\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Représentations paramétriques et équations cartésiennes}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Écrire une représentation paramétrique}
    Quelle est une représentation paramétrique de la droite
passant par $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et de vecteur directeur
$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,0)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$x = 1 + 2t$, $\; y = 2 - t$, $\; z = 3$ ($t$ réel)}
        \item[B.] $x = 2 + t$, $\; y = -1 + 2t$, $\; z = 3t$
        \item[C.] $x = 1 + 2t$, $\; y = 2 + t$, $\; z = 3$
        \item[D.] $x = 1 + 2t$, $\; y = 2 - t$, $\; z = 3 + t$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Lire un vecteur normal}
    Soit le plan d'équation cartésienne $2x - 3y + z - 5 = 0$.
Quel vecteur lui est normal ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\vec{n}(2\,;\,-3\,;\,1)$}
        \item[B.] $\vec{n}(2\,;\,-3\,;\,-5)$
        \item[C.] $\vec{n}(2\,;\,3\,;\,1)$
        \item[D.] $\vec{n}(x\,;\,y\,;\,z)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Point d'une droite paramétrée}
    Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.
Quel point obtient-on pour $t = 2$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(5\,;\,0\,;\,3)$}
        \item[B.] $(4\,;\,-2\,;\,0)$
        \item[C.] $(3\,;\,1\,;\,3)$
        \item[D.] $(5\,;\,4\,;\,3)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Appartenance à un plan}
    Soit $\mathcal{P}$ le plan d'équation $2x - 3y + z - 5 = 0$.
Lequel de ces points appartient à $\mathcal{P}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(1\,;\,-1\,;\,0)$}
        \item[B.] $(1\,;\,1\,;\,0)$
        \item[C.] $(2\,;\,0\,;\,0)$
        \item[D.] $(2\,;\,-3\,;\,1)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Direction d'une droite paramétrée}
    Soit la droite $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = 2 - t$, $z = 3$.
Quel vecteur dirige $d$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,0)$}
        \item[B.] $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,3)$
        \item[C.] $\vec{u}(2\,;\,-1\,;\,3)$
        \item[D.] $\vec{u}(2\,;\,1\,;\,0)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Équation d'un plan par point et normal}
    Quelle est une équation cartésienne du plan passant par
$A(1\,;\,0\,;\,2)$ et de vecteur normal
$\vec{n}(3\,;\,1\,;\,-2)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$3x + y - 2z + 1 = 0$}
        \item[B.] $3x + y - 2z - 1 = 0$
        \item[C.] $x + 2z - 3 = 0$
        \item[D.] $3x + y - 2z = 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Droite parallèle à un plan}
    Soit une droite $d$ de vecteur directeur $\vec{u}$ et un plan
$\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{n}$. À quelle condition
$d$ est-elle parallèle à $\mathcal{P}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\vec{u} \cdot \vec{n} = 0$}
        \item[B.] $\vec{u}$ et $\vec{n}$ colinéaires
        \item[C.] $\vec{u} \cdot \vec{n} \neq 0$
        \item[D.] $\vec{u} = \vec{n}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Intersection d'une droite et d'un plan}
    Soit la droite $d$ : $x = t$, $y = 1 + t$, $z = 2 - t$, et le
plan $\mathcal{P}$ : $x + y + z - 6 = 0$. En quel point $d$
coupe-t-elle $\mathcal{P}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(3\,;\,4\,;\,-1)$}
        \item[B.] $(1\,;\,2\,;\,1)$
        \item[C.] $(2\,;\,3\,;\,0)$
        \item[D.] Ils ne se coupent pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Position relative de deux plans}
    Soient les plans $\mathcal{P}_1$ : $2x - y + z - 1 = 0$ et
$\mathcal{P}_2$ : $4x - 2y + 2z + 7 = 0$. Quelle est leur
position relative ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Strictement parallèles}
        \item[B.] Sécants selon une droite
        \item[C.] Confondus
        \item[D.] Perpendiculaires
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Que représente une équation dans l'espace ?}
    Dans l'espace muni d'un repère, quel objet l'équation
$x + y + z = 1$ représente-t-elle ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Un plan}
        \item[B.] Une droite
        \item[C.] Un point
        \item[D.] Une sphère
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Projeté orthogonal par le calcul}
    Soit $M(2\,;\,2\,;\,2)$ et le plan $\mathcal{P}$ :
$x + y + z - 3 = 0$. Quel est le projeté orthogonal $H$ de $M$
sur $\mathcal{P}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$H(1\,;\,1\,;\,1)$}
        \item[B.] $H(2\,;\,2\,;\,2)$
        \item[C.] $H(3\,;\,3\,;\,3)$
        \item[D.] $H(0\,;\,0\,;\,3)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Reconnaître une propriété sur la paramétrique}
    Soit la droite $d$ : $x = 1 + t$, $y = 2$, $z = 3 - t$.
