{
  "chapter": {
    "id": "proportionnalite-pourcentages",
    "level": "college",
    "theme": "Nombres et calculs",
    "title": "Proportionnalité et pourcentages",
    "description": "Quatrième proportionnelle, coefficient de proportionnalité, pourcentages,\nhausses et baisses, échelles, vitesses et débits.",
    "parties": [
      {
        "id": "proportionnalite",
        "title": "Reconnaître et compléter"
      },
      {
        "id": "grandeurs",
        "title": "Échelles, vitesses et débits"
      },
      {
        "id": "evolutions",
        "title": "Pourcentages, hausses et baisses"
      }
    ],
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reconnaitre-proportionnalite",
        "coefficient"
      ],
      "title": "Tableau de proportionnalité",
      "partie": "proportionnalite",
      "statement": "Dans un tableau de proportionnalité, comment passe-t-on de la première\nligne à la seconde ?",
      "options": [
        {
          "text": "En multipliant chaque valeur par un même nombre",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ce nombre unique est le coefficient de\nproportionnalité du tableau."
        },
        {
          "text": "En ajoutant un même nombre à chaque valeur",
          "correct": false,
          "feedback": "Ajouter toujours le même nombre ne conserve pas les rapports : la\nproportionnalité repose sur une multiplication."
        },
        {
          "text": "En multipliant chaque valeur par un nombre différent",
          "correct": false,
          "feedback": "Si le multiplicateur change d'une colonne à l'autre, il n'y a\njustement pas proportionnalité."
        },
        {
          "text": "En ajoutant à chaque valeur celle qui la précède",
          "correct": false,
          "feedback": "Les colonnes d'un tableau de proportionnalité sont indépendantes les\nunes des autres."
        }
      ],
      "explanation": "Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre\nen multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de\nproportionnalité."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "pourcentage-calcul"
      ],
      "title": "Pourcentage d'une quantité",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Combien vaut $25\\ \\%$ de $80$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : prendre $25\\ \\%$, c'est multiplier par\n$\\dfrac{25}{100}$, ce qui donne $20$."
        },
        {
          "text": "$200$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite par $10$ au lieu de $100$ : un pourcentage\nse rapporte toujours à cent parts."
        },
        {
          "text": "$60$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la part restante, soit $75\\ \\%$ de $80$, et non la\npart demandée."
        },
        {
          "text": "$55$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le taux a été retranché à la quantité : un pourcentage se\nmultiplie, il ne se soustrait pas."
        }
      ],
      "explanation": "Prendre $t\\ \\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par\n$\\dfrac{t}{100}$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Combien vaut $25\\ \\%$ de $80$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : prendre $25\\ \\%$, c'est multiplier par\n$\\dfrac{25}{100}$, ce qui donne $20$."
            },
            {
              "text": "$200$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par $10$ au lieu de $100$ : un pourcentage\nse rapporte toujours à cent parts."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la part restante, soit $75\\ \\%$ de $80$, et non la\npart demandée."
            },
            {
              "text": "$55$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été retranché à la quantité : un pourcentage se\nmultiplie, il ne se soustrait pas."
            }
          ],
          "explanation": "Prendre $t\\ \\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par\n$\\dfrac{t}{100}$."
        },
        {
          "statement": "Combien vaut $10\\ \\%$ de $250$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : prendre $10\\ \\%$, c'est multiplier par\n$\\dfrac{10}{100}$, ce qui donne $25$."
            },
            {
              "text": "$250$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par $10$ au lieu de $100$ : un pourcentage\nse rapporte toujours à cent parts."
            },
            {
              "text": "$225$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la part restante, soit $90\\ \\%$ de $250$, et non la\npart demandée."
            },
            {
              "text": "$240$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été retranché à la quantité : un pourcentage se\nmultiplie, il ne se soustrait pas."
            }
          ],
          "explanation": "Prendre $t\\ \\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par\n$\\dfrac{t}{100}$."
        },
        {
          "statement": "Combien vaut $75\\ \\%$ de $120$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$90$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : prendre $75\\ \\%$, c'est multiplier par\n$\\dfrac{75}{100}$, ce qui donne $90$."
            },
            {
              "text": "$900$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par $10$ au lieu de $100$ : un pourcentage\nse rapporte toujours à cent parts."
            },
            {
              "text": "$30$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la part restante, soit $25\\ \\%$ de $120$, et non la\npart demandée."
            },
            {
              "text": "$45$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été retranché à la quantité : un pourcentage se\nmultiplie, il ne se soustrait pas."
            }
          ],
          "explanation": "Prendre $t\\ \\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par\n$\\dfrac{t}{100}$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "quatrieme-proportionnelle"
      ],
      "title": "Prix d'un plus grand nombre d'articles",
      "partie": "proportionnalite",
      "statement": "$4$ stylos identiques coûtent $6$ €. Combien coûtent $10$ de ces\nstylos ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un stylo coûte $\\dfrac{3}{2}$ €, donc $10$ stylos\ncoûtent $15$ €."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{2}$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le prix d'un seul stylo : il reste à le multiplier par\n$10$."
        },
        {
          "text": "$12$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "L'écart entre $4$ et $10$ a été ajouté au prix : la\nproportionnalité se traite par multiplication."
        },
        {
          "text": "$60$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Le prix de $4$ stylos a été multiplié par $10$ sans revenir\nd'abord au prix d'un seul stylo."
        }
      ],
      "explanation": "On passe par le prix unitaire : on divise par le nombre d'articles\nconnu, puis on multiplie par le nombre d'articles cherché.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$4$ stylos identiques coûtent $6$ €. Combien coûtent $10$ de ces\nstylos ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un stylo coûte $\\dfrac{3}{2}$ €, donc $10$ stylos\ncoûtent $15$ €."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix d'un seul stylo : il reste à le multiplier par\n$10$."
            },
            {
              "text": "$12$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "L'écart entre $4$ et $10$ a été ajouté au prix : la\nproportionnalité se traite par multiplication."
            },
            {
              "text": "$60$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le prix de $4$ stylos a été multiplié par $10$ sans revenir\nd'abord au prix d'un seul stylo."
            }
          ],
          "explanation": "On passe par le prix unitaire : on divise par le nombre d'articles\nconnu, puis on multiplie par le nombre d'articles cherché."
        },
        {
          "statement": "$3$ stylos identiques coûtent $12$ €. Combien coûtent $7$ de ces\nstylos ?",
          "options": [
            {
              "text": "$28$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un stylo coûte $4$ €, donc $7$ stylos\ncoûtent $28$ €."
            },
            {
              "text": "$4$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix d'un seul stylo : il reste à le multiplier par\n$7$."
            },
            {
              "text": "$16$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "L'écart entre $3$ et $7$ a été ajouté au prix : la\nproportionnalité se traite par multiplication."
            },
            {
              "text": "$84$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le prix de $3$ stylos a été multiplié par $7$ sans revenir\nd'abord au prix d'un seul stylo."
            }
          ],
          "explanation": "On passe par le prix unitaire : on divise par le nombre d'articles\nconnu, puis on multiplie par le nombre d'articles cherché."
        },
        {
          "statement": "$5$ stylos identiques coûtent $20$ €. Combien coûtent $8$ de ces\nstylos ?",
          "options": [
            {
              "text": "$32$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : un stylo coûte $4$ €, donc $8$ stylos\ncoûtent $32$ €."
            },
            {
              "text": "$4$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix d'un seul stylo : il reste à le multiplier par\n$8$."
            },
            {
              "text": "$23$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "L'écart entre $5$ et $8$ a été ajouté au prix : la\nproportionnalité se traite par multiplication."
            },
            {
              "text": "$160$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le prix de $5$ stylos a été multiplié par $8$ sans revenir\nd'abord au prix d'un seul stylo."
            }
          ],
          "explanation": "On passe par le prix unitaire : on divise par le nombre d'articles\nconnu, puis on multiplie par le nombre d'articles cherché."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "coefficient"
      ],
      "title": "Coefficient de proportionnalité",
      "partie": "proportionnalite",
      "statement": "Dans un tableau de proportionnalité, la valeur $4$ a pour\ncorrespondante $28$. Quel est le coefficient de proportionnalité ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $4 \\times 7 = 28$, le coefficient est donc\n$7$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le coefficient dans l'autre sens, celui qui ramène de $28$ à\n$4$."
        },
        {
          "text": "$24$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est l'écart entre les deux valeurs : un coefficient se trouve par\ndivision, pas par soustraction."
        },
        {
          "text": "$112$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux valeurs ont été multipliées : c'est le quotient\n$28 \\div 4$ qui donne le coefficient."
        }
      ],
      "explanation": "Le coefficient de proportionnalité s'obtient en divisant une valeur de\nla seconde ligne par la valeur correspondante de la première.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un tableau de proportionnalité, la valeur $4$ a pour\ncorrespondante $28$. Quel est le coefficient de proportionnalité ?",
          "options": [
            {
              "text": "$7$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $4 \\times 7 = 28$, le coefficient est donc\n$7$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{7}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le coefficient dans l'autre sens, celui qui ramène de $28$ à\n$4$."
            },
            {
              "text": "$24$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux valeurs : un coefficient se trouve par\ndivision, pas par soustraction."
            },
            {
              "text": "$112$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été multipliées : c'est le quotient\n$28 \\div 4$ qui donne le coefficient."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient de proportionnalité s'obtient en divisant une valeur de\nla seconde ligne par la valeur correspondante de la première."
        },
        {
          "statement": "Dans un tableau de proportionnalité, la valeur $5$ a pour\ncorrespondante $45$. Quel est le coefficient de proportionnalité ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $5 \\times 9 = 45$, le coefficient est donc\n$9$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le coefficient dans l'autre sens, celui qui ramène de $45$ à\n$5$."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux valeurs : un coefficient se trouve par\ndivision, pas par soustraction."
            },
            {
              "text": "$225$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été multipliées : c'est le quotient\n$45 \\div 5$ qui donne le coefficient."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient de proportionnalité s'obtient en divisant une valeur de\nla seconde ligne par la valeur correspondante de la première."
        },
        {
          "statement": "Dans un tableau de proportionnalité, la valeur $8$ a pour\ncorrespondante $24$. Quel est le coefficient de proportionnalité ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $8 \\times 3 = 24$, le coefficient est donc\n$3$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le coefficient dans l'autre sens, celui qui ramène de $24$ à\n$8$."
            },
            {
              "text": "$16$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est l'écart entre les deux valeurs : un coefficient se trouve par\ndivision, pas par soustraction."
            },
            {
              "text": "$192$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux valeurs ont été multipliées : c'est le quotient\n$24 \\div 8$ qui donne le coefficient."
