{
  "chapter": {
    "id": "equations-premier-degre",
    "level": "college",
    "theme": "Nombres et calculs",
    "title": "Équations du premier degré",
    "description": "Résoudre une équation du premier degré, tester une solution,\nmettre un problème en équation, équations produit simples.",
    "parties": [
      {
        "id": "notion",
        "title": "Notion d'équation et vérification"
      },
      {
        "id": "resoudre",
        "title": "Résoudre pas à pas"
      },
      {
        "id": "produit",
        "title": "Équations produit et fractions"
      },
      {
        "id": "problemes",
        "title": "Mettre en équation"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "tester-solution"
      ],
      "title": "Ce que veut dire « être solution »",
      "partie": "notion",
      "statement": "Que signifie la phrase « $5$ est solution de l'équation $3x - 7 = 8$ » ?",
      "options": [
        {
          "text": "En remplaçant $x$ par $5$, les deux membres deviennent égaux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 5 - 7 = 8$, et le membre de droite vaut\naussi $8$. L'égalité est vraie, donc $5$ est bien solution."
        },
        {
          "text": "En remplaçant $x$ par $5$, le membre de gauche devient nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la recherche d'un zéro : ici le membre de gauche doit\nvaloir $8$, comme le membre de droite, et non $0$."
        },
        {
          "text": "Le calcul du membre de gauche donne exactement le nombre $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre $5$ est la valeur que l'on donne à $x$, pas le résultat du\ncalcul. Ce résultat vaut $8$."
        },
        {
          "text": "Le nombre $5$ figure dans l'écriture de l'un des deux membres",
          "correct": false,
          "feedback": "Être solution ne se lit pas dans l'écriture de l'équation : il faut\nremplacer l'inconnue, puis calculer."
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre est solution d'une équation lorsque, mis à la place de\nl'inconnue, il rend l'égalité vraie : les deux membres prennent alors\nla même valeur."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "tester-solution",
        "equation-affine"
      ],
      "title": "Reconnaître l'équation testée",
      "partie": "notion",
      "statement": "Le nombre $5$ est solution d'une seule de ces quatre équations.\nLaquelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3x + 4 = 19$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 5 + 4 = 19$, l'égalité est vraie."
        },
        {
          "text": "$3x + 4 = 22$",
          "correct": false,
          "feedback": "En remplaçant $x$ par $5$, le membre de gauche vaut $19$ et non\n$22$ : cette équation a une autre solution."
        },
        {
          "text": "$4x + 3 = 19$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux coefficients ont été échangés : $4 \\times 5 + 3$\nvaut $23$, ce qui ne convient pas."
        },
        {
          "text": "$3x - 4 = 19$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe du terme constant a changé : $3 \\times 5 - 4$ vaut\n$11$, ce qui ne convient pas."
        }
      ],
      "explanation": "Tester un nombre, c'est le mettre à la place de $x$ dans les deux\nmembres, puis vérifier que l'on obtient la même valeur de chaque côté.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le nombre $5$ est solution d'une seule de ces quatre équations.\nLaquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3x + 4 = 19$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 5 + 4 = 19$, l'égalité est vraie."
            },
            {
              "text": "$3x + 4 = 22$",
              "correct": false,
              "feedback": "En remplaçant $x$ par $5$, le membre de gauche vaut $19$ et non\n$22$ : cette équation a une autre solution."
            },
            {
              "text": "$4x + 3 = 19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été échangés : $4 \\times 5 + 3$\nvaut $23$, ce qui ne convient pas."
            },
            {
              "text": "$3x - 4 = 19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme constant a changé : $3 \\times 5 - 4$ vaut\n$11$, ce qui ne convient pas."
            }
          ],
          "explanation": "Tester un nombre, c'est le mettre à la place de $x$ dans les deux\nmembres, puis vérifier que l'on obtient la même valeur de chaque côté."
        },
        {
          "statement": "Le nombre $4$ est solution d'une seule de ces quatre équations.\nLaquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5x + 2 = 22$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 \\times 4 + 2 = 22$, l'égalité est vraie."
            },
            {
              "text": "$5x + 2 = 27$",
              "correct": false,
              "feedback": "En remplaçant $x$ par $4$, le membre de gauche vaut $22$ et non\n$27$ : cette équation a une autre solution."
            },
            {
              "text": "$2x + 5 = 22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été échangés : $2 \\times 4 + 5$\nvaut $13$, ce qui ne convient pas."
            },
            {
              "text": "$5x - 2 = 22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme constant a changé : $5 \\times 4 - 2$ vaut\n$18$, ce qui ne convient pas."
            }
          ],
          "explanation": "Tester un nombre, c'est le mettre à la place de $x$ dans les deux\nmembres, puis vérifier que l'on obtient la même valeur de chaque côté."
        },
        {
          "statement": "Le nombre $3$ est solution d'une seule de ces quatre équations.\nLaquelle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4x + 6 = 18$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4 \\times 3 + 6 = 18$, l'égalité est vraie."
            },
            {
              "text": "$4x + 6 = 22$",
              "correct": false,
              "feedback": "En remplaçant $x$ par $3$, le membre de gauche vaut $18$ et non\n$22$ : cette équation a une autre solution."
            },
            {
              "text": "$6x + 4 = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux coefficients ont été échangés : $6 \\times 3 + 4$\nvaut $22$, ce qui ne convient pas."
            },
            {
              "text": "$4x - 6 = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du terme constant a changé : $4 \\times 3 - 6$ vaut\n$6$, ce qui ne convient pas."
            }
          ],
          "explanation": "Tester un nombre, c'est le mettre à la place de $x$ dans les deux\nmembres, puis vérifier que l'on obtient la même valeur de chaque côté."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equation-simple",
        "signes"
      ],
      "title": "Équation du type $x + a = b$",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $x + 7 = 12$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on applique l'opération inverse aux deux membres.\nOn vérifie : $5 + 7 = 12$."
        },
        {
          "text": "$x = 19$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe a été conservé au lieu d'être changé de membre. On obtient\n$19$ au lieu de $5$."
        },
        {
          "text": "$x = -5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux membres ont été soustraits dans le mauvais ordre : la\nsolution est $5$, et non son opposé."
        },
        {
          "text": "$x = -19$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs de signe se sont ajoutées l'une à l'autre. La solution\nest $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour isoler $x$, on applique la même opération aux deux membres : le\nterme constant change de côté en changeant de signe.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $x + 7 = 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique l'opération inverse aux deux membres.\nOn vérifie : $5 + 7 = 12$."
            },
            {
              "text": "$x = 19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été conservé au lieu d'être changé de membre. On obtient\n$19$ au lieu de $5$."
            },
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux membres ont été soustraits dans le mauvais ordre : la\nsolution est $5$, et non son opposé."
            },
            {
              "text": "$x = -19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs de signe se sont ajoutées l'une à l'autre. La solution\nest $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour isoler $x$, on applique la même opération aux deux membres : le\nterme constant change de côté en changeant de signe."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $x - 4 = 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique l'opération inverse aux deux membres.\nOn vérifie : $13 - 4 = 9$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été conservé au lieu d'être changé de membre. On obtient\n$5$ au lieu de $13$."
            },
            {
              "text": "$x = -13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux membres ont été soustraits dans le mauvais ordre : la\nsolution est $13$, et non son opposé."
            },
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs de signe se sont ajoutées l'une à l'autre. La solution\nest $13$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour isoler $x$, on applique la même opération aux deux membres : le\nterme constant change de côté en changeant de signe."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $x + 15 = 8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on applique l'opération inverse aux deux membres.\nOn vérifie : $-7 + 15 = 8$."
            },
            {
              "text": "$x = 23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe a été conservé au lieu d'être changé de membre. On obtient\n$23$ au lieu de $-7$."
            },
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux membres ont été soustraits dans le mauvais ordre : la\nsolution est $-7$, et non son opposé."
            },
            {
              "text": "$x = -23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs de signe se sont ajoutées l'une à l'autre. La solution\nest $-7$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour isoler $x$, on applique la même opération aux deux membres : le\nterme constant change de côté en changeant de signe."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equation-simple"
      ],
      "title": "Équation du type $ax = b$",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x = 28$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $4x$ signifie $4 \\times x$, on divise donc les\ndeux membres par $4$, ce qui donne $x = 7$."
        },
        {
          "text": "$x = 24$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la division. Le nombre $4$ multiplie\n$x$ : son opération inverse est la division."
        },
        {
          "text": "$x = 32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une addition a remplacé la division. L'opération inverse de\n$\\times 4$ est $\\div 4$, ce qui donne $7$."
        },
        {
          "text": "$x = 112$",
          "correct": false,
          "feedback": "Multiplier par $4$ éloigne du résultat : c'est l'opération\ninverse, la division, qu'il faut appliquer."
        }
      ],
      "explanation": "Quand un nombre multiplie l'inconnue, on divise les deux membres par ce\nnombre pour isoler $x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x = 28$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4x$ signifie $4 \\times x$, on divise donc les\ndeux membres par $4$, ce qui donne $x = 7$."
            },
            {
              "text": "$x = 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division. Le nombre $4$ multiplie\n$x$ : son opération inverse est la division."
            },
            {
              "text": "$x = 32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une addition a remplacé la division. L'opération inverse de\n$\\times 4$ est $\\div 4$, ce qui donne $7$."
            },
            {
              "text": "$x = 112$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par $4$ éloigne du résultat : c'est l'opération\ninverse, la division, qu'il faut appliquer."
            }
          ],
          "explanation": "Quand un nombre multiplie l'inconnue, on divise les deux membres par ce\nnombre pour isoler $x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $6x = 54$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $6x$ signifie $6 \\times x$, on divise donc les\ndeux membres par $6$, ce qui donne $x = 9$."
            },
            {
              "text": "$x = 48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division. Le nombre $6$ multiplie\n$x$ : son opération inverse est la division."
            },
            {
              "text": "$x = 60$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une addition a remplacé la division. L'opération inverse de\n$\\times 6$ est $\\div 6$, ce qui donne $9$."
            },
            {
              "text": "$x = 324$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par $6$ éloigne du résultat : c'est l'opération\ninverse, la division, qu'il faut appliquer."
            }
          ],
          "explanation": "Quand un nombre multiplie l'inconnue, on divise les deux membres par ce\nnombre pour isoler $x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $7x = 42$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $7x$ signifie $7 \\times x$, on divise donc les\ndeux membres par $7$, ce qui donne $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$x = 35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division. Le nombre $7$ multiplie\n$x$ : son opération inverse est la division."
            },
            {
              "text": "$x = 49$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une addition a remplacé la division. L'opération inverse de\n$\\times 7$ est $\\div 7$, ce qui donne $6$."
            },
            {
              "text": "$x = 294$",
              "correct": false,
              "feedback": "Multiplier par $7$ éloigne du résultat : c'est l'opération\ninverse, la division, qu'il faut appliquer."
            }
          ],
          "explanation": "Quand un nombre multiplie l'inconnue, on divise les deux membres par ce\nnombre pour isoler $x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equation-affine",
        "transposition"
      ],
      "title": "Équation du type $ax + b = c$",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3x + 6 = 21$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on retranche $6$ aux deux membres, puis on divise\npar $3$, ce qui donne $x = 5$."
        },
        {
          "text": "$x = 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division par $3$ a été oubliée : on a bien\n$3x = 15$, mais il reste une étape."
        },
        {
          "text": "$x = 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $6$ a été ajouté au lieu d'être retranché : il change de\nsigne en changeant de membre."
