{ "chapter": { "id": "pythagore-trigonometrie", "level": "college", "theme": "Géométrie", "title": "Pythagore et trigonométrie", "description": "Théorème de Pythagore, sa réciproque, et trigonométrie du triangle\nrectangle : cosinus, sinus, tangente, longueurs et angles.", "parties": [ { "id": "pythagore", "title": "Théorème de Pythagore" }, { "id": "reciproque", "title": "Réciproque et triplets" }, { "id": "trigonometrie", "title": "Trigonométrie : longueurs et angles" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "vocabulaire", "hypotenuse" ], "title": "Reconnaître l'hypoténuse", "partie": "pythagore", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Quel côté est son hypoténuse ?", "options": [ { "text": "Le côté $[BC]$, opposé à l'angle droit", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit,\ndonc $[BC]$ lorsque le triangle est rectangle en $A$." }, { "text": "Le côté $[AB]$, le plus court des trois", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'hypoténuse est au contraire le plus long des trois\ncôtés, et c'est ici $[BC]$." }, { "text": "Le côté $[AC]$, qui porte l'angle droit", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[AB]$ et $[AC]$ forment l'angle droit. L'hypoténuse lui\nfait face, c'est donc $[BC]$." }, { "text": "Le côté $[AB]$, nommé en premier", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'ordre des lettres ne décide de rien. On repère l'angle\ndroit, en $A$, et l'hypoténuse est le côté opposé, $[BC]$." } ], "explanation": "Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle\ndroit. C'est toujours le plus long des trois côtés." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "pythagore", "hypotenuse" ], "title": "Calculer l'hypoténuse", "partie": "pythagore", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$ cm et\n$AC = 4$ cm. Combien mesure $BC$ ?", "options": [ { "text": "$5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, donc\n$BC = 5$ cm." }, { "text": "$7$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on additionne les longueurs au lieu des carrés.\nOn a $BC^2 = 25$, donc $BC = 5$ cm." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "Tu as trouvé $BC^2$ et tu t'es arrêté là. Il reste à prendre la\nracine carrée : $BC = 5$ cm." }, { "text": "$1$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on n'ôte pas les longueurs, on ajoute leurs carrés. Le\ncalcul donne $BC = 5$ cm." } ], "explanation": "Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle en $A$, on a\n$BC^2 = AB^2 + AC^2$. On additionne les carrés, puis on prend la\nracine carrée de la somme.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$ cm et\n$AC = 4$ cm. Combien mesure $BC$ ?", "options": [ { "text": "$5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 3^2 + 4^2 = 25$, donc\n$BC = 5$ cm." }, { "text": "$7$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on additionne les longueurs au lieu des carrés.\nOn a $BC^2 = 25$, donc $BC = 5$ cm." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "Tu as trouvé $BC^2$ et tu t'es arrêté là. Il reste à prendre la\nracine carrée : $BC = 5$ cm." }, { "text": "$1$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on n'ôte pas les longueurs, on ajoute leurs carrés. Le\ncalcul donne $BC = 5$ cm." } ], "explanation": "Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle en $A$, on a\n$BC^2 = AB^2 + AC^2$. On additionne les carrés, puis on prend la\nracine carrée de la somme." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et\n$AC = 8$ cm. Combien mesure $BC$ ?", "options": [ { "text": "$10$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 6^2 + 8^2 = 100$, donc\n$BC = 10$ cm." }, { "text": "$14$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on additionne les longueurs au lieu des carrés.\nOn a $BC^2 = 100$, donc $BC = 10$ cm." }, { "text": "$100$ cm", "correct": false, "feedback": "Tu as trouvé $BC^2$ et tu t'es arrêté là. Il reste à prendre la\nracine carrée : $BC = 10$ cm." }, { "text": "$2$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on n'ôte pas les longueurs, on ajoute leurs carrés. Le\ncalcul donne $BC = 10$ cm." } ], "explanation": "Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle en $A$, on a\n$BC^2 = AB^2 + AC^2$. On additionne les carrés, puis on prend la\nracine carrée de la somme." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 5$ cm et\n$AC = 12$ cm. Combien mesure $BC$ ?", "options": [ { "text": "$13$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 5^2 + 12^2 = 169$, donc\n$BC = 13$ cm." }, { "text": "$17$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on additionne les longueurs au lieu des carrés.\nOn a $BC^2 = 169$, donc $BC = 13$ cm." }, { "text": "$169$ cm", "correct": false, "feedback": "Tu as trouvé $BC^2$ et tu t'es arrêté là. Il reste à prendre la\nracine carrée : $BC = 13$ cm." }, { "text": "$7$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on n'ôte pas les longueurs, on ajoute leurs carrés. Le\ncalcul donne $BC = 13$ cm." } ], "explanation": "Théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle en $A$, on a\n$BC^2 = AB^2 + AC^2$. On additionne les carrés, puis on prend la\nracine carrée de la somme." } ] }, { "id": "q03", "difficulty": 1, "skills": [ "pythagore", "cote-droit" ], "title": "Calculer un côté de l'angle droit", "partie": "pythagore", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On sait que $BC = 5$ cm et\n$AB = 3$ cm. Combien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$4$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 = 5^2 - 3^2 = 16$, donc\n$AC = 4$ cm." }, { "text": "$2$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction porte sur les carrés, pas sur les\nlongueurs. On obtient $AC^2 = 16$, puis $AC = 4$ cm." }, { "text": "$8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc la plus grande longueur. On\nretranche ici, et $AC = 4$ cm." }, { "text": "$16$ cm", "correct": false, "feedback": "Tu as calculé $AC^2$ sans prendre la racine carrée. La longueur\ncherchée vaut $4$ cm." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse est connue, on isole le côté cherché :\n$AC^2 = BC^2 - AB^2$. On termine toujours par la racine carrée.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On sait que $BC = 5$ cm et\n$AB = 3$ cm. Combien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$4$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 = 5^2 - 3^2 = 16$, donc\n$AC = 4$ cm." }, { "text": "$2$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction porte sur les carrés, pas sur les\nlongueurs. On obtient $AC^2 = 16$, puis $AC = 4$ cm." }, { "text": "$8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc la plus grande longueur. On\nretranche ici, et $AC = 4$ cm." }, { "text": "$16$ cm", "correct": false, "feedback": "Tu as calculé $AC^2$ sans prendre la racine carrée. La longueur\ncherchée vaut $4$ cm." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse est connue, on isole le côté cherché :\n$AC^2 = BC^2 - AB^2$. On termine toujours par la racine carrée." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On sait que $BC = 13$ cm et\n$AB = 5$ cm. Combien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 = 13^2 - 5^2 = 144$, donc\n$AC = 12$ cm." }, { "text": "$8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction porte sur les carrés, pas sur les\nlongueurs. On obtient $AC^2 = 144$, puis $AC = 12$ cm." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc la plus grande longueur. On\nretranche ici, et $AC = 12$ cm." }, { "text": "$144$ cm", "correct": false, "feedback": "Tu as calculé $AC^2$ sans prendre la racine carrée. La longueur\ncherchée vaut $12$ cm." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse est connue, on isole le côté cherché :\n$AC^2 = BC^2 - AB^2$. On termine toujours par la racine carrée." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. On sait que $BC = 10$ cm et\n$AB = 6$ cm. Combien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$8$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC^2 = 10^2 - 6^2 = 64$, donc\n$AC = 8$ cm." }, { "text": "$4$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction porte sur les carrés, pas sur les\nlongueurs. On obtient $AC^2 = 64$, puis $AC = 8$ cm." }, { "text": "$16$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc la plus grande longueur. On\nretranche ici, et $AC = 8$ cm." }, { "text": "$64$ cm", "correct": false, "feedback": "Tu as calculé $AC^2$ sans prendre la racine carrée. La longueur\ncherchée vaut $8$ cm." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse est connue, on isole le côté cherché :\n$AC^2 = BC^2 - AB^2$. On termine toujours par la racine carrée." } ] }, { "id": "q04", "difficulty": 1, "skills": [ "pythagore", "vocabulaire" ], "title": "L'égalité de Pythagore", "partie": "pythagore", "statement": "Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. Quelle égalité est vraie ?", "options": [ { "text": "$RT^2 = RS^2 + ST^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'angle droit est en $S$, donc l'hypoténuse est\n$[RT]$ et son carré vaut la somme des deux autres carrés." }, { "text": "$RS^2 = RT^2 + ST^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[RS]$ borde l'angle droit, ce n'est pas l'hypoténuse.\nC'est $RT^2$ qui vaut la somme des deux autres." }, { "text": "$ST^2 = RS^2 + RT^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[ST]$ borde lui aussi l'angle droit. L'hypoténuse est le\ncôté $[RT]$, opposé au sommet $S$." }, { "text": "$RT^2 = RS^2 \\times ST^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité de Pythagore additionne les carrés, elle ne les\nmultiplie jamais." } ], "explanation": "On repère d'abord l'angle droit. Le côté qui lui est opposé est\nl'hypoténuse, et son carré vaut la somme des carrés des deux autres\ncôtés." }, { "id": "q05", "difficulty": 1, "skills": [ "pythagore", "carre" ], "title": "Carré de l'hypoténuse", "partie": "pythagore", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 2$ et\n$AC = 3$. Que vaut $BC^2$ ?", "options": [ { "text": "$13$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 2^2 + 3^2 = 13$. On additionne\nbien les carrés des deux côtés de l'angle droit." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Erreur fréquente : $(2 + 3)^2$ n'est pas $2^2 + 3^2$. La\nbonne somme des carrés vaut $13$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : élever au carré n'est pas multiplier par $2$. On obtient\n$13$ et non $10$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on soustrait les carrés seulement quand on cherche un\ncôté de l'angle droit. Ici on les additionne : $13$." } ], "explanation": "Le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres\ncôtés. Attention : $(a + b)^2$ ne vaut pas $a^2 + b^2$.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 2$ et\n$AC = 3$. Que vaut $BC^2$ ?", "options": [ { "text": "$13$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 2^2 + 3^2 = 13$. On additionne\nbien les carrés des deux côtés de l'angle droit." }, { "text": "$25$", "correct": false, "feedback": "Erreur fréquente : $(2 + 3)^2$ n'est pas $2^2 + 3^2$. La\nbonne somme des carrés vaut $13$." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : élever au carré n'est pas multiplier par $2$. On obtient\n$13$ et non $10$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on soustrait les carrés seulement quand on cherche un\ncôté de l'angle droit. Ici on les additionne : $13$." } ], "explanation": "Le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres\ncôtés. Attention : $(a + b)^2$ ne vaut pas $a^2 + b^2$." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 4$ et\n$AC = 5$. Que vaut $BC^2$ ?", "options": [ { "text": "$41$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 4^2 + 5^2 = 41$. On additionne\nbien les carrés des deux côtés de l'angle droit." }, { "text": "$81$", "correct": false, "feedback": "Erreur fréquente : $(4 + 5)^2$ n'est pas $4^2 + 5^2$. La\nbonne somme des carrés vaut $41$." }, { "text": "$18$", "correct": false, "feedback": "Erreur : élever au carré n'est pas multiplier par $2$. On obtient\n$41$ et non $18$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on soustrait les carrés seulement quand on cherche un\ncôté de l'angle droit. Ici on les additionne : $41$." } ], "explanation": "Le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres\ncôtés. Attention : $(a + b)^2$ ne vaut pas $a^2 + b^2$." