\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Primitives et équations différentielles}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Définition d'une primitive}
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Que
signifie « $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ » ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F$ est dérivable sur $I$ et $F' = f$}
        \item[B.] $f$ est dérivable sur $I$ et $f' = F$
        \item[C.] $F(x) = f(x) + C$ pour une constante $C$
        \item[D.] $F(0) = 0$ et $F$ est continue
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Primitive de $x^2$}
    Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto x^2$ sur
$\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x \mapsto \dfrac{x^3}{3}$}
        \item[B.] $x \mapsto 2x$
        \item[C.] $x \mapsto x^3$
        \item[D.] $x \mapsto 3x^3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Deux primitives d'une même fonction}
    Soient $F$ et $G$ deux primitives d'une même fonction continue
$f$ sur un intervalle $I$. Que peut-on affirmer ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Il existe une constante $C$ telle que $G(x) = F(x) + C$
pour tout $x$ de $I$}
        \item[B.] $F = G$
        \item[C.] $G(x) = F(x) + ax + b$ avec $a \neq 0$ possible
        \item[D.] $G = kF$ pour une constante $k$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Primitive de $e^{3x}$}
    Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto e^{3x}$ sur
$\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x \mapsto \dfrac{e^{3x}}{3}$}
        \item[B.] $x \mapsto 3e^{3x}$
        \item[C.] $x \mapsto e^{3x}$
        \item[D.] $x \mapsto \dfrac{e^{4x}}{4}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Primitive d'une forme $u' u^n$}
    Quelle fonction est une primitive de
$f(x) = x\,(x^2 + 1)^3$ sur $\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{8}$}
        \item[B.] $F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{4}$
        \item[C.] $F(x) = (x^2 + 1)^4$
        \item[D.] $F(x) = \dfrac{x^2}{2}\,(x^2+1)^3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Vérifier une primitive par dérivation}
    Soit $F(x) = (x - 1)\,e^x$. Que vaut $F'(x)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x\,e^x$}
        \item[B.] $(x - 1)\,e^x$
        \item[C.] $e^x$
        \item[D.] $(x + 1)\,e^x$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Solutions de $y' = 3y$}
    Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = 3y$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Les fonctions $x \mapsto C\,e^{3x}$, où $C$ est une
constante réelle}
        \item[B.] La seule fonction $x \mapsto e^{3x}$
        \item[C.] Les fonctions $x \mapsto C\,e^{-3x}$
        \item[D.] Les fonctions $x \mapsto 3x + C$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Solutions de $y' = 2y + 6$}
    Quelles sont les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation
différentielle $y' = 2y + 6$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y = C\,e^{2x} - 3$, où $C$ est une constante réelle}
        \item[B.] $y = C\,e^{2x} + 3$
        \item[C.] $y = C\,e^{2x} + 6$
        \item[D.] $y = C\,e^{-2x} - 3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Imposer une condition initiale}
    Quelle est l'unique solution de $y' = 2y + 6$ vérifiant
$y(0) = 1$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y = 4\,e^{2x} - 3$}
        \item[B.] $y = e^{2x} - 3$
        \item[C.] $y = 1 \cdot e^{2x} - 3$... c'est-à-dire $C = y(0)$
        \item[D.] $y = 4\,e^{2x} + 3$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Primitive de sinus}
    Quelle fonction est une primitive de $x \mapsto \sin(x)$ sur
$\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x \mapsto -\cos(x)$}
        \item[B.] $x \mapsto \cos(x)$
        \item[C.] $x \mapsto -\sin(x)$
        \item[D.] $x \mapsto \dfrac{\sin^2(x)}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Comportement des solutions de $y' = ay$ pour $a < 0$}
    Soit $a < 0$. Comment se comportent les solutions non nulles de
$y' = ay$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elles tendent vers $0$}
        \item[B.] Elles tendent vers $+\infty$
        \item[C.] Elles oscillent
        \item[D.] Elles deviennent constantes égales à $a$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Primitive de $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$}
    Quelle fonction est une primitive de
$x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x \mapsto 2\sqrt{x}$}
        \item[B.] $x \mapsto \sqrt{x}$
        \item[C.] $x \mapsto \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
        \item[D.] $x \mapsto \ln(\sqrt{x})$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Primitive de $\dfrac{1}{x}$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ sur
$]0\ ;\ +\infty[$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = \ln x$}
        \item[B.] $F(x) = -\dfrac{1}{x^2}$
