{
  "chapter": {
    "id": "probabilites",
    "level": "college",
    "theme": "Organisation et gestion de données",
    "title": "Probabilités",
    "description": "Vocabulaire (issue, événement, événement contraire), situations\nd'équiprobabilité, calcul de probabilités, expériences à deux\népreuves, lien entre fréquence observée et probabilité.",
    "parties": [
      {
        "id": "vocabulaire",
        "title": "Vocabulaire et événements"
      },
      {
        "id": "calculs",
        "title": "Calculer une probabilité"
      },
      {
        "id": "deux-epreuves",
        "title": "Expériences à deux épreuves"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "equiprobabilite",
        "de"
      ],
      "title": "Obtenir un nombre donné avec un dé",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On lance un dé équilibré à six faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle\nest la probabilité d'obtenir $4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les six faces ont la même chance de sortir, et une\nseule porte le numéro $4$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le numéro $4$ n'apparaît que sur une face ; le nombre $4$\nn'est pas un nombre d'issues favorables."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur est le nombre d'issues possibles, $6$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Quand toutes les issues ont la même probabilité, la probabilité d'un\névénement vaut $\\dfrac{\\text{nombre d'issues favorables}}{\\text{nombre d'issues possibles}}$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "urne",
        "equiprobabilite"
      ],
      "title": "Tirer une boule dans une urne",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ bleues et $2$ vertes,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la\nprobabilité qu'elle soit rouge ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3$ boules rouges parmi $10$ boules, toutes\nayant la même chance d'être tirées."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on divise par le nombre **total** de boules, rouges\ncomprises, et non par le nombre des autres boules."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre\nde boules, donc pas la même probabilité."
        }
      ],
      "explanation": "Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on\ncompte les boules de chaque couleur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ bleues et $2$ vertes,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la\nprobabilité qu'elle soit rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ boules rouges parmi $10$ boules, toutes\nayant la même chance d'être tirées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre **total** de boules, rouges\ncomprises, et non par le nombre des autres boules."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre\nde boules, donc pas la même probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on\ncompte les boules de chaque couleur."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $4$ boules rouges, $7$ bleues et $3$ vertes,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la\nprobabilité qu'elle soit rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{7}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4$ boules rouges parmi $14$ boules, toutes\nayant la même chance d'être tirées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre **total** de boules, rouges\ncomprises, et non par le nombre des autres boules."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre\nde boules, donc pas la même probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on\ncompte les boules de chaque couleur."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $5$ boules rouges, $6$ bleues et $1$ vertes,\nindiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la\nprobabilité qu'elle soit rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{12}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5$ boules rouges parmi $12$ boules, toutes\nayant la même chance d'être tirées."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on divise par le nombre **total** de boules, rouges\ncomprises, et non par le nombre des autres boules."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de tirer une boule bleue."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'ont pas le même nombre\nde boules, donc pas la même probabilité."
            }
          ],
          "explanation": "Ce sont les boules, et non les couleurs, qui sont équiprobables : on\ncompte les boules de chaque couleur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "contraire"
      ],
      "title": "Probabilité de l'événement contraire",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}3$. Quelle est la\nprobabilité qu'il ne pleuve pas ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités\nde somme $1$, donc $1 - 0{,}3 = 0{,}7$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de\nl'événement contraire."
        },
        {
          "text": "$-0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une probabilité n'est jamais négative."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas\nforcément équiprobables."
        }
      ],
      "explanation": "$P(\\text{non } A) = 1 - P(A)$ : c'est souvent le plus court chemin\npour calculer une probabilité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}3$. Quelle est la\nprobabilité qu'il ne pleuve pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités\nde somme $1$, donc $1 - 0{,}3 = 0{,}7$."
            },
            {
              "text": "$0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de\nl'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$-0{,}3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité n'est jamais négative."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas\nforcément équiprobables."
            }
          ],
          "explanation": "$P(\\text{non } A) = 1 - P(A)$ : c'est souvent le plus court chemin\npour calculer une probabilité."
        },
        {
          "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}45$. Quelle est la\nprobabilité qu'il ne pleuve pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}55$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités\nde somme $1$, donc $1 - 0{,}45 = 0{,}55$."
            },
            {
              "text": "$0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de\nl'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$-0{,}45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité n'est jamais négative."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas\nforcément équiprobables."
            }
          ],
          "explanation": "$P(\\text{non } A) = 1 - P(A)$ : c'est souvent le plus court chemin\npour calculer une probabilité."
        },
        {
          "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}72$. Quelle est la\nprobabilité qu'il ne pleuve pas ?",
          "options": [
            {
              "text": "$0{,}28$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un événement et son contraire ont des probabilités\nde somme $1$, donc $1 - 0{,}72 = 0{,}28$."
            },
            {
              "text": "$0{,}72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité qu'il pleuve, pas celle de\nl'événement contraire."
            },
            {
              "text": "$-0{,}72$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité n'est jamais négative."
            },
            {
              "text": "$0{,}5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : « il pleut » et « il ne pleut pas » ne sont pas\nforcément équiprobables."
            }
          ],
          "explanation": "$P(\\text{non } A) = 1 - P(A)$ : c'est souvent le plus court chemin\npour calculer une probabilité."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "issue"
      ],
      "title": "Issue ou événement",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On lance un dé à six faces. Que désigne « obtenir un nombre pair » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un événement",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il est réalisé par les issues $2$, $4$ et $6$."