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ et\n$AC = 7$. Que vaut $BC^2$ ?", "options": [ { "text": "$85$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 6^2 + 7^2 = 85$. On additionne\nbien les carrés des deux côtés de l'angle droit." }, { "text": "$169$", "correct": false, "feedback": "Erreur fréquente : $(6 + 7)^2$ n'est pas $6^2 + 7^2$. La\nbonne somme des carrés vaut $85$." }, { "text": "$26$", "correct": false, "feedback": "Erreur : élever au carré n'est pas multiplier par $2$. On obtient\n$85$ et non $26$." }, { "text": "$13$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on soustrait les carrés seulement quand on cherche un\ncôté de l'angle droit. Ici on les additionne : $85$." } ], "explanation": "Le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des deux autres\ncôtés. Attention : $(a + b)^2$ ne vaut pas $a^2 + b^2$." } ] }, { "id": "q06", "difficulty": 1, "skills": [ "vocabulaire", "rapport-trigo" ], "title": "Côté opposé à un angle", "partie": "pythagore", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Quel côté est opposé à\nl'angle $\\widehat{ABC}$ ?", "options": [ { "text": "Le côté $[AC]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le côté opposé à $\\widehat{ABC}$ est celui qui ne\ntouche pas le sommet $B$, c'est $[AC]$." }, { "text": "Le côté $[AB]$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[AB]$ part du sommet $B$. Il est adjacent à l'angle, pas\nopposé à lui." }, { "text": "Le côté $[BC]$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ part aussi de $B$, et c'est même l'hypoténuse. Le\ncôté opposé est $[AC]$." }, { "text": "Aucun, car $B$ est un sommet", "correct": false, "feedback": "Erreur : chaque angle aigu d'un triangle rectangle possède bien un\ncôté opposé, ici $[AC]$." } ], "explanation": "Pour un angle aigu d'un triangle rectangle, le côté opposé est celui\nqui ne touche pas son sommet, et le côté adjacent est celui qui le\ntouche sans être l'hypoténuse." }, { "id": "q07", "difficulty": 1, "skills": [ "cosinus", "rapport-trigo" ], "title": "Écrire un cosinus", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$, $AC = 4$\net $BC = 5$. Que vaut $\\cos(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus est le quotient du côté adjacent par\nl'hypoténuse, soit $AB$ divisé par $BC$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse est au dénominateur, jamais au\nnumérateur." }, { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : $AC$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, pas le\ncôté adjacent." }, { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "C'est un quotient de deux côtés de l'angle droit, donc l'inverse\nde la tangente, pas le cosinus." } ], "explanation": "Cosinus d'un angle aigu : côté adjacent divisé par hypoténuse. On\nrepère d'abord le sommet de l'angle, puis les deux côtés qui le\ntouchent.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$, $AC = 4$\net $BC = 5$. Que vaut $\\cos(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus est le quotient du côté adjacent par\nl'hypoténuse, soit $AB$ divisé par $BC$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse est au dénominateur, jamais au\nnumérateur." }, { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : $AC$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, pas le\ncôté adjacent." }, { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "C'est un quotient de deux côtés de l'angle droit, donc l'inverse\nde la tangente, pas le cosinus." } ], "explanation": "Cosinus d'un angle aigu : côté adjacent divisé par hypoténuse. On\nrepère d'abord le sommet de l'angle, puis les deux côtés qui le\ntouchent." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 8$, $AC = 15$\net $BC = 17$. Que vaut $\\cos(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{8}{17}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus est le quotient du côté adjacent par\nl'hypoténuse, soit $AB$ divisé par $BC$." }, { "text": "$\\dfrac{17}{8}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse est au dénominateur, jamais au\nnumérateur." }, { "text": "$\\dfrac{15}{17}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : $AC$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, pas le\ncôté adjacent." }, { "text": "$\\dfrac{8}{15}$", "correct": false, "feedback": "C'est un quotient de deux côtés de l'angle droit, donc l'inverse\nde la tangente, pas le cosinus." } ], "explanation": "Cosinus d'un angle aigu : côté adjacent divisé par hypoténuse. On\nrepère d'abord le sommet de l'angle, puis les deux côtés qui le\ntouchent." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 7$, $AC = 24$\net $BC = 25$. Que vaut $\\cos(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{7}{25}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus est le quotient du côté adjacent par\nl'hypoténuse, soit $AB$ divisé par $BC$." }, { "text": "$\\dfrac{25}{7}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse est au dénominateur, jamais au\nnumérateur." }, { "text": "$\\dfrac{24}{25}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : $AC$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, pas le\ncôté adjacent." }, { "text": "$\\dfrac{7}{24}$", "correct": false, "feedback": "C'est un quotient de deux côtés de l'angle droit, donc l'inverse\nde la tangente, pas le cosinus." } ], "explanation": "Cosinus d'un angle aigu : côté adjacent divisé par hypoténuse. On\nrepère d'abord le sommet de l'angle, puis les deux côtés qui le\ntouchent." } ] }, { "id": "q08", "difficulty": 1, "skills": [ "sinus", "rapport-trigo" ], "title": "Écrire un sinus", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 5$, $AC = 12$\net $BC = 13$. Que vaut $\\sin(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{12}{13}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le sinus est le quotient du côté opposé par\nl'hypoténuse, soit $AC$ divisé par $BC$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{13}$", "correct": false, "feedback": "C'est le cosinus : $AB$ touche le sommet $B$, c'est le côté\nadjacent et non le côté opposé." }, { "text": "$\\dfrac{12}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est la tangente : elle compare les deux côtés de l'angle droit,\nsans faire intervenir l'hypoténuse." }, { "text": "$\\dfrac{13}{12}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le\nrésultat dépasserait $1$." } ], "explanation": "Sinus d'un angle aigu : côté opposé divisé par hypoténuse. Comme\nl'hypoténuse est le plus grand côté, ce quotient est toujours\ninférieur à $1$.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 5$, $AC = 12$\net $BC = 13$. Que vaut $\\sin(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{12}{13}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le sinus est le quotient du côté opposé par\nl'hypoténuse, soit $AC$ divisé par $BC$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{13}$", "correct": false, "feedback": "C'est le cosinus : $AB$ touche le sommet $B$, c'est le côté\nadjacent et non le côté opposé." }, { "text": "$\\dfrac{12}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est la tangente : elle compare les deux côtés de l'angle droit,\nsans faire intervenir l'hypoténuse." }, { "text": "$\\dfrac{13}{12}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le\nrésultat dépasserait $1$." } ], "explanation": "Sinus d'un angle aigu : côté opposé divisé par hypoténuse. Comme\nl'hypoténuse est le plus grand côté, ce quotient est toujours\ninférieur à $1$." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 20$, $AC = 21$\net $BC = 29$. Que vaut $\\sin(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{21}{29}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le sinus est le quotient du côté opposé par\nl'hypoténuse, soit $AC$ divisé par $BC$." }, { "text": "$\\dfrac{20}{29}$", "correct": false, "feedback": "C'est le cosinus : $AB$ touche le sommet $B$, c'est le côté\nadjacent et non le côté opposé." }, { "text": "$\\dfrac{21}{20}$", "correct": false, "feedback": "C'est la tangente : elle compare les deux côtés de l'angle droit,\nsans faire intervenir l'hypoténuse." }, { "text": "$\\dfrac{29}{21}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le\nrésultat dépasserait $1$." } ], "explanation": "Sinus d'un angle aigu : côté opposé divisé par hypoténuse. Comme\nl'hypoténuse est le plus grand côté, ce quotient est toujours\ninférieur à $1$." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 9$, $AC = 40$\net $BC = 41$. Que vaut $\\sin(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{40}{41}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le sinus est le quotient du côté opposé par\nl'hypoténuse, soit $AC$ divisé par $BC$." }, { "text": "$\\dfrac{9}{41}$", "correct": false, "feedback": "C'est le cosinus : $AB$ touche le sommet $B$, c'est le côté\nadjacent et non le côté opposé." }, { "text": "$\\dfrac{40}{9}$", "correct": false, "feedback": "C'est la tangente : elle compare les deux côtés de l'angle droit,\nsans faire intervenir l'hypoténuse." }, { "text": "$\\dfrac{41}{40}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le\nrésultat dépasserait $1$." } ], "explanation": "Sinus d'un angle aigu : côté opposé divisé par hypoténuse. Comme\nl'hypoténuse est le plus grand côté, ce quotient est toujours\ninférieur à $1$." } ] }, { "id": "q09", "difficulty": 1, "skills": [ "tangente", "fraction" ], "title": "Écrire une tangente", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$, $AC = 4$\net $BC = 5$. Que vaut $\\tan(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{4}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la tangente est le quotient du côté opposé par le\ncôté adjacent, soit $AC$ divisé par $AB$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le côté opposé va au numérateur, le côté\nadjacent au dénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : la tangente n'utilise jamais l'hypoténuse dans\nson écriture." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est le cosinus : là encore l'hypoténuse apparaît, ce qui exclut\nla tangente." } ], "explanation": "Tangente d'un angle aigu : côté opposé divisé par côté adjacent.\nC'est le seul des trois quotients qui ignore l'hypoténuse.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$, $AC = 4$\net $BC = 5$. Que vaut $\\tan(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{4}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la tangente est le quotient du côté opposé par le\ncôté adjacent, soit $AC$ divisé par $AB$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le côté opposé va au numérateur, le côté\nadjacent au dénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : la tangente n'utilise jamais l'hypoténuse dans\nson écriture." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est le cosinus : là encore l'hypoténuse apparaît, ce qui exclut\nla tangente." } ], "explanation": "Tangente d'un angle aigu : côté opposé divisé par côté adjacent.\nC'est le seul des trois quotients qui ignore l'hypoténuse." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 8$, $AC = 15$\net $BC = 17$. Que vaut $\\tan(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{15}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la tangente est le quotient du côté opposé par le\ncôté adjacent, soit $AC$ divisé par $AB$." }, { "text": "$\\dfrac{8}{15}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le côté opposé va au numérateur, le côté\nadjacent au dénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{15}{17}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : la tangente n'utilise jamais l'hypoténuse dans\nson écriture." }, { "text": "$\\dfrac{8}{17}$", "correct": false, "feedback": "C'est le cosinus : là encore l'hypoténuse apparaît, ce qui exclut\nla tangente." } ], "explanation": "Tangente d'un angle aigu : côté opposé divisé par côté adjacent.\nC'est le seul des trois quotients qui ignore l'hypoténuse." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 12$, $AC = 5$\net $BC = 13$. Que vaut $\\tan(\\widehat{ABC})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{12}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la tangente est le quotient du côté opposé par le\ncôté adjacent, soit $AC$ divisé par $AB$." }, { "text": "$\\dfrac{12}{5}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le côté opposé va au numérateur, le côté\nadjacent au dénominateur." }, { "text": "$\\dfrac{5}{13}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : la tangente n'utilise jamais l'hypoténuse dans\nson écriture." }, { "text": "$\\dfrac{12}{13}$", "correct": false, "feedback": "C'est le cosinus : là encore l'hypoténuse apparaît, ce qui exclut\nla tangente." } ], "explanation": "Tangente d'un angle aigu : côté opposé divisé par côté adjacent.