] $f$ est strictement monotone sur $[a\,;\,b]$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Une fonction en escalier}
    La fonction partie entière (qui à $x$ associe le plus grand
entier inférieur ou égal à $x$) est-elle continue en $2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : elle saute de $1$ à $2$ en $x = 2$}
        \item[B.] Oui : elle est définie en $2$
        \item[C.] Oui : les fonctions usuelles sont toutes continues
        \item[D.] Non, car elle n'est pas définie en $2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Continuité d'une composée usuelle}
    Pourquoi la fonction $f(x) = e^{x^2 + 1}$ est-elle continue
sur $\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{C'est la composée de fonctions continues (un polynôme,
puis l'exponentielle)}
        \item[B.] Parce qu'elle est strictement positive
        \item[C.] Parce qu'elle est définie partout
        \item[D.] Il faudrait vérifier la limite en chaque point
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Appliquer le TVI à $x^3 + x - 1$}
    Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Pourquoi l'équation $f(x) = 0$
admet-elle une solution dans $[0\ ;\ 1]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f$ est continue, $f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$ : le
TVI conclut}
        \item[B.] $f(0{,}5) = 0$ exactement
        \item[C.] Tout polynôme s'annule quelque part
        \item[D.] Parce que $f$ est croissante
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Encadrer la solution par balayage}
    $f$ est continue et strictement croissante, et la
calculatrice donne $f(1{,}32) \approx -0{,}004 < 0$ et
$f(1{,}33) \approx 0{,}011 > 0$. Que peut-on conclure sur la
solution $\alpha$ de $f(x) = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1{,}32 < \alpha < 1{,}33$ : un encadrement d'amplitude
$10^{-2}$}
        \item[B.] $\alpha = 1{,}325$ exactement
        \item[C.] $\alpha = 1{,}33$, la valeur où $f$ devient positive
        \item[D.] Rien : la calculatrice ne prouve rien
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Le corollaire du TVI}
    $f$ est continue et \textbf{strictement croissante} sur
$[2\ ;\ 5]$, avec $f(2) = -3$ et $f(5) = 4$. Combien de
solutions l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle dans $[2\ ;\ 5]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Exactement une, car $1$ est compris entre $-3$ et $4$}
        \item[B.] Au moins une, peut-être plusieurs
        \item[C.] Aucune : $1$ n'est ni $f(2)$ ni $f(5)$
        \item[D.] Deux : une en montant, une en descendant
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Sans continuité, le TVI s'effondre}
    Une fonction $f$ définie sur $[0\ ;\ 2]$ vérifie $f(0) = -1$
et $f(2) = 1$, mais l'équation $f(x) = 0$ n'a aucune
solution. Comment est-ce possible ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f$ n'est pas continue : elle saute par-dessus la valeur
$0$}
        \item[B.] C'est impossible : le TVI l'interdit
        \item[C.] $f$ n'est pas définie en $0$
        \item[D.] $f$ prend des valeurs complexes entre les deux
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
