\documentclass[10pt,aspectratio=169]{beamer}

% --- Thème ---
\usetheme[language=french]{Celestia}

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\usetikzlibrary{arrows.meta,calc,patterns}

\setbeamertemplate{frametitle continuation}{}

\subject{Mathématiques}
\title{Vecteurs, droites et plans de l'espace}
\subtitle{QCM}
\author{Terminale spécialité}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
    \titlepage
\end{frame}

% Q1 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 1 \textemdash{} Vecteurs colinéaires}
    Dans un repère de l'espace, on donne
$\vec{u}(2\,;\,-4\,;\,6)$ et $\vec{v}(1\,;\,-2\,;\,3)$.
Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui, car $\vec{u} = 2\vec{v}$}
        \item[B.] Non, car leurs coordonnées ne sont pas égales
        \item[C.] Non, car $2 + (-4) + 6 \neq 1 + (-2) + 3$
        \item[D.] On ne peut pas le savoir sans connaître le repère
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q2 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 2 \textemdash{} Déterminer une droite de l'espace}
    Par quelles données une droite de l'espace est-elle
entièrement déterminée ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Un point et un vecteur directeur non nul}
        \item[B.] Un seul point
        \item[C.] Un vecteur directeur seul
        \item[D.] Deux vecteurs non colinéaires
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q3 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 3 \textemdash{} Déterminer un plan de l'espace}
    Par quelles données un plan de l'espace est-il entièrement
déterminé ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Un point et deux vecteurs non colinéaires}
        \item[B.] Un point et un vecteur non nul
        \item[C.] Trois points quelconques
        \item[D.] Deux droites quelconques de l'espace
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q4 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 4 \textemdash{} Vecteurs coplanaires}
    On donne $\vec{u}(1\,;\,0\,;\,0)$, $\vec{v}(0\,;\,1\,;\,0)$ et
$\vec{w}(2\,;\,3\,;\,0)$. Ces trois vecteurs sont-ils
coplanaires ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui, car $\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}$}
        \item[B.] Non, car aucun n'est colinéaire à un autre
        \item[C.] Non, car ils sont dans l'espace
        \item[D.] Oui, car trois vecteurs sont toujours coplanaires
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q5 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 5 \textemdash{} Base de l'espace}
    Que faut-il pour que trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$,
$\vec{w}$ forment une base de l'espace ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Qu'ils soient non coplanaires}
        \item[B.] Qu'ils soient deux à deux non colinéaires
        \item[C.] Qu'ils soient deux à deux orthogonaux
        \item[D.] Qu'ils aient tous la même norme
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q6 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 6 \textemdash{} La diagonale du cube}
    Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, comment s'exprime le
vecteur $\overrightarrow{AG}$ (grande diagonale) en fonction de
$\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AE}$ ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.15,line join=round]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (2.9,0.75);
  \coordinate (D) at (0.9,0.75);
  \coordinate (E) at (0,1.9);
  \coordinate (F) at (2,1.9);
  \coordinate (G) at (2.9,2.65);
  \coordinate (H) at (0.9,2.65);
  \draw[dashed] (D) -- (A);
  \draw[dashed] (D) -- (C);
  \draw[dashed] (D) -- (H);
  \draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (F) -- (B);
  \draw (A) -- (E) -- (F);
  \draw (E) -- (H) -- (G);
  \draw[->,thick,blue] (A) -- (G);
  \node[below left,font=\small] at (A) {$A$};
  \node[below right,font=\small] at (B) {$B$};
  \node[right,font=\small] at (C) {$C$};
  \node[left,font=\small] at (D) {$D$};