        },
        {
          "text": "$x = -5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe à la fin : la division de $15$ par\n$3$ donne $5$."
        }
      ],
      "explanation": "On isole d'abord le terme en $x$ en retranchant le terme constant, puis\non divise les deux membres par le coefficient de $x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3x + 6 = 21$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on retranche $6$ aux deux membres, puis on divise\npar $3$, ce qui donne $x = 5$."
            },
            {
              "text": "$x = 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $3$ a été oubliée : on a bien\n$3x = 15$, mais il reste une étape."
            },
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $6$ a été ajouté au lieu d'être retranché : il change de\nsigne en changeant de membre."
            },
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe à la fin : la division de $15$ par\n$3$ donne $5$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole d'abord le terme en $x$ en retranchant le terme constant, puis\non divise les deux membres par le coefficient de $x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x + 8 = 32$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on retranche $8$ aux deux membres, puis on divise\npar $4$, ce qui donne $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$x = 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $4$ a été oubliée : on a bien\n$4x = 24$, mais il reste une étape."
            },
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $8$ a été ajouté au lieu d'être retranché : il change de\nsigne en changeant de membre."
            },
            {
              "text": "$x = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe à la fin : la division de $24$ par\n$4$ donne $6$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole d'abord le terme en $x$ en retranchant le terme constant, puis\non divise les deux membres par le coefficient de $x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5x + 10 = 45$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on retranche $10$ aux deux membres, puis on divise\npar $5$, ce qui donne $x = 7$."
            },
            {
              "text": "$x = 35$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $5$ a été oubliée : on a bien\n$5x = 35$, mais il reste une étape."
            },
            {
              "text": "$x = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $10$ a été ajouté au lieu d'être retranché : il change de\nsigne en changeant de membre."
            },
            {
              "text": "$x = -7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe à la fin : la division de $35$ par\n$5$ donne $7$."
            }
          ],
          "explanation": "On isole d'abord le terme en $x$ en retranchant le terme constant, puis\non divise les deux membres par le coefficient de $x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "equation-produit"
      ],
      "title": "Règle du produit nul",
      "partie": "notion",
      "statement": "Que dit la règle du produit nul, utilisée pour résoudre\n$(x - 3)(x + 5) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un produit est nul dès que l'un de ses facteurs est nul",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il suffit qu'un seul facteur s'annule. On résout\ndonc séparément $x - 3 = 0$ puis $x + 5 = 0$."
        },
        {
          "text": "Un produit est nul seulement si ses deux facteurs sont nuls",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : un seul facteur nul suffit. Avec $x = 3$, le\nsecond facteur vaut $8$ et le produit est pourtant nul."
        },
        {
          "text": "Un produit est nul lorsque la somme des facteurs est nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme des facteurs n'intervient pas. C'est bien la nullité de\nl'un des facteurs qui annule le produit."
        },
        {
          "text": "Un produit est nul quand les deux facteurs sont opposés",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux nombres opposés ont pour produit un nombre négatif, pas zéro :\npar exemple $2 \\times (-2) = -4$."
        }
      ],
      "explanation": "Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses\nfacteurs est nul. Chaque facteur donne alors une équation à résoudre."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equation-produit"
      ],
      "title": "Équation produit à deux facteurs",
      "partie": "produit",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 3)(x + 5) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$ et $-5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque facteur donne une équation, $x - 3 = 0$\npuis $x + 5 = 0$, d'où $3$ et $-5$."
        },
        {
          "text": "$-3$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les nombres ont été recopiés tels quels : en passant de l'autre côté\ndu signe égal, ils changent de signe."
        },
        {
          "text": "$3$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe n'a été changé que dans le premier facteur. Le second\ndonne $x = -5$."
        },
        {
          "text": "$3$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second facteur a été oublié : il fournit lui aussi une solution,\nà savoir $-5$."
        }
      ],
      "explanation": "Une équation produit se résout facteur par facteur : chaque facteur mis\nà zéro donne une équation simple, et chacune fournit une solution.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 3)(x + 5) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$ et $-5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque facteur donne une équation, $x - 3 = 0$\npuis $x + 5 = 0$, d'où $3$ et $-5$."
            },
            {
              "text": "$-3$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été recopiés tels quels : en passant de l'autre côté\ndu signe égal, ils changent de signe."
            },
            {
              "text": "$3$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe n'a été changé que dans le premier facteur. Le second\ndonne $x = -5$."
            },
            {
              "text": "$3$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second facteur a été oublié : il fournit lui aussi une solution,\nà savoir $-5$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation produit se résout facteur par facteur : chaque facteur mis\nà zéro donne une équation simple, et chacune fournit une solution."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x + 7)(x - 2) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-7$ et $2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque facteur donne une équation, $x + 7 = 0$\npuis $x - 2 = 0$, d'où $-7$ et $2$."
            },
            {
              "text": "$7$ et $-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été recopiés tels quels : en passant de l'autre côté\ndu signe égal, ils changent de signe."
            },
            {
              "text": "$-7$ et $-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe n'a été changé que dans le premier facteur. Le second\ndonne $x = 2$."
            },
            {
              "text": "$-7$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second facteur a été oublié : il fournit lui aussi une solution,\nà savoir $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation produit se résout facteur par facteur : chaque facteur mis\nà zéro donne une équation simple, et chacune fournit une solution."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(x - 4)(x - 6) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$ et $6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque facteur donne une équation, $x - 4 = 0$\npuis $x - 6 = 0$, d'où $4$ et $6$."
            },
            {
              "text": "$-4$ et $-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été recopiés tels quels : en passant de l'autre côté\ndu signe égal, ils changent de signe."
            },
            {
              "text": "$4$ et $-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe n'a été changé que dans le premier facteur. Le second\ndonne $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$4$ seulement",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second facteur a été oublié : il fournit lui aussi une solution,\nà savoir $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation produit se résout facteur par facteur : chaque facteur mis\nà zéro donne une équation simple, et chacune fournit une solution."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "mise-en-equation"
      ],
      "title": "Traduire une phrase par une équation",
      "partie": "problemes",
      "statement": "On note $x$ un nombre. Le double de $x$, augmenté de $7$, vaut\n$23$. Quelle équation traduit cette phrase ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2x + 7 = 23$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le double de $x$ s'écrit $2x$, et « augmenté de\n$7$ » ajoute $7$ à ce double."
        },
        {
          "text": "$2(x + 7) = 23$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ici c'est la somme $x + 7$ qui est doublée, alors que la phrase\ndouble $x$ seul avant d'ajouter $7$."
        },
        {
          "text": "$x + 7 = 2 \\times 23$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le doublement porte sur le nombre cherché, pas sur le résultat\nannoncé $23$."
        },
        {
          "text": "$7x + 2 = 23$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les rôles de $2$ et de $7$ ont été échangés : $2$ est le\nmultiplicateur, $7$ le nombre ajouté."
        }
      ],
      "explanation": "Mettre en équation, c'est traduire la phrase dans l'ordre : le double\nde $x$ donne $2x$, « augmenté de $7$ » donne $+ 7$, « vaut $23$ »\ndonne le signe égal.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On note $x$ un nombre. Le double de $x$, augmenté de $7$, vaut\n$23$. Quelle équation traduit cette phrase ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2x + 7 = 23$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le double de $x$ s'écrit $2x$, et « augmenté de\n$7$ » ajoute $7$ à ce double."
            },
            {
              "text": "$2(x + 7) = 23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ici c'est la somme $x + 7$ qui est doublée, alors que la phrase\ndouble $x$ seul avant d'ajouter $7$."
            },
            {
              "text": "$x + 7 = 2 \\times 23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le doublement porte sur le nombre cherché, pas sur le résultat\nannoncé $23$."
            },
            {
              "text": "$7x + 2 = 23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les rôles de $2$ et de $7$ ont été échangés : $2$ est le\nmultiplicateur, $7$ le nombre ajouté."
            }
          ],
          "explanation": "Mettre en équation, c'est traduire la phrase dans l'ordre : le double\nde $x$ donne $2x$, « augmenté de $7$ » donne $+ 7$, « vaut $23$ »\ndonne le signe égal."
        },
        {
          "statement": "On note $x$ un nombre. Le double de $x$, augmenté de $5$, vaut\n$31$. Quelle équation traduit cette phrase ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2x + 5 = 31$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le double de $x$ s'écrit $2x$, et « augmenté de\n$5$ » ajoute $5$ à ce double."
            },
            {
              "text": "$2(x + 5) = 31$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ici c'est la somme $x + 5$ qui est doublée, alors que la phrase\ndouble $x$ seul avant d'ajouter $5$."
            },
            {
              "text": "$x + 5 = 2 \\times 31$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le doublement porte sur le nombre cherché, pas sur le résultat\nannoncé $31$."
            },
            {
              "text": "$5x + 2 = 31$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les rôles de $2$ et de $5$ ont été échangés : $2$ est le\nmultiplicateur, $5$ le nombre ajouté."
            }
          ],
          "explanation": "Mettre en équation, c'est traduire la phrase dans l'ordre : le double\nde $x$ donne $2x$, « augmenté de $5$ » donne $+ 5$, « vaut $31$ »\ndonne le signe égal."
        },
        {
          "statement": "On note $x$ un nombre. Le double de $x$, augmenté de $9$, vaut\n$25$. Quelle équation traduit cette phrase ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2x + 9 = 25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le double de $x$ s'écrit $2x$, et « augmenté de\n$9$ » ajoute $9$ à ce double."
            },
            {
              "text": "$2(x + 9) = 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ici c'est la somme $x + 9$ qui est doublée, alors que la phrase\ndouble $x$ seul avant d'ajouter $9$."
            },
            {
              "text": "$x + 9 = 2 \\times 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le doublement porte sur le nombre cherché, pas sur le résultat\nannoncé $25$."
            },
            {
              "text": "$9x + 2 = 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les rôles de $2$ et de $9$ ont été échangés : $2$ est le\nmultiplicateur, $9$ le nombre ajouté."
            }
          ],
          "explanation": "Mettre en équation, c'est traduire la phrase dans l'ordre : le double\nde $x$ donne $2x$, « augmenté de $9$ » donne $+ 9$, « vaut $25$ »\ndonne le signe égal."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "transposition",
        "equation-simple"
      ],
      "title": "Reconnaître l'opération faite",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Pour passer de l'équation $x + 7 = 12$ à l'équation $x = 5$, quelle\nopération a-t-on faite ?",
      "options": [
        {
          "text": "On a retranché $7$ aux deux membres",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x + 7 - 7 = 12 - 7$, ce qui laisse $x = 5$."
        },
        {
          "text": "On a ajouté $7$ aux deux membres",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajouter $7$ donnerait $x + 14 = 19$ : c'est l'opération inverse\nqu'il faut appliquer."
        },
        {
          "text": "On a divisé les deux membres par $7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre $7$ est ajouté à $x$, il ne le multiplie pas : on le\nretranche, on ne divise pas."
        },
        {
          "text": "On a retranché $7$ au membre de gauche",
          "correct": false,
          "feedback": "Une opération faite d'un seul côté casse l'égalité : elle doit être\nfaite des deux côtés."
        }
      ],
      "explanation": "Une équation reste vraie si on applique la même opération à ses deux\nmembres. C'est ce qui permet d'isoler l'inconnue étape par étape."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "verification",
        "tester-solution"
      ],
      "title": "Vérifier une solution trouvée",
      "partie": "notion",
      "statement": "Après avoir résolu une équation, comment vérifier que la valeur trouvée\nest bien solution ?",
      "options": [
        {
          "text": "On la remplace dans l'équation de départ et on compare les membres",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : seule l'équation de départ permet de contrôler le\nrésultat, car c'est elle que l'on cherchait à résoudre."
