\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Orthogonalité et distances dans l'espace}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Produit scalaire en coordonnées}
    Dans un repère orthonormé, on donne $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,-1)$
et $\vec{v}(3\,;\,0\,;\,2)$. Que vaut
$\vec{u} \cdot \vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1$}
        \item[B.] $5$
        \item[C.] $(3\,;\,0\,;\,-2)$
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Tester l'orthogonalité}
    Dans un repère orthonormé, $\vec{u}(2\,;\,1\,;\,-1)$ et
$\vec{v}(1\,;\,0\,;\,2)$ sont-ils orthogonaux ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui, car $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$}
        \item[B.] Non, car aucune coordonnée commune n'est nulle
        \item[C.] Non, car ils ne sont pas colinéaires
        \item[D.] On ne peut pas savoir sans connaître l'angle
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Norme d'un vecteur}
    Dans un repère orthonormé, que vaut la norme de
$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,2)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$}
        \item[B.] $9$
        \item[C.] $\sqrt{3}$
        \item[D.] $5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Distance entre deux points}
    Dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,0\,;\,2)$ et
$B(3\,;\,2\,;\,1)$. Que vaut la distance $AB$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3$}
        \item[B.] $9$
        \item[C.] $\sqrt{3}$
        \item[D.] $5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Vecteur normal à un plan}
    Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Un vecteur non nul orthogonal à tout vecteur porté par
$\mathcal{P}$}
        \item[B.] Un vecteur contenu dans $\mathcal{P}$
        \item[C.] Un vecteur orthogonal à \textbf{un} vecteur du plan
        \item[D.] Un vecteur de norme $1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Développer $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$}
    Que vaut $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ pour deux vecteurs
quelconques de l'espace ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$}
        \item[B.] $\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$
        \item[C.] $\left(\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|\right)^2$
        \item[D.] $\|\vec{u}\|^2 - 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Produit scalaire et angle}
    Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ tels que $\|\vec{u}\| = 2$,
$\|\vec{v}\| = 3$ et $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$. Que vaut
l'angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\theta = \dfrac{\pi}{3}$}
        \item[B.] $\theta = \dfrac{\pi}{6}$
        \item[C.] $\theta = \dfrac{\pi}{2}$
        \item[D.] $\cos\theta = 3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Plans perpendiculaires}
    Soient deux plans de vecteurs normaux respectifs $\vec{n_1}$
et $\vec{n_2}$. À quelle condition ces plans sont-ils
perpendiculaires ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$}
        \item[B.] $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ colinéaires
        \item[C.] Les plans n'ont aucun point commun
        \item[D.] $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Propriété du projeté orthogonal}
    Soit $H$ le projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan
$\mathcal{P}$. Quelle propriété caractérise $H$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$}
        \item[B.] $H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus éloigné de $M$
        \item[C.] $H$ est le symétrique de $M$ par rapport à $\mathcal{P}$
        \item[D.] $H$ est un point quelconque où $(MH)$ coupe $\mathcal{P}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Droite orthogonale à un plan}
    Soit $d$ une droite de vecteur directeur $\vec{u}$ et
$\mathcal{P}$ un plan. À quelle condition $d$ est-elle
orthogonale à $\mathcal{P}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de
$\mathcal{P}$}
        \item[B.] $\vec{u}$ est orthogonal à un vecteur de $\mathcal{P}$
        \item[C.] $\vec{u}$ est un vecteur du plan $\mathcal{P}$
        \item[D.] $d$ et $\mathcal{P}$ n'ont aucun point commun
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Distance d'un point à un plan}
    Dans un repère orthonormé, soit $M(0\,;\,0\,;\,5)$ et
$\mathcal{P}$ le plan d'équation $z = 1$. Quelle est la
distance de $M$ à $\mathcal{P}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$4$}
        \item[B.] $5$
        \item[C.] $1$
        \item[D.] $6$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Droites orthogonales et perpendiculaires}
    Dans l'espace, deux droites sont dites \textbf{orthogonales}
lorsque leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux. Que
peut-on dire de plus ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elles ne sont pas forcément sécantes : orthogonales et non
coplanaires est possible}
        \item[B.] Deux droites orthogonales se coupent toujours à angle droit
        \item[C.] Orthogonales signifie parallèles à des plans
perpendiculaires
        \item[D.] Deux droites orthogonales à une même troisième sont
parallèles entre elles
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Le carré scalaire}
    Pour tout vecteur $\vec{u}$, que vaut $\vec{u} \cdot
\vec{u}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\|\vec{u}\|^2$}
        \item[B.] $\|\vec{u}\|$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] $2\vec{u}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Produit scalaire nul}
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs \textbf{non nuls} avec
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Que peut-on conclure ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux}
        \item[B.] L'un des deux vecteurs est nul
        \item[C.] $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires
        \item[D.] $\|\vec{u}\| = \|\vec{v}\|$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Développer avec la bilinéarité}
    On sait que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3$ et $\vec{u} \cdot
\vec{w} = -1$. Que vaut $\vec{u} \cdot (2\vec{v} +
\vec{w})$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$}
        \item[B.] $2$
        \item[C.] $6$
        \item[D.] Impossible sans connaître les coordonnées
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Prouver un angle droit}
    Soient $A(1\ ;\ 1\ ;\ 1)$, $B(2\ ;\ 3\ ;\ 1)$ et
$C(3\ ;\ 0\ ;\ 1)$. Le triangle $ABC$ est-il rectangle en
$A$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} =
1 \times 2 + 2 \times (-1) + 0 \times 0 = 0$}
        \item[B.] Non : aucun côté n'est parallèle à un axe
        \item[C.] Oui, car $AB = AC$
        \item[D.] On ne peut pas conclure sans mesurer l'angle
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Calculer un angle}
    On donne $\vec{u} \cdot \vec{v} = 6$, $\|\vec{u}\| = 2$ et
$\|\vec{v}\| = 6$. Que vaut l'angle entre $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$60°$, car $\cos\theta = \dfrac{6}{2 \times 6} =
\dfrac{1}{2}$}
        \item[B.] $30°$
        \item[C.] $90°$
        \item[D.] $6°$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Pythagore version vectorielle}
    $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. Que vaut
$\|\vec{u} + \vec{v}\|^2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$}
        \item[B.] $\|\vec{u}\|^2 + 2\|\vec{u}\|\|\vec{v}\| + \|\vec{v}\|^2$
        \item[C.] $\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