            }
          ],
          "explanation": "Le coefficient de proportionnalité s'obtient en divisant une valeur de\nla seconde ligne par la valeur correspondante de la première."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "pourcentage-hausse"
      ],
      "title": "Prix après une hausse",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un article coûte $80$ €. Son prix augmente de $10\\ \\%$. Quel est son\nnouveau prix ?",
      "options": [
        {
          "text": "$88$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la hausse vaut $8$ €, que l'on ajoute au\nprix de départ."
        },
        {
          "text": "$8$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le montant de la hausse seule : il reste à l'ajouter au prix\ninitial."
        },
        {
          "text": "$90$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Le taux a été ajouté comme s'il s'agissait d'euros : $10\\ \\%$ de\n$80$ €, c'est $8$ €."
        },
        {
          "text": "$72$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "La hausse a été retranchée au lieu d'être ajoutée : le prix doit\naugmenter."
        }
      ],
      "explanation": "Augmenter de $t\\ \\%$, c'est calculer $t\\ \\%$ de la valeur de départ,\npuis ajouter ce montant à cette valeur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un article coûte $80$ €. Son prix augmente de $10\\ \\%$. Quel est son\nnouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$88$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la hausse vaut $8$ €, que l'on ajoute au\nprix de départ."
            },
            {
              "text": "$8$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le montant de la hausse seule : il reste à l'ajouter au prix\ninitial."
            },
            {
              "text": "$90$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été ajouté comme s'il s'agissait d'euros : $10\\ \\%$ de\n$80$ €, c'est $8$ €."
            },
            {
              "text": "$72$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La hausse a été retranchée au lieu d'être ajoutée : le prix doit\naugmenter."
            }
          ],
          "explanation": "Augmenter de $t\\ \\%$, c'est calculer $t\\ \\%$ de la valeur de départ,\npuis ajouter ce montant à cette valeur."
        },
        {
          "statement": "Un article coûte $200$ €. Son prix augmente de $15\\ \\%$. Quel est son\nnouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$230$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la hausse vaut $30$ €, que l'on ajoute au\nprix de départ."
            },
            {
              "text": "$30$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le montant de la hausse seule : il reste à l'ajouter au prix\ninitial."
            },
            {
              "text": "$215$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été ajouté comme s'il s'agissait d'euros : $15\\ \\%$ de\n$200$ €, c'est $30$ €."
            },
            {
              "text": "$170$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La hausse a été retranchée au lieu d'être ajoutée : le prix doit\naugmenter."
            }
          ],
          "explanation": "Augmenter de $t\\ \\%$, c'est calculer $t\\ \\%$ de la valeur de départ,\npuis ajouter ce montant à cette valeur."
        },
        {
          "statement": "Un article coûte $60$ €. Son prix augmente de $25\\ \\%$. Quel est son\nnouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$75$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la hausse vaut $15$ €, que l'on ajoute au\nprix de départ."
            },
            {
              "text": "$15$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le montant de la hausse seule : il reste à l'ajouter au prix\ninitial."
            },
            {
              "text": "$85$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été ajouté comme s'il s'agissait d'euros : $25\\ \\%$ de\n$60$ €, c'est $15$ €."
            },
            {
              "text": "$45$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La hausse a été retranchée au lieu d'être ajoutée : le prix doit\naugmenter."
            }
          ],
          "explanation": "Augmenter de $t\\ \\%$, c'est calculer $t\\ \\%$ de la valeur de départ,\npuis ajouter ce montant à cette valeur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "pourcentage-baisse"
      ],
      "title": "Prix après une remise",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un article coûte $50$ €. Son prix baisse de $20\\ \\%$. Quel est son\nnouveau prix ?",
      "options": [
        {
          "text": "$40$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la remise vaut $10$ €, que l'on retranche au\nprix de départ."
        },
        {
          "text": "$10$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le montant de la remise seule, pas le prix à payer après\nremise."
        },
        {
          "text": "$30$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Le taux a été retranché comme s'il s'agissait d'euros : $20\\ \\%$\nde $50$ €, c'est $10$ €."
        },
        {
          "text": "$60$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "La remise a été ajoutée au lieu d'être retranchée : le prix doit\ndiminuer."
        }
      ],
      "explanation": "Diminuer de $t\\ \\%$, c'est calculer $t\\ \\%$ de la valeur de départ,\npuis retrancher ce montant à cette valeur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un article coûte $50$ €. Son prix baisse de $20\\ \\%$. Quel est son\nnouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la remise vaut $10$ €, que l'on retranche au\nprix de départ."
            },
            {
              "text": "$10$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le montant de la remise seule, pas le prix à payer après\nremise."
            },
            {
              "text": "$30$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été retranché comme s'il s'agissait d'euros : $20\\ \\%$\nde $50$ €, c'est $10$ €."
            },
            {
              "text": "$60$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La remise a été ajoutée au lieu d'être retranchée : le prix doit\ndiminuer."
            }
          ],
          "explanation": "Diminuer de $t\\ \\%$, c'est calculer $t\\ \\%$ de la valeur de départ,\npuis retrancher ce montant à cette valeur."
        },
        {
          "statement": "Un article coûte $120$ €. Son prix baisse de $25\\ \\%$. Quel est son\nnouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$90$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la remise vaut $30$ €, que l'on retranche au\nprix de départ."
            },
            {
              "text": "$30$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le montant de la remise seule, pas le prix à payer après\nremise."
            },
            {
              "text": "$95$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été retranché comme s'il s'agissait d'euros : $25\\ \\%$\nde $120$ €, c'est $30$ €."
            },
            {
              "text": "$150$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La remise a été ajoutée au lieu d'être retranchée : le prix doit\ndiminuer."
            }
          ],
          "explanation": "Diminuer de $t\\ \\%$, c'est calculer $t\\ \\%$ de la valeur de départ,\npuis retrancher ce montant à cette valeur."
        },
        {
          "statement": "Un article coûte $90$ €. Son prix baisse de $10\\ \\%$. Quel est son\nnouveau prix ?",
          "options": [
            {
              "text": "$81$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la remise vaut $9$ €, que l'on retranche au\nprix de départ."
            },
            {
              "text": "$9$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le montant de la remise seule, pas le prix à payer après\nremise."
            },
            {
              "text": "$80$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été retranché comme s'il s'agissait d'euros : $10\\ \\%$\nde $90$ €, c'est $9$ €."
            },
            {
              "text": "$99$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La remise a été ajoutée au lieu d'être retranchée : le prix doit\ndiminuer."
            }
          ],
          "explanation": "Diminuer de $t\\ \\%$, c'est calculer $t\\ \\%$ de la valeur de départ,\npuis retrancher ce montant à cette valeur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "vitesse"
      ],
      "title": "Vitesse moyenne",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Un cycliste parcourt $60$ km en $3$ heures. Quelle est sa vitesse\nmoyenne, en kilomètres par heure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la vitesse est le quotient de la distance par la\ndurée, soit $60 \\div 3 = 20$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{20}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite à l'envers : c'est la distance qui est\npartagée entre les heures."
        },
        {
          "text": "$180$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une multiplication a remplacé la division : ce produit n'a pas de\nsens ici."
        },
        {
          "text": "$57$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que kilomètres et\nheures ne se retranchent pas."
        }
      ],
      "explanation": "La vitesse moyenne, en kilomètres par heure, est le quotient de la\ndistance en kilomètres par la durée en heures.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un cycliste parcourt $60$ km en $3$ heures. Quelle est sa vitesse\nmoyenne, en kilomètres par heure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la vitesse est le quotient de la distance par la\ndurée, soit $60 \\div 3 = 20$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{20}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : c'est la distance qui est\npartagée entre les heures."
            },
            {
              "text": "$180$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division : ce produit n'a pas de\nsens ici."
            },
            {
              "text": "$57$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que kilomètres et\nheures ne se retranchent pas."
            }
          ],
          "explanation": "La vitesse moyenne, en kilomètres par heure, est le quotient de la\ndistance en kilomètres par la durée en heures."
        },
        {
          "statement": "Un cycliste parcourt $84$ km en $4$ heures. Quelle est sa vitesse\nmoyenne, en kilomètres par heure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la vitesse est le quotient de la distance par la\ndurée, soit $84 \\div 4 = 21$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{21}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : c'est la distance qui est\npartagée entre les heures."
            },
            {
              "text": "$336$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division : ce produit n'a pas de\nsens ici."
            },
            {
              "text": "$80$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que kilomètres et\nheures ne se retranchent pas."
            }
          ],
          "explanation": "La vitesse moyenne, en kilomètres par heure, est le quotient de la\ndistance en kilomètres par la durée en heures."
        },
        {
          "statement": "Un cycliste parcourt $75$ km en $5$ heures. Quelle est sa vitesse\nmoyenne, en kilomètres par heure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la vitesse est le quotient de la distance par la\ndurée, soit $75 \\div 5 = 15$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : c'est la distance qui est\npartagée entre les heures."
            },
            {
              "text": "$375$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division : ce produit n'a pas de\nsens ici."
            },
            {
              "text": "$70$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que kilomètres et\nheures ne se retranchent pas."
            }
          ],
          "explanation": "La vitesse moyenne, en kilomètres par heure, est le quotient de la\ndistance en kilomètres par la durée en heures."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "pourcentage-calcul",
        "fraction-pourcentage"
      ],
      "title": "Pourcentage et fraction",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "À quelle fraction simplifiée correspond $25\\ \\%$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $25\\ \\%$ signifie $\\dfrac{25}{100}$, fraction que\nl'on simplifie en $\\dfrac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : le taux est au\nnumérateur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur est $10$ au lieu de $100$ : le symbole pour cent\nrenvoie à cent parts."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{40}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le dénominateur est $1000$ au lieu de $100$ : un zéro de trop a été\nécrit."
        }
      ],
      "explanation": "Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$ : $t\\ \\%$ se lit\n$\\dfrac{t}{100}$, que l'on simplifie ensuite.",
      "variants": [
        {
          "statement": "À quelle fraction simplifiée correspond $25\\ \\%$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $25\\ \\%$ signifie $\\dfrac{25}{100}$, fraction que\nl'on simplifie en $\\dfrac{1}{4}$."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : le taux est au\nnumérateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est $10$ au lieu de $100$ : le symbole pour cent\nrenvoie à cent parts."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{40}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est $1000$ au lieu de $100$ : un zéro de trop a été\nécrit."
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$ : $t\\ \\%$ se lit\n$\\dfrac{t}{100}$, que l'on simplifie ensuite."
        },
        {
          "statement": "À quelle fraction simplifiée correspond $40\\ \\%$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{5}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $40\\ \\%$ signifie $\\dfrac{40}{100}$, fraction que\nl'on simplifie en $\\dfrac{2}{5}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : le taux est au\nnumérateur."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est $10$ au lieu de $100$ : le symbole pour cent\nrenvoie à cent parts."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est $1000$ au lieu de $100$ : un zéro de trop a été\nécrit."
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$ : $t\\ \\%$ se lit\n$\\dfrac{t}{100}$, que l'on simplifie ensuite."