\nC'est le seul des trois quotients qui ignore l'hypoténuse." } ] }, { "id": "q10", "difficulty": 1, "skills": [ "cosinus", "rapport-trigo" ], "title": "La formule du cosinus", "partie": "trigonometrie", "statement": "Dans un triangle rectangle, quelle égalité définit le cosinus d'un\nangle aigu ?", "options": [ { "text": "$\\cos = \\dfrac{\\text{adjacent}}{\\text{hypoténuse}}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus compare le côté adjacent à\nl'hypoténuse." }, { "text": "$\\cos = \\dfrac{\\text{opposé}}{\\text{hypoténuse}}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le sinus, qui est le quotient du côté opposé par\nl'hypoténuse." }, { "text": "$\\cos = \\dfrac{\\text{opposé}}{\\text{adjacent}}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec la tangente, seul quotient qui n'utilise pas\nl'hypoténuse." }, { "text": "$\\cos = \\dfrac{\\text{hypoténuse}}{\\text{adjacent}}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : ainsi écrit, le résultat dépasserait $1$, ce\nqui est impossible pour un cosinus." } ], "explanation": "Les trois quotients à retenir : cosinus adjacent sur hypoténuse,\nsinus opposé sur hypoténuse, tangente opposé sur adjacent." }, { "id": "q11", "difficulty": 2, "skills": [ "reciproque", "pythagore" ], "title": "Conclure avec la réciproque", "partie": "reciproque", "statement": "Dans un triangle $ABC$, on constate que $BC^2 = AB^2 + AC^2$. Que\npeut-on en conclure ?", "options": [ { "text": "Le triangle est rectangle en $A$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'égalité désigne $[BC]$ comme hypoténuse, donc\nl'angle droit est au sommet opposé, en $A$." }, { "text": "Le triangle est rectangle en $B$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le sommet de l'angle droit est celui qui ne touche pas\nl'hypoténuse $[BC]$, c'est donc $A$." }, { "text": "Le triangle est rectangle en $C$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $C$ est une extrémité de $[BC]$, donc un sommet de\nl'hypoténuse, pas celui de l'angle droit." }, { "text": "Le triangle est isocèle de sommet $A$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité porte sur des carrés, elle ne dit rien de\nl'égalité de deux côtés." } ], "explanation": "Réciproque du théorème de Pythagore : si le carré du plus grand côté\nest égal à la somme des carrés des deux autres, le triangle est\nrectangle, et l'angle droit est opposé à ce plus grand côté." }, { "id": "q12", "difficulty": 2, "skills": [ "pythagore", "application" ], "title": "Diagonale d'un rectangle", "partie": "pythagore", "statement": "Un rectangle mesure $4$ cm de longueur et $3$ cm de largeur.\nCombien mesure sa diagonale ?", "options": [ { "text": "$5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle\nrectangle de côtés $4$ et $3$, donc elle vaut $5$ cm." }, { "text": "$7$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on additionne les carrés, pas les longueurs. La diagonale\nmesure $5$ cm." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la diagonale. Il reste à en prendre la racine\ncarrée pour trouver $5$ cm." }, { "text": "$2{,}6$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la diagonale est l'hypoténuse, donc on additionne les\ncarrés au lieu de les soustraire." } ], "explanation": "Une diagonale de rectangle partage la figure en deux triangles\nrectangles dont elle est l'hypoténuse. Pythagore s'applique\ndirectement.", "variants": [ { "statement": "Un rectangle mesure $4$ cm de longueur et $3$ cm de largeur.\nCombien mesure sa diagonale ?", "options": [ { "text": "$5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle\nrectangle de côtés $4$ et $3$, donc elle vaut $5$ cm." }, { "text": "$7$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on additionne les carrés, pas les longueurs. La diagonale\nmesure $5$ cm." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la diagonale. Il reste à en prendre la racine\ncarrée pour trouver $5$ cm." }, { "text": "$2{,}6$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la diagonale est l'hypoténuse, donc on additionne les\ncarrés au lieu de les soustraire." } ], "explanation": "Une diagonale de rectangle partage la figure en deux triangles\nrectangles dont elle est l'hypoténuse. Pythagore s'applique\ndirectement." }, { "statement": "Un rectangle mesure $12$ cm de longueur et $5$ cm de largeur.\nCombien mesure sa diagonale ?", "options": [ { "text": "$13$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle\nrectangle de côtés $12$ et $5$, donc elle vaut $13$ cm." }, { "text": "$17$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on additionne les carrés, pas les longueurs. La diagonale\nmesure $13$ cm." }, { "text": "$169$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la diagonale. Il reste à en prendre la racine\ncarrée pour trouver $13$ cm." }, { "text": "$10{,}9$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la diagonale est l'hypoténuse, donc on additionne les\ncarrés au lieu de les soustraire." } ], "explanation": "Une diagonale de rectangle partage la figure en deux triangles\nrectangles dont elle est l'hypoténuse. Pythagore s'applique\ndirectement." }, { "statement": "Un rectangle mesure $15$ cm de longueur et $8$ cm de largeur.\nCombien mesure sa diagonale ?", "options": [ { "text": "$17$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la diagonale est l'hypoténuse d'un triangle\nrectangle de côtés $15$ et $8$, donc elle vaut $17$ cm." }, { "text": "$23$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on additionne les carrés, pas les longueurs. La diagonale\nmesure $17$ cm." }, { "text": "$289$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la diagonale. Il reste à en prendre la racine\ncarrée pour trouver $17$ cm." }, { "text": "$12{,}7$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la diagonale est l'hypoténuse, donc on additionne les\ncarrés au lieu de les soustraire." } ], "explanation": "Une diagonale de rectangle partage la figure en deux triangles\nrectangles dont elle est l'hypoténuse. Pythagore s'applique\ndirectement." } ] }, { "id": "q13", "difficulty": 2, "skills": [ "pythagore", "application" ], "title": "Échelle contre un mur", "partie": "pythagore", "statement": "Une échelle de $13$ m est appuyée contre un mur, son pied posé à\n$5$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?", "options": [ { "text": "$12$ m", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'échelle est l'hypoténuse, donc la hauteur vérifie\n$13^2 - 5^2 = 144$, d'où $12$ m." }, { "text": "$8$ m", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction se fait sur les carrés, pas sur les\nlongueurs. La hauteur vaut $12$ m." }, { "text": "$18$ m", "correct": false, "feedback": "Erreur : la hauteur atteinte est forcément plus petite que\nl'échelle, qui est l'hypoténuse." }, { "text": "$144$ m", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la hauteur. Sa racine carrée donne la réponse :\n$12$ m." } ], "explanation": "Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont\nl'échelle est l'hypoténuse. On retranche donc les carrés.", "variants": [ { "statement": "Une échelle de $13$ m est appuyée contre un mur, son pied posé à\n$5$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?", "options": [ { "text": "$12$ m", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'échelle est l'hypoténuse, donc la hauteur vérifie\n$13^2 - 5^2 = 144$, d'où $12$ m." }, { "text": "$8$ m", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction se fait sur les carrés, pas sur les\nlongueurs. La hauteur vaut $12$ m." }, { "text": "$18$ m", "correct": false, "feedback": "Erreur : la hauteur atteinte est forcément plus petite que\nl'échelle, qui est l'hypoténuse." }, { "text": "$144$ m", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la hauteur. Sa racine carrée donne la réponse :\n$12$ m." } ], "explanation": "Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont\nl'échelle est l'hypoténuse. On retranche donc les carrés." }, { "statement": "Une échelle de $17$ m est appuyée contre un mur, son pied posé à\n$8$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?", "options": [ { "text": "$15$ m", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'échelle est l'hypoténuse, donc la hauteur vérifie\n$17^2 - 8^2 = 225$, d'où $15$ m." }, { "text": "$9$ m", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction se fait sur les carrés, pas sur les\nlongueurs. La hauteur vaut $15$ m." }, { "text": "$25$ m", "correct": false, "feedback": "Erreur : la hauteur atteinte est forcément plus petite que\nl'échelle, qui est l'hypoténuse." }, { "text": "$225$ m", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la hauteur. Sa racine carrée donne la réponse :\n$15$ m." } ], "explanation": "Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont\nl'échelle est l'hypoténuse. On retranche donc les carrés." }, { "statement": "Une échelle de $25$ m est appuyée contre un mur, son pied posé à\n$7$ m du mur. À quelle hauteur touche-t-elle le mur ?", "options": [ { "text": "$24$ m", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'échelle est l'hypoténuse, donc la hauteur vérifie\n$25^2 - 7^2 = 576$, d'où $24$ m." }, { "text": "$18$ m", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction se fait sur les carrés, pas sur les\nlongueurs. La hauteur vaut $24$ m." }, { "text": "$32$ m", "correct": false, "feedback": "Erreur : la hauteur atteinte est forcément plus petite que\nl'échelle, qui est l'hypoténuse." }, { "text": "$576$ m", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la hauteur. Sa racine carrée donne la réponse :\n$24$ m." } ], "explanation": "Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle dont\nl'échelle est l'hypoténuse. On retranche donc les carrés." } ] }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "pythagore", "arrondi" ], "title": "Hypoténuse arrondie", "partie": "pythagore", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 5$ cm et\n$AC = 7$ cm. Combien mesure $BC$, arrondi au dixième ?", "options": [ { "text": "$8{,}6$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 74$, et la racine carrée arrondie au\ndixième donne $8{,}6$ cm." }, { "text": "$12$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ajoute les carrés, pas les longueurs. On trouve\n$8{,}6$ cm." }, { "text": "$74$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est $BC^2$. La racine carrée reste à prendre, ce qui donne\n$8{,}6$ cm." }, { "text": "$4{,}9$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc on additionne les carrés au\nlieu de les soustraire." } ], "explanation": "Quand la somme des carrés n'est pas un carré parfait, on garde la\nvaleur affichée par la calculatrice et on arrondit à la précision\ndemandée.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 5$ cm et\n$AC = 7$ cm. Combien mesure $BC$, arrondi au dixième ?", "options": [ { "text": "$8{,}6$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 74$, et la racine carrée arrondie au\ndixième donne $8{,}6$ cm." }, { "text": "$12$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ajoute les carrés, pas les longueurs. On trouve\n$8{,}6$ cm." }, { "text": "$74$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est $BC^2$. La racine carrée reste à prendre, ce qui donne\n$8{,}6$ cm." }, { "text": "$4{,}9$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc on additionne les carrés au\nlieu de les soustraire." } ], "explanation": "Quand la somme des carrés n'est pas un carré parfait, on garde la\nvaleur affichée par la calculatrice et on arrondit à la précision\ndemandée." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 4$ cm et\n$AC = 9$ cm. Combien mesure $BC$, arrondi au dixième ?", "options": [ { "text": "$9{,}8$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 97$, et la racine carrée arrondie au\ndixième donne $9{,}8$ cm." }, { "text": "$13$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ajoute les carrés, pas les longueurs. On trouve\n$9{,}8$ cm." }, { "text": "$97$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est $BC^2$. La racine carrée reste à prendre, ce qui donne\n$9{,}8$ cm." }, { "text": "$8{,}1$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc on additionne les carrés au\nlieu de les soustraire." } ], "explanation": "Quand la somme des carrés n'est pas un carré parfait, on garde la\nvaleur affichée par la calculatrice et on arrondit à la précision\ndemandée." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et\n$AC = 11$ cm. Combien mesure $BC$, arrondi au dixième ?", "options": [ { "text": "$12{,}5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $BC^2 = 157$, et la racine carrée arrondie au\ndixième donne $12{,}5$ cm." }, { "text": "$17$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ajoute les carrés, pas les longueurs. On trouve\n$12{,}5$ cm." }, { "text": "$157$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est $BC^2$. La racine carrée reste à prendre, ce qui donne\n$12{,}5$ cm." }, { "text": "$9{,}2$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ est l'hypoténuse, donc on additionne les carrés au\nlieu de les soustraire." } ], "explanation": "Quand la somme des carrés n'est pas un carré parfait, on garde la\nvaleur affichée par la calculatrice et on arrondit à la précision\ndemandée." } ] }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "cosinus", "longueur-angle" ], "title": "Longueur par le cosinus", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $37°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $15$ cm. On donne\n$\\cos(37°) \\approx 0{,}8$ et $\\sin(37°) \\approx 0{,}6$.