        },
        {
          "text": "On la remplace dans la dernière ligne écrite et on compare les membres",
          "correct": false,
          "feedback": "La dernière ligne contient déjà le résultat : si une erreur a été\nfaite avant, elle ne sera pas repérée."
        },
        {
          "text": "On refait le calcul à l'envers en partant du résultat obtenu à la fin",
          "correct": false,
          "feedback": "Refaire les mêmes étapes en sens inverse reproduit l'éventuelle\nerreur : le contrôle n'est pas indépendant."
        },
        {
          "text": "On contrôle que la valeur trouvée est bien un nombre entier positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Une solution peut très bien être négative ou fractionnaire : sa\nforme ne prouve rien."
        }
      ],
      "explanation": "Vérifier, c'est calculer séparément les deux membres de l'équation de\ndépart avec la valeur trouvée, puis constater qu'ils sont égaux."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-membres",
        "transposition"
      ],
      "title": "Inconnue dans les deux membres",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5x + 3 = 2x + 21$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les $x$ à gauche et les nombres à\ndroite, ce qui donne $5x - 2x = 18$, puis\n$x = 6$."
        },
        {
          "text": "$x = 18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le regroupement des termes en $x$ a été fait, mais la division par\nleur coefficient a été oubliée."
        },
        {
          "text": "$x = 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $3$ a été ajouté au lieu d'être retranché : en changeant\nde membre, il change de signe."
        },
        {
          "text": "$x = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe au moment de regrouper : la solution est $6$,\net non son opposé."
        }
      ],
      "explanation": "Quand l'inconnue figure des deux côtés, on rassemble les termes en $x$\ndans un membre et les nombres dans l'autre, puis on divise.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5x + 3 = 2x + 21$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les $x$ à gauche et les nombres à\ndroite, ce qui donne $5x - 2x = 18$, puis\n$x = 6$."
            },
            {
              "text": "$x = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le regroupement des termes en $x$ a été fait, mais la division par\nleur coefficient a été oubliée."
            },
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $3$ a été ajouté au lieu d'être retranché : en changeant\nde membre, il change de signe."
            },
            {
              "text": "$x = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe au moment de regrouper : la solution est $6$,\net non son opposé."
            }
          ],
          "explanation": "Quand l'inconnue figure des deux côtés, on rassemble les termes en $x$\ndans un membre et les nombres dans l'autre, puis on divise."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $8x + 5 = 3x + 25$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les $x$ à gauche et les nombres à\ndroite, ce qui donne $8x - 3x = 20$, puis\n$x = 4$."
            },
            {
              "text": "$x = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le regroupement des termes en $x$ a été fait, mais la division par\nleur coefficient a été oubliée."
            },
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $5$ a été ajouté au lieu d'être retranché : en changeant\nde membre, il change de signe."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe au moment de regrouper : la solution est $4$,\net non son opposé."
            }
          ],
          "explanation": "Quand l'inconnue figure des deux côtés, on rassemble les termes en $x$\ndans un membre et les nombres dans l'autre, puis on divise."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $9x + 2 = 5x + 30$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe les $x$ à gauche et les nombres à\ndroite, ce qui donne $9x - 5x = 28$, puis\n$x = 7$."
            },
            {
              "text": "$x = 28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le regroupement des termes en $x$ a été fait, mais la division par\nleur coefficient a été oubliée."
            },
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $2$ a été ajouté au lieu d'être retranché : en changeant\nde membre, il change de signe."
            },
            {
              "text": "$x = -7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe au moment de regrouper : la solution est $7$,\net non son opposé."
            }
          ],
          "explanation": "Quand l'inconnue figure des deux côtés, on rassemble les termes en $x$\ndans un membre et les nombres dans l'autre, puis on divise."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "parentheses",
        "equation-affine"
      ],
      "title": "Équation avec une parenthèse",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3(x + 4) = 27$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on divise d'abord par $3$, ce qui donne\n$x + 4 = 9$, puis on isole $x$."
        },
        {
          "text": "$x = 13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $4$ a gardé son signe au lieu d'en changer au moment de\nquitter la parenthèse."
        },
        {
          "text": "$x = 15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $3x = 15$ après\ndéveloppement : il reste à diviser par $3$."
        },
        {
          "text": "$x = -5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe à la dernière étape : la solution est $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Devant une parenthèse multipliée par un nombre, deux chemins sont\npossibles : diviser d'abord par ce nombre, ou développer. Les deux\nconduisent à la même solution.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3(x + 4) = 27$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise d'abord par $3$, ce qui donne\n$x + 4 = 9$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $4$ a gardé son signe au lieu d'en changer au moment de\nquitter la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$x = 15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $3x = 15$ après\ndéveloppement : il reste à diviser par $3$."
            },
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe à la dernière étape : la solution est $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant une parenthèse multipliée par un nombre, deux chemins sont\npossibles : diviser d'abord par ce nombre, ou développer. Les deux\nconduisent à la même solution."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5(x - 2) = 35$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise d'abord par $5$, ce qui donne\n$x - 2 = 7$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $-2$ a gardé son signe au lieu d'en changer au moment de\nquitter la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$x = 45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $5x = 45$ après\ndéveloppement : il reste à diviser par $5$."
            },
            {
              "text": "$x = -9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe à la dernière étape : la solution est $9$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant une parenthèse multipliée par un nombre, deux chemins sont\npossibles : diviser d'abord par ce nombre, ou développer. Les deux\nconduisent à la même solution."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4(x + 6) = 32$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise d'abord par $4$, ce qui donne\n$x + 6 = 8$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $6$ a gardé son signe au lieu d'en changer au moment de\nquitter la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $4x = 8$ après\ndéveloppement : il reste à diviser par $4$."
            },
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe à la dernière étape : la solution est $2$."
            }
          ],
          "explanation": "Devant une parenthèse multipliée par un nombre, deux chemins sont\npossibles : diviser d'abord par ce nombre, ou développer. Les deux\nconduisent à la même solution."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-produit",
        "parentheses"
      ],
      "title": "Équation produit avec un coefficient",
      "partie": "produit",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(2x - 6)(x + 5) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$ et $-5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2x - 6 = 0$ donne $x = 3$, et\n$x + 5 = 0$ donne $x = -5$."
        },
        {
          "text": "$-6$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les nombres ont été recopiés sans résoudre : chaque facteur demande\nun vrai calcul."
        },
        {
          "text": "$6$ et $-5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dans le premier facteur, la division par $2$ a été oubliée :\n$2x = 6$ donne $x = 3$."
        },
        {
          "text": "$3$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe n'a pas été changé dans le second facteur : il donne\n$x = -5$."
        }
      ],
      "explanation": "Chaque facteur d'une équation produit se traite comme une équation du\npremier degré à part entière, coefficient compris.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(2x - 6)(x + 5) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$ et $-5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2x - 6 = 0$ donne $x = 3$, et\n$x + 5 = 0$ donne $x = -5$."
            },
            {
              "text": "$-6$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été recopiés sans résoudre : chaque facteur demande\nun vrai calcul."
            },
            {
              "text": "$6$ et $-5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans le premier facteur, la division par $2$ a été oubliée :\n$2x = 6$ donne $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$3$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe n'a pas été changé dans le second facteur : il donne\n$x = -5$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque facteur d'une équation produit se traite comme une équation du\npremier degré à part entière, coefficient compris."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(3x + 12)(x - 2) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$ et $2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3x + 12 = 0$ donne $x = -4$, et\n$x - 2 = 0$ donne $x = 2$."
            },
            {
              "text": "$12$ et $-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été recopiés sans résoudre : chaque facteur demande\nun vrai calcul."
            },
            {
              "text": "$-12$ et $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans le premier facteur, la division par $3$ a été oubliée :\n$3x = -12$ donne $x = -4$."
            },
            {
              "text": "$-4$ et $-2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe n'a pas été changé dans le second facteur : il donne\n$x = 2$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque facteur d'une équation produit se traite comme une équation du\npremier degré à part entière, coefficient compris."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$(4x - 20)(x + 7) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ et $-7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4x - 20 = 0$ donne $x = 5$, et\n$x + 7 = 0$ donne $x = -7$."
            },
            {
              "text": "$-20$ et $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les nombres ont été recopiés sans résoudre : chaque facteur demande\nun vrai calcul."
            },
            {
              "text": "$20$ et $-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Dans le premier facteur, la division par $4$ a été oubliée :\n$4x = 20$ donne $x = 5$."
            },
            {
              "text": "$5$ et $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe n'a pas été changé dans le second facteur : il donne\n$x = -7$."
            }
          ],
          "explanation": "Chaque facteur d'une équation produit se traite comme une équation du\npremier degré à part entière, coefficient compris."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "fractions",
        "equation-simple"
      ],
      "title": "Inconnue au numérateur",
      "partie": "produit",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\dfrac{x}{4} = 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 28$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x$ est divisé par $4$, on multiplie donc les deux\nmembres par $4$, ce qui donne $x = 28$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{7}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite une seconde fois au lieu d'être annulée par\nune multiplication."
        },
        {
          "text": "$x = 11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une addition a remplacé la multiplication : l'opération inverse de\n$\\div 4$ est $\\times 4$."
        },
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la multiplication, alors que $4$\ndivise $x$ et ne lui est pas ajouté."
        }
      ],
      "explanation": "Quand l'inconnue est divisée par un nombre, on multiplie les deux\nmembres par ce nombre pour l'isoler.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\dfrac{x}{4} = 7$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 28$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x$ est divisé par $4$, on multiplie donc les deux\nmembres par $4$, ce qui donne $x = 28$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite une seconde fois au lieu d'être annulée par\nune multiplication."
            },
            {
              "text": "$x = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une addition a remplacé la multiplication : l'opération inverse de\n$\\div 4$ est $\\times 4$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la multiplication, alors que $4$\ndivise $x$ et ne lui est pas ajouté."
            }
          ],
          "explanation": "Quand l'inconnue est divisée par un nombre, on multiplie les deux\nmembres par ce nombre pour l'isoler."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\dfrac{x}{5} = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x$ est divisé par $5$, on multiplie donc les deux\nmembres par $5$, ce qui donne $x = 30$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{6}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite une seconde fois au lieu d'être annulée par\nune multiplication."
            },
            {
              "text": "$x = 11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une addition a remplacé la multiplication : l'opération inverse de\n$\\div 5$ est $\\times 5$."
            },
            {
              "text": "$x = 1$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la multiplication, alors que $5$\ndivise $x$ et ne lui est pas ajouté."
            }
          ],
          "explanation": "Quand l'inconnue est divisée par un nombre, on multiplie les deux\nmembres par ce nombre pour l'isoler."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $\\dfrac{x}{3} = 9$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 27$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x$ est divisé par $3$, on multiplie donc les deux\nmembres par $3$, ce qui donne $x = 27$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite une seconde fois au lieu d'être annulée par\nune multiplication."
            },
            {
              "text": "$x = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une addition a remplacé la multiplication : l'opération inverse de\n$\\div 3$ est $\\times 3$."
            },
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la multiplication, alors que $3$\ndivise $x$ et ne lui est pas ajouté."