        },
        {
          "statement": "À quelle fraction simplifiée correspond $75\\ \\%$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $75\\ \\%$ signifie $\\dfrac{75}{100}$, fraction que\nl'on simplifie en $\\dfrac{3}{4}$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le numérateur et le dénominateur ont été échangés : le taux est au\nnumérateur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{15}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est $10$ au lieu de $100$ : le symbole pour cent\nrenvoie à cent parts."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{40}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le dénominateur est $1000$ au lieu de $100$ : un zéro de trop a été\nécrit."
            }
          ],
          "explanation": "Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$ : $t\\ \\%$ se lit\n$\\dfrac{t}{100}$, que l'on simplifie ensuite."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reconnaitre-proportionnalite"
      ],
      "title": "Repérer une situation proportionnelle",
      "partie": "proportionnalite",
      "statement": "Parmi ces quatre situations, laquelle est une situation de\nproportionnalité ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le prix payé selon le nombre de croissants achetés",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux fois plus de croissants coûtent deux fois plus\ncher, puisque chacun a le même prix."
        },
        {
          "text": "La taille d'un enfant selon son âge en années",
          "correct": false,
          "feedback": "Un enfant de dix ans ne mesure pas le double d'un enfant de cinq\nans : la croissance n'est pas proportionnelle."
        },
        {
          "text": "Le prix d'une course de taxi, avec une prise en charge fixe",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme fixe payée au départ casse la proportionnalité : pour zéro\nkilomètre, le prix n'est pas nul."
        },
        {
          "text": "L'aire d'un carré selon la longueur de son côté",
          "correct": false,
          "feedback": "Doubler le côté multiplie l'aire par quatre, et non par deux."
        }
      ],
      "explanation": "Il y a proportionnalité quand doubler, tripler ou diviser par deux une\ngrandeur fait exactement de même sur l'autre."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "debit"
      ],
      "title": "Débit d'un robinet",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Un robinet remplit $45$ litres en $5$ minutes. Quel est son débit,\nen litres par minute ?",
      "options": [
        {
          "text": "$9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le débit est le quotient du volume par la durée,\nsoit $45 \\div 5 = 9$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat donnerait des\nminutes par litre."
        },
        {
          "text": "$225$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une multiplication a remplacé la division qui définit le débit."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que litres et\nminutes ne se retranchent pas."
        }
      ],
      "explanation": "Un débit est un quotient : il indique le volume écoulé pendant une\nunité de temps.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un robinet remplit $45$ litres en $5$ minutes. Quel est son débit,\nen litres par minute ?",
          "options": [
            {
              "text": "$9$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le débit est le quotient du volume par la durée,\nsoit $45 \\div 5 = 9$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{9}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat donnerait des\nminutes par litre."
            },
            {
              "text": "$225$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division qui définit le débit."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que litres et\nminutes ne se retranchent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un débit est un quotient : il indique le volume écoulé pendant une\nunité de temps."
        },
        {
          "statement": "Un robinet remplit $72$ litres en $6$ minutes. Quel est son débit,\nen litres par minute ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le débit est le quotient du volume par la durée,\nsoit $72 \\div 6 = 12$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{12}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat donnerait des\nminutes par litre."
            },
            {
              "text": "$432$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division qui définit le débit."
            },
            {
              "text": "$66$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que litres et\nminutes ne se retranchent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un débit est un quotient : il indique le volume écoulé pendant une\nunité de temps."
        },
        {
          "statement": "Un robinet remplit $40$ litres en $8$ minutes. Quel est son débit,\nen litres par minute ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le débit est le quotient du volume par la durée,\nsoit $40 \\div 8 = 5$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat donnerait des\nminutes par litre."
            },
            {
              "text": "$320$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division qui définit le débit."
            },
            {
              "text": "$32$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que litres et\nminutes ne se retranchent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Un débit est un quotient : il indique le volume écoulé pendant une\nunité de temps."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quatrieme-proportionnelle",
        "coefficient"
      ],
      "title": "Prix au kilogramme",
      "partie": "proportionnalite",
      "statement": "$4$ kg de pommes coûtent $10$ €. Combien coûtent $6$ kg de ces\nmêmes pommes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le kilogramme coûte $\\dfrac{5}{2}$ €, donc $6$ kg\ncoûtent $15$ €."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{2}$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le prix d'un seul kilogramme : il reste à multiplier par\n$6$."
        },
        {
          "text": "$12$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "L'écart de masse a été ajouté au prix, alors que la\nproportionnalité se traite par multiplication."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{20}{3}$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux masses ont été échangées dans le calcul : on multiplie par\n$6$ et on divise par $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Le prix au kilogramme est le coefficient de proportionnalité : une fois\nconnu, il suffit de le multiplier par la masse cherchée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "$4$ kg de pommes coûtent $10$ €. Combien coûtent $6$ kg de ces\nmêmes pommes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le kilogramme coûte $\\dfrac{5}{2}$ €, donc $6$ kg\ncoûtent $15$ €."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{2}$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix d'un seul kilogramme : il reste à multiplier par\n$6$."
            },
            {
              "text": "$12$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "L'écart de masse a été ajouté au prix, alors que la\nproportionnalité se traite par multiplication."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{20}{3}$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux masses ont été échangées dans le calcul : on multiplie par\n$6$ et on divise par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Le prix au kilogramme est le coefficient de proportionnalité : une fois\nconnu, il suffit de le multiplier par la masse cherchée."
        },
        {
          "statement": "$6$ kg de pommes coûtent $15$ €. Combien coûtent $10$ kg de ces\nmêmes pommes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le kilogramme coûte $\\dfrac{5}{2}$ €, donc $10$ kg\ncoûtent $25$ €."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{2}$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix d'un seul kilogramme : il reste à multiplier par\n$10$."
            },
            {
              "text": "$19$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "L'écart de masse a été ajouté au prix, alors que la\nproportionnalité se traite par multiplication."
            },
            {
              "text": "$9$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux masses ont été échangées dans le calcul : on multiplie par\n$10$ et on divise par $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Le prix au kilogramme est le coefficient de proportionnalité : une fois\nconnu, il suffit de le multiplier par la masse cherchée."
        },
        {
          "statement": "$8$ kg de pommes coûtent $12$ €. Combien coûtent $14$ kg de ces\nmêmes pommes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$21$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le kilogramme coûte $\\dfrac{3}{2}$ €, donc $14$ kg\ncoûtent $21$ €."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{2}$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix d'un seul kilogramme : il reste à multiplier par\n$14$."
            },
            {
              "text": "$18$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "L'écart de masse a été ajouté au prix, alors que la\nproportionnalité se traite par multiplication."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{48}{7}$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux masses ont été échangées dans le calcul : on multiplie par\n$14$ et on divise par $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Le prix au kilogramme est le coefficient de proportionnalité : une fois\nconnu, il suffit de le multiplier par la masse cherchée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "echelle"
      ],
      "title": "Lire une échelle",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Un plan est à l'échelle $\\dfrac{1}{200}$. Sur ce plan, $1$ cm\nreprésente quelle longueur réelle, en mètres ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1$ cm représente $200$ cm en réalité, soit\n$2$ m."
        },
        {
          "text": "$200$",
          "correct": false,
          "feedback": "La conversion a été oubliée : $200$ est le nombre de\ncentimètres, pas de mètres."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite par $1000$ : il y a $100$ centimètres dans\nun mètre, pas mille."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite par $50$ au lieu de $100$ : le facteur de\nconversion est fixe."
        }
      ],
      "explanation": "Une échelle compare une longueur sur le plan à la longueur réelle,\nexprimée dans la même unité. On convertit ensuite en mètres en divisant\npar $100$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un plan est à l'échelle $\\dfrac{1}{200}$. Sur ce plan, $1$ cm\nreprésente quelle longueur réelle, en mètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ cm représente $200$ cm en réalité, soit\n$2$ m."
            },
            {
              "text": "$200$",
              "correct": false,
              "feedback": "La conversion a été oubliée : $200$ est le nombre de\ncentimètres, pas de mètres."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par $1000$ : il y a $100$ centimètres dans\nun mètre, pas mille."
            },
            {
              "text": "$4$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par $50$ au lieu de $100$ : le facteur de\nconversion est fixe."
            }
          ],
          "explanation": "Une échelle compare une longueur sur le plan à la longueur réelle,\nexprimée dans la même unité. On convertit ensuite en mètres en divisant\npar $100$."
        },
        {
          "statement": "Un plan est à l'échelle $\\dfrac{1}{500}$. Sur ce plan, $1$ cm\nreprésente quelle longueur réelle, en mètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$5$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ cm représente $500$ cm en réalité, soit\n$5$ m."
            },
            {
              "text": "$500$",
              "correct": false,
              "feedback": "La conversion a été oubliée : $500$ est le nombre de\ncentimètres, pas de mètres."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par $1000$ : il y a $100$ centimètres dans\nun mètre, pas mille."
            },
            {
              "text": "$10$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par $50$ au lieu de $100$ : le facteur de\nconversion est fixe."
            }
          ],
          "explanation": "Une échelle compare une longueur sur le plan à la longueur réelle,\nexprimée dans la même unité. On convertit ensuite en mètres en divisant\npar $100$."
        },
        {
          "statement": "Un plan est à l'échelle $\\dfrac{1}{2000}$. Sur ce plan, $1$ cm\nreprésente quelle longueur réelle, en mètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $1$ cm représente $2000$ cm en réalité, soit\n$20$ m."
            },
            {
              "text": "$2000$",
              "correct": false,
              "feedback": "La conversion a été oubliée : $2000$ est le nombre de\ncentimètres, pas de mètres."
            },
            {
              "text": "$2$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par $1000$ : il y a $100$ centimètres dans\nun mètre, pas mille."
            },
            {
              "text": "$40$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par $50$ au lieu de $100$ : le facteur de\nconversion est fixe."
            }
          ],
          "explanation": "Une échelle compare une longueur sur le plan à la longueur réelle,\nexprimée dans la même unité. On convertit ensuite en mètres en divisant\npar $100$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pourcentage-inverse",
        "pourcentage-hausse"
      ],
      "title": "Prix avant une hausse",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Après une hausse de $20\\ \\%$, un article coûte $60$ €. Quel était son\nprix avant cette hausse ?",
      "options": [
        {
          "text": "$50$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le prix a été multiplié par $120 \\div 100$,\non divise donc $60$ par ce nombre."
        },
        {
          "text": "$48$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Une baisse de $20\\ \\%$ a été appliquée au prix final : elle ne\ncompense pas une hausse de $20\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$40$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Le taux a été retranché comme s'il s'agissait d'euros."
        },
        {
          "text": "$72$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "La hausse a été appliquée une seconde fois : il fallait remonter\navant la hausse, donc diviser."