        },
        {
          "text": "Une issue de l'expérience",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une issue est un résultat unique, comme « obtenir $4$ ».\nIci, plusieurs résultats conviennent."
        },
        {
          "text": "Un événement impossible",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dé porte trois nombres pairs, cet événement peut se\nréaliser."
        },
        {
          "text": "Un événement certain",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : si l'on obtient $1$, $3$ ou $5$, l'événement n'est pas\nréalisé."
        }
      ],
      "explanation": "Issue : résultat possible de l'expérience. Événement : ensemble\nd'issues, décrit par une phrase."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "impossible",
        "certain"
      ],
      "title": "Probabilités extrêmes",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On lance un dé à six faces numérotées de $1$ à $6$. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir un nombre inférieur à $10$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : toutes les faces portent un nombre inférieur à\n$10$ ; l'événement est certain."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ est la probabilité d'un événement impossible, comme\n« obtenir $7$ »."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{6}{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le nombre $10$ n'est pas un nombre d'issues ; il n'y a\nque six issues possibles."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les six issues réalisent toutes l'événement, pas une\nseule."
        }
      ],
      "explanation": "Une probabilité est comprise entre $0$ (événement impossible) et $1$\n(événement certain)."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "evenement",
        "comptage"
      ],
      "title": "Un événement à plusieurs issues",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On tire au hasard une carte parmi dix cartes numérotées de $1$ à\n$10$. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{10}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les multiples de $3$ sont $3$, $6$ et $9$, soit\ntrois issues favorables sur dix."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « un sur trois » n'est pas exact ici, car $10$ n'est pas\nun multiple de $3$. On compte les issues favorables."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10$ n'est pas un multiple de $3$ ; il n'y a que trois\nissues favorables."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : plusieurs cartes portent un multiple de $3$."
        }
      ],
      "explanation": "On liste les issues qui réalisent l'événement, puis on applique la\nformule de l'équiprobabilité."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "frequence",
        "probabilite"
      ],
      "title": "Fréquence observée et probabilité",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On lance $600$ fois un dé équilibré et le $6$ sort $93$ fois. Que\npeut-on dire ?",
      "options": [
        {
          "text": "La fréquence observée est proche de $\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{93}{600} = 0{,}155$ et\n$\\dfrac{1}{6} \\approx 0{,}167$ ; sur un grand nombre de lancers, la\nfréquence observée se rapproche de la probabilité, sans lui être\négale."
        },
        {
          "text": "Le dé est truqué, car le $6$ aurait dû sortir $100$ fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $100$ est le nombre moyen attendu. Un écart de quelques\nlancers est normal, le hasard fait fluctuer les résultats."
        },
        {
          "text": "La probabilité d'obtenir $6$ vaut $0{,}155$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}155$ est une fréquence observée. La probabilité\nd'un dé équilibré est $\\dfrac{1}{6}$."
        },
        {
          "text": "Les prochains lancers donneront plus de $6$ pour compenser",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dé n'a pas de mémoire ; chaque lancer est indépendant\ndes précédents."
        }
      ],
      "explanation": "Plus le nombre d'essais est grand, plus la fréquence d'un événement\na tendance à se rapprocher de sa probabilité."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "independance",
        "lancers"
      ],
      "title": "Après plusieurs piles",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Une pièce équilibrée vient de tomber cinq fois de suite sur pile.\nQuelle est la probabilité qu'elle tombe sur face au lancer suivant ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la pièce n'a pas de mémoire. Chaque lancer donne\nface avec la probabilité $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "Plus de $\\dfrac{1}{2}$, car face doit bientôt sortir",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les lancers précédents n'influencent pas le suivant. Ce\nraisonnement est une erreur fréquente."
        },
        {
          "text": "Moins de $\\dfrac{1}{2}$, car la pièce favorise pile",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la pièce est équilibrée ; cinq piles de suite sont\nrares, mais possibles avec une pièce équilibrée."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$, car c'est le sixième lancer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le rang du lancer ne change rien ; il n'y a que deux\nissues à chaque lancer."
        }
      ],
      "explanation": "Des lancers successifs sont indépendants : le résultat d'un lancer\nne dépend pas des précédents."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "arbre"
      ],
      "title": "Deux lancers d'une pièce",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "On lance deux fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité\nd'obtenir deux fois pile ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les quatre issues PP, PF, FP et FF sont\néquiprobables, et une seule donne deux piles."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir pile en un\nseul lancer."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « deux piles », « deux faces » et « un de chaque » ne\nsont pas équiprobables : « un de chaque » arrive de deux façons."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2} + \\dfrac{1}{2}$ n'a pas de sens ici ;\ndeux piles de suite ne sont pas certains."
        }
      ],
      "explanation": "Un arbre ou un tableau montre toutes les issues d'une expérience à\ndeux épreuves : ici $2 \\times 2 = 4$ issues."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "tableau"
      ],
      "title": "Somme de deux dés",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "On lance deux dés équilibrés à six faces et l'on additionne les\nrésultats. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à\n$7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{6}{36}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le tableau à double entrée compte $36$ issues\néquiprobables, dont six donnent $7$ : $(1\\,;\\,6)$, $(2\\,;\\,5)$,\n$(3\\,;\\,4)$, $(4\\,;\\,3)$, $(5\\,;\\,2)$ et $(6\\,;\\,1)$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{11}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les onze sommes de $2$ à $12$ ne sont pas équiprobables ;\n$7$ s'obtient de six façons, $2$ d'une seule."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,6)$ et $(6\\,;\\,1)$ sont deux issues différentes,\nles deux dés se distinguent."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le nombre $7$ n'est pas le nombre d'issues favorables."
