\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Fonction logarithme népérien}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Valeurs de référence}
    Que vaut $\ln(1)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$}
        \item[B.] $1$
        \item[C.] $e$
        \item[D.] Ce nombre n'est pas défini
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Logarithme d'un produit}
    Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$, que vaut $\ln(ab)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\ln(a) + \ln(b)$}
        \item[B.] $\ln(a) \times \ln(b)$
        \item[C.] $\ln(a + b)$
        \item[D.] $\ln(a) - \ln(b)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Simplifier $\ln(e^3)$}
    Que vaut $\ln(e^3)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$}
        \item[B.] $e^3$
        \item[C.] $3e$
        \item[D.] $\ln(3)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Dérivée du logarithme}
    Quelle est la dérivée de la fonction $\ln$ sur
$]0\,;\,+\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x \mapsto \dfrac{1}{x}$}
        \item[B.] $x \mapsto -\dfrac{1}{x^2}$
        \item[C.] $x \mapsto \ln(x) \cdot \dfrac{1}{x}$
        \item[D.] $x \mapsto e^x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Dérivée de $\ln(u)$}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ sur
$\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$}
        \item[B.] $f'(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$
        \item[C.] $f'(x) = 2x \, \ln(x^2 + 1)$
        \item[D.] $f'(x) = \dfrac{1}{2x}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Résoudre $e^x = 5$}
    Quelle est la solution de l'équation $e^x = 5$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = \ln(5)$}
        \item[B.] $x = \dfrac{5}{e}$
        \item[C.] $x = e^5$
        \item[D.] $x = 5 - e$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Résoudre $\ln(x) \leq 2$}
    Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
$\ln(x) \leq 2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$]0\,;\,e^2]$}
        \item[B.] $]-\infty\,;\,e^2]$
        \item[C.] $[e^2\,;\,+\infty[$
        \item[D.] $]0\,;\,2]$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Limite en $0^+$}
    Quelle est la limite de $\ln(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par
valeurs supérieures ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-\infty$}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $+\infty$
        \item[D.] Elle n'existe pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Croissance comparée $\ln x$ contre $x$}
    Quelle est la limite de $\dfrac{\ln(x)}{x}$ quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$}
        \item[B.] $+\infty$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $e$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Courbes de $\ln$ et de $\exp$}
    La figure ci-dessous montre les courbes de $\exp$ (en bleu) et
de $\ln$ (en rouge). Par quelle transformation la courbe de
$\ln$ se déduit-elle de celle de $\exp$ ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);
  \draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.15) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4} \node[left,font=\small] at (-0.15,\y) {$\y$};
  \draw[dashed] (-2.7,-2.7) -- (4.7,4.7);
  \node[font=\small,rotate=45] at (3.35,3.75) {$y=x$};
  \draw[domain=-2.7:1.53,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{exp(\x)});
  \draw[domain=0.07:4.7,smooth,samples=60,thick,red] plot (\x,{ln(\x)});
  \node[blue,font=\small] at (0.45,3.3) {$y=e^x$};
  \node[red,font=\small] at (3.7,0.8) {$y=\ln x$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La symétrie par rapport à la droite d'équation $y = x$}
        \item[B.] La symétrie par rapport à l'axe des abscisses
        \item[C.] La symétrie par rapport à l'axe des ordonnées
        \item[D.] Une translation
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Limite de $x \ln(x)$ en $0^+$}
    Quelle est la limite de $x \ln(x)$ quand $x$ tend vers $0$ par
valeurs supérieures ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$}
        \item[B.] $-\infty$
        \item[C.] $+\infty$
        \item[D.] $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Simplifier $\ln(2) + \ln(3)$}
    Que vaut $\ln(2) + \ln(3)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\ln(6)$}
        \item[B.] $\ln(5)$
        \item[C.] $\ln(9)$
        \item[D.] $6$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Logarithme d'un inverse}
    Comment s'écrit $\ln\left(\dfrac{1}{4}\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-\ln 4$, soit $-2\ln 2$}