        }
      ],
      "explanation": "Une hausse de $t\\ \\%$ multiplie le prix. Pour revenir au prix de\ndépart, on divise par ce même multiplicateur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Après une hausse de $20\\ \\%$, un article coûte $60$ €. Quel était son\nprix avant cette hausse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$50$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le prix a été multiplié par $120 \\div 100$,\non divise donc $60$ par ce nombre."
            },
            {
              "text": "$48$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Une baisse de $20\\ \\%$ a été appliquée au prix final : elle ne\ncompense pas une hausse de $20\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$40$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été retranché comme s'il s'agissait d'euros."
            },
            {
              "text": "$72$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La hausse a été appliquée une seconde fois : il fallait remonter\navant la hausse, donc diviser."
            }
          ],
          "explanation": "Une hausse de $t\\ \\%$ multiplie le prix. Pour revenir au prix de\ndépart, on divise par ce même multiplicateur."
        },
        {
          "statement": "Après une hausse de $25\\ \\%$, un article coûte $80$ €. Quel était son\nprix avant cette hausse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$64$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le prix a été multiplié par $125 \\div 100$,\non divise donc $80$ par ce nombre."
            },
            {
              "text": "$60$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Une baisse de $25\\ \\%$ a été appliquée au prix final : elle ne\ncompense pas une hausse de $25\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$55$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été retranché comme s'il s'agissait d'euros."
            },
            {
              "text": "$100$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La hausse a été appliquée une seconde fois : il fallait remonter\navant la hausse, donc diviser."
            }
          ],
          "explanation": "Une hausse de $t\\ \\%$ multiplie le prix. Pour revenir au prix de\ndépart, on divise par ce même multiplicateur."
        },
        {
          "statement": "Après une hausse de $50\\ \\%$, un article coûte $90$ €. Quel était son\nprix avant cette hausse ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le prix a été multiplié par $150 \\div 100$,\non divise donc $90$ par ce nombre."
            },
            {
              "text": "$45$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Une baisse de $50\\ \\%$ a été appliquée au prix final : elle ne\ncompense pas une hausse de $50\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$40$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été retranché comme s'il s'agissait d'euros."
            },
            {
              "text": "$135$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La hausse a été appliquée une seconde fois : il fallait remonter\navant la hausse, donc diviser."
            }
          ],
          "explanation": "Une hausse de $t\\ \\%$ multiplie le prix. Pour revenir au prix de\ndépart, on divise par ce même multiplicateur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pourcentage-calcul",
        "fraction-pourcentage"
      ],
      "title": "Exprimer une part en pourcentage",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Dans une classe de $25$ élèves, $14$ sont demi-pensionnaires. Quel\npourcentage d'élèves cela représente-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$56\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la part vaut $\\dfrac{14}{25}$, que l'on écrit\nsur $100$ pour obtenir $56\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$44\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le pourcentage des élèves qui ne sont pas\ndemi-pensionnaires."
        },
        {
          "text": "$11\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le nombre d'élèves restants, pas un pourcentage : il faut\nrapporter la part à $100$."
        },
        {
          "text": "$28\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'effectif a été doublé, ce qui ne donne le bon taux que dans une\nclasse de cinquante élèves."
        }
      ],
      "explanation": "Pour exprimer une part en pourcentage, on calcule le quotient de la\npart par le total, puis on multiplie par $100$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans une classe de $25$ élèves, $14$ sont demi-pensionnaires. Quel\npourcentage d'élèves cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$56\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la part vaut $\\dfrac{14}{25}$, que l'on écrit\nsur $100$ pour obtenir $56\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$44\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le pourcentage des élèves qui ne sont pas\ndemi-pensionnaires."
            },
            {
              "text": "$11\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre d'élèves restants, pas un pourcentage : il faut\nrapporter la part à $100$."
            },
            {
              "text": "$28\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'effectif a été doublé, ce qui ne donne le bon taux que dans une\nclasse de cinquante élèves."
            }
          ],
          "explanation": "Pour exprimer une part en pourcentage, on calcule le quotient de la\npart par le total, puis on multiplie par $100$."
        },
        {
          "statement": "Dans une classe de $40$ élèves, $18$ sont demi-pensionnaires. Quel\npourcentage d'élèves cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la part vaut $\\dfrac{18}{40}$, que l'on écrit\nsur $100$ pour obtenir $45\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$55\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le pourcentage des élèves qui ne sont pas\ndemi-pensionnaires."
            },
            {
              "text": "$22\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre d'élèves restants, pas un pourcentage : il faut\nrapporter la part à $100$."
            },
            {
              "text": "$36\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'effectif a été doublé, ce qui ne donne le bon taux que dans une\nclasse de cinquante élèves."
            }
          ],
          "explanation": "Pour exprimer une part en pourcentage, on calcule le quotient de la\npart par le total, puis on multiplie par $100$."
        },
        {
          "statement": "Dans une classe de $20$ élèves, $13$ sont demi-pensionnaires. Quel\npourcentage d'élèves cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "$65\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la part vaut $\\dfrac{13}{20}$, que l'on écrit\nsur $100$ pour obtenir $65\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$35\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le pourcentage des élèves qui ne sont pas\ndemi-pensionnaires."
            },
            {
              "text": "$7\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le nombre d'élèves restants, pas un pourcentage : il faut\nrapporter la part à $100$."
            },
            {
              "text": "$26\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'effectif a été doublé, ce qui ne donne le bon taux que dans une\nclasse de cinquante élèves."
            }
          ],
          "explanation": "Pour exprimer une part en pourcentage, on calcule le quotient de la\npart par le total, puis on multiplie par $100$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "vitesse",
        "conversion"
      ],
      "title": "Distance parcourue en minutes",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Un train roule à la vitesse constante de $90$ km/h pendant $40$\nminutes. Quelle distance parcourt-il, en kilomètres ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $40$ minutes valent $\\dfrac{40}{60}$ heure, d'où\nune distance de $60$ km."
        },
        {
          "text": "$3600$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les minutes ont été traitées comme des heures : il fallait d'abord\ndiviser par $60$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{9}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une division a remplacé la multiplication : la distance est le\nproduit de la vitesse par la durée."
        },
        {
          "text": "$50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la multiplication, alors que les unités\nsont différentes."
        }
      ],
      "explanation": "Une vitesse en kilomètres par heure se multiplie par une durée exprimée\nen heures : les minutes doivent donc être converties auparavant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un train roule à la vitesse constante de $90$ km/h pendant $40$\nminutes. Quelle distance parcourt-il, en kilomètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $40$ minutes valent $\\dfrac{40}{60}$ heure, d'où\nune distance de $60$ km."
            },
            {
              "text": "$3600$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les minutes ont été traitées comme des heures : il fallait d'abord\ndiviser par $60$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{9}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une division a remplacé la multiplication : la distance est le\nproduit de la vitesse par la durée."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la multiplication, alors que les unités\nsont différentes."
            }
          ],
          "explanation": "Une vitesse en kilomètres par heure se multiplie par une durée exprimée\nen heures : les minutes doivent donc être converties auparavant."
        },
        {
          "statement": "Un train roule à la vitesse constante de $120$ km/h pendant $25$\nminutes. Quelle distance parcourt-il, en kilomètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$50$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $25$ minutes valent $\\dfrac{25}{60}$ heure, d'où\nune distance de $50$ km."
            },
            {
              "text": "$3000$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les minutes ont été traitées comme des heures : il fallait d'abord\ndiviser par $60$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{24}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une division a remplacé la multiplication : la distance est le\nproduit de la vitesse par la durée."
            },
            {
              "text": "$95$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la multiplication, alors que les unités\nsont différentes."
            }
          ],
          "explanation": "Une vitesse en kilomètres par heure se multiplie par une durée exprimée\nen heures : les minutes doivent donc être converties auparavant."
        },
        {
          "statement": "Un train roule à la vitesse constante de $80$ km/h pendant $30$\nminutes. Quelle distance parcourt-il, en kilomètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $30$ minutes valent $\\dfrac{30}{60}$ heure, d'où\nune distance de $40$ km."
            },
            {
              "text": "$2400$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les minutes ont été traitées comme des heures : il fallait d'abord\ndiviser par $60$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{8}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une division a remplacé la multiplication : la distance est le\nproduit de la vitesse par la durée."
            },
            {
              "text": "$50$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la multiplication, alors que les unités\nsont différentes."
            }
          ],
          "explanation": "Une vitesse en kilomètres par heure se multiplie par une durée exprimée\nen heures : les minutes doivent donc être converties auparavant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "debit"
      ],
      "title": "Durée de remplissage",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Un robinet a un débit de $12$ litres par minute. Combien de minutes\nfaut-il pour remplir un bassin de $180$ litres ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque minute apporte $12$ litres, donc il faut\n$180 \\div 12 = 15$ minutes."
        },
        {
          "text": "$2160$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une multiplication a remplacé la division : le débit se retranche\ndu volume minute après minute."
        },
        {
          "text": "$192$",
          "correct": false,
          "feedback": "Volume et débit ne s'additionnent pas : ils n'ont pas la même\nunité."
        },
        {
          "text": "$168$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que le débit se\nrépète à chaque minute."
        }
      ],
      "explanation": "Le volume, le débit et la durée forment un tableau de\nproportionnalité : la durée est le quotient du volume par le débit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un robinet a un débit de $12$ litres par minute. Combien de minutes\nfaut-il pour remplir un bassin de $180$ litres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque minute apporte $12$ litres, donc il faut\n$180 \\div 12 = 15$ minutes."
            },
            {
              "text": "$2160$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division : le débit se retranche\ndu volume minute après minute."
            },
            {
              "text": "$192$",
              "correct": false,
              "feedback": "Volume et débit ne s'additionnent pas : ils n'ont pas la même\nunité."
            },
            {
              "text": "$168$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que le débit se\nrépète à chaque minute."
            }
          ],
          "explanation": "Le volume, le débit et la durée forment un tableau de\nproportionnalité : la durée est le quotient du volume par le débit."
        },
        {
          "statement": "Un robinet a un débit de $8$ litres par minute. Combien de minutes\nfaut-il pour remplir un bassin de $200$ litres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque minute apporte $8$ litres, donc il faut\n$200 \\div 8 = 25$ minutes."
            },
            {
              "text": "$1600$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division : le débit se retranche\ndu volume minute après minute."
            },
            {
              "text": "$208$",
              "correct": false,
              "feedback": "Volume et débit ne s'additionnent pas : ils n'ont pas la même\nunité."
            },
            {
              "text": "$192$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que le débit se\nrépète à chaque minute."
            }
          ],
          "explanation": "Le volume, le débit et la durée forment un tableau de\nproportionnalité : la durée est le quotient du volume par le débit."
        },
        {
          "statement": "Un robinet a un débit de $15$ litres par minute. Combien de minutes\nfaut-il pour remplir un bassin de $180$ litres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : chaque minute apporte $15$ litres, donc il faut\n$180 \\div 15 = 12$ minutes."