        }
      ],
      "explanation": "Pour une expérience à deux épreuves, un tableau à double entrée\npermet de lister et de compter toutes les issues."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "contraire",
        "au-moins"
      ],
      "title": "Au moins un six",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On lance deux dés équilibrés. La probabilité de n'obtenir aucun six\nvaut $\\dfrac{25}{36}$. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un\nsix ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{11}{36}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « au moins un six » est le contraire de « aucun\nsix », donc $1 - \\dfrac{25}{36}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner $\\dfrac{1}{6}$ et $\\dfrac{1}{6}$ compte deux\nfois l'issue double six."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir **deux** six."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{25}{36}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, « aucun\nsix »."
        }
      ],
      "explanation": "« Au moins un » se traite souvent par l'événement contraire,\n« aucun »."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "contraire",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Nommer l'événement contraire",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On tire une carte dans un jeu. Quel est le contraire de l'événement\n« la carte est un cœur » ?",
      "options": [
        {
          "text": "« La carte n'est pas un cœur »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le contraire est réalisé exactement quand\nl'événement ne l'est pas."
        },
        {
          "text": "« La carte est un pique »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une carte qui n'est pas un cœur peut aussi être un\ncarreau ou un trèfle."
        },
        {
          "text": "« La carte est noire »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les carreaux sont rouges sans être des cœurs ; ils font\npartie du contraire."
        },
        {
          "text": "« La carte est un cœur rouge »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tous les cœurs sont rouges ; c'est le même événement."
        }
      ],
      "explanation": "L'événement contraire de $A$, noté « non $A$ », regroupe toutes les\nissues qui ne réalisent pas $A$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "roue",
        "aires"
      ],
      "title": "Une roue partagée en secteurs",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une roue équilibrée est partagée en $8$ secteurs de même taille : $3$\nrouges, $4$ bleus et $1$ jaune. Quelle est la probabilité que la roue\ns'arrête sur un secteur bleu ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $4$ secteurs bleus sur $8$, tous de même taille,\nsoit $\\dfrac{4}{8}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il y a trois couleurs, mais elles n'occupent pas le même\nnombre de secteurs."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une probabilité ne dépasse jamais $1$ ; le dénominateur\nest le nombre total de secteurs."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre de secteurs bleus, pas le dénominateur."
        }
      ],
      "explanation": "Avec des secteurs de même taille, chaque secteur a la même\nprobabilité : on compte les secteurs favorables."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "probabilite-inconnue",
        "total"
      ],
      "title": "Retrouver le nombre de boules",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une urne contient $6$ boules rouges et d'autres boules. La\nprobabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{4}$. Combien de\nboules l'urne contient-elle en tout ?",
      "options": [
        {
          "text": "$24$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les boules rouges forment $\\dfrac{1}{4}$ du\ntotal, donc le total vaut $6 \\times 4$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un\ndénominateur ; avec $10$ boules, la probabilité serait\n$\\dfrac{6}{10}$."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $18$ est le nombre de boules qui ne sont **pas**\nrouges."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'urne contient déjà $6$ boules rouges, donc plus de\n$4$ boules."
        }
      ],
      "explanation": "Si $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{\\text{rouges}}{\\text{total}}$, alors\ntotal $=$ rouges $\\div P(\\text{rouge})$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $6$ boules rouges et d'autres boules. La\nprobabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{4}$. Combien de\nboules l'urne contient-elle en tout ?",
          "options": [
            {
              "text": "$24$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les boules rouges forment $\\dfrac{1}{4}$ du\ntotal, donc le total vaut $6 \\times 4$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un\ndénominateur ; avec $10$ boules, la probabilité serait\n$\\dfrac{6}{10}$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $18$ est le nombre de boules qui ne sont **pas**\nrouges."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'urne contient déjà $6$ boules rouges, donc plus de\n$4$ boules."
            }
          ],
          "explanation": "Si $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{\\text{rouges}}{\\text{total}}$, alors\ntotal $=$ rouges $\\div P(\\text{rouge})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $5$ boules rouges et d'autres boules. La\nprobabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{5}$. Combien de\nboules l'urne contient-elle en tout ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les boules rouges forment $\\dfrac{1}{5}$ du\ntotal, donc le total vaut $5 \\times 5$."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un\ndénominateur ; avec $10$ boules, la probabilité serait\n$\\dfrac{5}{10}$."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $20$ est le nombre de boules qui ne sont **pas**\nrouges."
            },
            {
              "text": "$5$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'urne contient déjà $5$ boules rouges, donc plus de\n$5$ boules."
            }
          ],
          "explanation": "Si $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{\\text{rouges}}{\\text{total}}$, alors\ntotal $=$ rouges $\\div P(\\text{rouge})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $9$ boules rouges et d'autres boules. La\nprobabilité de tirer une boule rouge vaut $\\dfrac{1}{3}$. Combien de\nboules l'urne contient-elle en tout ?",
          "options": [
            {
              "text": "$27$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : les boules rouges forment $\\dfrac{1}{3}$ du\ntotal, donc le total vaut $9 \\times 3$."