            }
          ],
          "explanation": "Quand l'inconnue est divisée par un nombre, on multiplie les deux\nmembres par ce nombre pour l'isoler."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "fractions",
        "transposition"
      ],
      "title": "Quotient égal à un nombre",
      "partie": "produit",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\dfrac{x + 3}{4} = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 17$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les deux membres par $4$, d'où\n$x + 3 = 20$, puis $x = 17$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "La multiplication par $4$ a été oubliée : tout le numérateur est\ndivisé par $4$, pas seulement une partie."
        },
        {
          "text": "$x = 23$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $3$ a gardé son signe alors qu'il change de membre : on\nobtient $17$."
        },
        {
          "text": "$x = -17$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe finale : le résultat correct est $17$."
        }
      ],
      "explanation": "La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : on multiplie\nd'abord les deux membres par le dénominateur, puis on isole $x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\dfrac{x + 3}{4} = 5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 17$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les deux membres par $4$, d'où\n$x + 3 = 20$, puis $x = 17$."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $4$ a été oubliée : tout le numérateur est\ndivisé par $4$, pas seulement une partie."
            },
            {
              "text": "$x = 23$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $3$ a gardé son signe alors qu'il change de membre : on\nobtient $17$."
            },
            {
              "text": "$x = -17$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe finale : le résultat correct est $17$."
            }
          ],
          "explanation": "La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : on multiplie\nd'abord les deux membres par le dénominateur, puis on isole $x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\dfrac{x - 2}{5} = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 22$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les deux membres par $5$, d'où\n$x - 2 = 20$, puis $x = 22$."
            },
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $5$ a été oubliée : tout le numérateur est\ndivisé par $5$, pas seulement une partie."
            },
            {
              "text": "$x = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $-2$ a gardé son signe alors qu'il change de membre : on\nobtient $22$."
            },
            {
              "text": "$x = -22$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe finale : le résultat correct est $22$."
            }
          ],
          "explanation": "La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : on multiplie\nd'abord les deux membres par le dénominateur, puis on isole $x$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\dfrac{x + 7}{3} = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie les deux membres par $3$, d'où\n$x + 7 = 18$, puis $x = 11$."
            },
            {
              "text": "$x = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $3$ a été oubliée : tout le numérateur est\ndivisé par $3$, pas seulement une partie."
            },
            {
              "text": "$x = 25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $7$ a gardé son signe alors qu'il change de membre : on\nobtient $11$."
            },
            {
              "text": "$x = -11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe finale : le résultat correct est $11$."
            }
          ],
          "explanation": "La barre de fraction joue le rôle d'une parenthèse : on multiplie\nd'abord les deux membres par le dénominateur, puis on isole $x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "mise-en-equation",
        "equation-simple"
      ],
      "title": "Côté d'un carré",
      "partie": "problemes",
      "statement": "Le périmètre d'un carré est de $36$ cm. Quelle est la longueur de son\ncôté, en centimètres ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en notant $x$ le côté, $4x = 36$, donc\n$x = 9$."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le périmètre a été partagé en deux au lieu de quatre : un carré a\nquatre côtés de même longueur."
        },
        {
          "text": "$32$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la division : les quatre côtés\nmultiplient la longueur cherchée."
        },
        {
          "text": "$144$",
          "correct": false,
          "feedback": "La multiplication éloigne du résultat : c'est la division par $4$\nqui isole le côté."
        }
      ],
      "explanation": "Le périmètre d'un carré de côté $x$ vaut $4x$. L'équation $4x = 36$ se\nrésout en divisant par $4$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le périmètre d'un carré est de $36$ cm. Quelle est la longueur de son\ncôté, en centimètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en notant $x$ le côté, $4x = 36$, donc\n$x = 9$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre a été partagé en deux au lieu de quatre : un carré a\nquatre côtés de même longueur."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division : les quatre côtés\nmultiplient la longueur cherchée."
            },
            {
              "text": "$144$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication éloigne du résultat : c'est la division par $4$\nqui isole le côté."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un carré de côté $x$ vaut $4x$. L'équation $4x = 36$ se\nrésout en divisant par $4$."
        },
        {
          "statement": "Le périmètre d'un carré est de $52$ cm. Quelle est la longueur de son\ncôté, en centimètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en notant $x$ le côté, $4x = 52$, donc\n$x = 13$."
            },
            {
              "text": "$26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre a été partagé en deux au lieu de quatre : un carré a\nquatre côtés de même longueur."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division : les quatre côtés\nmultiplient la longueur cherchée."
            },
            {
              "text": "$208$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication éloigne du résultat : c'est la division par $4$\nqui isole le côté."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un carré de côté $x$ vaut $4x$. L'équation $4x = 52$ se\nrésout en divisant par $4$."
        },
        {
          "statement": "Le périmètre d'un carré est de $28$ cm. Quelle est la longueur de son\ncôté, en centimètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en notant $x$ le côté, $4x = 28$, donc\n$x = 7$."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre a été partagé en deux au lieu de quatre : un carré a\nquatre côtés de même longueur."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division : les quatre côtés\nmultiplient la longueur cherchée."
            },
            {
              "text": "$112$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication éloigne du résultat : c'est la division par $4$\nqui isole le côté."
            }
          ],
          "explanation": "Le périmètre d'un carré de côté $x$ vaut $4x$. L'équation $4x = 28$ se\nrésout en divisant par $4$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "mise-en-equation",
        "equation-affine"
      ],
      "title": "Retrouver un nombre",
      "partie": "problemes",
      "statement": "On multiplie un nombre par $6$, puis on retire $3$ au résultat : on\nobtient $45$. Quel est ce nombre ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $6x - 3 = 45$, donc\n$6x = 48$ et $x = 8$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre $3$ a été retranché une seconde fois au lieu d'être\najouté pour revenir en arrière."
        },
        {
          "text": "$48$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $6x = 48$ : il reste à\ndiviser par $6$."
        },
        {
          "text": "$-8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le nombre cherché est positif et vaut $8$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour remonter à un nombre de départ, on défait les opérations dans\nl'ordre inverse : on annule d'abord la soustraction, puis la\nmultiplication.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On multiplie un nombre par $6$, puis on retire $3$ au résultat : on\nobtient $45$. Quel est ce nombre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $6x - 3 = 45$, donc\n$6x = 48$ et $x = 8$."
            },
            {
              "text": "$7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $3$ a été retranché une seconde fois au lieu d'être\najouté pour revenir en arrière."
            },
            {
              "text": "$48$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $6x = 48$ : il reste à\ndiviser par $6$."
            },
            {
              "text": "$-8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le nombre cherché est positif et vaut $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour remonter à un nombre de départ, on défait les opérations dans\nl'ordre inverse : on annule d'abord la soustraction, puis la\nmultiplication."
        },
        {
          "statement": "On multiplie un nombre par $4$, puis on retire $8$ au résultat : on\nobtient $32$. Quel est ce nombre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $4x - 8 = 32$, donc\n$4x = 40$ et $x = 10$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $8$ a été retranché une seconde fois au lieu d'être\najouté pour revenir en arrière."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $4x = 40$ : il reste à\ndiviser par $4$."
            },
            {
              "text": "$-10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le nombre cherché est positif et vaut $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour remonter à un nombre de départ, on défait les opérations dans\nl'ordre inverse : on annule d'abord la soustraction, puis la\nmultiplication."
        },
        {
          "statement": "On multiplie un nombre par $7$, puis on retire $7$ au résultat : on\nobtient $35$. Quel est ce nombre ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $7x - 7 = 35$, donc\n$7x = 42$ et $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $7$ a été retranché une seconde fois au lieu d'être\najouté pour revenir en arrière."
            },
            {
              "text": "$42$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $7x = 42$ : il reste à\ndiviser par $7$."
            },
            {
              "text": "$-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe : le nombre cherché est positif et vaut $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Pour remonter à un nombre de départ, on défait les opérations dans\nl'ordre inverse : on annule d'abord la soustraction, puis la\nmultiplication."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signes",
        "equation-affine"
      ],
      "title": "Inconnue précédée d'un signe moins",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $20 - 3x = 8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on isole $3x$, ce qui donne\n$3x = 12$, puis on divise par $3$."
        },
        {
          "text": "$x = -4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins devant $3x$ a été mal géré : le résultat correct\nest $4$."
        },
        {
          "text": "$x = 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division par $3$ a été oubliée après avoir isolé le terme en\n$x$."
        },
        {
          "text": "$x = 28$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre $8$ a été ajouté au lieu d'être retranché lors du\nchangement de membre."
        }
      ],
      "explanation": "Lorsque l'inconnue est précédée d'un signe moins, on commence par\nisoler le terme en $x$ du côté où il est positif, puis on divise.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $20 - 3x = 8$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole $3x$, ce qui donne\n$3x = 12$, puis on divise par $3$."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins devant $3x$ a été mal géré : le résultat correct\nest $4$."
            },
            {
              "text": "$x = 12$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $3$ a été oubliée après avoir isolé le terme en\n$x$."
            },
            {
              "text": "$x = 28$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $8$ a été ajouté au lieu d'être retranché lors du\nchangement de membre."
            }
          ],
          "explanation": "Lorsque l'inconnue est précédée d'un signe moins, on commence par\nisoler le terme en $x$ du côté où il est positif, puis on divise."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $14 - 4x = 30$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole $4x$, ce qui donne\n$4x = -16$, puis on divise par $4$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins devant $4x$ a été mal géré : le résultat correct\nest $-4$."
            },
            {
              "text": "$x = -16$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $4$ a été oubliée après avoir isolé le terme en\n$x$."
            },
            {
              "text": "$x = 44$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $30$ a été ajouté au lieu d'être retranché lors du\nchangement de membre."
            }
          ],
          "explanation": "Lorsque l'inconnue est précédée d'un signe moins, on commence par\nisoler le terme en $x$ du côté où il est positif, puis on divise."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $9 - 2x = -5$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on isole $2x$, ce qui donne\n$2x = 14$, puis on divise par $2$."
            },
            {
              "text": "$x = -7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins devant $2x$ a été mal géré : le résultat correct\nest $7$."
            },
            {
              "text": "$x = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division par $2$ a été oubliée après avoir isolé le terme en\n$x$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $-5$ a été ajouté au lieu d'être retranché lors du\nchangement de membre."
            }
          ],
          "explanation": "Lorsque l'inconnue est précédée d'un signe moins, on commence par\nisoler le terme en $x$ du côté où il est positif, puis on divise."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "fractions",
        "equation-simple"
      ],
      "title": "Solution sous forme de fraction",
      "partie": "produit",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x = 10$ ? On donnera une\nfraction simplifiée.",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\dfrac{5}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $x = \\dfrac{10}{4}$, fraction que l'on simplifie\npour obtenir $\\dfrac{5}{2}$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le\nsecond membre par le coefficient, pas l'inverse."
        },
        {
          "text": "$x = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la division. Une solution n'a aucune\nobligation d'être entière."
        },
        {
          "text": "$x = 40$",
          "correct": false,
          "feedback": "La multiplication a remplacé la division : le coefficient $4$\ns'annule en divisant."
        }
      ],
      "explanation": "Une équation du premier degré n'a pas toujours une solution entière :\non écrit alors le quotient sous forme de fraction simplifiée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x = 10$ ? On donnera une\nfraction simplifiée.",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x = \\dfrac{10}{4}$, fraction que l'on simplifie\npour obtenir $\\dfrac{5}{2}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le\nsecond membre par le coefficient, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division. Une solution n'a aucune\nobligation d'être entière."