            },
            {
              "text": "$2700$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division : le débit se retranche\ndu volume minute après minute."
            },
            {
              "text": "$195$",
              "correct": false,
              "feedback": "Volume et débit ne s'additionnent pas : ils n'ont pas la même\nunité."
            },
            {
              "text": "$165$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que le débit se\nrépète à chaque minute."
            }
          ],
          "explanation": "Le volume, le débit et la durée forment un tableau de\nproportionnalité : la durée est le quotient du volume par le débit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "coefficient-multiplicateur",
        "pourcentage-hausse"
      ],
      "title": "Multiplicateur d'une hausse",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Par quel nombre faut-il multiplier un prix pour l'augmenter de\n$20\\ \\%$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on garde la totalité du prix, soit $1$, et on\najoute $0{,}2$, d'où $1{,}2$."
        },
        {
          "text": "$0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre correspond à une baisse de $20\\ \\%$ : il est inférieur à\n$1$."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce nombre ne donne que la hausse : le prix de départ a disparu du\ncalcul."
        },
        {
          "text": "$21$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le taux a été ajouté sans être divisé par $100$, ce qui\nmultiplierait le prix bien trop fortement."
        }
      ],
      "explanation": "Augmenter de $t\\ \\%$ revient à multiplier par $1 + \\dfrac{t}{100}$ :\nle $1$ conserve la valeur de départ, la fraction ajoute la hausse.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Par quel nombre faut-il multiplier un prix pour l'augmenter de\n$20\\ \\%$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde la totalité du prix, soit $1$, et on\najoute $0{,}2$, d'où $1{,}2$."
            },
            {
              "text": "$0{,}8$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre correspond à une baisse de $20\\ \\%$ : il est inférieur à\n$1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}2$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre ne donne que la hausse : le prix de départ a disparu du\ncalcul."
            },
            {
              "text": "$21$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été ajouté sans être divisé par $100$, ce qui\nmultiplierait le prix bien trop fortement."
            }
          ],
          "explanation": "Augmenter de $t\\ \\%$ revient à multiplier par $1 + \\dfrac{t}{100}$ :\nle $1$ conserve la valeur de départ, la fraction ajoute la hausse."
        },
        {
          "statement": "Par quel nombre faut-il multiplier un prix pour l'augmenter de\n$5\\ \\%$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}05$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde la totalité du prix, soit $1$, et on\najoute $0{,}05$, d'où $1{,}05$."
            },
            {
              "text": "$0{,}95$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre correspond à une baisse de $5\\ \\%$ : il est inférieur à\n$1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}05$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre ne donne que la hausse : le prix de départ a disparu du\ncalcul."
            },
            {
              "text": "$6$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été ajouté sans être divisé par $100$, ce qui\nmultiplierait le prix bien trop fortement."
            }
          ],
          "explanation": "Augmenter de $t\\ \\%$ revient à multiplier par $1 + \\dfrac{t}{100}$ :\nle $1$ conserve la valeur de départ, la fraction ajoute la hausse."
        },
        {
          "statement": "Par quel nombre faut-il multiplier un prix pour l'augmenter de\n$35\\ \\%$ ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1{,}35$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : on garde la totalité du prix, soit $1$, et on\najoute $0{,}35$, d'où $1{,}35$."
            },
            {
              "text": "$0{,}65$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre correspond à une baisse de $35\\ \\%$ : il est inférieur à\n$1$."
            },
            {
              "text": "$0{,}35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce nombre ne donne que la hausse : le prix de départ a disparu du\ncalcul."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été ajouté sans être divisé par $100$, ce qui\nmultiplierait le prix bien trop fortement."
            }
          ],
          "explanation": "Augmenter de $t\\ \\%$ revient à multiplier par $1 + \\dfrac{t}{100}$ :\nle $1$ conserve la valeur de départ, la fraction ajoute la hausse."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "coefficient-multiplicateur",
        "pourcentage-baisse"
      ],
      "title": "Lire un multiplicateur",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Dans un magasin, tous les prix sont multipliés par $0{,}9$. Quelle\nvariation cela représente-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une baisse de $10\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il reste $90\\ \\%$ du prix, donc $10\\ \\%$\nont été perdus."
        },
        {
          "text": "Une hausse de $10\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un multiplicateur inférieur à $1$ fait toujours diminuer le prix."
        },
        {
          "text": "Une baisse de $90\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "$90\\ \\%$ est la part conservée, pas la part perdue : les\ndeux doivent totaliser $100$."
        },
        {
          "text": "Une hausse de $90\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux erreurs se cumulent : le sens de la variation et la part\nconcernée."
        }
      ],
      "explanation": "Multiplier par un nombre inférieur à $1$ correspond à une baisse. Le\ntaux de cette baisse est ce qui manque pour atteindre $1$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Dans un magasin, tous les prix sont multipliés par $0{,}9$. Quelle\nvariation cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une baisse de $10\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il reste $90\\ \\%$ du prix, donc $10\\ \\%$\nont été perdus."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $10\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un multiplicateur inférieur à $1$ fait toujours diminuer le prix."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $90\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "$90\\ \\%$ est la part conservée, pas la part perdue : les\ndeux doivent totaliser $100$."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $90\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs se cumulent : le sens de la variation et la part\nconcernée."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un nombre inférieur à $1$ correspond à une baisse. Le\ntaux de cette baisse est ce qui manque pour atteindre $1$."
        },
        {
          "statement": "Dans un magasin, tous les prix sont multipliés par $0{,}75$. Quelle\nvariation cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une baisse de $25\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il reste $75\\ \\%$ du prix, donc $25\\ \\%$\nont été perdus."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $25\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un multiplicateur inférieur à $1$ fait toujours diminuer le prix."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $75\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "$75\\ \\%$ est la part conservée, pas la part perdue : les\ndeux doivent totaliser $100$."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $75\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs se cumulent : le sens de la variation et la part\nconcernée."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un nombre inférieur à $1$ correspond à une baisse. Le\ntaux de cette baisse est ce qui manque pour atteindre $1$."
        },
        {
          "statement": "Dans un magasin, tous les prix sont multipliés par $0{,}6$. Quelle\nvariation cela représente-t-il ?",
          "options": [
            {
              "text": "Une baisse de $40\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il reste $60\\ \\%$ du prix, donc $40\\ \\%$\nont été perdus."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $40\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Un multiplicateur inférieur à $1$ fait toujours diminuer le prix."
            },
            {
              "text": "Une baisse de $60\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "$60\\ \\%$ est la part conservée, pas la part perdue : les\ndeux doivent totaliser $100$."
            },
            {
              "text": "Une hausse de $60\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Deux erreurs se cumulent : le sens de la variation et la part\nconcernée."
            }
          ],
          "explanation": "Multiplier par un nombre inférieur à $1$ correspond à une baisse. Le\ntaux de cette baisse est ce qui manque pour atteindre $1$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pourcentage-inverse",
        "pourcentage-baisse"
      ],
      "title": "Prix avant une remise",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Après une remise de $20\\ \\%$, un article est vendu $60$ €. Quel était\nson prix avant cette remise ?",
      "options": [
        {
          "text": "$75$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le prix vendu représente $80\\ \\%$ du prix\ninitial, que l'on retrouve par division."
        },
        {
          "text": "$72$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Une hausse de $20\\ \\%$ a été appliquée au prix soldé : elle ne\ncompense pas une baisse de $20\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$80$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Le taux a été ajouté comme s'il s'agissait d'euros."
        },
        {
          "text": "$48$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "La remise a été appliquée une seconde fois, alors qu'il fallait\nremonter avant la remise."
        }
      ],
      "explanation": "Après une remise de $t\\ \\%$, le prix payé représente $100 - t$ pour\ncent du prix initial. On retrouve celui-ci en divisant.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Après une remise de $20\\ \\%$, un article est vendu $60$ €. Quel était\nson prix avant cette remise ?",
          "options": [
            {
              "text": "$75$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le prix vendu représente $80\\ \\%$ du prix\ninitial, que l'on retrouve par division."
            },
            {
              "text": "$72$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Une hausse de $20\\ \\%$ a été appliquée au prix soldé : elle ne\ncompense pas une baisse de $20\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$80$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été ajouté comme s'il s'agissait d'euros."
            },
            {
              "text": "$48$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La remise a été appliquée une seconde fois, alors qu'il fallait\nremonter avant la remise."
            }
          ],
          "explanation": "Après une remise de $t\\ \\%$, le prix payé représente $100 - t$ pour\ncent du prix initial. On retrouve celui-ci en divisant."
        },
        {
          "statement": "Après une remise de $25\\ \\%$, un article est vendu $120$ €. Quel était\nson prix avant cette remise ?",
          "options": [
            {
              "text": "$160$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le prix vendu représente $75\\ \\%$ du prix\ninitial, que l'on retrouve par division."
            },
            {
              "text": "$150$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Une hausse de $25\\ \\%$ a été appliquée au prix soldé : elle ne\ncompense pas une baisse de $25\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$145$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été ajouté comme s'il s'agissait d'euros."
            },
            {
              "text": "$90$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La remise a été appliquée une seconde fois, alors qu'il fallait\nremonter avant la remise."
            }
          ],
          "explanation": "Après une remise de $t\\ \\%$, le prix payé représente $100 - t$ pour\ncent du prix initial. On retrouve celui-ci en divisant."
        },
        {
          "statement": "Après une remise de $40\\ \\%$, un article est vendu $90$ €. Quel était\nson prix avant cette remise ?",
          "options": [
            {
              "text": "$150$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le prix vendu représente $60\\ \\%$ du prix\ninitial, que l'on retrouve par division."
            },
            {
              "text": "$126$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Une hausse de $40\\ \\%$ a été appliquée au prix soldé : elle ne\ncompense pas une baisse de $40\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$130$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux a été ajouté comme s'il s'agissait d'euros."
            },
            {
              "text": "$54$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La remise a été appliquée une seconde fois, alors qu'il fallait\nremonter avant la remise."
            }
          ],
          "explanation": "Après une remise de $t\\ \\%$, le prix payé représente $100 - t$ pour\ncent du prix initial. On retrouve celui-ci en divisant."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quatrieme-proportionnelle"
      ],
      "title": "Adapter une recette",
      "partie": "proportionnalite",
      "statement": "Une recette pour $4$ personnes demande $300$ g de farine. Quelle\nmasse de farine faut-il pour $6$ personnes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$450$ g",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut $75$ g par personne, donc\n$450$ g pour $6$ personnes."
        },
        {
          "text": "$75$ g",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la masse pour une seule personne : il reste à multiplier par\n$6$."
        },
        {
          "text": "$306$ g",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nombre de personnes a été ajouté à une masse : ces deux\ngrandeurs ne s'additionnent pas."