        \item[C.] $F(x) = \dfrac{x^0}{0}$
        \item[D.] $F(x) = \ln\left(\dfrac{1}{x}\right)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Primitive de $\cos(2x)$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \cos(2x)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = \dfrac{1}{2}\sin(2x)$}
        \item[B.] $F(x) = \sin(2x)$
        \item[C.] $F(x) = -\dfrac{1}{2}\sin(2x)$
        \item[D.] $F(x) = 2\sin(2x)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Existence de primitives}
    Quelles fonctions admettent des primitives sur un
intervalle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Toute fonction continue sur cet intervalle}
        \item[B.] Seulement les polynômes
        \item[C.] Seulement les fonctions dérivables
        \item[D.] Seulement les fonctions positives
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Primitive de la forme $\dfrac{u'}{u}$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$
sur $\mathbb{R}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = \ln(x^2 + 1)$}
        \item[B.] $F(x) = \dfrac{x^2}{\frac{x^3}{3} + x}$
        \item[C.] $F(x) = 2x\ln(x^2 + 1)$
        \item[D.] $F(x) = \dfrac{1}{(x^2+1)^2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Primitive de la forme $u'e^u$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\,e^{x^2}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = e^{x^2}$}
        \item[B.] $F(x) = x^2\,e^{x^2}$
        \item[C.] $F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{x^2}$
        \item[D.] $F(x) = 2\,e^{x^2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Solution d'équilibre}
    L'équation différentielle $y' = -3y + 6$ admet une solution
constante. Laquelle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$y = 2$ : la valeur qui annule le second membre}
        \item[B.] $y = 6$ : le terme constant de l'équation
        \item[C.] $y = -3$ : le coefficient de $y$
        \item[D.] $y = 0$ : une constante est toujours solution
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q19 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 19 \textemdash{} Primitive de $(2x + 1)^3$}
    Quelle est une primitive de $f(x) = (2x + 1)^3$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = \dfrac{(2x + 1)^4}{8}$}
        \item[B.] $F(x) = \dfrac{(2x + 1)^4}{4}$
        \item[C.] $F(x) = 3(2x + 1)^2$
        \item[D.] $F(x) = \dfrac{(2x+1)^4}{2}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q20 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 20 \textemdash{} Primitive imposée en un point}
    Quelle est LA primitive $F$ de $f(x) = 2x$ vérifiant
$F(1) = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$F(x) = x^2 - 1$}
        \item[B.] $F(x) = x^2$
        \item[C.] $F(x) = x^2 + 1$
        \item[D.] $F(x) = 2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q21 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 21 \textemdash{} Vérifier une solution d'équation différentielle}
    La fonction $f(x) = (x + 1)e^x$ est-elle solution de
l'équation $y' = y + e^x$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui : $f'(x) = (x + 2)e^x$ et $f(x) + e^x = (x + 2)e^x$}
        \item[B.] Non : $f'(x) = e^x$, qui ne vaut pas $f(x) + e^x$
        \item[C.] Non : les solutions de $y' = y + e^x$ sont les $Ce^x$
        \item[D.] On ne peut pas le savoir sans résoudre l'équation
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q22 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 22 \textemdash{} Décroissance radioactive}
    Une quantité $N(t)$ vérifie $N' = -0{,}1\,N$ avec $N(0) =
100$. Quelle est l'expression de $N(t)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$N(t) = 100\,e^{-0{,}1t}$}
        \item[B.] $N(t) = 100 - 0{,}1t$
        \item[C.] $N(t) = e^{-0{,}1t}$
        \item[D.] $N(t) = 100\,e^{0{,}1t}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q23 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 23 \textemdash{} Unicité avec condition initiale}
    Combien l'équation $y' = 2y + 6$ admet-elle de solutions
vérifiant $y(0) = 1$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Exactement une : $y(x) = 4e^{2x} - 3$}
        \item[B.] Une infinité, comme toute équation différentielle
        \item[C.] Aucune : $y(0) = 1$ est incompatible avec l'équation
        \item[D.] Deux : une croissante et une décroissante
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q24 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 24 \textemdash{} Primitive d'un produit}
    $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$. Le produit
$FG$ est-il une primitive de $fg$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : $(FG)' = fG + Fg$, pas $fg$ (exemple : $f = g =
1$, $FG = x^2$ dont la dérivée est $2x \neq 1$)}
        \item[B.] Oui : les opérations passent aux primitives
        \item[C.] Oui, à une constante près
        \item[D.] Non, sauf si $f$ et $g$ sont des polynômes
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