            },
            {
              "text": "$x = 40$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication a remplacé la division : le coefficient $4$\ns'annule en divisant."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation du premier degré n'a pas toujours une solution entière :\non écrit alors le quotient sous forme de fraction simplifiée."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $6x = 9$ ? On donnera une\nfraction simplifiée.",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{3}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x = \\dfrac{9}{6}$, fraction que l'on simplifie\npour obtenir $\\dfrac{3}{2}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le\nsecond membre par le coefficient, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division. Une solution n'a aucune\nobligation d'être entière."
            },
            {
              "text": "$x = 54$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication a remplacé la division : le coefficient $6$\ns'annule en divisant."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation du premier degré n'a pas toujours une solution entière :\non écrit alors le quotient sous forme de fraction simplifiée."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $10x = 4$ ? On donnera une\nfraction simplifiée.",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{2}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $x = \\dfrac{4}{10}$, fraction que l'on simplifie\npour obtenir $\\dfrac{2}{5}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le\nsecond membre par le coefficient, pas l'inverse."
            },
            {
              "text": "$x = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division. Une solution n'a aucune\nobligation d'être entière."
            },
            {
              "text": "$x = 40$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication a remplacé la division : le coefficient $10$\ns'annule en divisant."
            }
          ],
          "explanation": "Une équation du premier degré n'a pas toujours une solution entière :\non écrit alors le quotient sous forme de fraction simplifiée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-membres",
        "signes"
      ],
      "title": "Termes en $x$ de part et d'autre",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3x + 2 = 32 - 2x$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le terme $-2x$ devient $+2x$ à gauche, d'où\n$5x = 30$ et $x = 6$."
        },
        {
          "text": "$x = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $-2x$ n'a pas été regroupé avec $3x$ : le coefficient\nde $x$ vaut $5$."
        },
        {
          "text": "$x = 30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le regroupement est juste, mais la division par $5$ a été\noubliée."
        },
        {
          "text": "$x = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe lors du passage de $-2x$ dans l'autre membre : la\nsolution est $6$."
        }
      ],
      "explanation": "Un terme en $x$ change de signe quand il change de membre. On additionne\nensuite les coefficients avant de diviser.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3x + 2 = 32 - 2x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le terme $-2x$ devient $+2x$ à gauche, d'où\n$5x = 30$ et $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $-2x$ n'a pas été regroupé avec $3x$ : le coefficient\nde $x$ vaut $5$."
            },
            {
              "text": "$x = 30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le regroupement est juste, mais la division par $5$ a été\noubliée."
            },
            {
              "text": "$x = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du passage de $-2x$ dans l'autre membre : la\nsolution est $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Un terme en $x$ change de signe quand il change de membre. On additionne\nensuite les coefficients avant de diviser."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x + 5 = 61 - 3x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le terme $-3x$ devient $+3x$ à gauche, d'où\n$7x = 56$ et $x = 8$."
            },
            {
              "text": "$x = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $-3x$ n'a pas été regroupé avec $4x$ : le coefficient\nde $x$ vaut $7$."
            },
            {
              "text": "$x = 56$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le regroupement est juste, mais la division par $7$ a été\noubliée."
            },
            {
              "text": "$x = -8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du passage de $-3x$ dans l'autre membre : la\nsolution est $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Un terme en $x$ change de signe quand il change de membre. On additionne\nensuite les coefficients avant de diviser."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5x - 1 = 69 - 2x$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le terme $-2x$ devient $+2x$ à gauche, d'où\n$7x = 70$ et $x = 10$."
            },
            {
              "text": "$x = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $-2x$ n'a pas été regroupé avec $5x$ : le coefficient\nde $x$ vaut $7$."
            },
            {
              "text": "$x = 70$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le regroupement est juste, mais la division par $7$ a été\noubliée."
            },
            {
              "text": "$x = -10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du passage de $-2x$ dans l'autre membre : la\nsolution est $10$."
            }
          ],
          "explanation": "Un terme en $x$ change de signe quand il change de membre. On additionne\nensuite les coefficients avant de diviser."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-produit"
      ],
      "title": "Facteur réduit à $x$",
      "partie": "produit",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x(x + 5) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$ et $-5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le premier facteur est $x$ lui-même, qui s'annule\nen $0$ ; le second donne $x = -5$."
        },
        {
          "text": "$0$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe du second facteur n'a pas été changé : $x + 5 = 0$\ndonne $x = -5$."
        },
        {
          "text": "$-5$ uniquement",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur $x$ a été oublié : il fournit pourtant la solution $0$."
        },
        {
          "text": "$0$ uniquement",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second facteur a été oublié : il fournit la solution $-5$."
        }
      ],
      "explanation": "Le facteur $x$ compte comme les autres : il donne l'équation $x = 0$,\ndonc la solution $0$, souvent oubliée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x(x + 5) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0$ et $-5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier facteur est $x$ lui-même, qui s'annule\nen $0$ ; le second donne $x = -5$."
            },
            {
              "text": "$0$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du second facteur n'a pas été changé : $x + 5 = 0$\ndonne $x = -5$."
            },
            {
              "text": "$-5$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $x$ a été oublié : il fournit pourtant la solution $0$."
            },
            {
              "text": "$0$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second facteur a été oublié : il fournit la solution $-5$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur $x$ compte comme les autres : il donne l'équation $x = 0$,\ndonc la solution $0$, souvent oubliée."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x(x - 3) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0$ et $3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier facteur est $x$ lui-même, qui s'annule\nen $0$ ; le second donne $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$0$ et $-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du second facteur n'a pas été changé : $x - 3 = 0$\ndonne $x = 3$."
            },
            {
              "text": "$3$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $x$ a été oublié : il fournit pourtant la solution $0$."
            },
            {
              "text": "$0$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second facteur a été oublié : il fournit la solution $3$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur $x$ compte comme les autres : il donne l'équation $x = 0$,\ndonc la solution $0$, souvent oubliée."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $x(x + 8) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0$ et $-8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le premier facteur est $x$ lui-même, qui s'annule\nen $0$ ; le second donne $x = -8$."
            },
            {
              "text": "$0$ et $8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe du second facteur n'a pas été changé : $x + 8 = 0$\ndonne $x = -8$."
            },
            {
              "text": "$-8$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur $x$ a été oublié : il fournit pourtant la solution $0$."
            },
            {
              "text": "$0$ uniquement",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second facteur a été oublié : il fournit la solution $-8$."
            }
          ],
          "explanation": "Le facteur $x$ compte comme les autres : il donne l'équation $x = 0$,\ndonc la solution $0$, souvent oubliée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "verification"
      ],
      "title": "Équations équivalentes",
      "partie": "notion",
      "statement": "Les équations $3x + 5 = 20$ et $3x = 15$ sont équivalentes.\nQu'est-ce que cela veut dire ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles ont exactement les mêmes solutions",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : toutes deux ont pour unique solution $5$. Résoudre,\nc'est enchaîner des équations équivalentes de plus en plus simples."
        },
        {
          "text": "Elles s'écrivent avec exactement les mêmes nombres",
          "correct": false,
          "feedback": "L'écriture ne dit rien : $20$ a disparu et $15$ est apparu, alors\nque les deux équations restent équivalentes."
        },
        {
          "text": "On passe de l'une à l'autre en multipliant par $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "On est passé de l'une à l'autre en retranchant $5$ aux deux\nmembres, et non par une multiplication."
        },
        {
          "text": "Chacune des deux admet une solution entière",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux équations peuvent avoir chacune une solution entière sans avoir\nla même : c'est l'égalité des solutions qui compte."
        }
      ],
      "explanation": "Deux équations sont équivalentes quand elles ont exactement le même\nensemble de solutions. Les opérations faites sur les deux membres\nconservent cette équivalence."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signes",
        "equation-simple"
      ],
      "title": "Coefficient négatif",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $-3x = 12$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = -4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on divise les deux membres par $-3$, ce qui donne\n$x = -4$."
        },
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins du coefficient a été oublié : diviser par $-3$\nchange le signe du résultat."
        },
        {
          "text": "$x = 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la division par le coefficient de $x$."
        },
        {
          "text": "$x = -36$",
          "correct": false,
          "feedback": "La multiplication a remplacé la division : c'est bien $-3$ qui\ndivise le second membre."
        }
      ],
      "explanation": "Diviser les deux membres par un nombre négatif change le signe du\nrésultat. On peut aussi multiplier d'abord l'équation par $-1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $-3x = 12$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise les deux membres par $-3$, ce qui donne\n$x = -4$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins du coefficient a été oublié : diviser par $-3$\nchange le signe du résultat."
            },
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division par le coefficient de $x$."
            },
            {
              "text": "$x = -36$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication a remplacé la division : c'est bien $-3$ qui\ndivise le second membre."
            }
          ],
          "explanation": "Diviser les deux membres par un nombre négatif change le signe du\nrésultat. On peut aussi multiplier d'abord l'équation par $-1$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $-5x = -20$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise les deux membres par $-5$, ce qui donne\n$x = 4$."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins du coefficient a été oublié : diviser par $-5$\nchange le signe du résultat."
            },
            {
              "text": "$x = -25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division par le coefficient de $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 100$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication a remplacé la division : c'est bien $-5$ qui\ndivise le second membre."
            }
          ],
          "explanation": "Diviser les deux membres par un nombre négatif change le signe du\nrésultat. On peut aussi multiplier d'abord l'équation par $-1$."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $-4x = 28$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on divise les deux membres par $-4$, ce qui donne\n$x = -7$."
            },
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins du coefficient a été oublié : diviser par $-4$\nchange le signe du résultat."
            },
            {
              "text": "$x = 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division par le coefficient de $x$."
            },
            {
              "text": "$x = -112$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication a remplacé la division : c'est bien $-4$ qui\ndivise le second membre."
            }
          ],
          "explanation": "Diviser les deux membres par un nombre négatif change le signe du\nrésultat. On peut aussi multiplier d'abord l'équation par $-1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "mise-en-equation",
        "deux-membres"
      ],
      "title": "Deux tarifs égaux",
      "partie": "problemes",
      "statement": "Un abonnement coûte $40$ € à l'inscription, puis $5$ € par mois. Un\nautre coûte $9$ € par mois, sans frais d'inscription. Au bout de\ncombien de mois aura-t-on payé la même somme ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $40 + 5x = 9x$, donc\n$4x = 40$ et $x = 10$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'écart entre les deux prix mensuels, pas le nombre de mois\ncherché."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le second tarif a été ignoré : c'est la différence des prix\nmensuels qui rattrape les frais d'inscription."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le résultat a été doublé : l'équation donne directement $10$\nmois."
        }
      ],
      "explanation": "Deux tarifs sont égaux lorsque leurs expressions le sont : on écrit une\néquation entre les deux, puis on regroupe les termes en $x$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un abonnement coûte $40$ € à l'inscription, puis $5$ € par mois. Un\nautre coûte $9$ € par mois, sans frais d'inscription. Au bout de\ncombien de mois aura-t-on payé la même somme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $40 + 5x = 9x$, donc\n$4x = 40$ et $x = 10$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux prix mensuels, pas le nombre de mois\ncherché."
            },
            {
              "text": "$8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second tarif a été ignoré : c'est la différence des prix\nmensuels qui rattrape les frais d'inscription."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le résultat a été doublé : l'équation donne directement $10$\nmois."
            }
          ],
          "explanation": "Deux tarifs sont égaux lorsque leurs expressions le sont : on écrit une\néquation entre les deux, puis on regroupe les termes en $x$."