        },
        {
          "text": "$200$ g",
          "correct": false,
          "feedback": "Les deux nombres de personnes ont été échangés : on multiplie par\n$6$ et on divise par $4$."
        }
      ],
      "explanation": "Les quantités d'une recette sont proportionnelles au nombre de\nconvives : on passe par la quantité pour une personne.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une recette pour $4$ personnes demande $300$ g de farine. Quelle\nmasse de farine faut-il pour $6$ personnes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$450$ g",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $75$ g par personne, donc\n$450$ g pour $6$ personnes."
            },
            {
              "text": "$75$ g",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la masse pour une seule personne : il reste à multiplier par\n$6$."
            },
            {
              "text": "$306$ g",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre de personnes a été ajouté à une masse : ces deux\ngrandeurs ne s'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$200$ g",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres de personnes ont été échangés : on multiplie par\n$6$ et on divise par $4$."
            }
          ],
          "explanation": "Les quantités d'une recette sont proportionnelles au nombre de\nconvives : on passe par la quantité pour une personne."
        },
        {
          "statement": "Une recette pour $6$ personnes demande $240$ g de farine. Quelle\nmasse de farine faut-il pour $10$ personnes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$400$ g",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $40$ g par personne, donc\n$400$ g pour $10$ personnes."
            },
            {
              "text": "$40$ g",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la masse pour une seule personne : il reste à multiplier par\n$10$."
            },
            {
              "text": "$250$ g",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre de personnes a été ajouté à une masse : ces deux\ngrandeurs ne s'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$144$ g",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres de personnes ont été échangés : on multiplie par\n$10$ et on divise par $6$."
            }
          ],
          "explanation": "Les quantités d'une recette sont proportionnelles au nombre de\nconvives : on passe par la quantité pour une personne."
        },
        {
          "statement": "Une recette pour $8$ personnes demande $360$ g de farine. Quelle\nmasse de farine faut-il pour $5$ personnes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$225$ g",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il faut $45$ g par personne, donc\n$225$ g pour $5$ personnes."
            },
            {
              "text": "$45$ g",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la masse pour une seule personne : il reste à multiplier par\n$5$."
            },
            {
              "text": "$365$ g",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nombre de personnes a été ajouté à une masse : ces deux\ngrandeurs ne s'additionnent pas."
            },
            {
              "text": "$576$ g",
              "correct": false,
              "feedback": "Les deux nombres de personnes ont été échangés : on multiplie par\n$5$ et on divise par $8$."
            }
          ],
          "explanation": "Les quantités d'une recette sont proportionnelles au nombre de\nconvives : on passe par la quantité pour une personne."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "vitesse",
        "conversion"
      ],
      "title": "Durée d'un trajet",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Un automobiliste parcourt $30$ km à la vitesse moyenne de $45$ km/h.\nQuelle est la durée du trajet, en minutes ?",
      "options": [
        {
          "text": "$40$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la durée vaut $\\dfrac{2}{3}$ heure, soit $40$\nminutes après multiplication par $60$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La durée est juste, mais exprimée en heures : la question demande\ndes minutes."
        },
        {
          "text": "$90$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite à l'envers : c'est la distance que l'on\npartage par la vitesse."
        },
        {
          "text": "$15$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que les deux\ngrandeurs n'ont pas la même unité."
        }
      ],
      "explanation": "La durée est le quotient de la distance par la vitesse. Exprimée en\nheures, on la convertit en minutes en multipliant par $60$.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un automobiliste parcourt $30$ km à la vitesse moyenne de $45$ km/h.\nQuelle est la durée du trajet, en minutes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$40$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la durée vaut $\\dfrac{2}{3}$ heure, soit $40$\nminutes après multiplication par $60$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{2}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La durée est juste, mais exprimée en heures : la question demande\ndes minutes."
            },
            {
              "text": "$90$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : c'est la distance que l'on\npartage par la vitesse."
            },
            {
              "text": "$15$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que les deux\ngrandeurs n'ont pas la même unité."
            }
          ],
          "explanation": "La durée est le quotient de la distance par la vitesse. Exprimée en\nheures, on la convertit en minutes en multipliant par $60$."
        },
        {
          "statement": "Un automobiliste parcourt $60$ km à la vitesse moyenne de $80$ km/h.\nQuelle est la durée du trajet, en minutes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$45$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la durée vaut $\\dfrac{3}{4}$ heure, soit $45$\nminutes après multiplication par $60$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La durée est juste, mais exprimée en heures : la question demande\ndes minutes."
            },
            {
              "text": "$80$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : c'est la distance que l'on\npartage par la vitesse."
            },
            {
              "text": "$20$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que les deux\ngrandeurs n'ont pas la même unité."
            }
          ],
          "explanation": "La durée est le quotient de la distance par la vitesse. Exprimée en\nheures, on la convertit en minutes en multipliant par $60$."
        },
        {
          "statement": "Un automobiliste parcourt $35$ km à la vitesse moyenne de $70$ km/h.\nQuelle est la durée du trajet, en minutes ?",
          "options": [
            {
              "text": "$30$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la durée vaut $\\dfrac{1}{2}$ heure, soit $30$\nminutes après multiplication par $60$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La durée est juste, mais exprimée en heures : la question demande\ndes minutes."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : c'est la distance que l'on\npartage par la vitesse."
            },
            {
              "text": "$35$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une soustraction a remplacé la division, alors que les deux\ngrandeurs n'ont pas la même unité."
            }
          ],
          "explanation": "La durée est le quotient de la distance par la vitesse. Exprimée en\nheures, on la convertit en minutes en multipliant par $60$."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reconnaitre-proportionnalite"
      ],
      "title": "Tarif avec une part fixe",
      "partie": "proportionnalite",
      "statement": "Le prix d'une course de taxi comprend une prise en charge de $4$ €,\npuis $2$ € par kilomètre. Ce prix est-il proportionnel à la distance ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non, à cause de la prise en charge de $4$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $2$ km on paie $8$ €, mais pour $4$ km on paie\n$12$ €, et non $16$ €."
        },
        {
          "text": "Oui, car chaque kilomètre coûte toujours $2$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Le prix au kilomètre est bien constant, mais la somme fixe payée au\ndépart rompt la proportionnalité."
        },
        {
          "text": "Oui, car le prix augmente avec la distance parcourue",
          "correct": false,
          "feedback": "Une grandeur peut croître avec une autre sans lui être\nproportionnelle."
        },
        {
          "text": "Non, car $4$ et $2$ ne sont pas proportionnels entre eux",
          "correct": false,
          "feedback": "Deux nombres isolés ne sont jamais proportionnels ou non : c'est la\npart fixe qui pose problème."
        }
      ],
      "explanation": "Dans une situation de proportionnalité, une distance nulle donne un\nprix nul. Une part fixe payée d'avance l'interdit."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "echelle",
        "conversion"
      ],
      "title": "Longueur réelle sur un plan",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Sur un plan à l'échelle $\\dfrac{1}{500}$, une pièce mesure $3$ cm.\nQuelle est sa longueur réelle, en mètres ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la longueur réelle vaut $1500$ cm, soit\n$15$ m."
        },
        {
          "text": "$1500$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le résultat est juste, mais exprimé en centimètres : il reste à\ndiviser par $100$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite par la longueur mesurée : l'échelle\nmultiplie cette longueur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{100}$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'échelle a été oubliée : seule la conversion en mètres a été\nfaite."
        }
      ],
      "explanation": "On multiplie la longueur mesurée par le dénominateur de l'échelle pour\nobtenir la longueur réelle dans la même unité, puis on convertit.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur un plan à l'échelle $\\dfrac{1}{500}$, une pièce mesure $3$ cm.\nQuelle est sa longueur réelle, en mètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la longueur réelle vaut $1500$ cm, soit\n$15$ m."
            },
            {
              "text": "$1500$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le résultat est juste, mais exprimé en centimètres : il reste à\ndiviser par $100$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{5}{3}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par la longueur mesurée : l'échelle\nmultiplie cette longueur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{100}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'échelle a été oubliée : seule la conversion en mètres a été\nfaite."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie la longueur mesurée par le dénominateur de l'échelle pour\nobtenir la longueur réelle dans la même unité, puis on convertit."
        },
        {
          "statement": "Sur un plan à l'échelle $\\dfrac{1}{200}$, une pièce mesure $4$ cm.\nQuelle est sa longueur réelle, en mètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$8$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la longueur réelle vaut $800$ cm, soit\n$8$ m."
            },
            {
              "text": "$800$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le résultat est juste, mais exprimé en centimètres : il reste à\ndiviser par $100$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par la longueur mesurée : l'échelle\nmultiplie cette longueur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'échelle a été oubliée : seule la conversion en mètres a été\nfaite."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie la longueur mesurée par le dénominateur de l'échelle pour\nobtenir la longueur réelle dans la même unité, puis on convertit."
        },
        {
          "statement": "Sur un plan à l'échelle $\\dfrac{1}{50}$, une pièce mesure $12$ cm.\nQuelle est sa longueur réelle, en mètres ?",
          "options": [
            {
              "text": "$6$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la longueur réelle vaut $600$ cm, soit\n$6$ m."
            },
            {
              "text": "$600$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le résultat est juste, mais exprimé en centimètres : il reste à\ndiviser par $100$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{24}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite par la longueur mesurée : l'échelle\nmultiplie cette longueur."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{3}{25}$",
              "correct": false,
              "feedback": "L'échelle a été oubliée : seule la conversion en mètres a été\nfaite."
            }
          ],
          "explanation": "On multiplie la longueur mesurée par le dénominateur de l'échelle pour\nobtenir la longueur réelle dans la même unité, puis on convertit."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "debit",
        "conversion"
      ],
      "title": "Débit par minute",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Une piscine de $120$ mètres cubes se remplit en $2$ heures. Quel est\nle débit de remplissage, en mètres cubes par minute ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2$ heures font $120$ minutes, d'où un débit\nde $1$."
        },
        {
          "text": "$60$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le débit par heure : la conversion des heures en minutes a\nété oubliée."
        },
        {
          "text": "$240$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une multiplication a remplacé la division qui définit un débit."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{60}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat donnerait des\nheures par mètre cube."
        }
      ],
      "explanation": "Un débit par minute se calcule en divisant le volume par la durée\nexprimée en minutes : on convertit donc les heures avant de diviser.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Une piscine de $120$ mètres cubes se remplit en $2$ heures. Quel est\nle débit de remplissage, en mètres cubes par minute ?",
          "options": [
            {
              "text": "$1$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $2$ heures font $120$ minutes, d'où un débit\nde $1$."
            },
            {
              "text": "$60$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le débit par heure : la conversion des heures en minutes a\nété oubliée."
            },
            {
              "text": "$240$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division qui définit un débit."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{60}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat donnerait des\nheures par mètre cube."
            }
          ],
          "explanation": "Un débit par minute se calcule en divisant le volume par la durée\nexprimée en minutes : on convertit donc les heures avant de diviser."