            },
            {
              "text": "$12$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : on ne peut pas additionner un nombre de boules et un\ndénominateur ; avec $12$ boules, la probabilité serait\n$\\dfrac{9}{12}$."
            },
            {
              "text": "$18$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $18$ est le nombre de boules qui ne sont **pas**\nrouges."
            },
            {
              "text": "$3$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : l'urne contient déjà $9$ boules rouges, donc plus de\n$3$ boules."
            }
          ],
          "explanation": "Si $P(\\text{rouge}) = \\dfrac{\\text{rouges}}{\\text{total}}$, alors\ntotal $=$ rouges $\\div P(\\text{rouge})$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "loi",
        "somme"
      ],
      "title": "Compléter une loi",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une roue peut s'arrêter sur trois couleurs. On sait que\n$P(\\text{rouge}) = 0{,}35$ et $P(\\text{vert}) = 0{,}4$. Que vaut\n$P(\\text{bleu})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les probabilités des trois issues ont pour somme\n$1$, donc $1 - 0{,}35 - 0{,}4$."
        },
        {
          "text": "$0{,}75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}75$ est la somme des deux probabilités connues ; il\nfaut la retrancher de $1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les couleurs n'ont pas toutes la même probabilité."
        },
        {
          "text": "$0{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}4 - 0{,}35$ ne correspond à rien ici ; on part de\n$1$."
        }
      ],
      "explanation": "La somme des probabilités de toutes les issues d'une expérience vaut\n$1$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arbre",
        "deux-epreuves",
        "sans-remise"
      ],
      "title": "Deux tirages sans remise",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $1$ bleue. On tire une boule,\non ne la remet pas, puis on en tire une seconde. Quelle est la\nprobabilité de tirer deux boules rouges ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : notons $R_1$, $R_2$ et $B$ les boules. Les six\ntirages ordonnés sont équiprobables, et deux d'entre eux,\n$(R_1\\,;\\,R_2)$ et $(R_2\\,;\\,R_1)$, donnent deux rouges."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le résultat avec remise. Sans remise, il ne reste\nqu'une rouge sur deux boules au second tirage."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité que la **première** boule soit\nrouge."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il faut deux conditions à la fois, la première boule\nrouge puis la seconde aussi."
        }
      ],
      "explanation": "Dans un tirage sans remise, la composition de l'urne change après le\npremier tirage. Un arbre aide à lister les issues."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "comparaison",
        "urnes"
      ],
      "title": "Choisir la meilleure urne",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On gagne si l'on tire une boule noire. L'urne A contient $3$ noires\net $7$ blanches, l'urne B contient $5$ noires et $15$ blanches. Quelle\nurne choisir ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'urne A, car $\\dfrac{3}{10} > \\dfrac{5}{20}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la probabilité de gagner vaut $0{,}3$ avec A et\n$0{,}25$ avec B."
        },
        {
          "text": "L'urne B, car elle a plus de noires",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : B a aussi beaucoup plus de blanches ; il faut comparer\nles proportions de noires."
        },
        {
          "text": "Les deux urnes se valent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{10}$ et $\\dfrac{5}{20}$ ne sont pas égales."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas comparer des urnes différentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités, elles, se comparent directement."
        }
      ],
      "explanation": "Pour comparer deux situations, on compare les probabilités, pas les\nnombres d'issues favorables."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "equiprobabilite"
      ],
      "title": "Reconnaître une situation équiprobable",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Dans laquelle de ces expériences les issues sont-elles\néquiprobables ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tirer une carte au hasard dans un jeu bien mélangé",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque carte a la même chance d'être tirée."
        },
        {
          "text": "Noter la couleur d'une boule tirée dans une urne de $3$ rouges et\n$1$ verte",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les issues « rouge » et « verte » n'ont pas la même\nprobabilité, $\\dfrac{3}{4}$ et $\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "Noter la somme de deux dés",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les sommes ne sont pas équiprobables ; $7$ est bien plus\nfréquent que $2$."
        },
        {
          "text": "Noter si une punaise lancée tombe pointe en haut",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien ne garantit que les deux positions aient la même\nchance ; seule l'expérience permet d'estimer ces probabilités."
        }
      ],
      "explanation": "L'équiprobabilité est une hypothèse de modélisation, justifiée par la\nsymétrie de la situation (dé équilibré, tirage au hasard)."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "estimation",
        "frequence"
      ],
      "title": "Estimer une probabilité inconnue",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On lance $1\\,000$ fois une punaise : elle tombe $620$ fois pointe en\nhaut. Quelle estimation de la probabilité de tomber pointe en haut\npeut-on proposer ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $0{,}62$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre de lancers, la fréquence\nobservée fournit une estimation de la probabilité."
        },
        {
          "text": "Exactement $0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la punaise n'est pas symétrique ; les deux positions\nn'ont aucune raison d'être équiprobables."
        },
        {
          "text": "$620$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $620$ est un effectif. Une probabilité est comprise\nentre $0$ et $1$."
        },
        {
          "text": "Environ $0{,}38$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la fréquence de l'autre position, pointe en bas."