\nCombien mesure $AB$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $[AB]$ est le côté adjacent, donc\n$AB = BC \\times \\cos(37°) = 12$ cm." }, { "text": "$9$ cm", "correct": false, "feedback": "Confusion des deux quotients : le sinus donne le côté opposé\n$[AC]$, alors que $[AB]$ est le côté adjacent." }, { "text": "$18{,}8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le cosinus. Diviser\ndonnerait une longueur plus grande que l'hypoténuse." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une\nmultiplication." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse et un angle aigu sont connus, le côté adjacent\ns'obtient en multipliant l'hypoténuse par le cosinus de cet angle.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $37°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $15$ cm. On donne\n$\\cos(37°) \\approx 0{,}8$ et $\\sin(37°) \\approx 0{,}6$.\nCombien mesure $AB$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $[AB]$ est le côté adjacent, donc\n$AB = BC \\times \\cos(37°) = 12$ cm." }, { "text": "$9$ cm", "correct": false, "feedback": "Confusion des deux quotients : le sinus donne le côté opposé\n$[AC]$, alors que $[AB]$ est le côté adjacent." }, { "text": "$18{,}8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le cosinus. Diviser\ndonnerait une longueur plus grande que l'hypoténuse." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une\nmultiplication." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse et un angle aigu sont connus, le côté adjacent\ns'obtient en multipliant l'hypoténuse par le cosinus de cet angle." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $53°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $25$ cm. On donne\n$\\cos(53°) \\approx 0{,}6$ et $\\sin(53°) \\approx 0{,}8$.\nCombien mesure $AB$ ?", "options": [ { "text": "$15$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $[AB]$ est le côté adjacent, donc\n$AB = BC \\times \\cos(53°) = 15$ cm." }, { "text": "$20$ cm", "correct": false, "feedback": "Confusion des deux quotients : le sinus donne le côté opposé\n$[AC]$, alors que $[AB]$ est le côté adjacent." }, { "text": "$41{,}7$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le cosinus. Diviser\ndonnerait une longueur plus grande que l'hypoténuse." }, { "text": "$31{,}2$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une\nmultiplication." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse et un angle aigu sont connus, le côté adjacent\ns'obtient en multipliant l'hypoténuse par le cosinus de cet angle." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $67°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $20$ cm. On donne\n$\\cos(67°) \\approx 0{,}39$ et $\\sin(67°) \\approx 0{,}92$.\nCombien mesure $AB$ ?", "options": [ { "text": "$7{,}8$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $[AB]$ est le côté adjacent, donc\n$AB = BC \\times \\cos(67°) = 7{,}8$ cm." }, { "text": "$18{,}4$ cm", "correct": false, "feedback": "Confusion des deux quotients : le sinus donne le côté opposé\n$[AC]$, alors que $[AB]$ est le côté adjacent." }, { "text": "$51{,}3$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le cosinus. Diviser\ndonnerait une longueur plus grande que l'hypoténuse." }, { "text": "$21{,}7$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une\nmultiplication." } ], "explanation": "Quand l'hypoténuse et un angle aigu sont connus, le côté adjacent\ns'obtient en multipliant l'hypoténuse par le cosinus de cet angle." } ] }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "tangente", "longueur-angle" ], "title": "Longueur par la tangente", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $37°$ et $AB = 8$ cm. On donne\n$\\tan(37°) \\approx 0{,}75$. Combien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$6$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\tan(37°) = \\dfrac{AC}{AB}$, donc\n$AC = 8 \\times 0{,}75 = 6$ cm." }, { "text": "$10{,}7$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AC$ est au numérateur de la tangente, donc on\nmultiplie $AB$ au lieu de diviser." }, { "text": "$8{,}75$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente est un facteur multiplicatif, on ne l'ajoute\npas à la longueur connue." }, { "text": "$7{,}25$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente n'est pas une longueur à retrancher, c'est un\nquotient de deux côtés." } ], "explanation": "La tangente relie les deux côtés de l'angle droit. Connaissant le\ncôté adjacent, on obtient le côté opposé en le multipliant par la\ntangente de l'angle.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $37°$ et $AB = 8$ cm. On donne\n$\\tan(37°) \\approx 0{,}75$. Combien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$6$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\tan(37°) = \\dfrac{AC}{AB}$, donc\n$AC = 8 \\times 0{,}75 = 6$ cm." }, { "text": "$10{,}7$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AC$ est au numérateur de la tangente, donc on\nmultiplie $AB$ au lieu de diviser." }, { "text": "$8{,}75$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente est un facteur multiplicatif, on ne l'ajoute\npas à la longueur connue." }, { "text": "$7{,}25$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente n'est pas une longueur à retrancher, c'est un\nquotient de deux côtés." } ], "explanation": "La tangente relie les deux côtés de l'angle droit. Connaissant le\ncôté adjacent, on obtient le côté opposé en le multipliant par la\ntangente de l'angle." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $58°$ et $AB = 15$ cm. On donne\n$\\tan(58°) \\approx 1{,}6$. Combien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$24$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\tan(58°) = \\dfrac{AC}{AB}$, donc\n$AC = 15 \\times 1{,}6 = 24$ cm." }, { "text": "$9{,}4$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AC$ est au numérateur de la tangente, donc on\nmultiplie $AB$ au lieu de diviser." }, { "text": "$16{,}6$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente est un facteur multiplicatif, on ne l'ajoute\npas à la longueur connue." }, { "text": "$13{,}4$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente n'est pas une longueur à retrancher, c'est un\nquotient de deux côtés." } ], "explanation": "La tangente relie les deux côtés de l'angle droit. Connaissant le\ncôté adjacent, on obtient le côté opposé en le multipliant par la\ntangente de l'angle." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $22°$ et $AB = 25$ cm. On donne\n$\\tan(22°) \\approx 0{,}4$. Combien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$10$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\tan(22°) = \\dfrac{AC}{AB}$, donc\n$AC = 25 \\times 0{,}4 = 10$ cm." }, { "text": "$62{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AC$ est au numérateur de la tangente, donc on\nmultiplie $AB$ au lieu de diviser." }, { "text": "$25{,}4$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente est un facteur multiplicatif, on ne l'ajoute\npas à la longueur connue." }, { "text": "$24{,}6$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente n'est pas une longueur à retrancher, c'est un\nquotient de deux côtés." } ], "explanation": "La tangente relie les deux côtés de l'angle droit. Connaissant le\ncôté adjacent, on obtient le côté opposé en le multipliant par la\ntangente de l'angle." } ] }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "sinus", "longueur-angle" ], "title": "Longueur par le sinus", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $30°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $14$ cm. On donne\n$\\sin(30°) \\approx 0{,}5$ et $\\cos(30°) \\approx 0{,}87$.\nCombien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$7$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, donc\n$AC = BC \\times \\sin(30°) = 7$ cm." }, { "text": "$12{,}18$ cm", "correct": false, "feedback": "Confusion des deux quotients : le cosinus donne le côté adjacent\n$[AB]$, pas le côté opposé $[AC]$." }, { "text": "$28$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le sinus. Le résultat doit\nrester plus petit que l'hypoténuse." }, { "text": "$16{,}1$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une\nmultiplication." } ], "explanation": "Connaissant l'hypoténuse et un angle aigu, le côté opposé s'obtient\nen multipliant l'hypoténuse par le sinus de cet angle.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $30°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $14$ cm. On donne\n$\\sin(30°) \\approx 0{,}5$ et $\\cos(30°) \\approx 0{,}87$.\nCombien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$7$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, donc\n$AC = BC \\times \\sin(30°) = 7$ cm." }, { "text": "$12{,}18$ cm", "correct": false, "feedback": "Confusion des deux quotients : le cosinus donne le côté adjacent\n$[AB]$, pas le côté opposé $[AC]$." }, { "text": "$28$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le sinus. Le résultat doit\nrester plus petit que l'hypoténuse." }, { "text": "$16{,}1$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une\nmultiplication." } ], "explanation": "Connaissant l'hypoténuse et un angle aigu, le côté opposé s'obtient\nen multipliant l'hypoténuse par le sinus de cet angle." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $37°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $20$ cm. On donne\n$\\sin(37°) \\approx 0{,}6$ et $\\cos(37°) \\approx 0{,}8$.\nCombien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, donc\n$AC = BC \\times \\sin(37°) = 12$ cm." }, { "text": "$16$ cm", "correct": false, "feedback": "Confusion des deux quotients : le cosinus donne le côté adjacent\n$[AB]$, pas le côté opposé $[AC]$." }, { "text": "$33{,}3$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le sinus. Le résultat doit\nrester plus petit que l'hypoténuse." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une\nmultiplication." } ], "explanation": "Connaissant l'hypoténuse et un angle aigu, le côté opposé s'obtient\nen multipliant l'hypoténuse par le sinus de cet angle." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $53°$ et l'hypoténuse $BC$ mesure $35$ cm. On donne\n$\\sin(53°) \\approx 0{,}8$ et $\\cos(53°) \\approx 0{,}6$.\nCombien mesure $AC$ ?", "options": [ { "text": "$28$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, donc\n$AC = BC \\times \\sin(53°) = 28$ cm." }, { "text": "$21$ cm", "correct": false, "feedback": "Confusion des deux quotients : le cosinus donne le côté adjacent\n$[AB]$, pas le côté opposé $[AC]$." }, { "text": "$43{,}8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on multiplie l'hypoténuse par le sinus. Le résultat doit\nrester plus petit que l'hypoténuse." }, { "text": "$58{,}3$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient choisi, et division au lieu d'une\nmultiplication." } ], "explanation": "Connaissant l'hypoténuse et un angle aigu, le côté opposé s'obtient\nen multipliant l'hypoténuse par le sinus de cet angle." } ] }, { "id": "q18", "difficulty": 2, "skills": [ "cosinus", "angle-inconnu" ], "title": "Égalité qui donne l'angle", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$ cm et\n$BC = 5$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\\widehat{ABC}$ ?", "options": [ { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{3}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux longueurs connues sont le côté adjacent\net l'hypoténuse, ce qui est exactement le cosinus." }, { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{5}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le\ncosinus dépasserait $1$." }, { "text": "$\\sin(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[AB]$ touche le sommet $B$, c'est le côté adjacent. Le\nsinus utiliserait $[AC]$." }, { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente ne fait jamais intervenir l'hypoténuse, or\n$[BC]$ en est une." } ], "explanation": "Pour retrouver un angle, on choisit le quotient qui n'utilise que les\ndeux longueurs connues, puis la touche $\\cos^{-1}$ de la calculatrice.