        },
        {
          "statement": "Une piscine de $360$ mètres cubes se remplit en $3$ heures. Quel est\nle débit de remplissage, en mètres cubes par minute ?",
          "options": [
            {
              "text": "$2$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ heures font $180$ minutes, d'où un débit\nde $2$."
            },
            {
              "text": "$120$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le débit par heure : la conversion des heures en minutes a\nété oubliée."
            },
            {
              "text": "$1080$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division qui définit un débit."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{120}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat donnerait des\nheures par mètre cube."
            }
          ],
          "explanation": "Un débit par minute se calcule en divisant le volume par la durée\nexprimée en minutes : on convertit donc les heures avant de diviser."
        },
        {
          "statement": "Une piscine de $540$ mètres cubes se remplit en $3$ heures. Quel est\nle débit de remplissage, en mètres cubes par minute ?",
          "options": [
            {
              "text": "$3$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $3$ heures font $180$ minutes, d'où un débit\nde $3$."
            },
            {
              "text": "$180$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le débit par heure : la conversion des heures en minutes a\nété oubliée."
            },
            {
              "text": "$1620$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une multiplication a remplacé la division qui définit un débit."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{180}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat donnerait des\nheures par mètre cube."
            }
          ],
          "explanation": "Un débit par minute se calcule en divisant le volume par la durée\nexprimée en minutes : on convertit donc les heures avant de diviser."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q25",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "pourcentage-hausse",
        "pourcentage-baisse"
      ],
      "title": "Hausse puis baisse du même taux",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un article coûte $200$ €. Son prix augmente de $10\\ \\%$, puis baisse\nde $10\\ \\%$. Quel est son prix final ?",
      "options": [
        {
          "text": "$198$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le prix monte à $220$ €, puis la baisse\nporte sur ce nouveau prix, plus élevé."
        },
        {
          "text": "$200$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège classique : la baisse s'applique à un prix plus élevé que le\nprix de départ, donc elle retire davantage."
        },
        {
          "text": "$220$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le prix après la hausse seule : la baisse n'a pas été\nappliquée."
        },
        {
          "text": "$180$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le prix après la baisse seule, appliquée directement au prix\nde départ."
        }
      ],
      "explanation": "Une hausse puis une baisse du même taux ne ramènent jamais au prix de\ndépart : les deux variations ne portent pas sur la même valeur.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un article coûte $200$ €. Son prix augmente de $10\\ \\%$, puis baisse\nde $10\\ \\%$. Quel est son prix final ?",
          "options": [
            {
              "text": "$198$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le prix monte à $220$ €, puis la baisse\nporte sur ce nouveau prix, plus élevé."
            },
            {
              "text": "$200$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Piège classique : la baisse s'applique à un prix plus élevé que le\nprix de départ, donc elle retire davantage."
            },
            {
              "text": "$220$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix après la hausse seule : la baisse n'a pas été\nappliquée."
            },
            {
              "text": "$180$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix après la baisse seule, appliquée directement au prix\nde départ."
            }
          ],
          "explanation": "Une hausse puis une baisse du même taux ne ramènent jamais au prix de\ndépart : les deux variations ne portent pas sur la même valeur."
        },
        {
          "statement": "Un article coûte $400$ €. Son prix augmente de $20\\ \\%$, puis baisse\nde $20\\ \\%$. Quel est son prix final ?",
          "options": [
            {
              "text": "$384$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le prix monte à $480$ €, puis la baisse\nporte sur ce nouveau prix, plus élevé."
            },
            {
              "text": "$400$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Piège classique : la baisse s'applique à un prix plus élevé que le\nprix de départ, donc elle retire davantage."
            },
            {
              "text": "$480$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix après la hausse seule : la baisse n'a pas été\nappliquée."
            },
            {
              "text": "$320$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix après la baisse seule, appliquée directement au prix\nde départ."
            }
          ],
          "explanation": "Une hausse puis une baisse du même taux ne ramènent jamais au prix de\ndépart : les deux variations ne portent pas sur la même valeur."
        },
        {
          "statement": "Un article coûte $100$ €. Son prix augmente de $50\\ \\%$, puis baisse\nde $50\\ \\%$. Quel est son prix final ?",
          "options": [
            {
              "text": "$75$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : le prix monte à $150$ €, puis la baisse\nporte sur ce nouveau prix, plus élevé."
            },
            {
              "text": "$100$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Piège classique : la baisse s'applique à un prix plus élevé que le\nprix de départ, donc elle retire davantage."
            },
            {
              "text": "$150$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix après la hausse seule : la baisse n'a pas été\nappliquée."
            },
            {
              "text": "$50$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est le prix après la baisse seule, appliquée directement au prix\nde départ."
            }
          ],
          "explanation": "Une hausse puis une baisse du même taux ne ramènent jamais au prix de\ndépart : les deux variations ne portent pas sur la même valeur."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q26",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "pourcentage-baisse",
        "coefficient-multiplicateur"
      ],
      "title": "Deux baisses successives",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Un prix baisse de $10\\ \\%$, puis le nouveau prix baisse encore de\n$20\\ \\%$. Quelle est la baisse globale ?",
      "options": [
        {
          "text": "$28\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il reste $90\\ \\%$ puis $80\\ \\%$ de\nce reste, soit $72\\ \\%$ du prix initial."
        },
        {
          "text": "$30\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un\nprix déjà réduit, donc elle retire moins."
        },
        {
          "text": "$2\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ce sont les taux eux-mêmes qui ont été multipliés, au lieu des\nparts restantes."
        },
        {
          "text": "$10\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les taux ont été soustraits l'un à l'autre, alors que les deux\nbaisses vont dans le même sens."
        }
      ],
      "explanation": "Pour enchaîner deux variations, on multiplie les parts restantes : la\nbaisse globale se lit ensuite sur le résultat.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un prix baisse de $10\\ \\%$, puis le nouveau prix baisse encore de\n$20\\ \\%$. Quelle est la baisse globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$28\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il reste $90\\ \\%$ puis $80\\ \\%$ de\nce reste, soit $72\\ \\%$ du prix initial."
            },
            {
              "text": "$30\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un\nprix déjà réduit, donc elle retire moins."
            },
            {
              "text": "$2\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les taux eux-mêmes qui ont été multipliés, au lieu des\nparts restantes."
            },
            {
              "text": "$10\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les taux ont été soustraits l'un à l'autre, alors que les deux\nbaisses vont dans le même sens."
            }
          ],
          "explanation": "Pour enchaîner deux variations, on multiplie les parts restantes : la\nbaisse globale se lit ensuite sur le résultat."
        },
        {
          "statement": "Un prix baisse de $50\\ \\%$, puis le nouveau prix baisse encore de\n$20\\ \\%$. Quelle est la baisse globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$60\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il reste $50\\ \\%$ puis $80\\ \\%$ de\nce reste, soit $40\\ \\%$ du prix initial."
            },
            {
              "text": "$70\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un\nprix déjà réduit, donc elle retire moins."
            },
            {
              "text": "$10\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les taux eux-mêmes qui ont été multipliés, au lieu des\nparts restantes."
            },
            {
              "text": "$30\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les taux ont été soustraits l'un à l'autre, alors que les deux\nbaisses vont dans le même sens."
            }
          ],
          "explanation": "Pour enchaîner deux variations, on multiplie les parts restantes : la\nbaisse globale se lit ensuite sur le résultat."
        },
        {
          "statement": "Un prix baisse de $25\\ \\%$, puis le nouveau prix baisse encore de\n$40\\ \\%$. Quelle est la baisse globale ?",
          "options": [
            {
              "text": "$55\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : il reste $75\\ \\%$ puis $60\\ \\%$ de\nce reste, soit $45\\ \\%$ du prix initial."
            },
            {
              "text": "$65\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les taux ne s'additionnent pas : la seconde baisse porte sur un\nprix déjà réduit, donc elle retire moins."
            },
            {
              "text": "$10\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Ce sont les taux eux-mêmes qui ont été multipliés, au lieu des\nparts restantes."
            },
            {
              "text": "$15\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les taux ont été soustraits l'un à l'autre, alors que les deux\nbaisses vont dans le même sens."
            }
          ],
          "explanation": "Pour enchaîner deux variations, on multiplie les parts restantes : la\nbaisse globale se lit ensuite sur le résultat."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q27",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "vitesse"
      ],
      "title": "Vitesse à partir de minutes",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Un coureur parcourt $5$ km en $20$ minutes. Quelle est sa vitesse\nmoyenne, en kilomètres par heure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en une heure, il y a $60$ minutes, soit\n$60 \\div 20$ fois la durée donnée, d'où $15$ km."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la vitesse en kilomètres par minute : la conversion en heures\na été oubliée."
        },
        {
          "text": "$240$",
          "correct": false,
          "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat compte des minutes\npar kilomètre, pas des kilomètres par heure."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une addition a remplacé le calcul du quotient, alors que kilomètres\net minutes ne s'ajoutent pas."
        }
      ],
      "explanation": "Pour passer d'une durée en minutes à une vitesse horaire, on ramène la\ndistance à une heure entière, c'est-à-dire à $60$ minutes.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Un coureur parcourt $5$ km en $20$ minutes. Quelle est sa vitesse\nmoyenne, en kilomètres par heure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en une heure, il y a $60$ minutes, soit\n$60 \\div 20$ fois la durée donnée, d'où $15$ km."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{4}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la vitesse en kilomètres par minute : la conversion en heures\na été oubliée."
            },
            {
              "text": "$240$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat compte des minutes\npar kilomètre, pas des kilomètres par heure."
            },
            {
              "text": "$25$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une addition a remplacé le calcul du quotient, alors que kilomètres\net minutes ne s'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour passer d'une durée en minutes à une vitesse horaire, on ramène la\ndistance à une heure entière, c'est-à-dire à $60$ minutes."
        },
        {
          "statement": "Un coureur parcourt $6$ km en $30$ minutes. Quelle est sa vitesse\nmoyenne, en kilomètres par heure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$12$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en une heure, il y a $60$ minutes, soit\n$60 \\div 30$ fois la durée donnée, d'où $12$ km."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la vitesse en kilomètres par minute : la conversion en heures\na été oubliée."
            },
            {
              "text": "$300$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat compte des minutes\npar kilomètre, pas des kilomètres par heure."
            },
            {
              "text": "$36$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une addition a remplacé le calcul du quotient, alors que kilomètres\net minutes ne s'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour passer d'une durée en minutes à une vitesse horaire, on ramène la\ndistance à une heure entière, c'est-à-dire à $60$ minutes."
        },
        {
          "statement": "Un coureur parcourt $4$ km en $15$ minutes. Quelle est sa vitesse\nmoyenne, en kilomètres par heure ?",
          "options": [
            {
              "text": "$16$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : en une heure, il y a $60$ minutes, soit\n$60 \\div 15$ fois la durée donnée, d'où $16$ km."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{4}{15}$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la vitesse en kilomètres par minute : la conversion en heures\na été oubliée."
