\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Limites des fonctions}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Limite de $e^x$ en $-\infty$}
    Quelle est la limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$}
        \item[B.] $-\infty$
        \item[C.] $-1$
        \item[D.] $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Asymptote verticale}
    Soit $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$. Quelle droite est asymptote
\textbf{verticale} à la courbe de $f$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{La droite d'équation $x = 3$}
        \item[B.] La droite d'équation $y = 3$
        \item[C.] La droite d'équation $x = 0$
        \item[D.] La droite d'équation $y = 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Lever la forme $\infty - \infty$}
    Quelle est la limite de $x^2 - x$ quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$+\infty$}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $-\infty$
        \item[D.] Elle n'existe pas, car c'est une forme indéterminée
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Croissance comparée $e^x$ contre $x^3$}
    Quelle est la limite de $\dfrac{e^x}{x^3}$ quand $x$ tend vers
$+\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$+\infty$}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $\dfrac{1}{3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Limite à droite en un point interdit}
    Quelle est la limite de $\dfrac{x + 1}{x - 2}$ quand $x$ tend
vers $2$ par valeurs supérieures ($x \to 2^+$) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$+\infty$}
        \item[B.] $-\infty$
        \item[C.] $3$
        \item[D.] Elle n'existe pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Lire les asymptotes sur une courbe}
    La courbe $\mathcal{C}_f$ ci-dessous représente une fonction
$f$ ; les droites en pointillés sont ses asymptotes. Quelles
sont les équations de ces asymptotes ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
  \draw[very thin,color=gray!40] (-6.7,-2.7) grid (5.7,7.7);
  \draw[->] (-6.9,0) -- (5.9,0) node[below right] {$x$};
  \draw[->] (0,-2.9) -- (0,7.9) node[above left] {$y$};
  \foreach \x in {-6,-4,-2,2,4} \node[below,font=\small] at (\x,-0.25) {$\x$};
  \foreach \y in {-2,2,4,6} \node[left,font=\small] at (-0.25,\y) {$\y$};
  \draw[dashed,red,thick] (-2,-2.7) -- (-2,7.7);
  \draw[dashed,red,thick] (-6.7,3) -- (5.7,3);
  \node[red,font=\small,below left] at (-2,-1.5) {$x=-2$};
  \node[red,font=\small,above] at (4.6,3.05) {$y=3$};
  \draw[domain=-6.7:-3.05,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{3-5/(\x+2)});
  \draw[domain=-1.06:5.7,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\x,{3-5/(\x+2)});
  \node[blue,font=\small] at (3.3,1.1) {$\mathcal{C}_f$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = -2$ et $y = 3$}
        \item[B.] $x = 3$ et $y = -2$
        \item[C.] $x = -2$ seulement
        \item[D.] $y = 3$ seulement
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Définition d'une asymptote horizontale}
    Que signifie « la droite d'équation $y = 2$ est asymptote
horizontale à la courbe de $f$ en $+\infty$ » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2$}
        \item[B.] $f(2) = +\infty$
        \item[C.] $\lim\limits_{x \to 2} f(x) = +\infty$
        \item[D.] $f(x) = 2$ pour tout $x$ assez grand
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Limite par comparaison}
    Soit $f$ une fonction telle que $f(x) \geq x$ pour tout réel
$x$. Que peut-on conclure sur la limite de $f$ en $+\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$}
        \item[B.] Rien, il faudrait aussi un majorant
        \item[C.] $f$ est croissante
        \item[D.] $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} La forme $\sqrt{x^2+1} - x$}
    Quelle est la limite de $\sqrt{x^2 + 1} - x$ quand $x$ tend
vers $+\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$}
        \item[B.] $+\infty$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $\dfrac{1}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Limite de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ en $0^+$}
    Quelle est la limite de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ quand $x$ tend
vers $0$ par valeurs supérieures ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$+\infty$}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $-\infty$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Que signifie « forme indéterminée » ?}
    Le calcul d'une limite aboutit à la forme
« $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». Que peut-on en conclure ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Rien pour l'instant : il faut transformer l'expression
(factoriser, quantité conjuguée, croissances comparées…)}
        \item[B.] La limite n'existe pas
        \item[C.] La limite vaut $1$, car les infinis se compensent
        \item[D.] La limite vaut $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Limite d'un polynôme en $-\infty$}