        \item[B.] $\dfrac{1}{\ln 4}$
        \item[C.] $\ln 1 - 4$
        \item[D.] $4^{-1}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Logarithme d'une puissance}
    Comment s'écrit $\ln 8$ en fonction de $\ln 2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\ln 8 = 3\ln 2$}
        \item[B.] $\ln 8 = (\ln 2)^3$
        \item[C.] $\ln 8 = \ln 2 + 6$
        \item[D.] $\ln 8 = 4\ln 2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Signe de $\ln x$}
    Pour quels réels $x$ a-t-on $\ln x < 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Pour $0 < x < 1$}
        \item[B.] Pour $x < 0$
        \item[C.] Pour $x < e$
        \item[D.] Jamais : un logarithme est toujours positif
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Domaine de $\ln(u)$}
    Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \ln(2x - 6)$
est-elle définie ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$]3\ ;\ +\infty[$}
        \item[B.] $[3\ ;\ +\infty[$
        \item[C.] $]0\ ;\ +\infty[$
        \item[D.] $\mathbb{R}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Dérivée de $x\ln x$}
    Quelle est la dérivée de $f(x) = x\ln x$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$f'(x) = \ln x + 1$}
        \item[B.] $f'(x) = \dfrac{1}{x}$
        \item[C.] $f'(x) = \ln x$
        \item[D.] $f'(x) = 1 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Résoudre $0{,}8^n < 0{,}01$}
    Pour quels entiers $n$ a-t-on $0{,}8^n < 0{,}01$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$n \geq 21$, car $n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}
\approx 20{,}6$ (l'inégalité change de sens : $\ln
0{,}8 < 0$)}
        \item[B.] $n \leq 20$, car $n < \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8}$
        \item[C.] Aucun : une puissance reste toujours au-dessus de
$0{,}01$
        \item[D.] $n \geq 5$, car $0{,}8 \times 5 > 0{,}01$… non, essayons
$n = 5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q19 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 19 \textemdash{} Simplifier $\ln(e^x \times e)$}
    Pour tout réel $x$, que vaut $\ln\left(e^x \times e\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x + 1$}
        \item[B.] $x$
        \item[C.] $e^{x+1}$
        \item[D.] $x\,e$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q20 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 20 \textemdash{} Limite de $\ln x$ en $+\infty$}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$+\infty$ : le logarithme dépasse tout seuil, mais très
lentement}
        \item[B.] Une valeur plafond finie, car la courbe s'aplatit
        \item[C.] $e$
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q21 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 21 \textemdash{} Concavité du logarithme}
    La dérivée seconde de $\ln$ est $-\dfrac{1}{x^2} < 0$.
Quelle inégalité en découle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\ln x \leq x - 1$ pour tout $x > 0$ : la courbe est
sous sa tangente en $1$}
        \item[B.] $\ln x \geq x - 1$ pour tout $x > 0$
        \item[C.] $\ln x \leq 0$ pour tout $x > 0$
        \item[D.] $\ln x \leq x^2$ seulement
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q22 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 22 \textemdash{} Équation avec deux logarithmes}
    Combien l'équation $\ln x + \ln(x - 3) = \ln 4$ a-t-elle de
solutions ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Une seule : $x = 4$ (la racine $x = -1$ est hors
domaine)}
        \item[B.] Deux : $x = 4$ et $x = -1$
        \item[C.] Aucune
        \item[D.] Une seule : $x = 7$, car $4 + 3 = 7$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q23 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 23 \textemdash{} Équation en $e^x$ par changement de variable}
    Quelles sont les solutions de $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = 0$ et $x = \ln 2$}
        \item[B.] $x = 1$ et $x = 2$
        \item[C.] $x = \ln 3$
        \item[D.] Aucune : une exponentielle ne s'annule jamais
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q24 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 24 \textemdash{} Le faux réflexe $\ln(a + b)$}
    L'égalité $\ln(a + b) = \ln a + \ln b$ est-elle vraie pour
tous réels $a, b > 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : $\ln$ transforme les produits en sommes, pas les
sommes ($\ln(1 + 1) = \ln 2 \neq \ln 1 + \ln 1 = 0$)}
        \item[B.] Oui : c'est la propriété fondamentale du logarithme
        \item[C.] Oui, mais seulement si $a = b$
        \item[D.] Non, sauf pour $a, b < 1$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