        },
        {
          "statement": "Un abonnement coûte $72$ € à l'inscription, puis $8$ € par mois. Un\nautre coûte $14$ € par mois, sans frais d'inscription. Au bout de\ncombien de mois aura-t-on payé la même somme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $72 + 8x = 14x$, donc\n$6x = 72$ et $x = 12$."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux prix mensuels, pas le nombre de mois\ncherché."
            },
            {
              "text": "$9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second tarif a été ignoré : c'est la différence des prix\nmensuels qui rattrape les frais d'inscription."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le résultat a été doublé : l'équation donne directement $12$\nmois."
            }
          ],
          "explanation": "Deux tarifs sont égaux lorsque leurs expressions le sont : on écrit une\néquation entre les deux, puis on regroupe les termes en $x$."
        },
        {
          "statement": "Un abonnement coûte $45$ € à l'inscription, puis $3$ € par mois. Un\nautre coûte $8$ € par mois, sans frais d'inscription. Au bout de\ncombien de mois aura-t-on payé la même somme ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'équation est $45 + 3x = 8x$, donc\n$5x = 45$ et $x = 9$."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux prix mensuels, pas le nombre de mois\ncherché."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le second tarif a été ignoré : c'est la différence des prix\nmensuels qui rattrape les frais d'inscription."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le résultat a été doublé : l'équation donne directement $9$\nmois."
            }
          ],
          "explanation": "Deux tarifs sont égaux lorsque leurs expressions le sont : on écrit une\néquation entre les deux, puis on regroupe les termes en $x$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "parentheses",
        "signes"
      ],
      "title": "Signe moins devant une parenthèse",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x - (x + 3) = 15$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le signe moins change les deux termes de la\nparenthèse, d'où $3x - 3 = 15$ et $x = 6$."
        },
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le signe moins n'a été appliqué qu'au premier terme : il porte sur\ntoute la parenthèse."
        },
        {
          "text": "$x = 18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul s'est arrêté avant la division par $3$, le\ncoefficient de $x$ après réduction."
        },
        {
          "text": "$x = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe en fin de résolution : la solution est $6$."
        }
      ],
      "explanation": "Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses\ntermes. C'est l'erreur la plus fréquente dans ce type d'équation.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x - (x + 3) = 15$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le signe moins change les deux termes de la\nparenthèse, d'où $3x - 3 = 15$ et $x = 6$."
            },
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a été appliqué qu'au premier terme : il porte sur\ntoute la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$x = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté avant la division par $3$, le\ncoefficient de $x$ après réduction."
            },
            {
              "text": "$x = -6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe en fin de résolution : la solution est $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses\ntermes. C'est l'erreur la plus fréquente dans ce type d'équation."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $6x - (x + 5) = 15$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 4$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le signe moins change les deux termes de la\nparenthèse, d'où $5x - 5 = 15$ et $x = 4$."
            },
            {
              "text": "$x = 2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a été appliqué qu'au premier terme : il porte sur\ntoute la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$x = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté avant la division par $5$, le\ncoefficient de $x$ après réduction."
            },
            {
              "text": "$x = -4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe en fin de résolution : la solution est $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses\ntermes. C'est l'erreur la plus fréquente dans ce type d'équation."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $3x - (x - 4) = 14$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le signe moins change les deux termes de la\nparenthèse, d'où $2x + 4 = 14$ et $x = 5$."
            },
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le signe moins n'a été appliqué qu'au premier terme : il porte sur\ntoute la parenthèse."
            },
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté avant la division par $2$, le\ncoefficient de $x$ après réduction."
            },
            {
              "text": "$x = -5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe en fin de résolution : la solution est $5$."
            }
          ],
          "explanation": "Un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun de ses\ntermes. C'est l'erreur la plus fréquente dans ce type d'équation."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-produit",
        "parentheses"
      ],
      "title": "Facteur constant dans un produit nul",
      "partie": "produit",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$5(x - 2)(x + 7) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$ et $-7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le facteur $5$ ne s'annule jamais, seuls les deux\nautres facteurs fournissent des solutions."
        },
        {
          "text": "$0$, $2$ et $-7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre $0$ a été ajouté sans raison : aucun facteur ne se réduit\nà $x$ dans cette équation."
        },
        {
          "text": "$-2$ et $7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les signes n'ont pas été changés : $x - 2 = 0$ donne $2$."
        },
        {
          "text": "$2$, $-7$ et $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le facteur constant $5$ a été compté comme une solution, alors\nqu'il ne contient pas l'inconnue."
        }
      ],
      "explanation": "Seuls les facteurs contenant l'inconnue donnent des solutions. Un\nfacteur constant non nul peut être simplement divisé de chaque côté.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$5(x - 2)(x + 7) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$ et $-7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $5$ ne s'annule jamais, seuls les deux\nautres facteurs fournissent des solutions."
            },
            {
              "text": "$0$, $2$ et $-7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $0$ a été ajouté sans raison : aucun facteur ne se réduit\nà $x$ dans cette équation."
            },
            {
              "text": "$-2$ et $7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les signes n'ont pas été changés : $x - 2 = 0$ donne $2$."
            },
            {
              "text": "$2$, $-7$ et $5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur constant $5$ a été compté comme une solution, alors\nqu'il ne contient pas l'inconnue."
            }
          ],
          "explanation": "Seuls les facteurs contenant l'inconnue donnent des solutions. Un\nfacteur constant non nul peut être simplement divisé de chaque côté."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$3(x + 4)(x - 6) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$-4$ et $6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $3$ ne s'annule jamais, seuls les deux\nautres facteurs fournissent des solutions."
            },
            {
              "text": "$0$, $-4$ et $6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $0$ a été ajouté sans raison : aucun facteur ne se réduit\nà $x$ dans cette équation."
            },
            {
              "text": "$4$ et $-6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les signes n'ont pas été changés : $x + 4 = 0$ donne $-4$."
            },
            {
              "text": "$-4$, $6$ et $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur constant $3$ a été compté comme une solution, alors\nqu'il ne contient pas l'inconnue."
            }
          ],
          "explanation": "Seuls les facteurs contenant l'inconnue donnent des solutions. Un\nfacteur constant non nul peut être simplement divisé de chaque côté."
        },
        {
          "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation\n$2(x - 9)(x + 3) = 0$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$ et $-3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le facteur $2$ ne s'annule jamais, seuls les deux\nautres facteurs fournissent des solutions."
            },
            {
              "text": "$0$, $9$ et $-3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre $0$ a été ajouté sans raison : aucun facteur ne se réduit\nà $x$ dans cette équation."
            },
            {
              "text": "$-9$ et $3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les signes n'ont pas été changés : $x - 9 = 0$ donne $9$."
            },
            {
              "text": "$9$, $-3$ et $2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le facteur constant $2$ a été compté comme une solution, alors\nqu'il ne contient pas l'inconnue."
            }
          ],
          "explanation": "Seuls les facteurs contenant l'inconnue donnent des solutions. Un\nfacteur constant non nul peut être simplement divisé de chaque côté."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "fractions",
        "equation-affine"
      ],
      "title": "Fraction avec un terme en $x$",
      "partie": "produit",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\dfrac{2x + 6}{5} = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $5$, d'où\n$2x + 6 = 20$, puis on isole $x$."
        },
        {
          "text": "$x = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "La multiplication par $5$ a été oubliée : le dénominateur porte\nsur tout le numérateur."
        },
        {
          "text": "$x = 13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le terme $6$ a gardé son signe en changeant de membre, ce qui\ndécale le résultat."
        },
        {
          "text": "$x = 14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $2x = 14$ : il reste la\ndivision par $2$."
        }
      ],
      "explanation": "On supprime d'abord le dénominateur en multipliant les deux membres,\npuis on résout l'équation du premier degré obtenue.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\dfrac{2x + 6}{5} = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $5$, d'où\n$2x + 6 = 20$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = -1$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $5$ a été oubliée : le dénominateur porte\nsur tout le numérateur."
            },
            {
              "text": "$x = 13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $6$ a gardé son signe en changeant de membre, ce qui\ndécale le résultat."
            },
            {
              "text": "$x = 14$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $2x = 14$ : il reste la\ndivision par $2$."
            }
          ],
          "explanation": "On supprime d'abord le dénominateur en multipliant les deux membres,\npuis on résout l'équation du premier degré obtenue."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\dfrac{3x - 3}{4} = 6$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $4$, d'où\n$3x - 3 = 24$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = 3$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $4$ a été oubliée : le dénominateur porte\nsur tout le numérateur."
            },
            {
              "text": "$x = 7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $-3$ a gardé son signe en changeant de membre, ce qui\ndécale le résultat."
            },
            {
              "text": "$x = 27$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $3x = 27$ : il reste la\ndivision par $3$."
            }
          ],
          "explanation": "On supprime d'abord le dénominateur en multipliant les deux membres,\npuis on résout l'équation du premier degré obtenue."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation\n$\\dfrac{2x + 8}{7} = 4$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$x = 10$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on multiplie par $7$, d'où\n$2x + 8 = 28$, puis on isole $x$."
            },
            {
              "text": "$x = -2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La multiplication par $7$ a été oubliée : le dénominateur porte\nsur tout le numérateur."
            },
            {
              "text": "$x = 18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le terme $8$ a gardé son signe en changeant de membre, ce qui\ndécale le résultat."
            },
            {
              "text": "$x = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $2x = 20$ : il reste la\ndivision par $2$."
            }
          ],
          "explanation": "On supprime d'abord le dénominateur en multipliant les deux membres,\npuis on résout l'équation du premier degré obtenue."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "deux-membres",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Équation sans solution",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Pourquoi l'équation $2x + 5 = 2x + 9$ n'a-t-elle aucune solution ?",
      "options": [
        {
          "text": "En retirant $2x$ de chaque côté, il resterait $5 = 9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'inconnue disparaît et laisse une égalité fausse,\ndonc aucune valeur de $x$ ne peut convenir."
        },
        {
          "text": "Parce que $5$ et $9$ ne sont pas des multiples de $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les multiples n'ont rien à voir ici : $2x + 5 = 2x + 8$ n'aurait pas\ndavantage de solution."
        },
        {
          "text": "Parce que l'inconnue apparaît dans les deux membres de l'égalité",
          "correct": false,
          "feedback": "Une inconnue présente des deux côtés ne gêne pas :\n$2x + 5 = 3x + 9$ a bien une solution."
        },
        {
          "text": "Parce que $x$ devrait alors valoir $0$, ce qui ne convient pas",
          "correct": false,
          "feedback": "La valeur $0$ ne convient pas, mais aucune autre non plus : le\nproblème ne vient pas de cette valeur particulière."
        }
      ],
      "explanation": "Quand les termes en $x$ se simplifient et laissent une égalité fausse\nentre deux nombres, l'équation n'a aucune solution."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "mise-en-equation"
      ],
      "title": "Largeur d'un rectangle",
      "partie": "problemes",
      "statement": "Le périmètre d'un rectangle est de $44$ cm et sa longueur dépasse sa\nlargeur de $6$ cm. Quelle est sa largeur, en centimètres ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en notant $x$ la largeur, $2(x + x + 6) = 44$,\ndonc $4x = 32$ et $x = 8$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $2x = 16$, qui est la somme\ndes deux largeurs et non une largeur."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la longueur du rectangle : la largeur est plus petite de\n$6$ cm."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le périmètre a été partagé en quatre parts égales, ce qui\nreviendrait à traiter le rectangle comme un carré."