    Quelle est la limite de $2x^3 - x + 5$ quand $x$ tend vers
$-\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-\infty$}
        \item[B.] $+\infty$
        \item[C.] $5$
        \item[D.] $2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Quotient de polynômes en $+\infty$}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty}
\dfrac{2x^2 + 1}{x^2 + 3}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$2$}
        \item[B.] $+\infty$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] $\dfrac{1}{3}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Limite en un point sans obstacle}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 1}{x + 2}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{2}{3}$}
        \item[B.] $+\infty$
        \item[C.] Forme indéterminée
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Limite de $e^{-x}$ en $+\infty$}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$}
        \item[B.] $-\infty$
        \item[C.] $+\infty$
        \item[D.] $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Lever un $\dfrac{0}{0}$ par factorisation}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$4$}
        \item[B.] $0$
        \item[C.] $+\infty$
        \item[D.] La limite n'existe pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Gendarmes avec un cosinus}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\cos x}{x}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$, par encadrement : $-\dfrac{1}{x} \leq
\dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$}
        \item[B.] La limite n'existe pas, car $\cos x$ oscille sans limite
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $+\infty$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Limite d'une composée}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x^2}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$ : on pose $X = -x^2 \to -\infty$, et $e^X \to 0$}
        \item[B.] $+\infty$, car l'exponentielle explose toujours
        \item[C.] $1$, car $e^0 = 1$
        \item[D.] $-\infty$, à cause du signe moins
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q19 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 19 \textemdash{} Limite à gauche d'un pôle}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 3^-} \dfrac{1}{x - 3}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$-\infty$}
        \item[B.] $+\infty$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] $3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q20 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 20 \textemdash{} La forme $x\,e^x$ en $-\infty$}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^{x}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0$ : l'exponentielle l'emporte sur $x$}
        \item[B.] $-\infty$, car $x \to -\infty$
        \item[C.] $+\infty$, car l'exponentielle gagne toujours
        \item[D.] $-1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q21 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 21 \textemdash{} La limite $\dfrac{e^x - 1}{x}$ en $0$}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$ : c'est le nombre dérivé de $e^x$ en $0$}
        \item[B.] $0$, car le numérateur tend vers $0$
        \item[C.] $+\infty$, car on divise par $0$
        \item[D.] $e$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q22 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 22 \textemdash{} Les deux asymptotes d'une homographique}
    Soit $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$. Quelles sont les
asymptotes de sa courbe ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Verticale $x = 1$ et horizontale $y = 2$}
        \item[B.] Verticale $x = 2$ et horizontale $y = 1$
        \item[C.] Verticale $x = 1$ seulement
        \item[D.] Horizontale $y = -1$, car $f(0) = -1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q23 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 23 \textemdash{} La forme $x - \sqrt{x}$ en $+\infty$}
    Que vaut $\lim\limits_{x \to +\infty} \left(x -
\sqrt{x}\right)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$+\infty$, car $x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)$}
        \item[B.] $0$, car les deux termes se compensent
        \item[C.] $-\infty$, car on soustrait un infini
        \item[D.] Forme indéterminée : on ne peut pas conclure
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q24 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 24 \textemdash{} Ne pas avoir de limite en $+\infty$}
    Une fonction $f$ n'a pas de limite finie en $+\infty$.
Peut-on en déduire qu'elle tend vers $+\infty$ ou
$-\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : elle peut osciller sans limite, comme $\cos x$}
        \item[B.] Oui : sans limite finie, il ne reste que l'infini
        \item[C.] Oui, sauf si la fonction est périodique
        \item[D.] Non : toute fonction a forcément une limite, quitte à
être infinie
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
