\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Dérivation et convexité}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Dérivée de $x^3$}
    Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x) = x^3$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = 3x^2$}
        \item[B.] $f'(x) = x^2$
        \item[C.] $f'(x) = 3x^3$
        \item[D.] $f'(x) = \dfrac{x^4}{4}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Équation de la tangente}
    Soit $f$ dérivable en $a$. Quelle est l'équation de la tangente à
la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y = f'(a)(x - a) + f(a)$}
        \item[B.] $y = f(a)(x - a) + f'(a)$
        \item[C.] $y = f'(a)\,x + f(a)$
        \item[D.] $y = f'(x)(x - a) + f(a)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Dérivée d'un produit}
    Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables. Quelle est la
dérivée du produit $uv$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(uv)' = u'v + uv'$}
        \item[B.] $(uv)' = u'v'$
        \item[C.] $(uv)' = u'v - uv'$
        \item[D.] $(uv)' = u' + v'$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Dérivée de $e^{2x}$}
    Quelle est la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$
par $f(x) = e^{2x}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = 2\,e^{2x}$}
        \item[B.] $f'(x) = e^{2x}$
        \item[C.] $f'(x) = 2\,e^{x}$
        \item[D.] $f'(x) = 2x\,e^{2x - 1}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Du signe de $f'$ aux variations}
    Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec
$f'(x) = (x - 2)(x + 1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle
décroissante ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sur $[-1\,;\,2]$}
        \item[B.] Sur $]-\infty\,;\,-1]$
        \item[C.] Sur $[2\,;\,+\infty[$
        \item[D.] Nulle part : un produit de deux facteurs est toujours positif
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Convexité et dérivée seconde}
    Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$. À quelle
condition $f$ est-elle convexe sur $I$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f''(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$}
        \item[B.] $f''(x) \leq 0$ pour tout $x$ de $I$
        \item[C.] $f'(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$
        \item[D.] $f(x) \geq 0$ pour tout $x$ de $I$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Point d'inflexion}
    Soit $f$ deux fois dérivable. Que faut-il pour que la courbe de
$f$ admette un point d'inflexion en $x = a$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Que $f''$ s'annule en $a$ \textbf{en changeant de signe}}
        \item[B.] Que $f''(a) = 0$, cela suffit
        \item[C.] Que $f'(a) = 0$
        \item[D.] Que la tangente en $a$ soit horizontale
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Lire la convexité sur une courbe}
    La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente la fonction $f$
définie par $f(x) = x^3 - 3x$. Sur quel intervalle $f$
est-elle convexe ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-4,-2,2,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.25:2.25,smooth,thick,blue] plot (\x,{\x*\x*\x-3*\x});
  \node[blue,font=\small] at (2.45,3.6) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sur $[0\,;\,+\infty[$}
        \item[B.] Sur $]-\infty\,;\,0]$
        \item[C.] Sur $[-1\,;\,1]$
        \item[D.] Nulle part : la fonction n'est pas convexe
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Lire un point d'inflexion}
    La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente
$f(x) = x^3 - 3x$. En quel(s) point(s) admet-elle un point
d'inflexion ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2} \node[below,font=\small] at (\x,-0.18) {$\x$};
  \foreach \y in {-4,-2,2,4} \node[left,font=\small] at (-0.18,\y) {$\y$};
  \draw[domain=-2.25:2.25,smooth,thick,blue] plot (\x,{\x*\x*\x-3*\x});
  \node[blue,font=\small] at (2.45,3.6) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Au point d'abscisse $0$ uniquement}
        \item[B.] Aux points d'abscisses $-1$ et $1$
        \item[C.] Au point d'abscisse $1$ uniquement
        \item[D.] Elle n'en admet aucun
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Position par rapport aux tangentes}
    Soit $f$ une fonction convexe et dérivable sur un intervalle
$I$. Comment sa courbe se place-t-elle par rapport à ses
tangentes sur $I$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Au-dessus de chacune de ses tangentes}
        \item[B.] En dessous de chacune de ses tangentes
        \item[C.] Elle traverse chacune de ses tangentes
        \item[D.] Au-dessus de ses sécantes
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} L'inégalité $e^x \geq 1 + x$}
    Que peut-on dire de l'inégalité $e^x \geq 1 + x$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle est vraie pour tout réel $x$ : la courbe de $\exp$,
convexe, est au-dessus de sa tangente en $0$}
        \item[B.] Elle est vraie uniquement pour $x \geq 0$
        \item[C.] Elle est fausse : c'est $e^x \leq 1 + x$ qui est vraie
        \item[D.] Elle est vraie seulement au voisinage de $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Le piège de $f'(a) = 0$}
    Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(a) = 0$.
La fonction $f$ admet-elle nécessairement un extremum local en
$a$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : pour $f(x) = x^3$ en $a = 0$, $f'(0) = 0$ sans
extremum}
        \item[B.] Oui : tangente horizontale signifie sommet ou creux
        \item[C.] Oui, dès que $f$ est deux fois dérivable
        \item[D.] Non : $f'(a) = 0$ signifie que $a$ est un point d'inflexion
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