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 3$ cm et\n$BC = 5$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\\widehat{ABC}$ ?", "options": [ { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{3}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux longueurs connues sont le côté adjacent\net l'hypoténuse, ce qui est exactement le cosinus." }, { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{5}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le\ncosinus dépasserait $1$." }, { "text": "$\\sin(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[AB]$ touche le sommet $B$, c'est le côté adjacent. Le\nsinus utiliserait $[AC]$." }, { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente ne fait jamais intervenir l'hypoténuse, or\n$[BC]$ en est une." } ], "explanation": "Pour retrouver un angle, on choisit le quotient qui n'utilise que les\ndeux longueurs connues, puis la touche $\\cos^{-1}$ de la calculatrice." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 8$ cm et\n$BC = 17$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\\widehat{ABC}$ ?", "options": [ { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{8}{17}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux longueurs connues sont le côté adjacent\net l'hypoténuse, ce qui est exactement le cosinus." }, { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{17}{8}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le\ncosinus dépasserait $1$." }, { "text": "$\\sin(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{8}{17}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[AB]$ touche le sommet $B$, c'est le côté adjacent. Le\nsinus utiliserait $[AC]$." }, { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{8}{17}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente ne fait jamais intervenir l'hypoténuse, or\n$[BC]$ en est une." } ], "explanation": "Pour retrouver un angle, on choisit le quotient qui n'utilise que les\ndeux longueurs connues, puis la touche $\\cos^{-1}$ de la calculatrice." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 12$ cm et\n$BC = 13$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\\widehat{ABC}$ ?", "options": [ { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{12}{13}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux longueurs connues sont le côté adjacent\net l'hypoténuse, ce qui est exactement le cosinus." }, { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{13}{12}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : l'hypoténuse reste au dénominateur, sinon le\ncosinus dépasserait $1$." }, { "text": "$\\sin(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{12}{13}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[AB]$ touche le sommet $B$, c'est le côté adjacent. Le\nsinus utiliserait $[AC]$." }, { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{12}{13}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente ne fait jamais intervenir l'hypoténuse, or\n$[BC]$ en est une." } ], "explanation": "Pour retrouver un angle, on choisit le quotient qui n'utilise que les\ndeux longueurs connues, puis la touche $\\cos^{-1}$ de la calculatrice." } ] }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "reciproque", "carre" ], "title": "Triangle non rectangle", "partie": "reciproque", "statement": "Un triangle a pour côtés $6$ cm, $8$ cm et $11$ cm. Est-il rectangle ?", "options": [ { "text": "Non, car $6^2 + 8^2 = 100$ et $11^2 = 121$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux nombres diffèrent, donc l'égalité de\nPythagore n'est pas vérifiée et le triangle n'est pas rectangle." }, { "text": "Oui, car $6^2 + 8^2 = 100$ et $11^2 = 100$", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : $11^2 = 121$, et non $100$. L'égalité échoue." }, { "text": "Oui, car $6 + 8 = 14$ dépasse la longueur $11$", "correct": false, "feedback": "Cette comparaison dit seulement que le triangle existe. Elle ne\nrenseigne pas sur la présence d'un angle droit." }, { "text": "Non, car $6 + 8 = 14$ n'est pas égal à $11$", "correct": false, "feedback": "La conclusion est juste mais la raison est fausse : la réciproque\ncompare des carrés, pas des longueurs." } ], "explanation": "On calcule à part le carré du plus grand côté et la somme des carrés\ndes deux autres. S'ils diffèrent, le triangle n'est pas rectangle." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "reciproque", "triplet" ], "title": "Repérer un triplet", "partie": "reciproque", "statement": "Parmi ces triplets de longueurs, lequel donne un triangle rectangle ?", "options": [ { "text": "$9$, $12$ et $15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $81 + 144 = 225$, qui est bien $15^2$. C'est le\ntriplet $3$, $4$, $5$ multiplié par $3$." }, { "text": "$10$, $12$ et $16$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100 + 144 = 244$, alors que $16^2 = 256$. L'égalité\nn'est pas vérifiée." }, { "text": "$5$, $7$ et $9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $25 + 49 = 74$, alors que $9^2 = 81$. Le triangle existe\nmais n'a pas d'angle droit." }, { "text": "$6$, $9$ et $12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $36 + 81 = 117$, alors que $12^2 = 144$. Multiplier\n$3$, $4$, $5$ par $3$ donnerait $9$, $12$, $15$." } ], "explanation": "On teste toujours l'égalité sur le plus grand côté. Les triplets\n$3$, $4$, $5$ et $5$, $12$, $13$ et leurs multiples reviennent sans\ncesse." }, { "id": "q21", "difficulty": 2, "skills": [ "pythagore", "triplet" ], "title": "Périmètre d'un triangle rectangle", "partie": "pythagore", "statement": "Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $9$ cm et\n$12$ cm. Quel est son périmètre ?", "options": [ { "text": "$36$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse vaut $15$ cm, donc le périmètre est\n$9 + 12 + 15 = 36$ cm." }, { "text": "$21$ cm", "correct": false, "feedback": "Il manque l'hypoténuse : elle mesure $15$ cm et fait partie du\ncontour." }, { "text": "$42$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a compté deux fois les côtés de l'angle droit, comme\npour un rectangle. Un triangle n'a que trois côtés." }, { "text": "$54$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du triangle, pas son périmètre. Le périmètre est la\nsomme des trois longueurs." } ], "explanation": "Le périmètre est la somme des trois côtés. Il faut donc d'abord\ncalculer l'hypoténuse par le théorème de Pythagore.", "variants": [ { "statement": "Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $9$ cm et\n$12$ cm. Quel est son périmètre ?", "options": [ { "text": "$36$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse vaut $15$ cm, donc le périmètre est\n$9 + 12 + 15 = 36$ cm." }, { "text": "$21$ cm", "correct": false, "feedback": "Il manque l'hypoténuse : elle mesure $15$ cm et fait partie du\ncontour." }, { "text": "$42$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a compté deux fois les côtés de l'angle droit, comme\npour un rectangle. Un triangle n'a que trois côtés." }, { "text": "$54$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du triangle, pas son périmètre. Le périmètre est la\nsomme des trois longueurs." } ], "explanation": "Le périmètre est la somme des trois côtés. Il faut donc d'abord\ncalculer l'hypoténuse par le théorème de Pythagore." }, { "statement": "Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $8$ cm et\n$15$ cm. Quel est son périmètre ?", "options": [ { "text": "$40$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse vaut $17$ cm, donc le périmètre est\n$8 + 15 + 17 = 40$ cm." }, { "text": "$23$ cm", "correct": false, "feedback": "Il manque l'hypoténuse : elle mesure $17$ cm et fait partie du\ncontour." }, { "text": "$46$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a compté deux fois les côtés de l'angle droit, comme\npour un rectangle. Un triangle n'a que trois côtés." }, { "text": "$60$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du triangle, pas son périmètre. Le périmètre est la\nsomme des trois longueurs." } ], "explanation": "Le périmètre est la somme des trois côtés. Il faut donc d'abord\ncalculer l'hypoténuse par le théorème de Pythagore." }, { "statement": "Un triangle rectangle a pour côtés de l'angle droit $20$ cm et\n$21$ cm. Quel est son périmètre ?", "options": [ { "text": "$70$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse vaut $29$ cm, donc le périmètre est\n$20 + 21 + 29 = 70$ cm." }, { "text": "$41$ cm", "correct": false, "feedback": "Il manque l'hypoténuse : elle mesure $29$ cm et fait partie du\ncontour." }, { "text": "$82$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a compté deux fois les côtés de l'angle droit, comme\npour un rectangle. Un triangle n'a que trois côtés." }, { "text": "$210$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du triangle, pas son périmètre. Le périmètre est la\nsomme des trois longueurs." } ], "explanation": "Le périmètre est la somme des trois côtés. Il faut donc d'abord\ncalculer l'hypoténuse par le théorème de Pythagore." } ] }, { "id": "q22", "difficulty": 2, "skills": [ "tangente", "angle-inconnu" ], "title": "Angle et deux côtés de l'angle droit", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 4$ cm et\n$AC = 7$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\\widehat{ABC}$ ?", "options": [ { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{7}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux longueurs connues bordent l'angle droit,\nc'est donc la tangente qu'il faut utiliser." }, { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{4}{7}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le côté opposé $[AC]$ va au numérateur, le côté\nadjacent $[AB]$ au dénominateur." }, { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{7}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le cosinus exige l'hypoténuse $[BC]$, qui n'est pas\nconnue ici." }, { "text": "$\\sin(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{7}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le sinus exige lui aussi l'hypoténuse, absente des\ndonnées." } ], "explanation": "Le choix du quotient dépend des longueurs connues. Deux côtés de\nl'angle droit conduisent toujours à la tangente.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 4$ cm et\n$AC = 7$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\\widehat{ABC}$ ?", "options": [ { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{7}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux longueurs connues bordent l'angle droit,\nc'est donc la tangente qu'il faut utiliser." }, { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{4}{7}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le côté opposé $[AC]$ va au numérateur, le côté\nadjacent $[AB]$ au dénominateur." }, { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{7}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le cosinus exige l'hypoténuse $[BC]$, qui n'est pas\nconnue ici." }, { "text": "$\\sin(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{7}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le sinus exige lui aussi l'hypoténuse, absente des\ndonnées." } ], "explanation": "Le choix du quotient dépend des longueurs connues. Deux côtés de\nl'angle droit conduisent toujours à la tangente." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 9$ cm et\n$AC = 5$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\\widehat{ABC}$ ?", "options": [ { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{5}{9}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux longueurs connues bordent l'angle droit,\nc'est donc la tangente qu'il faut utiliser." }, { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{9}{5}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le côté opposé $[AC]$ va au numérateur, le côté\nadjacent $[AB]$ au dénominateur." }, { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{5}{9}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le cosinus exige l'hypoténuse $[BC]$, qui n'est pas\nconnue ici." }, { "text": "$\\sin(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{5}{9}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le sinus exige lui aussi l'hypoténuse, absente des\ndonnées." } ], "explanation": "Le choix du quotient dépend des longueurs connues. Deux côtés de\nl'angle droit conduisent toujours à la tangente." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$ cm et\n$AC = 11$ cm. Quelle égalité permet de calculer $\\widehat{ABC}$ ?", "options": [ { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{11}{6}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux longueurs connues bordent l'angle droit,\nc'est donc la tangente qu'il faut utiliser." }, { "text": "$\\tan(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{6}{11}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : le côté opposé $[AC]$ va au numérateur, le côté\nadjacent $[AB]$ au dénominateur." }, { "text": "$\\cos(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{11}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le cosinus exige l'hypoténuse $[BC]$, qui n'est pas\nconnue ici." }, { "text": "$\\sin(\\widehat{ABC}) = \\dfrac{11}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le sinus exige lui aussi l'hypoténuse, absente des\ndonnées." } ], "explanation": "Le choix du quotient dépend des longueurs connues. Deux côtés de\nl'angle droit conduisent toujours à la tangente." } ] }, { "id": "q23", "difficulty": 2, "skills": [ "reciproque", "carre" ], "title": "Somme à comparer", "partie": "reciproque", "statement": "Pour savoir si le triangle de côtés $5$ cm, $6$ cm et $8$ cm\nest rectangle, on compare $8^2$ à la somme des carrés des deux\nautres côtés. Que vaut cette somme ?", "options": [ { "text": "$61$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5^2 + 6^2 = 61$. Comme $8^2 = 64$,\nles deux nombres diffèrent et le triangle n'est pas rectangle." }, { "text": "$64$", "correct": false, "feedback": "C'est le carré du plus grand côté, l'autre membre de la\ncomparaison. La somme demandée vaut $61$." }, { "text": "$121$", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on a calculé $(5 + 6)^2$ au lieu de\n$5^2 + 6^2$, qui vaut $61$." }, { "text": "$30$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les carrés s'additionnent, ils ne se remplacent pas par\nle produit des deux longueurs." } ], "explanation": "La réciproque se teste en deux calculs séparés : la somme des carrés\ndes deux petits côtés d'une part, le carré du plus grand d'autre\npart.", "variants": [ { "statement": "Pour savoir si le triangle de côtés $5$ cm, $6$ cm et $8$ cm\nest rectangle, on compare $8^2$ à la somme des carrés des deux\nautres côtés. Que vaut cette somme ?", "options": [ { "text": "$61$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5^2 + 6^2 = 61$. Comme $8^2 = 64$,\nles deux nombres diffèrent et le triangle n'est pas rectangle." }, { "text": "$64$", "correct": false, "feedback": "C'est le carré du plus grand côté, l'autre membre de la\ncomparaison. La somme demandée vaut $61$." }, { "text": "$121$", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on a calculé $(5 + 6)^2$ au lieu de\n$5^2 + 6^2$, qui vaut $61$." }, { "text": "$30$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les carrés s'additionnent, ils ne se remplacent pas par\nle produit des deux longueurs." } ], "explanation": "La réciproque se teste en deux calculs séparés : la somme des carrés\ndes deux petits côtés d'une part, le carré du plus grand d'autre\npart." }, { "statement": "Pour savoir si le triangle de côtés $7$ cm, $8$ cm et $12$ cm\nest rectangle, on compare $12^2$ à la somme des carrés des deux\nautres côtés. Que vaut cette somme ?", "options": [ { "text": "$113$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $7^2 + 8^2 = 113$. Comme $12^2 = 144$,\nles deux nombres diffèrent et le triangle n'est pas rectangle." }, { "text": "$144$", "correct": false, "feedback": "C'est le carré du plus grand côté, l'autre membre de la\ncomparaison. La somme demandée vaut $113$." }, { "text": "$225$", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on a calculé $(7 + 8)^2$ au lieu de\n$7^2 + 8^2$, qui vaut $113$." }, { "text": "$56$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les carrés s'additionnent, ils ne se remplacent pas par\nle produit des deux longueurs." } ], "explanation": "La réciproque se teste en deux calculs séparés : la somme des carrés\ndes deux petits côtés d'une part, le carré du plus grand d'autre\npart." }, { "statement": "Pour savoir si le triangle de côtés $4$ cm, $7$ cm et $9$ cm\nest rectangle, on compare $9^2$ à la somme des carrés des deux\nautres côtés. Que vaut cette somme ?", "options": [ { "text": "$65$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $4^2 + 7^2 = 65$. Comme $9^2 = 81$,\nles deux nombres diffèrent et le triangle n'est pas rectangle." }, { "text": "$81$", "correct": false, "feedback": "C'est le carré du plus grand côté, l'autre membre de la\ncomparaison. La somme demandée vaut $65$." }, { "text": "$121$", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on a calculé $(4 + 7)^2$ au lieu de\n$4^2 + 7^2$, qui vaut $65$." }, { "text": "$28$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les carrés s'additionnent, ils ne se remplacent pas par\nle produit des deux longueurs." } ], "explanation": "La réciproque se teste en deux calculs séparés : la somme des carrés\ndes deux petits côtés d'une part, le carré du plus grand d'autre\npart." } ] }, { "id": "q24", "difficulty": 2, "skills": [ "cosinus", "fraction" ], "title": "Cosinus sous forme irréductible", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 10$, $AC = 24$\net $BC = 26$. Quel est $\\cos(\\widehat{ABC})$ sous forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{13}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus vaut $\\dfrac{10}{26}$, que l'on\nsimplifie pour obtenir $\\dfrac{5}{13}$." }, { "text": "$\\dfrac{13}{5}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : un cosinus d'angle aigu reste inférieur à $1$,\nce qui n'est pas le cas ici." }, { "text": "$\\dfrac{12}{13}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, pas\nle côté adjacent." }, { "text": "$\\dfrac{5}{12}$", "correct": false, "feedback": "C'est l'inverse de la tangente : ce quotient ne fait pas\nintervenir l'hypoténuse." } ], "explanation": "On écrit d'abord le quotient adjacent sur hypoténuse, puis on\nsimplifie la fraction par le plus grand diviseur commun.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 10$, $AC = 24$\net $BC = 26$. Quel est $\\cos(\\widehat{ABC})$ sous forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{5}{13}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus vaut $\\dfrac{10}{26}$, que l'on\nsimplifie pour obtenir $\\dfrac{5}{13}$." }, { "text": "$\\dfrac{13}{5}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : un cosinus d'angle aigu reste inférieur à $1$,\nce qui n'est pas le cas ici." }, { "text": "$\\dfrac{12}{13}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, pas\nle côté adjacent." }, { "text": "$\\dfrac{5}{12}$", "correct": false, "feedback": "C'est l'inverse de la tangente : ce quotient ne fait pas\nintervenir l'hypoténuse." } ], "explanation": "On écrit d'abord le quotient adjacent sur hypoténuse, puis on\nsimplifie la fraction par le plus grand diviseur commun." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 6$, $AC = 8$\net $BC = 10$. Quel est $\\cos(\\widehat{ABC})$ sous forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus vaut $\\dfrac{6}{10}$, que l'on\nsimplifie pour obtenir $\\dfrac{3}{5}$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : un cosinus d'angle aigu reste inférieur à $1$,\nce qui n'est pas le cas ici." }, { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, pas\nle côté adjacent." }, { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "C'est l'inverse de la tangente : ce quotient ne fait pas\nintervenir l'hypoténuse." } ], "explanation": "On écrit d'abord le quotient adjacent sur hypoténuse, puis on\nsimplifie la fraction par le plus grand diviseur commun." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, avec $AB = 16$, $AC = 30$\net $BC = 34$. Quel est $\\cos(\\widehat{ABC})$ sous forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{8}{17}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le cosinus vaut $\\dfrac{16}{34}$, que l'on\nsimplifie pour obtenir $\\dfrac{8}{17}$." }, { "text": "$\\dfrac{17}{8}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : un cosinus d'angle aigu reste inférieur à $1$,\nce qui n'est pas le cas ici." }, { "text": "$\\dfrac{15}{17}$", "correct": false, "feedback": "C'est le sinus : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$, pas\nle côté adjacent." }, { "text": "$\\dfrac{8}{15}$", "correct": false, "feedback": "C'est l'inverse de la tangente : ce quotient ne fait pas\nintervenir l'hypoténuse." } ], "explanation": "On écrit d'abord le quotient adjacent sur hypoténuse, puis on\nsimplifie la fraction par le plus grand diviseur commun." } ] }, { "id": "q25", "difficulty": 3, "skills": [ "cote-droit", "piege" ], "title": "Repérer l'hypoténuse avant de calculer", "partie": "pythagore", "statement": "Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. On donne $RS = 5$ cm et\n$RT = 13$ cm. Combien mesure $ST$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'angle droit est en $S$, donc $[RT]$ est\nl'hypoténuse et $ST^2 = 13^2 - 5^2$, d'où $12$ cm." }, { "text": "$13{,}9$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège évité de justesse : $[RT]$ est déjà l'hypoténuse, on\nretranche donc les carrés au lieu de les additionner." }, { "text": "$8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction porte sur les carrés, jamais directement\nsur les longueurs." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[ST]$ borde l'angle droit, il est donc plus court que\nl'hypoténuse $[RT]$." } ], "explanation": "Avant tout calcul, on repère le sommet de l'angle droit : le côté\nopposé est l'hypoténuse. On additionne ou on retranche les carrés\nselon que l'inconnue est cette hypoténuse ou non.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. On donne $RS = 5$ cm et\n$RT = 13$ cm. Combien mesure $ST$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'angle droit est en $S$, donc $[RT]$ est\nl'hypoténuse et $ST^2 = 13^2 - 5^2$, d'où $12$ cm." }, { "text": "$13{,}9$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège évité de justesse : $[RT]$ est déjà l'hypoténuse, on\nretranche donc les carrés au lieu de les additionner." }, { "text": "$8$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction porte sur les carrés, jamais directement\nsur les longueurs." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[ST]$ borde l'angle droit, il est donc plus court que\nl'hypoténuse $[RT]$." } ], "explanation": "Avant tout calcul, on repère le sommet de l'angle droit : le côté\nopposé est l'hypoténuse. On additionne ou on retranche les carrés\nselon que l'inconnue est cette hypoténuse ou non." }, { "statement": "Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. On donne $RS = 20$ cm et\n$RT = 25$ cm. Combien mesure $ST$ ?", "options": [ { "text": "$15$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'angle droit est en $S$, donc $[RT]$ est\nl'hypoténuse et $ST^2 = 25^2 - 20^2$, d'où $15$ cm." }, { "text": "$32$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège évité de justesse : $[RT]$ est déjà l'hypoténuse, on\nretranche donc les carrés au lieu de les additionner." }, { "text": "$5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction porte sur les carrés, jamais directement\nsur les longueurs." }, { "text": "$45$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[ST]$ borde l'angle droit, il est donc plus court que\nl'hypoténuse $[RT]$." } ], "explanation": "Avant tout calcul, on repère le sommet de l'angle droit : le côté\nopposé est l'hypoténuse. On additionne ou on retranche les carrés\nselon que l'inconnue est cette hypoténuse ou non." }, { "statement": "Le triangle $RST$ est rectangle en $S$. On donne $RS = 9$ cm et\n$RT = 41$ cm. Combien mesure $ST$ ?", "options": [ { "text": "$40$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'angle droit est en $S$, donc $[RT]$ est\nl'hypoténuse et $ST^2 = 41^2 - 9^2$, d'où $40$ cm." }, { "text": "$42$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège évité de justesse : $[RT]$ est déjà l'hypoténuse, on\nretranche donc les carrés au lieu de les additionner." }, { "text": "$32$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction porte sur les carrés, jamais directement\nsur les longueurs." }, { "text": "$50$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[ST]$ borde l'angle droit, il est donc plus court que\nl'hypoténuse $[RT]$." } ], "explanation": "Avant tout calcul, on repère le sommet de l'angle droit : le côté\nopposé est l'hypoténuse. On additionne ou on retranche les carrés\nselon que l'inconnue est cette hypoténuse ou non." } ] }, { "id": "q26", "difficulty": 3, "skills": [ "tangente", "piege" ], "title": "Une tangente plus grande que 1", "partie": "trigonometrie", "statement": "Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu peut-elle\nvaloir $2{,}5$ ?", "options": [ { "text": "Oui, si le côté opposé dépasse l'adjacent", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la tangente compare les deux côtés de l'angle\ndroit, et ce quotient peut dépasser $1$." }, { "text": "Non, une tangente reste toujours plus petite que $1$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le sinus et le cosinus : eux se comparent à\nl'hypoténuse, donc restent inférieurs à $1$." }, { "text": "Non, seul un angle obtus donnerait cela", "correct": false, "feedback": "Erreur : un triangle rectangle possède un angle droit et deux\nangles aigus, jamais d'angle obtus." }, { "text": "Oui, mais uniquement pour un angle de $45°$", "correct": false, "feedback": "Erreur : à $45°$ la tangente vaut exactement $1$. Elle dépasse\n$1$ pour tout angle plus grand." } ], "explanation": "Sinus et cosinus d'un angle aigu sont toujours inférieurs à $1$ parce\nqu'ils se comparent à l'hypoténuse. La tangente, elle, n'a pas de\nlimite supérieure." }, { "id": "q27", "difficulty": 3, "skills": [ "sinus", "longueur-angle" ], "title": "Retrouver l'hypoténuse", "partie": "trigonometrie", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $30°$ et le côté $AC$ mesure $7$ cm. On donne\n$\\sin(30°) \\approx 0{,}5$ et $\\cos(30°) \\approx 0{,}87$.