Quelle affirmation est correcte ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$d$ est incluse dans le plan d'équation $y = 2$}
        \item[B.] $d$ est parallèle à l'axe des ordonnées
        \item[C.] $d$ passe par l'origine
        \item[D.] $\vec{u}(1\,;\,2\,;\,3)$ dirige $d$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Reconnaître deux plans parallèles}
    Les plans $P : 2x - y + z = 1$ et $Q : 4x - 2y + 2z = 5$
sont-ils parallèles ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui, parallèles et distincts : les normales sont
colinéaires mais les équations ne sont pas
proportionnelles}
        \item[B.] Non : leurs équations sont différentes
        \item[C.] Ils sont confondus
        \item[D.] Ils sont perpendiculaires
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Droite orthogonale à un plan}
    Quel vecteur directeur choisir pour la droite passant par
$A$ et orthogonale au plan $P : 3x - y + 2z = 7$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\vec{n}(3\ ;\ -1\ ;\ 2)$ : le vecteur normal du plan}
        \item[B.] Un vecteur du plan $P$
        \item[C.] $\vec{u}(7\ ;\ 7\ ;\ 7)$, à cause du second membre $7$
        \item[D.] N'importe quel vecteur passant par $A$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Intersection de deux droites paramétrées}
    Soient $d : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (1 + t\ ;\ 2t\ ;\ 3)$ et
$d' : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (2\ ;\ 2 + s\ ;\ 3)$. Ces droites
sont-elles sécantes ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui, au point $(2\ ;\ 2\ ;\ 3)$ (pour $t = 1$ et $s =
0$)}
        \item[B.] Non : leurs paramètres $t$ et $s$ sont différents
        \item[C.] Non : elles sont parallèles
        \item[D.] Oui, en une infinité de points
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Droite incluse dans un plan}
    La droite $d : (x\ ;\ y\ ;\ z) = (1 + t\ ;\ 1 - t\ ;\ 2t)$
est-elle incluse dans le plan $P : x + y - 2 = 0$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui : $(1 + t) + (1 - t) - 2 = 0$ pour tout $t$}
        \item[B.] Non : la droite a trois coordonnées, le plan seulement
deux termes
        \item[C.] Seulement le point obtenu pour $t = 0$
        \item[D.] On ne peut pas le savoir sans équation cartésienne de la
droite
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Intersection de deux plans sécants}
    Que forme l'intersection des plans $P : x + y + z = 3$ et
$Q : x - y = 1$ (dont les normales ne sont pas
colinéaires) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Une droite ; par exemple, elle contient le point
$(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$}
        \item[B.] Un point unique
        \item[C.] L'ensemble vide
        \item[D.] Un plan
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Paramétrer un segment}
    Comment décrire le \textbf{segment} $[AB]$ à partir de la
représentation $M(t) = A + t\,\overrightarrow{AB}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{En restreignant le paramètre : $t \in [0\ ;\ 1]$}
        \item[B.] En prenant $t \in \mathbb{R}$
        \item[C.] En imposant $t > 0$
        \item[D.] Impossible : une paramétrique décrit toujours une droite
entière
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