        }
      ],
      "explanation": "Quand aucune symétrie ne permet de calculer une probabilité, on\nl'estime par la fréquence observée sur un grand nombre d'essais."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "arbre",
        "comptage"
      ],
      "title": "Un menu tiré au sort",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Un restaurant tire au sort une entrée parmi $2$ et un dessert parmi\n$3$, de façon équiprobable. Quelle est la probabilité d'obtenir\nl'entrée « salade » et le dessert « tarte » ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il y a $2 \\times 3 = 6$ menus équiprobables, et un\nseul associe salade et tarte."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les choix se combinent ; on multiplie $2$ par $3$, on\nn'additionne pas."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne **pas** obtenir ce menu."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'obtenir la salade ; il\nfaut aussi obtenir la tarte."
        }
      ],
      "explanation": "Un arbre à deux niveaux montre les $6$ menus possibles ; on les\ncompte pour appliquer la formule de l'équiprobabilité."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecriture",
        "pourcentage"
      ],
      "title": "Écrire une probabilité de plusieurs façons",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Quelle écriture n'est **pas** égale à la probabilité\n$\\dfrac{3}{4}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3{,}4$ est supérieur à $1$, ce ne peut pas être\nune probabilité ; $\\dfrac{3}{4}$ vaut $0{,}75$."
        },
        {
          "text": "$0{,}75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 \\div 4 = 0{,}75$, c'est bien la même probabilité."
        },
        {
          "text": "$75\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}75 = \\dfrac{75}{100}$, soit $75\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{6}{8}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{6}{8}$ se simplifie en $\\dfrac{3}{4}$."
        }
      ],
      "explanation": "Une probabilité peut s'écrire sous forme de fraction, de nombre\ndécimal ou de pourcentage."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "avec-remise"
      ],
      "title": "Deux tirages avec remise",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Une urne contient $5$ boules dont $2$ rouges. On tire une boule, on\nla remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de\ntirer deux boules rouges ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il y a $5 \\times 5$ couples de tirages\néquiprobables, dont $2 \\times 2$ sont formés de deux rouges."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul\ntirage ; il en faut deux."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne\npas la probabilité d'obtenir rouge **et** rouge."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne tirer **aucune** boule rouge\nlors des deux tirages."
        }
      ],
      "explanation": "Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;\nun tableau à double entrée permet de compter les couples.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $5$ boules dont $2$ rouges. On tire une boule, on\nla remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de\ntirer deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $5 \\times 5$ couples de tirages\néquiprobables, dont $2 \\times 2$ sont formés de deux rouges."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul\ntirage ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne\npas la probabilité d'obtenir rouge **et** rouge."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne tirer **aucune** boule rouge\nlors des deux tirages."
            }
          ],
          "explanation": "Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;\nun tableau à double entrée permet de compter les couples."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $4$ boules dont $3$ rouges. On tire une boule, on\nla remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de\ntirer deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{16}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $4 \\times 4$ couples de tirages\néquiprobables, dont $3 \\times 3$ sont formés de deux rouges."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul\ntirage ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne\npas la probabilité d'obtenir rouge **et** rouge."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{16}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne tirer **aucune** boule rouge\nlors des deux tirages."
            }
          ],
          "explanation": "Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;\nun tableau à double entrée permet de compter les couples."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $3$ boules dont $1$ rouges. On tire une boule, on\nla remet, puis on en tire une seconde. Quelle est la probabilité de\ntirer deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il y a $3 \\times 3$ couples de tirages\néquiprobables, dont $1 \\times 1$ sont formés de deux rouges."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir une rouge en un seul\ntirage ; il en faut deux."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : additionner les probabilités des deux tirages ne donne\npas la probabilité d'obtenir rouge **et** rouge."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de ne tirer **aucune** boule rouge\nlors des deux tirages."
            }
          ],
          "explanation": "Avec remise, la composition de l'urne est la même aux deux tirages ;\nun tableau à double entrée permet de compter les couples."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vocabulaire",
        "impossible"
      ],
      "title": "Un événement impossible",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On tire une boule dans une urne qui ne contient que des boules\nrouges et bleues. Quel événement est impossible ?",
      "options": [
        {
          "text": "« La boule est verte »",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : aucune issue ne réalise cet événement, sa\nprobabilité vaut $0$."
        },
        {
          "text": "« La boule est rouge »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'urne contient des boules rouges, cet événement peut\nse réaliser."
        },
        {
          "text": "« La boule est rouge ou bleue »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est au contraire un événement certain."
        },
        {
          "text": "« La boule n'est pas rouge »",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il est réalisé quand on tire une boule bleue."
        }
      ],
      "explanation": "Événement impossible : probabilité $0$. Événement certain :\nprobabilité $1$."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equiprobabilite",
        "nombres"
      ],
      "title": "Tirer un nombre premier",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On choisit au hasard un entier entre $1$ et $20$, bornes comprises.\nQuelle est la probabilité qu'il soit premier ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{8}{20}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les nombres premiers jusqu'à $20$ sont $2$, $3$,\n$5$, $7$, $11$, $13$, $17$ et $19$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{20}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ n'est pas un nombre premier, il n'a qu'un seul\ndiviseur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{10}{20}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce serait la probabilité d'obtenir un nombre impair ;\n$9$ et $15$, par exemple, ne sont pas premiers."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{7}{20}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est premier ; c'est le seul nombre premier pair."