\nCombien mesure $BC$, arrondi au dixième ?", "options": [ { "text": "$14$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(30°) = \\dfrac{AC}{BC}$, donc\n$BC = 7 \\div 0{,}5 \\approx 14$ cm." }, { "text": "$3{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège de l'inconnue au dénominateur : ici on divise, car\nl'hypoténuse est plus grande que le côté opposé." }, { "text": "$8$ cm", "correct": false, "feedback": "Mauvais quotient : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$,\nc'est donc le sinus qui intervient." }, { "text": "$6{,}09$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient, et multiplication au lieu d'une\ndivision." } ], "explanation": "Quand l'inconnue se trouve au dénominateur du quotient, on divise la\nlongueur connue par le sinus ou le cosinus de l'angle. Le résultat\ndoit rester cohérent : l'hypoténuse est le plus grand côté.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $30°$ et le côté $AC$ mesure $7$ cm. On donne\n$\\sin(30°) \\approx 0{,}5$ et $\\cos(30°) \\approx 0{,}87$.\nCombien mesure $BC$, arrondi au dixième ?", "options": [ { "text": "$14$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(30°) = \\dfrac{AC}{BC}$, donc\n$BC = 7 \\div 0{,}5 \\approx 14$ cm." }, { "text": "$3{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège de l'inconnue au dénominateur : ici on divise, car\nl'hypoténuse est plus grande que le côté opposé." }, { "text": "$8$ cm", "correct": false, "feedback": "Mauvais quotient : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$,\nc'est donc le sinus qui intervient." }, { "text": "$6{,}09$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient, et multiplication au lieu d'une\ndivision." } ], "explanation": "Quand l'inconnue se trouve au dénominateur du quotient, on divise la\nlongueur connue par le sinus ou le cosinus de l'angle. Le résultat\ndoit rester cohérent : l'hypoténuse est le plus grand côté." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $37°$ et le côté $AC$ mesure $12$ cm. On donne\n$\\sin(37°) \\approx 0{,}6$ et $\\cos(37°) \\approx 0{,}8$.\nCombien mesure $BC$, arrondi au dixième ?", "options": [ { "text": "$20$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(37°) = \\dfrac{AC}{BC}$, donc\n$BC = 12 \\div 0{,}6 \\approx 20$ cm." }, { "text": "$7{,}2$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège de l'inconnue au dénominateur : ici on divise, car\nl'hypoténuse est plus grande que le côté opposé." }, { "text": "$15$ cm", "correct": false, "feedback": "Mauvais quotient : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$,\nc'est donc le sinus qui intervient." }, { "text": "$9{,}6$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient, et multiplication au lieu d'une\ndivision." } ], "explanation": "Quand l'inconnue se trouve au dénominateur du quotient, on divise la\nlongueur connue par le sinus ou le cosinus de l'angle. Le résultat\ndoit rester cohérent : l'hypoténuse est le plus grand côté." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. L'angle $\\widehat{ABC}$\nmesure $53°$ et le côté $AC$ mesure $20$ cm. On donne\n$\\sin(53°) \\approx 0{,}8$ et $\\cos(53°) \\approx 0{,}6$.\nCombien mesure $BC$, arrondi au dixième ?", "options": [ { "text": "$25$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\sin(53°) = \\dfrac{AC}{BC}$, donc\n$BC = 20 \\div 0{,}8 \\approx 25$ cm." }, { "text": "$16$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège de l'inconnue au dénominateur : ici on divise, car\nl'hypoténuse est plus grande que le côté opposé." }, { "text": "$33{,}3$ cm", "correct": false, "feedback": "Mauvais quotient : $[AC]$ est le côté opposé à $\\widehat{ABC}$,\nc'est donc le sinus qui intervient." }, { "text": "$12$ cm", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvais quotient, et multiplication au lieu d'une\ndivision." } ], "explanation": "Quand l'inconnue se trouve au dénominateur du quotient, on divise la\nlongueur connue par le sinus ou le cosinus de l'angle. Le résultat\ndoit rester cohérent : l'hypoténuse est le plus grand côté." } ] }, { "id": "q28", "difficulty": 3, "skills": [ "pythagore", "application" ], "title": "Aire d'un triangle rectangle", "partie": "pythagore", "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Son hypoténuse $BC$ mesure\n$10$ cm et $AB = 6$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$24$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC = 8$ cm, et l'aire vaut\n$\\dfrac{6 \\times 8}{2} = 24$ cm$^2$." }, { "text": "$30$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Piège : l'hypoténuse n'est pas une hauteur du triangle. Les deux\ncôtés de l'angle droit sont $6$ et $8$." }, { "text": "$48$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est l'aire du rectangle correspondant. Celle du\ntriangle en est la moitié, soit $24$ cm$^2$." }, { "text": "$40$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ et $[AC]$ ne forment pas l'angle droit, ils ne\npeuvent pas servir de base et de hauteur." } ], "explanation": "Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit jouent le\nrôle de base et de hauteur. Il faut donc calculer le côté manquant\navant de diviser le produit par $2$.", "variants": [ { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Son hypoténuse $BC$ mesure\n$10$ cm et $AB = 6$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$24$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC = 8$ cm, et l'aire vaut\n$\\dfrac{6 \\times 8}{2} = 24$ cm$^2$." }, { "text": "$30$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Piège : l'hypoténuse n'est pas une hauteur du triangle. Les deux\ncôtés de l'angle droit sont $6$ et $8$." }, { "text": "$48$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est l'aire du rectangle correspondant. Celle du\ntriangle en est la moitié, soit $24$ cm$^2$." }, { "text": "$40$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ et $[AC]$ ne forment pas l'angle droit, ils ne\npeuvent pas servir de base et de hauteur." } ], "explanation": "Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit jouent le\nrôle de base et de hauteur. Il faut donc calculer le côté manquant\navant de diviser le produit par $2$." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Son hypoténuse $BC$ mesure\n$13$ cm et $AB = 5$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$30$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC = 12$ cm, et l'aire vaut\n$\\dfrac{5 \\times 12}{2} = 30$ cm$^2$." }, { "text": "$32{,}5$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Piège : l'hypoténuse n'est pas une hauteur du triangle. Les deux\ncôtés de l'angle droit sont $5$ et $12$." }, { "text": "$60$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est l'aire du rectangle correspondant. Celle du\ntriangle en est la moitié, soit $30$ cm$^2$." }, { "text": "$78$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ et $[AC]$ ne forment pas l'angle droit, ils ne\npeuvent pas servir de base et de hauteur." } ], "explanation": "Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit jouent le\nrôle de base et de hauteur. Il faut donc calculer le côté manquant\navant de diviser le produit par $2$." }, { "statement": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. Son hypoténuse $BC$ mesure\n$17$ cm et $AB = 15$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$60$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AC = 8$ cm, et l'aire vaut\n$\\dfrac{15 \\times 8}{2} = 60$ cm$^2$." }, { "text": "$127{,}5$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Piège : l'hypoténuse n'est pas une hauteur du triangle. Les deux\ncôtés de l'angle droit sont $15$ et $8$." }, { "text": "$120$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est l'aire du rectangle correspondant. Celle du\ntriangle en est la moitié, soit $60$ cm$^2$." }, { "text": "$68$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $[BC]$ et $[AC]$ ne forment pas l'angle droit, ils ne\npeuvent pas servir de base et de hauteur." } ], "explanation": "Dans un triangle rectangle, les deux côtés de l'angle droit jouent le\nrôle de base et de hauteur. Il faut donc calculer le côté manquant\navant de diviser le produit par $2$." } ] }, { "id": "q29", "difficulty": 3, "skills": [ "cosinus", "piege" ], "title": "Un cosinus impossible", "partie": "trigonometrie", "statement": "Un élève trouve $\\cos(\\widehat{ABC}) = 1{,}25$ dans un triangle\nrectangle. Pourquoi est-ce impossible ?", "options": [ { "text": "L'adjacent est plus court que l'hypoténuse", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ce quotient est donc inférieur à $1$. L'élève a\nsans doute inversé le numérateur et le dénominateur." }, { "text": "Le cosinus d'un angle aigu est toujours négatif", "correct": false, "feedback": "Erreur : un cosinus d'angle aigu est positif. Ce qui cloche ici,\nc'est qu'il dépasse $1$." }, { "text": "Le cosinus ne concerne que les angles de $30°$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le cosinus se définit pour tous les angles aigus, pas\nseulement pour quelques valeurs remarquables." }, { "text": "Un quotient de longueurs n'est jamais décimal", "correct": false, "feedback": "Erreur : un quotient de longueurs est très souvent décimal, comme\n$0{,}8$. Le problème est qu'il dépasse $1$." } ], "explanation": "Le cosinus et le sinus d'un angle aigu sont des quotients dont le\ndénominateur, l'hypoténuse, est le plus grand côté. Ils restent donc\ncompris entre $0$ et $1$." }, { "id": "q30", "difficulty": 3, "skills": [ "pythagore", "arrondi" ], "title": "Diagonale d'un carré", "partie": "pythagore", "statement": "Un carré a pour côté $5$ cm. Combien mesure sa diagonale, arrondie\nau dixième ?", "options": [ { "text": "$7{,}1$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la diagonale vérifie $d^2 = 5^2 + 5^2 =\n50$, donc $d \\approx 7{,}1$ cm." }, { "text": "$10$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la diagonale ne vaut pas deux côtés. Elle est plus courte\nque le chemin qui longe deux côtés." }, { "text": "$50$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la diagonale. Sa racine carrée donne $7{,}1$\ncm." }, { "text": "$7{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune règle ne donne la diagonale en ajoutant la moitié\ndu côté. Il faut passer par Pythagore." } ], "explanation": "La diagonale d'un carré est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont\nles deux côtés de l'angle droit valent le côté du carré. Son carré\nvaut donc le double du carré du côté.", "variants": [ { "statement": "Un carré a pour côté $5$ cm. Combien mesure sa diagonale, arrondie\nau dixième ?", "options": [ { "text": "$7{,}1$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la diagonale vérifie $d^2 = 5^2 + 5^2 =\n50$, donc $d \\approx 7{,}1$ cm." }, { "text": "$10$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la diagonale ne vaut pas deux côtés. Elle est plus courte\nque le chemin qui longe deux côtés." }, { "text": "$50$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la diagonale. Sa racine carrée donne $7{,}1$\ncm." }, { "text": "$7{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune règle ne donne la diagonale en ajoutant la moitié\ndu côté. Il faut passer par Pythagore." } ], "explanation": "La diagonale d'un carré est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont\nles deux côtés de l'angle droit valent le côté du carré. Son carré\nvaut donc le double du carré du côté." }, { "statement": "Un carré a pour côté $8$ cm. Combien mesure sa diagonale, arrondie\nau dixième ?", "options": [ { "text": "$11{,}3$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la diagonale vérifie $d^2 = 8^2 + 8^2 =\n128$, donc $d \\approx 11{,}3$ cm." }, { "text": "$16$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la diagonale ne vaut pas deux côtés. Elle est plus courte\nque le chemin qui longe deux côtés." }, { "text": "$128$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la diagonale. Sa racine carrée donne $11{,}3$\ncm." }, { "text": "$12$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune règle ne donne la diagonale en ajoutant la moitié\ndu côté. Il faut passer par Pythagore." } ], "explanation": "La diagonale d'un carré est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont\nles deux côtés de l'angle droit valent le côté du carré. Son carré\nvaut donc le double du carré du côté." }, { "statement": "Un carré a pour côté $12$ cm. Combien mesure sa diagonale, arrondie\nau dixième ?", "options": [ { "text": "$17$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la diagonale vérifie $d^2 = 12^2 + 12^2 =\n288$, donc $d \\approx 17$ cm." }, { "text": "$24$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : la diagonale ne vaut pas deux côtés. Elle est plus courte\nque le chemin qui longe deux côtés." }, { "text": "$288$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est le carré de la diagonale. Sa racine carrée donne $17$\ncm." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune règle ne donne la diagonale en ajoutant la moitié\ndu côté. Il faut passer par Pythagore." } ], "explanation": "La diagonale d'un carré est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont\nles deux côtés de l'angle droit valent le côté du carré. Son carré\nvaut donc le double du carré du côté." } ] }, { "id": "q31", "difficulty": 1, "skills": [ "reciproque", "plus-grand-cote", "methode" ], "title": "Le côté à isoler", "partie": "reciproque", "statement": "Pour savoir si un triangle dont les côtés mesurent $5$ cm, $6$ cm\net $8$ cm est rectangle, quel côté doit-on mettre au carré seul ?", "options": [ { "text": "Le plus grand, $8$ cm, seule hypoténuse possible", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté ;\non compare donc $8^2$ à $5^2 + 6^2$.\n" }, { "text": "Le plus petit, $5$ cm, pour simplifier le calcul", "correct": false, "feedback": "Erreur : le plus petit côté ne peut pas être l'hypoténuse, qui\nest le plus grand des trois.\n" }, { "text": "N'importe lequel, le résultat ne change pas", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5^2 + 8^2$ et $5^2 + 6^2$ ne donnent pas le même\ntest ; seul le plus grand côté joue le rôle de l'hypoténuse.\n" }, { "text": "Les trois, chacun à son tour, pour être sûr", "correct": false, "feedback": "Erreur : un seul test suffit, avec le plus grand côté isolé.\n" } ], "explanation": "Avant d'appliquer la réciproque, on repère le plus grand côté : on\ncompare son carré à la somme des carrés des deux autres." }, { "id": "q32", "difficulty": 2, "skills": [ "reciproque", "triplet", "calcul" ], "title": "Un triangle à côtés entiers", "partie": "reciproque", "statement": "Un triangle a pour côtés $5$ cm, $12$ cm et $13$ cm. Est-il\nrectangle ?", "options": [ { "text": "Oui, car $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5^2 + 12^2 = 169$ et $13^2 = 169$ ;\nl'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle, l'angle\ndroit étant opposé au côté de $13$ cm.\n" }, { "text": "Non, car $5 + 12 \\neq 13$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la réciproque de Pythagore compare des **carrés**, pas\nles longueurs elles-mêmes.\n" }, { "text": "Non, car $(5 + 12)^2 = 289 \\neq 13^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : il faut ajouter les carrés, $5^2 + 12^2$, pas élever\nla somme au carré.\n" }, { "text": "On ne peut pas savoir sans mesurer les angles", "correct": false, "feedback": "Erreur : la réciproque du théorème de Pythagore permet de\nconclure à partir des seules longueurs.\n" } ], "explanation": "Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des\ndeux autres, le triangle est rectangle : c'est la réciproque du\nthéorème de Pythagore.", "variants": [ { "statement": "Un triangle a pour côtés $5$ cm, $12$ cm et $13$ cm. Est-il\nrectangle ?", "options": [ { "text": "Oui, car $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $5^2 + 12^2 = 169$ et $13^2 = 169$ ;\nl'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle, l'angle\ndroit étant opposé au côté de $13$ cm.\n" }, { "text": "Non, car $5 + 12 \\neq 13$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la réciproque de Pythagore compare des **carrés**, pas\nles longueurs elles-mêmes.\n" }, { "text": "Non, car $(5 + 12)^2 = 289 \\neq 13^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : il faut ajouter les carrés, $5^2 + 12^2$, pas élever\nla somme au carré.\n" }, { "text": "On ne peut pas savoir sans mesurer les angles", "correct": false, "feedback": "Erreur : la réciproque du théorème de Pythagore permet de\nconclure à partir des seules longueurs.\n" } ], "explanation": "Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des\ndeux autres, le triangle est rectangle : c'est la réciproque du\nthéorème de Pythagore." }, { "statement": "Un triangle a pour côtés $8$ cm, $15$ cm et $17$ cm. Est-il\nrectangle ?", "options": [ { "text": "Oui, car $8^2 + 15^2 = 289 = 17^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $8^2 + 15^2 = 289$ et $17^2 = 289$ ;\nl'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle, l'angle\ndroit étant opposé au côté de $17$ cm.\n" }, { "text": "Non, car $8 + 15 \\neq 17$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la réciproque de Pythagore compare des **carrés**, pas\nles longueurs elles-mêmes.\n" }, { "text": "Non, car $(8 + 15)^2 = 529 \\neq 17^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : il faut ajouter les carrés, $8^2 + 15^2$, pas élever\nla somme au carré.\n" }, { "text": "On ne peut pas savoir sans mesurer les angles", "correct": false, "feedback": "Erreur : la réciproque du théorème de Pythagore permet de\nconclure à partir des seules longueurs.\n" } ], "explanation": "Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des\ndeux autres, le triangle est rectangle : c'est la réciproque du\nthéorème de Pythagore." }, { "statement": "Un triangle a pour côtés $7$ cm, $24$ cm et $25$ cm. Est-il\nrectangle ?", "options": [ { "text": "Oui, car $7^2 + 24^2 = 625 = 25^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $7^2 + 24^2 = 625$ et $25^2 = 625$ ;\nl'égalité est vérifiée, donc le triangle est rectangle, l'angle\ndroit étant opposé au côté de $25$ cm.\n" }, { "text": "Non, car $7 + 24 \\neq 25$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la réciproque de Pythagore compare des **carrés**, pas\nles longueurs elles-mêmes.\n" }, { "text": "Non, car $(7 + 24)^2 = 961 \\neq 25^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : il faut ajouter les carrés, $7^2 + 24^2$, pas élever\nla somme au carré.\n" }, { "text": "On ne peut pas savoir sans mesurer les angles", "correct": false, "feedback": "Erreur : la réciproque du théorème de Pythagore permet de\nconclure à partir des seules longueurs.\n" } ], "explanation": "Si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des\ndeux autres, le triangle est rectangle : c'est la réciproque du\nthéorème de Pythagore." } ] }, { "id": "q33", "difficulty": 2, "skills": [ "reciproque", "agrandissement", "triplet" ], "title": "Un triplet agrandi", "partie": "reciproque", "statement": "Le triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm est rectangle. Le\ntriangle de côtés $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm l'est-il aussi ?", "options": [ { "text": "Oui, car $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les côtés ont tous été multipliés par $2$ ;\nl'égalité de Pythagore reste vraie, chaque carré étant multiplié\npar $2^2$.\n" }, { "text": "Non, car seul le triangle $3$, $4$, $5$ est rectangle", "correct": false, "feedback": "Erreur : tout agrandissement d'un triangle rectangle est encore\nrectangle ; les angles ne changent pas.\n" }, { "text": "Non, car $6 + 8 \\neq 10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le test porte sur les carrés des longueurs.\n" }, { "text": "On ne peut pas savoir sans connaître les angles", "correct": false, "feedback": "Erreur : les longueurs suffisent, par la réciproque de\nPythagore.\n" } ], "explanation": "Multiplier les trois côtés par un même nombre conserve l'égalité de\nPythagore : les multiples d'un triplet rectangle sont rectangles.", "variants": [ { "statement": "Le triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm est rectangle. Le\ntriangle de côtés $6$ cm, $8$ cm et $10$ cm l'est-il aussi ?", "options": [ { "text": "Oui, car $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les côtés ont tous été multipliés par $2$ ;\nl'égalité de Pythagore reste vraie, chaque carré étant multiplié\npar $2^2$.\n" }, { "text": "Non, car seul le triangle $3$, $4$, $5$ est rectangle", "correct": false, "feedback": "Erreur : tout agrandissement d'un triangle rectangle est encore\nrectangle ; les angles ne changent pas.\n" }, { "text": "Non, car $6 + 8 \\neq 10$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le test porte sur les carrés des longueurs.\n" }, { "text": "On ne peut pas savoir sans connaître les angles", "correct": false, "feedback": "Erreur : les longueurs suffisent, par la réciproque de\nPythagore.\n" } ], "explanation": "Multiplier les trois côtés par un même nombre conserve l'égalité de\nPythagore : les multiples d'un triplet rectangle sont rectangles." }, { "statement": "Le triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm est rectangle. Le\ntriangle de côtés $9$ cm, $12$ cm et $15$ cm l'est-il aussi ?", "options": [ { "text": "Oui, car $9^2 + 12^2 = 225 = 15^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les côtés ont tous été multipliés par $3$ ;\nl'égalité de Pythagore reste vraie, chaque carré étant multiplié\npar $3^2$.\n" }, { "text": "Non, car seul le triangle $3$, $4$, $5$ est rectangle", "correct": false, "feedback": "Erreur : tout agrandissement d'un triangle rectangle est encore\nrectangle ; les angles ne changent pas.\n" }, { "text": "Non, car $9 + 12 \\neq 15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le test porte sur les carrés des longueurs.\n" }, { "text": "On ne peut pas savoir sans connaître les angles", "correct": false, "feedback": "Erreur : les longueurs suffisent, par la réciproque de\nPythagore.\n" } ], "explanation": "Multiplier les trois côtés par un même nombre conserve l'égalité de\nPythagore : les multiples d'un triplet rectangle sont rectangles." }, { "statement": "Le triangle de côtés $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm est rectangle. Le\ntriangle de côtés $15$ cm, $20$ cm et $25$ cm l'est-il aussi ?", "options": [ { "text": "Oui, car $15^2 + 20^2 = 625 = 25^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les côtés ont tous été multipliés par $5$ ;\nl'égalité de Pythagore reste vraie, chaque carré étant multiplié\npar $5^2$.\n" }, { "text": "Non, car seul le triangle $3$, $4$, $5$ est rectangle", "correct": false, "feedback": "Erreur : tout agrandissement d'un triangle rectangle est encore\nrectangle ; les angles ne changent pas.\n" }, { "text": "Non, car $15 + 20 \\neq 25$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le test porte sur les carrés des longueurs.\n" }, { "text": "On ne peut pas savoir sans connaître les angles", "correct": false, "feedback": "Erreur : les longueurs suffisent, par la réciproque de\nPythagore.\n" } ], "explanation": "Multiplier les trois côtés par un même nombre conserve l'égalité de\nPythagore : les multiples d'un triplet rectangle sont rectangles." } ] }, { "id": "q34", "difficulty": 3, "skills": [ "reciproque", "theoreme", "choix" ], "title": "Théorème ou réciproque", "partie": "reciproque", "statement": "Dans quelle situation utilise-t-on la **réciproque** du théorème de\nPythagore ?", "options": [ { "text": "On connaît les trois côtés et on cherche si un angle est droit", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la réciproque part de l'égalité entre les\ncarrés des côtés pour conclure que le triangle est rectangle.\n" }, { "text": "On connaît l'angle droit et deux côtés, on cherche le troisième", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le théorème direct, qui part de l'angle droit\npour calculer une longueur.\n" }, { "text": "On connaît deux angles et on cherche le troisième", "correct": false, "feedback": "Erreur : cela relève de la somme des angles d'un triangle, pas de\nPythagore.\n" }, { "text": "On connaît un côté et un angle aigu, on cherche un autre côté", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est la trigonométrie qui relie un angle aigu et deux\ncôtés.\n" } ], "explanation": "Théorème : de l'angle droit vers les longueurs. Réciproque : des\nlongueurs vers l'angle droit. Le sens de l'implication change." } ] }