        }
      ],
      "explanation": "On note la largeur $x$, la longueur devient $x + 6$, et le périmètre\ns'écrit $2(x + x + 6)$. L'équation obtenue est du premier degré.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le périmètre d'un rectangle est de $44$ cm et sa longueur dépasse sa\nlargeur de $6$ cm. Quelle est sa largeur, en centimètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en notant $x$ la largeur, $2(x + x + 6) = 44$,\ndonc $4x = 32$ et $x = 8$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $2x = 16$, qui est la somme\ndes deux largeurs et non une largeur."
            },
            {
              "text": "$14$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la longueur du rectangle : la largeur est plus petite de\n$6$ cm."
            },
            {
              "text": "$11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre a été partagé en quatre parts égales, ce qui\nreviendrait à traiter le rectangle comme un carré."
            }
          ],
          "explanation": "On note la largeur $x$, la longueur devient $x + 6$, et le périmètre\ns'écrit $2(x + x + 6)$. L'équation obtenue est du premier degré."
        },
        {
          "statement": "Le périmètre d'un rectangle est de $60$ cm et sa longueur dépasse sa\nlargeur de $4$ cm. Quelle est sa largeur, en centimètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$13$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en notant $x$ la largeur, $2(x + x + 4) = 60$,\ndonc $4x = 52$ et $x = 13$."
            },
            {
              "text": "$26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $2x = 26$, qui est la somme\ndes deux largeurs et non une largeur."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la longueur du rectangle : la largeur est plus petite de\n$4$ cm."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre a été partagé en quatre parts égales, ce qui\nreviendrait à traiter le rectangle comme un carré."
            }
          ],
          "explanation": "On note la largeur $x$, la longueur devient $x + 4$, et le périmètre\ns'écrit $2(x + x + 4)$. L'équation obtenue est du premier degré."
        },
        {
          "statement": "Le périmètre d'un rectangle est de $52$ cm et sa longueur dépasse sa\nlargeur de $8$ cm. Quelle est sa largeur, en centimètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en notant $x$ la largeur, $2(x + x + 8) = 52$,\ndonc $4x = 36$ et $x = 9$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le calcul s'est arrêté à $2x = 18$, qui est la somme\ndes deux largeurs et non une largeur."
            },
            {
              "text": "$17$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la longueur du rectangle : la largeur est plus petite de\n$8$ cm."
            },
            {
              "text": "$13$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le périmètre a été partagé en quatre parts égales, ce qui\nreviendrait à traiter le rectangle comme un carré."
            }
          ],
          "explanation": "On note la largeur $x$, la longueur devient $x + 8$, et le périmètre\ns'écrit $2(x + x + 8)$. L'équation obtenue est du premier degré."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "deux-membres",
        "fractions"
      ],
      "title": "Solution fractionnaire",
      "partie": "resoudre",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5x + 1 = 2x + 3$ ?\nOn donnera une fraction.",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\dfrac{2}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on regroupe, ce qui donne $3x = 2$,\npuis on divise pour obtenir $\\dfrac{2}{3}$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{3}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le\nnombre par le coefficient de $x$."
        },
        {
          "text": "$x = -\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe lors du regroupement : le coefficient de $x$ vaut\n$3$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{4}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les termes ont été additionnés au lieu d'être soustraits : passer\nd'un membre à l'autre change le signe."
        }
      ],
      "explanation": "Après regroupement, la solution s'écrit comme un quotient. Elle n'a\naucune raison d'être entière et se donne alors en fraction simplifiée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $5x + 1 = 2x + 3$ ?\nOn donnera une fraction.",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{2}{3}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe, ce qui donne $3x = 2$,\npuis on divise pour obtenir $\\dfrac{2}{3}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le\nnombre par le coefficient de $x$."
            },
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du regroupement : le coefficient de $x$ vaut\n$3$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{4}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes ont été additionnés au lieu d'être soustraits : passer\nd'un membre à l'autre change le signe."
            }
          ],
          "explanation": "Après regroupement, la solution s'écrit comme un quotient. Elle n'a\naucune raison d'être entière et se donne alors en fraction simplifiée."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $4x - 1 = 6x + 4$ ?\nOn donnera une fraction.",
          "options": [
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{5}{2}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe, ce qui donne $-2x = 5$,\npuis on divise pour obtenir $-\\dfrac{5}{2}$."
            },
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le\nnombre par le coefficient de $x$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{5}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du regroupement : le coefficient de $x$ vaut\n$-2$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{3}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes ont été additionnés au lieu d'être soustraits : passer\nd'un membre à l'autre change le signe."
            }
          ],
          "explanation": "Après regroupement, la solution s'écrit comme un quotient. Elle n'a\naucune raison d'être entière et se donne alors en fraction simplifiée."
        },
        {
          "statement": "Quelle est la solution de l'équation $7x + 2 = 3x + 5$ ?\nOn donnera une fraction.",
          "options": [
            {
              "text": "$x = \\dfrac{3}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on regroupe, ce qui donne $4x = 3$,\npuis on divise pour obtenir $\\dfrac{3}{4}$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : on divise le\nnombre par le coefficient de $x$."
            },
            {
              "text": "$x = -\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur de signe lors du regroupement : le coefficient de $x$ vaut\n$4$."
            },
            {
              "text": "$x = \\dfrac{7}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les termes ont été additionnés au lieu d'être soustraits : passer\nd'un membre à l'autre change le signe."
            }
          ],
          "explanation": "Après regroupement, la solution s'écrit comme un quotient. Elle n'a\naucune raison d'être entière et se donne alors en fraction simplifiée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "notion",
        "tester-solution",
        "verification"
      ],
      "title": "Tester si un nombre est solution",
      "partie": "notion",
      "statement": "Le nombre $3$ est-il solution de l'équation $3x + 2 = 11$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $3 \\times 3 + 2 = 11$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $3$ dans le membre de\ngauche : $3 \\times 3 + 2 = 11$, à comparer avec $11$.\n"
        },
        {
          "text": "Non, car $3 \\times 3 + 2$ ne vaut pas $11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le calcul $3 \\times 3 + 2$ donne $11$ ; c'est sa\ncomparaison avec $11$ qui décide.\n"
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans résoudre l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tester un nombre ne demande aucune résolution, seulement\nun calcul de chaque membre.\n"
        },
        {
          "text": "Oui, tout nombre entier est solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une équation du premier degré n'a en général qu'une\nseule solution.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Un nombre est solution si, en remplaçant l'inconnue par ce nombre,\nles deux membres prennent la même valeur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le nombre $3$ est-il solution de l'équation $3x + 2 = 11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Oui, car $3 \\times 3 + 2 = 11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $3$ dans le membre de\ngauche : $3 \\times 3 + 2 = 11$, à comparer avec $11$.\n"
            },
            {
              "text": "Non, car $3 \\times 3 + 2$ ne vaut pas $11$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le calcul $3 \\times 3 + 2$ donne $11$ ; c'est sa\ncomparaison avec $11$ qui décide.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans résoudre l'équation",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tester un nombre ne demande aucune résolution, seulement\nun calcul de chaque membre.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, tout nombre entier est solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une équation du premier degré n'a en général qu'une\nseule solution.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre est solution si, en remplaçant l'inconnue par ce nombre,\nles deux membres prennent la même valeur."
        },
        {
          "statement": "Le nombre $2$ est-il solution de l'équation $3x + 2 = 11$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "Non, car $3 \\times 2 + 2 = 8$ et non $11$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on remplace $x$ par $2$ dans le membre de\ngauche : $3 \\times 2 + 2 = 8$, à comparer avec $11$.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, car $3 \\times 2 + 2 = 8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le calcul $3 \\times 2 + 2$ donne $8$ ; c'est sa\ncomparaison avec $11$ qui décide.\n"
            },
            {
              "text": "On ne peut pas savoir sans résoudre l'équation",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : tester un nombre ne demande aucune résolution, seulement\nun calcul de chaque membre.\n"
            },
            {
              "text": "Oui, tout nombre entier est solution",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une équation du premier degré n'a en général qu'une\nseule solution.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un nombre est solution si, en remplaçant l'inconnue par ce nombre,\nles deux membres prennent la même valeur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "notion",
        "aucune-solution",
        "membres"
      ],
      "title": "Une équation sans solution",
      "partie": "notion",
      "statement": "Combien de solutions l'équation $x + 3 = x + 5$ possède-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Aucune, car on obtient $3 = 5$, qui est faux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en retirant $x$ des deux membres, il reste\n$3 = 5$, égalité fausse quelle que soit la valeur de $x$.\n"
        },
        {
          "text": "Une seule, $x = 2$, qui vérifie l'égalité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour $x = 2$, le membre de gauche vaut $5$ et celui de\ndroite $7$ ; ce ne sont pas des valeurs égales.\n"
        },
        {
          "text": "Une seule, $x = -2$, l'opposé de l'écart",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-2$ est la différence entre $3$ et $5$, pas une\nsolution ; vérifiez en remplaçant.\n"
        },
        {
          "text": "Une infinité, $x$ pouvant prendre toute valeur",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune valeur ne convient, puisqu'un nombre plus $3$ ne\npeut pas égaler le même nombre plus $5$.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Une équation peut n'avoir aucune solution : après simplification,\non tombe sur une égalité fausse entre deux nombres."
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "notion",
        "identite",
        "infinite-de-solutions"
      ],
      "title": "Une équation vraie pour toute valeur",
      "partie": "notion",
      "statement": "Combien de solutions l'équation $2(x + 1) = 2x + 2$ possède-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une infinité, l'égalité étant toujours vraie",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en développant le membre de gauche, on obtient\n$2x + 2 = 2x + 2$ ; l'égalité est vraie quelle que soit la\nvaleur de $x$.\n"
        },
        {
          "text": "Une seule, $x = 1$, qui vérifie l'égalité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x = 1$ convient, mais $x = 0$, $x = 7$ ou n'importe\nquel autre nombre conviennent aussi.\n"
        },
        {
          "text": "Aucune, car il reste $2 = 2$ sans $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 = 2$ est une égalité **vraie** ; elle ne rejette\naucune valeur, elle les accepte toutes.\n"
        },
        {
          "text": "Deux, $x = 1$ et $x = -1$, symétriques",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il n'y a aucune raison de s'arrêter à deux valeurs ;\ntoutes conviennent.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Quand une équation se ramène à une égalité toujours vraie, tout\nnombre est solution : l'égalité de départ est une identité."
    },
    {
      "id": "q34",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "problemes",
        "mise-en-equation",
        "age"
      ],
      "title": "Dans combien d'années",
      "partie": "problemes",
      "statement": "Lina a $13$ ans. Dans combien d'années aura-t-elle $20$ ans ?\nOn note $n$ ce nombre d'années.",
      "options": [
        {
          "text": "$13 + n = 20$, d'où $n = 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dans $n$ années, Lina aura $13 + n$ ans ; on\nveut $13 + n = 20$, soit $n = 20 - 13 = 7$.\n"
        },
        {
          "text": "$13 - n = 20$, d'où $n = -7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les années à venir s'ajoutent à l'âge actuel ; un\nnombre d'années négatif n'a pas de sens ici.\n"
        },
        {
          "text": "$13 \\times n = 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'âge n'est pas multiplié par le nombre d'années, il\naugmente de $1$ par an.\n"
        },
        {
          "text": "$n = 33$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $33$ est la somme des deux âges, qui ne répond pas à la\nquestion.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Mettre en équation : choisir l'inconnue, écrire l'âge futur\n$13 + n$, puis l'égaler à l'âge voulu.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Lina a $13$ ans. Dans combien d'années aura-t-elle $20$ ans ?\nOn note $n$ ce nombre d'années.",
          "options": [
            {
              "text": "$13 + n = 20$, d'où $n = 7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dans $n$ années, Lina aura $13 + n$ ans ; on\nveut $13 + n = 20$, soit $n = 20 - 13 = 7$.\n"
            },
            {
              "text": "$13 - n = 20$, d'où $n = -7$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les années à venir s'ajoutent à l'âge actuel ; un\nnombre d'années négatif n'a pas de sens ici.\n"
            },
            {
              "text": "$13 \\times n = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'âge n'est pas multiplié par le nombre d'années, il\naugmente de $1$ par an.\n"
            },
            {
              "text": "$n = 33$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $33$ est la somme des deux âges, qui ne répond pas à la\nquestion.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Mettre en équation : choisir l'inconnue, écrire l'âge futur\n$13 + n$, puis l'égaler à l'âge voulu."