        }
      ],
      "explanation": "On liste soigneusement les issues favorables avant de calculer."
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "jeu",
        "equite"
      ],
      "title": "Un jeu équitable",
      "partie": "calculs",
      "statement": "On lance deux pièces équilibrées. Alice gagne si les deux pièces\ntombent du même côté, Bob gagne sinon. Le jeu est-il équitable ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, chacun a une probabilité $\\dfrac{1}{2}$ de gagner",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : PP et FF font gagner Alice, PF et FP font gagner\nBob ; les quatre issues sont équiprobables."
        },
        {
          "text": "Non, Alice a une probabilité $\\dfrac{2}{3}$ de gagner",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il y a quatre issues équiprobables, et non trois ; « un\nde chaque » arrive de deux façons."
        },
        {
          "text": "Non, Bob a une probabilité $\\dfrac{3}{4}$ de gagner",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : Bob gagne avec PF et FP seulement, deux issues sur\nquatre."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir sans jouer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les pièces étant équilibrées, on peut calculer les\nprobabilités sans jouer."
        }
      ],
      "explanation": "Un jeu est équitable quand chaque joueur a la même probabilité de\ngagner."
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "frequence",
        "effectif-attendu"
      ],
      "title": "Nombre de succès attendu",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Un événement a une probabilité $\\dfrac{1}{6}$. On répète\nl'expérience $300$ fois. Environ combien de fois l'événement se\nréalisera-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $50$ fois",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est\nproche de $\\dfrac{1}{6}$, donc l'événement se réalise environ\n$\\dfrac{300}{6}$ fois."
        },
        {
          "text": "Exactement $50$ fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ\nce nombre, pas exactement."
        },
        {
          "text": "Environ $6$ fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre\nde réalisations."
        },
        {
          "text": "Environ $250$ fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise\n**pas**."
        }
      ],
      "explanation": "Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à\nquelques fluctuations près.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un événement a une probabilité $\\dfrac{1}{6}$. On répète\nl'expérience $300$ fois. Environ combien de fois l'événement se\nréalisera-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $50$ fois",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est\nproche de $\\dfrac{1}{6}$, donc l'événement se réalise environ\n$\\dfrac{300}{6}$ fois."
            },
            {
              "text": "Exactement $50$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ\nce nombre, pas exactement."
            },
            {
              "text": "Environ $6$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre\nde réalisations."
            },
            {
              "text": "Environ $250$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise\n**pas**."
            }
          ],
          "explanation": "Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à\nquelques fluctuations près."
        },
        {
          "statement": "Un événement a une probabilité $\\dfrac{1}{5}$. On répète\nl'expérience $200$ fois. Environ combien de fois l'événement se\nréalisera-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $40$ fois",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est\nproche de $\\dfrac{1}{5}$, donc l'événement se réalise environ\n$\\dfrac{200}{5}$ fois."
            },
            {
              "text": "Exactement $40$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ\nce nombre, pas exactement."
            },
            {
              "text": "Environ $5$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre\nde réalisations."
            },
            {
              "text": "Environ $160$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise\n**pas**."
            }
          ],
          "explanation": "Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à\nquelques fluctuations près."
        },
        {
          "statement": "Un événement a une probabilité $\\dfrac{1}{4}$. On répète\nl'expérience $600$ fois. Environ combien de fois l'événement se\nréalisera-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Environ $150$ fois",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : sur un grand nombre d'essais, la fréquence est\nproche de $\\dfrac{1}{4}$, donc l'événement se réalise environ\n$\\dfrac{600}{4}$ fois."
            },
            {
              "text": "Exactement $150$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : le hasard fait fluctuer les résultats ; on attend environ\nce nombre, pas exactement."
            },
            {
              "text": "Environ $4$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le dénominateur de la probabilité, pas un nombre\nde réalisations."
            },
            {
              "text": "Environ $450$ fois",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est le nombre de fois où l'événement ne se réalise\n**pas**."
            }
          ],
          "explanation": "Nombre de réalisations attendu : probabilité × nombre d'essais, à\nquelques fluctuations près."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "contraire",
        "deux-epreuves"
      ],
      "title": "Pas deux fois la même couleur",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On tire deux fois de suite, avec remise, une boule dans une urne de\n$1$ boule rouge et $1$ boule bleue. Quelle est la probabilité\nd'obtenir deux couleurs différentes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les issues RR, RB, BR et BB sont équiprobables, et\ndeux d'entre elles, RB et BR, donnent deux couleurs différentes."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : RB et BR sont deux issues distinctes ; elles donnent\ntoutes deux des couleurs différentes."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « deux rouges », « deux bleues » et « une de chaque » ne\nsont pas équiprobables."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec remise, on peut tirer deux fois la même boule."
        }
      ],
      "explanation": "Un arbre à deux niveaux fait apparaître quatre issues équiprobables ;\non compte celles qui réalisent l'événement."
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "echelle",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Placer une probabilité sur une échelle",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "Un événement a une probabilité de $0{,}95$. Comment le qualifier ?",
      "options": [
        {
          "text": "Très probable, sans être certain",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}95$ est proche de $1$, mais inférieur à $1$ :\nl'événement peut ne pas se réaliser."
