\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Schéma de Bernoulli et loi binomiale}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Épreuve de Bernoulli}
    Qu'est-ce qu'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Une expérience aléatoire à exactement deux issues, succès
(probabilité $p$) et échec (probabilité $1 - p$)}
        \item[B.] Une expérience répétée $p$ fois
        \item[C.] Une expérience dont les issues sont équiprobables
        \item[D.] Une expérience à deux issues répétée indéfiniment
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Conditions d'une loi binomiale}
    Dans quelle situation la variable $X$ suit-elle une loi
binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$X$ compte les succès dans la répétition de $n$ épreuves de
Bernoulli identiques et indépendantes de paramètre $p$}
        \item[B.] $X$ compte les succès dans $n$ tirages \textbf{sans remise} dans
une urne
        \item[C.] $X$ est le rang du premier succès dans une suite d'épreuves
        \item[D.] $X$ prend ses valeurs entre $0$ et $n$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Probabilité d'une liste d'issues}
    On répète $3$ fois, de façon indépendante, une épreuve de
Bernoulli avec $p = 0{,}3$. Quelle est la probabilité de la
liste d'issues (succès, échec, succès) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}3 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 0{,}063$}
        \item[B.] $0{,}3 + 0{,}7 + 0{,}3 = 1{,}3$
        \item[C.] $0{,}3^3 = 0{,}027$
        \item[D.] $0{,}3 \times 0{,}7^2 = 0{,}147$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Calculer $P(X = k)$}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(5\,;\,0{,}2)$. Que vaut $P(X = 2)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dbinom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}2048$}
        \item[B.] $0{,}2^2 \times 0{,}8^3 = 0{,}02048$
        \item[C.] $0{,}2^2 = 0{,}04$
        \item[D.] $\dbinom{5}{2} \times 0{,}2^2 \times 0{,}8 = 0{,}32$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Espérance d'une binomiale}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $E(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$6$}
        \item[B.] $0{,}3$
        \item[C.] $20$
        \item[D.] $4{,}2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Variance d'une binomiale}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}3)$. Que vaut $V(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$4{,}2$}
        \item[B.] $6$
        \item[C.] $\sqrt{4{,}2} \approx 2{,}05$
        \item[D.] $14$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Chemins dans l'arbre}
    On représente un schéma de Bernoulli à $n = 3$ épreuves par un
arbre. Combien de chemins réalisent exactement $2$ succès ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dbinom{3}{2} = 3$}
        \item[B.] $2$
        \item[C.] $8$
        \item[D.] $6$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Passer par l'événement contraire}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(4\,;\,0{,}5)$. Que vaut
$P(X \geq 1)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1 - 0{,}5^4 = 0{,}9375$}
        \item[B.] $0{,}5^4 = 0{,}0625$
        \item[C.] $0{,}5$
        \item[D.] $4 \times 0{,}5 = 2$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Écrire $P(X \geq 8)$ pour la calculatrice}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}9)$. La calculatrice ne
fournit que les probabilités cumulées $P(X \leq k)$. Quelle
écriture donne $P(X \geq 8)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$1 - P(X \leq 7)$}
        \item[B.] $1 - P(X \leq 8)$
        \item[C.] $P(X \leq 8)$
        \item[D.] $P(X = 8)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Avec ou sans remise}
    Une urne contient $10$ boules dont $3$ gagnantes. On tire $5$
boules et on note $X$ le nombre de boules gagnantes. Dans quel
cas $X$ suit-il exactement une loi binomiale ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Si les tirages se font \textbf{avec remise}}
        \item[B.] Si les tirages se font \textbf{sans remise}
        \item[C.] Dans les deux cas
        \item[D.] Dans aucun cas, car l'urne contient moins de boules
gagnantes que de tirages
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Modéliser un QCM au hasard}
    Un QCM comporte $7$ questions ; chacune propose $4$ options
dont une seule est correcte. Un élève répond entièrement au
hasard. Quelle est la loi du nombre $X$ de bonnes réponses ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$}
        \item[B.] $X \sim \mathcal{B}\!\left(7\,;\,\dfrac{3}{4}\right)$
        \item[C.] $X \sim \mathcal{B}\!\left(4\,;\,\dfrac{1}{7}\right)$
        \item[D.] $X \sim \mathcal{B}\!\left(28\,;\,\dfrac{1}{4}\right)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Interpréter l'espérance}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}4)$, donc $E(X) = 40$.
Quelle interprétation est correcte ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Sur un grand nombre de répétitions de l'expérience
complète, le nombre de succès vaut \textbf{en moyenne} environ
$40$}
        \item[B.] À chaque expérience, $X$ vaut exactement $40$
        \item[C.] $P(X = 40)$ vaut environ $0{,}4$
        \item[D.] Il est impossible d'obtenir plus de $40$ succès
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Aucun succès}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 3$ et $p =
0{,}2$. Que vaut $P(X = 0)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$0{,}8^3 = 0{,}512$}
        \item[B.] $0{,}2^3 = 0{,}008$
        \item[C.] $0$
        \item[D.] $1 - 0{,}2 = 0{,}8$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Écart-type d'une binomiale}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p =
0{,}5$. Que vaut l'écart-type $\sigma(X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\sigma(X) = \sqrt{100 \times 0{,}5 \times 0{,}5} = 5$}
        \item[B.] $\sigma(X) = 25$
        \item[C.] $\sigma(X) = 50$
        \item[D.] $\sigma(X) = 10$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Calculer $P(X \leq 1)$}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =
0{,}5$. Que vaut $P(X \leq 1)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P(X = 0) + P(X = 1) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} =
\dfrac{5}{16}$}
        \item[B.] $P(X = 1) = \dfrac{4}{16}$ seulement
        \item[C.] $\dfrac{1}{2}$, par symétrie
        \item[D.] $\dfrac{2}{16}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Quand le modèle binomial échoue}
    On lance un dé jusqu'à obtenir le premier six, et on compte
les lancers nécessaires. Pourquoi ce nombre ne suit-il PAS
une loi binomiale ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Parce que le nombre d'épreuves n'est pas fixé à
l'avance : on s'arrête au premier succès}
        \item[B.] Parce qu'un dé n'est pas une épreuve de Bernoulli
        \item[C.] Parce que les lancers ne sont pas indépendants
        \item[D.] Mais si : tout comptage suit une loi binomiale
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Symétrie de la binomiale équilibrée}
    $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 10$ et $p =
0{,}5$. Quelle égalité traduit la symétrie de cette loi ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$P(X = k) = P(X = 10 - k)$ pour tout $k$}
        \item[B.] $P(X = k) = P(X = k + 1)$
        \item[C.] $P(X = k) = \dfrac{1}{11}$ pour tout $k$
        \item[D.] $P(X = k) = 1 - P(X = 10 - k)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Espérance et gain moyen}
    Un jeu se répète $50$ fois : chaque partie est gagnée avec
la probabilité $0{,}3$ et rapporte alors $2$ euros (sinon
rien). Quel gain total moyen peut-on espérer ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$30$ euros : $E(X) = 50 \times 0{,}3 = 15$ parties
gagnées en moyenne, à $2$ euros chacune}
        \item[B.] $100$ euros : $50 \times 2$
        \item[C.] $15$ euros
        \item[D.] Impossible à prévoir : le jeu est aléatoire
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