  \node[left,font=\small] at (E) {$E$};
  \node[above right,font=\small] at (F) {$F$};
  \node[above right,font=\small] at (G) {$G$};
  \node[above left,font=\small] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$}
        \item[B.] $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$
        \item[C.] $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$
        \item[D.] $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q7 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 7 \textemdash{} Deux droites sans point commun}
    Dans l'espace, deux droites n'ont aucun point commun.
Sont-elles nécessairement parallèles ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Non : elles peuvent aussi être non coplanaires}
        \item[B.] Oui, comme dans le plan
        \item[C.] Oui, si elles sont toutes les deux horizontales
        \item[D.] Non : elles sont forcément confondues
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q8 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 8 \textemdash{} Coordonnées dans le repère du cube}
    Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessous, on munit l'espace du repère
$\left(A\,;\,\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{AD},\,\overrightarrow{AE}\right)$. Quelles
sont les coordonnées du sommet $G$ ?\medskip
    \begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=1.15,line join=round]
  \coordinate (A) at (0,0);
  \coordinate (B) at (2,0);
  \coordinate (C) at (2.9,0.75);
  \coordinate (D) at (0.9,0.75);
  \coordinate (E) at (0,1.9);
  \coordinate (F) at (2,1.9);
  \coordinate (G) at (2.9,2.65);
  \coordinate (H) at (0.9,2.65);
  \draw[dashed] (D) -- (A);
  \draw[dashed] (D) -- (C);
  \draw[dashed] (D) -- (H);
  \draw (A) -- (B) -- (C) -- (G) -- (F) -- (B);
  \draw (A) -- (E) -- (F);
  \draw (E) -- (H) -- (G);
  \draw[->,thick,red] (A) -- (B);
  \draw[->,thick,red] (A) -- (D);
  \draw[->,thick,red] (A) -- (E);
  \node[below left,font=\small] at (A) {$A$};
  \node[below right,font=\small] at (B) {$B$};
  \node[right,font=\small] at (C) {$C$};
  \node[left,font=\small] at (D) {$D$};
  \node[left,font=\small] at (E) {$E$};
  \node[above right,font=\small] at (F) {$F$};
  \node[above right,font=\small] at (G) {$G$};
  \node[above left,font=\small] at (H) {$H$};
\end{tikzpicture}
    \end{center}
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$G(1\,;\,1\,;\,1)$}
        \item[B.] $G(1\,;\,1\,;\,0)$
        \item[C.] $G(0\,;\,1\,;\,1)$
        \item[D.] $G(1\,;\,0\,;\,1)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q9 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 9 \textemdash{} Position relative dans le cube}
    Dans le cube $ABCDEFGH$ (mêmes notations que précédemment,
$E$ au-dessus de $A$, $H$ au-dessus de $D$), quelle est la
position relative des droites $(AB)$ et $(DH)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Elles sont non coplanaires}
        \item[B.] Elles sont sécantes
        \item[C.] Elles sont parallèles
        \item[D.] Elles sont confondues
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q10 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 10 \textemdash{} Vecteur directeur d'une droite $(AB)$}
    Soient $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et $B(3\,;\,1\,;\,5)$. Quel vecteur
est directeur de la droite $(AB)$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\overrightarrow{AB}(2\,;\,-1\,;\,2)$}
        \item[B.] $(4\,;\,3\,;\,8)$
        \item[C.] $(2\,;\,1\,;\,2)$
        \item[D.] $(1\,;\,2\,;\,3)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q11 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 11 \textemdash{} Tester l'alignement de trois points}
    Soient $A(1\,;\,0\,;\,2)$, $B(3\,;\,4\,;\,2)$ et
$C(4\,;\,6\,;\,2)$. Ces trois points sont-ils alignés ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui, car $\overrightarrow{AC} = \dfrac{3}{2}\,\overrightarrow{AB}$}
        \item[B.] Non, car $C$ n'est pas le milieu de $[AB]$
        \item[C.] Non, car les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont
différentes
        \item[D.] On ne peut pas conclure sans calculer les distances
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q12 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 12 \textemdash{} Appartenance à un plan}
    Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A$ et dirigé par les
vecteurs non colinéaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$. À quelle
condition un point $M$ appartient-il à $\mathcal{P}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Il existe des réels $a$ et $b$ tels que
$\overrightarrow{AM} = a\vec{u} + b\vec{v}$}
        \item[B.] Il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AM} = k\vec{u}$
        \item[C.] $\overrightarrow{AM} \cdot \vec{u} = 0$
        \item[D.] $\overrightarrow{AM} = \vec{u} + \vec{v}$ exactement
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q13 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 13 \textemdash{} Relation de Chasles dans l'espace}
    Pour trois points $A$, $B$, $C$ de l'espace, que vaut
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$\overrightarrow{AC}$}
        \item[B.] $\overrightarrow{CA}$
        \item[C.] $\overrightarrow{BB}$
        \item[D.] $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q14 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 14 \textemdash{} Milieu d'un segment de l'espace}
    Soient $A(1\ ;\ 4\ ;\ -2)$ et $B(3\ ;\ 0\ ;\ 6)$. Quelles
sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$I(2\ ;\ 2\ ;\ 2)$}
        \item[B.] $I(4\ ;\ 4\ ;\ 4)$
        \item[C.] $I(1\ ;\ 2\ ;\ 4)$
        \item[D.] $I(2\ ;\ 2\ ;\ 4)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q15 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 15 \textemdash{} Colinéarité en coordonnées}
    Les vecteurs $\vec{u}(2\ ;\ -1\ ;\ 3)$ et
$\vec{v}(-4\ ;\ 2\ ;\ -6)$ sont-ils colinéaires ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Oui : $\vec{v} = -2\,\vec{u}$}
        \item[B.] Non : leurs coordonnées ne sont pas égales
        \item[C.] Non : ils ne sont pas de même sens
        \item[D.] On ne peut pas le savoir sans repère orthonormé
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q16 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 16 \textemdash{} Lire des coordonnées dans une base}
    Dans une base $(\vec{i}\ ;\ \vec{j}\ ;\ \vec{k})$ de
l'espace, on a $\vec{w} = 3\vec{i} - \vec{k}$. Quelles sont
les coordonnées de $\vec{w}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$(3\ ;\ 0\ ;\ -1)$}
        \item[B.] $(3\ ;\ -1)$
        \item[C.] $(3\ ;\ -1\ ;\ 0)$
        \item[D.] $(0\ ;\ 3\ ;\ -1)$
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q17 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 17 \textemdash{} Tester la coplanarité de trois vecteurs}
    Comment vérifier que $\vec{w}$ est coplanaire à $\vec{u}$ et
$\vec{v}$ (non colinéaires) ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{Chercher des réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w} =
a\vec{u} + b\vec{v}$ (système sur les coordonnées)}
        \item[B.] Vérifier que $\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}$ exactement
        \item[C.] Vérifier que les trois vecteurs ont une coordonnée nulle
commune
        \item[D.] C'est automatique : trois vecteurs de l'espace sont
toujours coplanaires
    \end{itemize}
\end{frame}

% Q18 - Réponse en A
\begin{frame}[fragile]{Question 18 \textemdash{} Construire un point par égalité vectorielle}
    Soient $A(1\ ;\ 0\ ;\ 2)$, $B(2\ ;\ 1\ ;\ 0)$ et
$C(0\ ;\ 3\ ;\ 1)$. Quelles sont les coordonnées du point
$M$ défini par $\overrightarrow{AM} = 2\overrightarrow{AB} -
\overrightarrow{AC}$ ?\medskip
    \begin{itemize}
        \item[\alert<2>{A.}] \alert<2>{$M(4\ ;\ -1\ ;\ -1)$}
        \item[B.] $M(3\ ;\ -1\ ;\ -3)$
        \item[C.] $M(4\ ;\ 2\ ;\ -2)$
        \item[D.] $M(2\ ;\ 2\ ;\ -4)$
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[standout]{}
    Fin de l'évaluation
\end{frame}

\end{document}