        },
        {
          "text": "Certain",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul un événement de probabilité $1$ est certain."
        },
        {
          "text": "Peu probable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un événement peu probable a une probabilité proche de\n$0$."
        },
        {
          "text": "Impossible, car $0{,}95$ n'est pas une fraction",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une probabilité peut s'écrire en décimal ;\n$0{,}95 = \\dfrac{95}{100}$."
        }
      ],
      "explanation": "Sur l'échelle de $0$ à $1$ : $0$ impossible, $\\dfrac{1}{2}$ une chance\nsur deux, $1$ certain."
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "evenement",
        "ou"
      ],
      "title": "Un événement décrit par « ou »",
      "partie": "vocabulaire",
      "statement": "On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité\nd'obtenir un nombre pair ou un multiple de $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les issues favorables sont $2$, $3$, $4$ et $6$ ;\nle $6$, pair et multiple de $3$, ne compte qu'une fois."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ issues paires et $2$ multiples de $3$ font $5$\nseulement si l'on compte le $6$ deux fois."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir un nombre pair **et**\nmultiple de $3$, c'est-à-dire $6$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité d'obtenir un nombre pair seulement ;\nle $3$ convient aussi."
        }
      ],
      "explanation": "On liste les issues qui réalisent au moins l'une des deux conditions,\nen veillant à ne pas compter deux fois la même."
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "urne",
        "modification"
      ],
      "title": "Ajouter des boules pour changer une probabilité",
      "partie": "calculs",
      "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $5$ boules bleues. Combien de\nboules rouges faut-il ajouter pour que la probabilité de tirer une\nrouge soit égale à $\\dfrac{1}{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $5$ rouges et $5$ bleues, les deux couleurs\nont la même probabilité, $\\dfrac{5}{10} = \\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $4$ rouges sur $9$ boules, la probabilité vaut\n$\\dfrac{4}{9}$, encore inférieure à $\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $8$ rouges sur $13$ boules, la probabilité dépasse\n$\\dfrac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il suffit d'avoir autant de rouges que de bleues, soit\n$5$ rouges, donc d'en ajouter $2$."
        }
      ],
      "explanation": "La probabilité vaut $\\dfrac{1}{2}$ quand les issues favorables sont\naussi nombreuses que les autres."
    },
    {
      "id": "q31",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "issues",
        "denombrement"
      ],
      "title": "Compter les issues de deux épreuves",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "On lance une pièce puis un dé à six faces, dont tous les résultats sont\néquiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves\ncompte-t-elle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$12$ issues",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chacune des $2$ issues de la première épreuve\nse combine avec chacune des $6$ issues de la seconde :\n$2 \\times 6 = 12$.\n"
        },
        {
          "text": "$8$ issues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les issues se **combinent**, elles ne s'additionnent\npas ; pensez aux branches de l'arbre.\n"
        },
        {
          "text": "$6$ issues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est le nombre d'issues de la seconde épreuve\nseule.\n"
        },
        {
          "text": "$2$ issues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est le nombre d'issues de la première épreuve\nseule.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Un arbre à $2$ branches, chacune suivie de $6$ branches, a\n$2 \\times 6$ chemins : autant d'issues.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On lance une pièce puis un dé à six faces, dont tous les résultats sont\néquiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves\ncompte-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ issues",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des $2$ issues de la première épreuve\nse combine avec chacune des $6$ issues de la seconde :\n$2 \\times 6 = 12$.\n"
            },
            {
              "text": "$8$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se **combinent**, elles ne s'additionnent\npas ; pensez aux branches de l'arbre.\n"
            },
            {
              "text": "$6$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $6$ est le nombre d'issues de la seconde épreuve\nseule.\n"
            },
            {
              "text": "$2$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $2$ est le nombre d'issues de la première épreuve\nseule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à $2$ branches, chacune suivie de $6$ branches, a\n$2 \\times 6$ chemins : autant d'issues."
        },
        {
          "statement": "On lance une roue à quatre secteurs puis un dé à trois faces, dont tous les résultats sont\néquiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves\ncompte-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$ issues",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des $4$ issues de la première épreuve\nse combine avec chacune des $3$ issues de la seconde :\n$4 \\times 3 = 12$.\n"
            },
            {
              "text": "$7$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se **combinent**, elles ne s'additionnent\npas ; pensez aux branches de l'arbre.\n"
            },
            {
              "text": "$3$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est le nombre d'issues de la seconde épreuve\nseule.\n"
            },
            {
              "text": "$4$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre d'issues de la première épreuve\nseule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à $4$ branches, chacune suivie de $3$ branches, a\n$4 \\times 3$ chemins : autant d'issues."