        },
        {
          "statement": "Lina a $15$ ans. Dans combien d'années aura-t-elle $24$ ans ?\nOn note $n$ ce nombre d'années.",
          "options": [
            {
              "text": "$15 + n = 24$, d'où $n = 9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dans $n$ années, Lina aura $15 + n$ ans ; on\nveut $15 + n = 24$, soit $n = 24 - 15 = 9$.\n"
            },
            {
              "text": "$15 - n = 24$, d'où $n = -9$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les années à venir s'ajoutent à l'âge actuel ; un\nnombre d'années négatif n'a pas de sens ici.\n"
            },
            {
              "text": "$15 \\times n = 24$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'âge n'est pas multiplié par le nombre d'années, il\naugmente de $1$ par an.\n"
            },
            {
              "text": "$n = 39$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $39$ est la somme des deux âges, qui ne répond pas à la\nquestion.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Mettre en équation : choisir l'inconnue, écrire l'âge futur\n$15 + n$, puis l'égaler à l'âge voulu."
        },
        {
          "statement": "Lina a $11$ ans. Dans combien d'années aura-t-elle $30$ ans ?\nOn note $n$ ce nombre d'années.",
          "options": [
            {
              "text": "$11 + n = 30$, d'où $n = 19$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : dans $n$ années, Lina aura $11 + n$ ans ; on\nveut $11 + n = 30$, soit $n = 30 - 11 = 19$.\n"
            },
            {
              "text": "$11 - n = 30$, d'où $n = -19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les années à venir s'ajoutent à l'âge actuel ; un\nnombre d'années négatif n'a pas de sens ici.\n"
            },
            {
              "text": "$11 \\times n = 30$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'âge n'est pas multiplié par le nombre d'années, il\naugmente de $1$ par an.\n"
            },
            {
              "text": "$n = 41$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $41$ est la somme des deux âges, qui ne répond pas à la\nquestion.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Mettre en équation : choisir l'inconnue, écrire l'âge futur\n$11 + n$, puis l'égaler à l'âge voulu."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q35",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "problemes",
        "perimetre",
        "rectangle"
      ],
      "title": "Largeur d'un rectangle connaissant son périmètre",
      "partie": "problemes",
      "statement": "La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de $3$ cm et son\npérimètre vaut $26$ cm. On note $x$ la largeur en cm. Quelle est\nla largeur ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$ cm, solution de $2(x + x + 3) = 26$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le périmètre est $2 \\times (\\text{largeur} +\n\\text{longueur}) = 2(2x + 3) = 4x + 2 \\times 3$ ; on résout\n$4x + 2 \\times 3 = 26$ et $x = 5$.\n"
        },
        {
          "text": "$11$ cm, solution de $x + x + 3 = 26$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x + x + 3$ n'est que la moitié du périmètre ; il\nmanque le facteur $2$.\n"
        },
        {
          "text": "$6$ cm, le quart du périmètre",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le quart du périmètre serait le côté d'un **carré** ;\nici longueur et largeur diffèrent de $3$ cm.\n"
        },
        {
          "text": "$3$ cm, la différence des côtés",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est l'écart entre longueur et largeur, pas la\nlargeur.\n"
        }
      ],
      "explanation": "On exprime la longueur, $x + 3$, puis le périmètre,\n$2(x + x + 3)$, et on résout l'équation obtenue.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de $3$ cm et son\npérimètre vaut $26$ cm. On note $x$ la largeur en cm. Quelle est\nla largeur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$ cm, solution de $2(x + x + 3) = 26$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre est $2 \\times (\\text{largeur} +\n\\text{longueur}) = 2(2x + 3) = 4x + 2 \\times 3$ ; on résout\n$4x + 2 \\times 3 = 26$ et $x = 5$.\n"
            },
            {
              "text": "$11$ cm, solution de $x + x + 3 = 26$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x + x + 3$ n'est que la moitié du périmètre ; il\nmanque le facteur $2$.\n"
            },
            {
              "text": "$6$ cm, le quart du périmètre",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le quart du périmètre serait le côté d'un **carré** ;\nici longueur et largeur diffèrent de $3$ cm.\n"
            },
            {
              "text": "$3$ cm, la différence des côtés",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est l'écart entre longueur et largeur, pas la\nlargeur.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On exprime la longueur, $x + 3$, puis le périmètre,\n$2(x + x + 3)$, et on résout l'équation obtenue."
        },
        {
          "statement": "La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de $4$ cm et son\npérimètre vaut $36$ cm. On note $x$ la largeur en cm. Quelle est\nla largeur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$ cm, solution de $2(x + x + 4) = 36$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre est $2 \\times (\\text{largeur} +\n\\text{longueur}) = 2(2x + 4) = 4x + 2 \\times 4$ ; on résout\n$4x + 2 \\times 4 = 36$ et $x = 7$.\n"
            },
            {
              "text": "$16$ cm, solution de $x + x + 4 = 36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x + x + 4$ n'est que la moitié du périmètre ; il\nmanque le facteur $2$.\n"
            },
            {
              "text": "$9$ cm, le quart du périmètre",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le quart du périmètre serait le côté d'un **carré** ;\nici longueur et largeur diffèrent de $4$ cm.\n"
            },
            {
              "text": "$4$ cm, la différence des côtés",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est l'écart entre longueur et largeur, pas la\nlargeur.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On exprime la longueur, $x + 4$, puis le périmètre,\n$2(x + x + 4)$, et on résout l'équation obtenue."
        },
        {
          "statement": "La longueur d'un rectangle dépasse sa largeur de $2$ cm et son\npérimètre vaut $20$ cm. On note $x$ la largeur en cm. Quelle est\nla largeur ?",
          "options": [
            {
              "text": "$4$ cm, solution de $2(x + x + 2) = 20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le périmètre est $2 \\times (\\text{largeur} +\n\\text{longueur}) = 2(2x + 2) = 4x + 2 \\times 2$ ; on résout\n$4x + 2 \\times 2 = 20$ et $x = 4$.\n"
            },
            {
              "text": "$9$ cm, solution de $x + x + 2 = 20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $x + x + 2$ n'est que la moitié du périmètre ; il\nmanque le facteur $2$.\n"
            },
            {
              "text": "$5$ cm, le quart du périmètre",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le quart du périmètre serait le côté d'un **carré** ;\nici longueur et largeur diffèrent de $2$ cm.\n"
            },
            {
              "text": "$2$ cm, la différence des côtés",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est l'écart entre longueur et largeur, pas la\nlargeur.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On exprime la longueur, $x + 2$, puis le périmètre,\n$2(x + x + 2)$, et on résout l'équation obtenue."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q36",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "problemes",
        "partage",
        "trois-inconnues"
      ],
      "title": "Un partage en trois parts inégales",
      "partie": "problemes",
      "statement": "Trois amis se partagent $45$ €. Noé reçoit $5$ € de plus que\nLou, et Sam reçoit le double de Lou. On note $x$ la part de Lou.\nCombien Lou reçoit-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$ €, solution de $4x + 5 = 45$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les trois parts sont $x$, $x + 5$ et $2x$ ;\nleur somme vaut $4x + 5 = 45$, d'où $x = 10$.\n"
        },
        {
          "text": "$15$ €, le tiers de la somme",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le partage n'est pas égal ; le tiers ne convient que\nsi les trois parts sont identiques.\n"
        },
        {
          "text": "$13$ €, solution de $3x + 5 = 45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la part de Sam vaut $2x$, pas $x$ ; il manque un $x$\ndans la somme.\n"
        },
        {
          "text": "$11$ €, solution de $4x = 45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les $5$ € supplémentaires de Noé ont été oubliés.\n"
        }
      ],
      "explanation": "On exprime chaque part en fonction de l'inconnue, on écrit que leur\nsomme vaut le total, puis on résout.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Trois amis se partagent $45$ €. Noé reçoit $5$ € de plus que\nLou, et Sam reçoit le double de Lou. On note $x$ la part de Lou.\nCombien Lou reçoit-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$10$ €, solution de $4x + 5 = 45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les trois parts sont $x$, $x + 5$ et $2x$ ;\nleur somme vaut $4x + 5 = 45$, d'où $x = 10$.\n"
            },
            {
              "text": "$15$ €, le tiers de la somme",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le partage n'est pas égal ; le tiers ne convient que\nsi les trois parts sont identiques.\n"
            },
            {
              "text": "$13$ €, solution de $3x + 5 = 45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la part de Sam vaut $2x$, pas $x$ ; il manque un $x$\ndans la somme.\n"
            },
            {
              "text": "$11$ €, solution de $4x = 45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $5$ € supplémentaires de Noé ont été oubliés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On exprime chaque part en fonction de l'inconnue, on écrit que leur\nsomme vaut le total, puis on résout."
        },
        {
          "statement": "Trois amis se partagent $65$ €. Noé reçoit $5$ € de plus que\nLou, et Sam reçoit le double de Lou. On note $x$ la part de Lou.\nCombien Lou reçoit-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$ €, solution de $4x + 5 = 65$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les trois parts sont $x$, $x + 5$ et $2x$ ;\nleur somme vaut $4x + 5 = 65$, d'où $x = 15$.\n"
            },
            {
              "text": "$21$ €, le tiers de la somme",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le partage n'est pas égal ; le tiers ne convient que\nsi les trois parts sont identiques.\n"
            },
            {
              "text": "$20$ €, solution de $3x + 5 = 65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la part de Sam vaut $2x$, pas $x$ ; il manque un $x$\ndans la somme.\n"
            },
            {
              "text": "$16$ €, solution de $4x = 65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $5$ € supplémentaires de Noé ont été oubliés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On exprime chaque part en fonction de l'inconnue, on écrit que leur\nsomme vaut le total, puis on résout."
        },
        {
          "statement": "Trois amis se partagent $34$ €. Noé reçoit $2$ € de plus que\nLou, et Sam reçoit le double de Lou. On note $x$ la part de Lou.\nCombien Lou reçoit-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$ €, solution de $4x + 2 = 34$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les trois parts sont $x$, $x + 2$ et $2x$ ;\nleur somme vaut $4x + 2 = 34$, d'où $x = 8$.\n"
            },
            {
              "text": "$11$ €, le tiers de la somme",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le partage n'est pas égal ; le tiers ne convient que\nsi les trois parts sont identiques.\n"
            },
            {
              "text": "$10$ €, solution de $3x + 2 = 34$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : la part de Sam vaut $2x$, pas $x$ ; il manque un $x$\ndans la somme.\n"
            },
            {
              "text": "$8$ €, solution de $4x = 34$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les $2$ € supplémentaires de Noé ont été oubliés.\n"
            }
          ],
          "explanation": "On exprime chaque part en fonction de l'inconnue, on écrit que leur\nsomme vaut le total, puis on résout."
        }
      ]
    }
  ]
}