            },
            {
              "text": "$225$",
              "correct": false,
              "feedback": "La division a été faite à l'envers : ce résultat compte des minutes\npar kilomètre, pas des kilomètres par heure."
            },
            {
              "text": "$19$",
              "correct": false,
              "feedback": "Une addition a remplacé le calcul du quotient, alors que kilomètres\net minutes ne s'ajoutent pas."
            }
          ],
          "explanation": "Pour passer d'une durée en minutes à une vitesse horaire, on ramène la\ndistance à une heure entière, c'est-à-dire à $60$ minutes."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q28",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "pourcentage-inverse"
      ],
      "title": "Taux d'une augmentation",
      "partie": "evolutions",
      "statement": "Le prix d'un article passe de $50$ € à $60$ €. Quel est le\npourcentage d'augmentation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la hausse de $10$ € est rapportée au prix de\ndépart, soit $\\dfrac{10}{50}$."
        },
        {
          "text": "$10\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la hausse en euros, pas en pourcentage : il reste à la\ncomparer au prix initial."
        },
        {
          "text": "$120\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le nouveau prix représente $120\\ \\%$ de l'ancien, ce qui\ncorrespond à une hausse de $20\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$40\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le taux obtenu a été doublé : la hausse se rapporte une seule fois\nau prix de départ."
        }
      ],
      "explanation": "Un taux de variation se calcule en divisant l'écart par la valeur de\ndépart, jamais par la valeur d'arrivée.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Le prix d'un article passe de $50$ € à $60$ €. Quel est le\npourcentage d'augmentation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$20\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la hausse de $10$ € est rapportée au prix de\ndépart, soit $\\dfrac{10}{50}$."
            },
            {
              "text": "$10\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la hausse en euros, pas en pourcentage : il reste à la\ncomparer au prix initial."
            },
            {
              "text": "$120\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nouveau prix représente $120\\ \\%$ de l'ancien, ce qui\ncorrespond à une hausse de $20\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$40\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux obtenu a été doublé : la hausse se rapporte une seule fois\nau prix de départ."
            }
          ],
          "explanation": "Un taux de variation se calcule en divisant l'écart par la valeur de\ndépart, jamais par la valeur d'arrivée."
        },
        {
          "statement": "Le prix d'un article passe de $80$ € à $100$ €. Quel est le\npourcentage d'augmentation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$25\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la hausse de $20$ € est rapportée au prix de\ndépart, soit $\\dfrac{20}{80}$."
            },
            {
              "text": "$20\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la hausse en euros, pas en pourcentage : il reste à la\ncomparer au prix initial."
            },
            {
              "text": "$125\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nouveau prix représente $125\\ \\%$ de l'ancien, ce qui\ncorrespond à une hausse de $25\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$50\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux obtenu a été doublé : la hausse se rapporte une seule fois\nau prix de départ."
            }
          ],
          "explanation": "Un taux de variation se calcule en divisant l'écart par la valeur de\ndépart, jamais par la valeur d'arrivée."
        },
        {
          "statement": "Le prix d'un article passe de $40$ € à $46$ €. Quel est le\npourcentage d'augmentation ?",
          "options": [
            {
              "text": "$15\\ \\%$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la hausse de $6$ € est rapportée au prix de\ndépart, soit $\\dfrac{6}{40}$."
            },
            {
              "text": "$6\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la hausse en euros, pas en pourcentage : il reste à la\ncomparer au prix initial."
            },
            {
              "text": "$115\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le nouveau prix représente $115\\ \\%$ de l'ancien, ce qui\ncorrespond à une hausse de $15\\ \\%$."
            },
            {
              "text": "$30\\ \\%$",
              "correct": false,
              "feedback": "Le taux obtenu a été doublé : la hausse se rapporte une seule fois\nau prix de départ."
            }
          ],
          "explanation": "Un taux de variation se calcule en divisant l'écart par la valeur de\ndépart, jamais par la valeur d'arrivée."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q29",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "quatrieme-proportionnelle",
        "coefficient"
      ],
      "title": "Partage proportionnel",
      "partie": "proportionnalite",
      "statement": "On partage $120$ € entre deux personnes, proportionnellement aux\nnombres $2$ et $3$. Quelle est la plus grande des deux parts ?",
      "options": [
        {
          "text": "$72$ €",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme se partage en $5$ parts égales, et\nla plus grande en compte $3$."
        },
        {
          "text": "$48$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la plus petite des deux parts, celle qui compte $2$ parts."
        },
        {
          "text": "$60$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "Le partage en deux parts égales ignore les nombres $2$ et $3$."
        },
        {
          "text": "$40$ €",
          "correct": false,
          "feedback": "La somme a été divisée par $3$ seul : c'est le nombre total de\nparts, $5$, qui sert de diviseur."
        }
      ],
      "explanation": "Un partage proportionnel se fait en parts égales : on compte le nombre\ntotal de parts, on calcule la valeur d'une part, puis on multiplie.",
      "variants": [
        {
          "statement": "On partage $120$ € entre deux personnes, proportionnellement aux\nnombres $2$ et $3$. Quelle est la plus grande des deux parts ?",
          "options": [
            {
              "text": "$72$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme se partage en $5$ parts égales, et\nla plus grande en compte $3$."
            },
            {
              "text": "$48$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la plus petite des deux parts, celle qui compte $2$ parts."
            },
            {
              "text": "$60$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le partage en deux parts égales ignore les nombres $2$ et $3$."
            },
            {
              "text": "$40$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme a été divisée par $3$ seul : c'est le nombre total de\nparts, $5$, qui sert de diviseur."
            }
          ],
          "explanation": "Un partage proportionnel se fait en parts égales : on compte le nombre\ntotal de parts, on calcule la valeur d'une part, puis on multiplie."
        },
        {
          "statement": "On partage $200$ € entre deux personnes, proportionnellement aux\nnombres $1$ et $4$. Quelle est la plus grande des deux parts ?",
          "options": [
            {
              "text": "$160$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme se partage en $5$ parts égales, et\nla plus grande en compte $4$."
            },
            {
              "text": "$40$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la plus petite des deux parts, celle qui compte $1$ parts."
            },
            {
              "text": "$100$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le partage en deux parts égales ignore les nombres $1$ et $4$."
            },
            {
              "text": "$50$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme a été divisée par $4$ seul : c'est le nombre total de\nparts, $5$, qui sert de diviseur."
            }
          ],
          "explanation": "Un partage proportionnel se fait en parts égales : on compte le nombre\ntotal de parts, on calcule la valeur d'une part, puis on multiplie."
        },
        {
          "statement": "On partage $140$ € entre deux personnes, proportionnellement aux\nnombres $3$ et $4$. Quelle est la plus grande des deux parts ?",
          "options": [
            {
              "text": "$80$ €",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : la somme se partage en $7$ parts égales, et\nla plus grande en compte $4$."
            },
            {
              "text": "$60$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "C'est la plus petite des deux parts, celle qui compte $3$ parts."
            },
            {
              "text": "$70$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "Le partage en deux parts égales ignore les nombres $3$ et $4$."
            },
            {
              "text": "$35$ €",
              "correct": false,
              "feedback": "La somme a été divisée par $4$ seul : c'est le nombre total de\nparts, $7$, qui sert de diviseur."
            }
          ],
          "explanation": "Un partage proportionnel se fait en parts égales : on compte le nombre\ntotal de parts, on calcule la valeur d'une part, puis on multiplie."
        }
      ]
    },
    {
      "id": "q30",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "echelle"
      ],
      "title": "Déterminer une échelle",
      "partie": "grandeurs",
      "statement": "Sur un plan, $4$ cm représentent $20$ m dans la réalité. Quelle est\nl'échelle de ce plan ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{500}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $20$ m valent $2000$ cm, et\n$2000 \\div 4 = 500$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Les mètres n'ont pas été convertis : une échelle compare deux\nlongueurs de même unité."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{50}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La conversion a été faite avec $10$ au lieu de $100$ : un mètre\nvaut cent centimètres."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5000}$",
          "correct": false,
          "feedback": "La conversion a été faite avec $1000$, comme pour passer des\nkilomètres aux mètres."
        }
      ],
      "explanation": "Une échelle est le quotient d'une longueur sur le plan par la longueur\nréelle correspondante, les deux exprimées dans la même unité.",
      "variants": [
        {
          "statement": "Sur un plan, $4$ cm représentent $20$ m dans la réalité. Quelle est\nl'échelle de ce plan ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{500}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $20$ m valent $2000$ cm, et\n$2000 \\div 4 = 500$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les mètres n'ont pas été convertis : une échelle compare deux\nlongueurs de même unité."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{50}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La conversion a été faite avec $10$ au lieu de $100$ : un mètre\nvaut cent centimètres."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{5000}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La conversion a été faite avec $1000$, comme pour passer des\nkilomètres aux mètres."
            }
          ],
          "explanation": "Une échelle est le quotient d'une longueur sur le plan par la longueur\nréelle correspondante, les deux exprimées dans la même unité."
        },
        {
          "statement": "Sur un plan, $5$ cm représentent $100$ m dans la réalité. Quelle est\nl'échelle de ce plan ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{2000}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $100$ m valent $10000$ cm, et\n$10000 \\div 5 = 2000$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{20}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les mètres n'ont pas été convertis : une échelle compare deux\nlongueurs de même unité."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{200}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La conversion a été faite avec $10$ au lieu de $100$ : un mètre\nvaut cent centimètres."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{20000}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La conversion a été faite avec $1000$, comme pour passer des\nkilomètres aux mètres."
            }
          ],
          "explanation": "Une échelle est le quotient d'une longueur sur le plan par la longueur\nréelle correspondante, les deux exprimées dans la même unité."
        },
        {
          "statement": "Sur un plan, $3$ cm représentent $30$ m dans la réalité. Quelle est\nl'échelle de ce plan ?",
          "options": [
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{1000}$",
              "correct": true,
              "feedback": "Bonne réponse : $30$ m valent $3000$ cm, et\n$3000 \\div 3 = 1000$."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10}$",
              "correct": false,
              "feedback": "Les mètres n'ont pas été convertis : une échelle compare deux\nlongueurs de même unité."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{100}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La conversion a été faite avec $10$ au lieu de $100$ : un mètre\nvaut cent centimètres."
            },
            {
              "text": "$\\dfrac{1}{10000}$",
              "correct": false,
              "feedback": "La conversion a été faite avec $1000$, comme pour passer des\nkilomètres aux mètres."
            }
          ],
          "explanation": "Une échelle est le quotient d'une longueur sur le plan par la longueur\nréelle correspondante, les deux exprimées dans la même unité."
        }
      ]
    }
  ]
}