        },
        {
          "statement": "On lance un sac de trois jetons puis une urne de cinq boules, dont tous les résultats sont\néquiprobables. Combien d'issues cette expérience à deux épreuves\ncompte-t-elle ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$ issues",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chacune des $3$ issues de la première épreuve\nse combine avec chacune des $5$ issues de la seconde :\n$3 \\times 5 = 15$.\n"
            },
            {
              "text": "$8$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les issues se **combinent**, elles ne s'additionnent\npas ; pensez aux branches de l'arbre.\n"
            },
            {
              "text": "$5$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $5$ est le nombre d'issues de la seconde épreuve\nseule.\n"
            },
            {
              "text": "$3$ issues",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $3$ est le nombre d'issues de la première épreuve\nseule.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Un arbre à $3$ branches, chacune suivie de $5$ branches, a\n$3 \\times 5$ chemins : autant d'issues."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q32",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "arbre",
        "avec-remise"
      ],
      "title": "Probabilité d'un chemin de l'arbre",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec\nla probabilité $\\dfrac{2}{5}$ ; le chemin « rouge puis\nrouge » a pour probabilité $\\dfrac{2}{5} \\times\n\\dfrac{2}{5} = \\dfrac{4}{25}$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{10}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les probabilités des deux branches successives se\n**multiplient**, elles ne s'additionnent pas.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{5}$ est la probabilité d'une seule\nrouge, pas de deux.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser $1$ ; relisez\nl'arbre.\n"
        }
      ],
      "explanation": "Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des\nprobabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a\nles mêmes probabilités que la première.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec\nla probabilité $\\dfrac{2}{5}$ ; le chemin « rouge puis\nrouge » a pour probabilité $\\dfrac{2}{5} \\times\n\\dfrac{2}{5} = \\dfrac{4}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux branches successives se\n**multiplient**, elles ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{5}$ est la probabilité d'une seule\nrouge, pas de deux.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser $1$ ; relisez\nl'arbre.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des\nprobabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a\nles mêmes probabilités que la première."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $1$ boules rouges et $4$ boules bleues. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec\nla probabilité $\\dfrac{1}{5}$ ; le chemin « rouge puis\nrouge » a pour probabilité $\\dfrac{1}{5} \\times\n\\dfrac{1}{5} = \\dfrac{1}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux branches successives se\n**multiplient**, elles ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{5}$ est la probabilité d'une seule\nrouge, pas de deux.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser $1$ ; relisez\nl'arbre.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des\nprobabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a\nles mêmes probabilités que la première."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On\ntire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. Quelle est\nla probabilité d'obtenir deux boules rouges ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : avec remise, chaque tirage donne une rouge avec\nla probabilité $\\dfrac{3}{5}$ ; le chemin « rouge puis\nrouge » a pour probabilité $\\dfrac{3}{5} \\times\n\\dfrac{3}{5} = \\dfrac{9}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{6}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : les probabilités des deux branches successives se\n**multiplient**, elles ne s'additionnent pas.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{5}$ est la probabilité d'une seule\nrouge, pas de deux.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{6}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : une probabilité ne peut pas dépasser $1$ ; relisez\nl'arbre.\n"
            }
          ],
          "explanation": "Sur un arbre, la probabilité d'un chemin est le produit des\nprobabilités de ses branches ; avec remise, la seconde épreuve a\nles mêmes probabilités que la première."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q33",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "deux-epreuves",
        "evenement-contraire",
        "au-moins-un"
      ],
      "title": "Au moins une boule rouge",
      "partie": "deux-epreuves",
      "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire deux boules successivement avec remise. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{16}{25}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de\nprobabilité $\\dfrac{9}{25}$ ; donc\n$1 - \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{16}{25}$.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{25}$ est la probabilité de **deux**\nrouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une\nseule rouge.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux\nbleues.\n"
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{5}$ est la probabilité d'une rouge au\npremier tirage seulement.\n"
        }
      ],
      "explanation": "« Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :\n$1 - P(\\text{aucun})$, ici $1 - P(\\text{bleue, bleue})$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une urne contient $2$ boules rouges et $3$ boules bleues. On\ntire deux boules successivement avec remise. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{16}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de\nprobabilité $\\dfrac{9}{25}$ ; donc\n$1 - \\dfrac{9}{25} = \\dfrac{16}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{25}$ est la probabilité de **deux**\nrouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une\nseule rouge.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux\nbleues.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{5}$ est la probabilité d'une rouge au\npremier tirage seulement.\n"
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :\n$1 - P(\\text{aucun})$, ici $1 - P(\\text{bleue, bleue})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $1$ boules rouges et $4$ boules bleues. On\ntire deux boules successivement avec remise. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de\nprobabilité $\\dfrac{16}{25}$ ; donc\n$1 - \\dfrac{16}{25} = \\dfrac{9}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{25}$ est la probabilité de **deux**\nrouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une\nseule rouge.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{16}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux\nbleues.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{5}$ est la probabilité d'une rouge au\npremier tirage seulement.\n"
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :\n$1 - P(\\text{aucun})$, ici $1 - P(\\text{bleue, bleue})$."
        },
        {
          "statement": "Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. On\ntire deux boules successivement avec remise. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir au moins une boule rouge ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{21}{25}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : l'événement contraire est « deux bleues », de\nprobabilité $\\dfrac{4}{25}$ ; donc\n$1 - \\dfrac{4}{25} = \\dfrac{21}{25}$.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{9}{25}$ est la probabilité de **deux**\nrouges ; « au moins une » comprend aussi les chemins avec une\nseule rouge.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : c'est la probabilité de l'événement contraire, deux\nbleues.\n"
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{5}$ est la probabilité d'une rouge au\npremier tirage seulement.\n"
            }
          ],
          "explanation": "« Au moins un » se calcule le plus souvent par le contraire :\n$1 - P(\\text{aucun})$, ici $1 - P(\\text{bleue, bleue})$."
        }
      ]
    }
  ]
}