\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Sommes de variables aléatoires}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Espérance d'une somme}
    Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires avec $E(X) = 3$ et
$E(Y) = 5$. Que vaut $E(X + Y)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$8$, sans hypothèse supplémentaire}
        \item[B.] $8$, mais seulement si $X$ et $Y$ sont indépendantes
        \item[C.] $15$
        \item[D.] On ne peut pas savoir sans connaître les lois de $X$ et $Y$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Espérance de $aX$}
    Soit $X$ une variable aléatoire avec $E(X) = 2$. Que vaut
$E(3X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$6$}
        \item[B.] $2$
        \item[C.] $18$
        \item[D.] $5$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Variance de $aX$}
    Soit $X$ une variable aléatoire avec $V(X) = 2$. Que vaut
$V(3X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$18$}
        \item[B.] $6$
        \item[C.] $2$
        \item[D.] $12$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Additivité de la variance}
    Sous quelle hypothèse a-t-on $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Lorsque $X$ et $Y$ sont indépendantes}
        \item[B.] Toujours, comme pour l'espérance
        \item[C.] Lorsque $X$ et $Y$ ont la même loi
        \item[D.] Lorsque $E(X) = E(Y) = 0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Variance d'une différence}
    Soient $X$ et $Y$ indépendantes avec $V(X) = 4$ et $V(Y) = 1$.
Que vaut $V(X - Y)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$}
        \item[B.] $3$
        \item[C.] $4$
        \item[D.] $\sqrt{17}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} Écart-type de la moyenne d'échantillon}
    Soit un échantillon de taille $n = 100$ d'une variable
d'écart-type $\sigma = 5$, et $M_n$ la moyenne de
l'échantillon. Que vaut $\sigma(M_n)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\dfrac{5}{\sqrt{100}} = 0{,}5$}
        \item[B.] $5$
        \item[C.] $\dfrac{5}{100} = 0{,}05$
        \item[D.] $50$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Espérance d'une somme d'échantillon}
    Soit $S_n = X_1 + \cdots + X_{50}$ la somme d'un échantillon de
taille $50$ d'une variable d'espérance $\mu = 2$. Que vaut
$E(S_n)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$100$}
        \item[B.] $2$
        \item[C.] $52$
        \item[D.] $25$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Une binomiale comme somme}
    Soit $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$. Comment retrouve-t-on la
formule $V(X) = np(1-p)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{En écrivant $X$ comme somme de $n$ variables de Bernoulli
indépendantes, chacune de variance $p(1-p)$}
        \item[B.] En calculant directement $E(X^2)$ par la formule binomiale
        \item[C.] En dérivant l'espérance $np$ par rapport à $p$
        \item[D.] On ne peut pas : cette formule est admise sans justification
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Effet de la taille d'échantillon}
    On multiplie par $4$ la taille $n$ d'un échantillon. Que
devient la variance de la moyenne $M_n$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elle est divisée par $4$}
        \item[B.] Elle est divisée par $2$
        \item[C.] Elle est divisée par $16$
        \item[D.] Elle ne change pas
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Espérance de la moyenne d'échantillon}
    Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une
variable d'espérance $\mu$. Que vaut $E(M_n)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\mu$, quelle que soit la taille $n$}
        \item[B.] $\dfrac{\mu}{n}$
        \item[C.] $n\mu$
        \item[D.] Cela dépend de la variance de la loi
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Quelle égalité est toujours vraie ?}
    Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires \textbf{quelconques}
(pas nécessairement indépendantes). Laquelle de ces égalités
est toujours vraie ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$}
        \item[B.] $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$
        \item[C.] $E(XY) = E(X)\,E(Y)$
        \item[D.] $\sigma(X + Y) = \sigma(X) + \sigma(Y)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Somme de deux dés}
    On lance deux dés équilibrés à six faces et on note $S$ la
somme des résultats. Sachant que l'espérance d'un dé vaut
$3{,}5$, que vaut $E(S)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$7$}
        \item[B.] $6$
        \item[C.] $3{,}5$
        \item[D.] $12{,}25$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Espérance de $X + b$}
    $X$ est une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 10$. Que
vaut $E(X + 5)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$15$}
        \item[B.] $10$
        \item[C.] $50$
        \item[D.] Impossible sans connaître la loi de $X$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Variance de $X + 5$}
    $X$ a pour variance $V(X) = 4$. Que vaut $V(X + 5)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$4$ : une translation ne change pas la dispersion}
        \item[B.] $9$
        \item[C.] $100$
        \item[D.] $4 + 25 = 29$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Espérance d'une différence}
    $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires avec $E(X) = 8$
et $E(Y) = 3$. Que vaut $E(X - Y)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$}
        \item[B.] $11$
        \item[C.] $24$
        \item[D.] On ne peut pas savoir sans l'indépendance de $X$ et $Y$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Variance de $-X$}
    $X$ a pour variance $V(X) = 9$. Que vaut $V(-X)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$9$}
        \item[B.] $-9$
        \item[C.] $81$
        \item[D.] $0$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Écart-type d'une somme}
    $X$ et $Y$ sont \textbf{indépendantes}, avec $\sigma(X) = 3$ et
$\sigma(Y) = 4$. Que vaut $\sigma(X + Y)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$5$ : on additionne les variances ($9 + 16 = 25$), puis
racine}
        \item[B.] $7$ : la somme des écarts-types
        \item[C.] $25$
        \item[D.] $12$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Quand la variance est-elle additive ?}
    L'égalité $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$ est-elle toujours
vraie ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : elle exige l'indépendance de $X$ et $Y$
(contre-exemple : $Y = -X$)}
        \item[B.] Oui : la variance est linéaire comme l'espérance
        \item[C.] Non : elle n'est jamais vraie, c'est une approximation
        \item[D.] Oui, dès que $X$ et $Y$ ont la même loi
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
