{ "chapter": { "id": "thales-grandeurs", "level": "college", "theme": "Géométrie", "title": "Thalès, aires et volumes", "description": "Théorème de Thalès et sa réciproque, agrandissement et réduction,\naires, volumes et conversions d'unités.", "parties": [ { "id": "thales", "title": "Thalès, agrandissement et réduction" }, { "id": "aires", "title": "Périmètres et aires" }, { "id": "volumes", "title": "Volumes et conversions" } ], "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "thales", "vocabulaire" ], "title": "Reconnaître la configuration", "partie": "thales", "statement": "Dans le triangle $ABC$, le point $M$ appartient à $[AB]$ et le point\n$N$ à $[AC]$. Quelle condition permet d'appliquer le théorème de\nThalès ?", "options": [ { "text": "Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est le parallélisme qui garantit l'égalité des\ntrois quotients de longueurs." }, { "text": "Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont sécantes", "correct": false, "feedback": "Erreur : deux droites sécantes ne donnent aucune égalité de\nquotients. Il faut au contraire qu'elles soient parallèles." }, { "text": "Les longueurs $AM$ et $AN$ sont égales", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette égalité n'a rien d'obligatoire. Thalès compare des\nquotients, pas des longueurs prises isolément." }, { "text": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$", "correct": false, "feedback": "Erreur : Thalès vaut dans n'importe quel triangle. L'angle droit\nest l'affaire du théorème de Pythagore." } ], "explanation": "Le théorème de Thalès s'applique dès que deux droites parallèles\ncoupent deux droites sécantes. Le parallélisme est l'hypothèse, les\négalités de quotients en sont la conclusion." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "thales", "longueur" ], "title": "Calculer une longueur avec Thalès", "partie": "thales", "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm,\n$AB = 12$ cm et $BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?", "options": [ { "text": "$5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MN}{BC}$, donc\n$MN = \\dfrac{4 \\times 15}{12} = 5$ cm." }, { "text": "$45$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est\nplus petit que $AB$." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences\négales. Le calcul correct donne $5$ cm." }, { "text": "$19$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le\nrapport $\\dfrac{4}{12}$." } ], "explanation": "Dans cette configuration, les trois quotients\n$\\dfrac{AM}{AB}$, $\\dfrac{AN}{AC}$ et $\\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On\nchoisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues.", "variants": [ { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm,\n$AB = 12$ cm et $BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?", "options": [ { "text": "$5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MN}{BC}$, donc\n$MN = \\dfrac{4 \\times 15}{12} = 5$ cm." }, { "text": "$45$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est\nplus petit que $AB$." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences\négales. Le calcul correct donne $5$ cm." }, { "text": "$19$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le\nrapport $\\dfrac{4}{12}$." } ], "explanation": "Dans cette configuration, les trois quotients\n$\\dfrac{AM}{AB}$, $\\dfrac{AN}{AC}$ et $\\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On\nchoisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 5$ cm,\n$AB = 10$ cm et $BC = 14$ cm. Combien mesure $MN$ ?", "options": [ { "text": "$7$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MN}{BC}$, donc\n$MN = \\dfrac{5 \\times 14}{10} = 7$ cm." }, { "text": "$28$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est\nplus petit que $AB$." }, { "text": "$9$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences\négales. Le calcul correct donne $7$ cm." }, { "text": "$19$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le\nrapport $\\dfrac{5}{10}$." } ], "explanation": "Dans cette configuration, les trois quotients\n$\\dfrac{AM}{AB}$, $\\dfrac{AN}{AC}$ et $\\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On\nchoisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 3$ cm,\n$AB = 9$ cm et $BC = 12$ cm. Combien mesure $MN$ ?", "options": [ { "text": "$4$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{MN}{BC}$, donc\n$MN = \\dfrac{3 \\times 12}{9} = 4$ cm." }, { "text": "$36$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $MN$ est plus petit que $BC$, puisque $AM$ est\nplus petit que $AB$." }, { "text": "$9$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, pas des différences\négales. Le calcul correct donne $4$ cm." }, { "text": "$15$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne cumule pas les longueurs. On multiplie $BC$ par le\nrapport $\\dfrac{3}{9}$." } ], "explanation": "Dans cette configuration, les trois quotients\n$\\dfrac{AM}{AB}$, $\\dfrac{AN}{AC}$ et $\\dfrac{MN}{BC}$ sont égaux. On\nchoisit celui qui relie l'inconnue à deux longueurs connues." } ] }, { "id": "q03", "difficulty": 1, "skills": [ "thales", "longueur" ], "title": "Longueur sur le second côté", "partie": "thales", "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 2$ cm,\n$AB = 6$ cm et $AC = 15$ cm. Combien mesure $AN$ ?", "options": [ { "text": "$5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AN = \\dfrac{2 \\times 15}{6} = 5$ cm." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès\nest un rapport, pas un écart." }, { "text": "$45$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme\n$AM$ l'est par rapport à $AB$." }, { "text": "$13$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du\ntriangle." } ], "explanation": "On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,\npuis on applique la règle du produit en croix.", "variants": [ { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 2$ cm,\n$AB = 6$ cm et $AC = 15$ cm. Combien mesure $AN$ ?", "options": [ { "text": "$5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AN = \\dfrac{2 \\times 15}{6} = 5$ cm." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès\nest un rapport, pas un écart." }, { "text": "$45$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme\n$AM$ l'est par rapport à $AB$." }, { "text": "$13$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du\ntriangle." } ], "explanation": "On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,\npuis on applique la règle du produit en croix." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 3$ cm,\n$AB = 9$ cm et $AC = 21$ cm. Combien mesure $AN$ ?", "options": [ { "text": "$7$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AN = \\dfrac{3 \\times 21}{9} = 7$ cm." }, { "text": "$15$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès\nest un rapport, pas un écart." }, { "text": "$63$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme\n$AM$ l'est par rapport à $AB$." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du\ntriangle." } ], "explanation": "On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,\npuis on applique la règle du produit en croix." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ appartient à $[AB]$ et $N$ à $[AC]$, et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm,\n$AB = 10$ cm et $AC = 35$ cm. Combien mesure $AN$ ?", "options": [ { "text": "$14$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$, donc\n$AN = \\dfrac{4 \\times 35}{10} = 14$ cm." }, { "text": "$29$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : on a raisonné par différences constantes. Thalès\nest un rapport, pas un écart." }, { "text": "$87{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AN$ doit rester plus petit que $AC$, comme\n$AM$ l'est par rapport à $AB$." }, { "text": "$31$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : soustraire $AM$ à $AC$ mélange deux côtés différents du\ntriangle." } ], "explanation": "On écrit l'égalité qui contient l'inconnue et deux longueurs connues,\npuis on applique la règle du produit en croix." } ] }, { "id": "q04", "difficulty": 1, "skills": [ "thales", "rapport" ], "title": "L'égalité des quotients", "partie": "thales", "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$, $N$ est sur $[AC]$ et\n$(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Quelle égalité est vraie ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on compare les petites longueurs aux grandes, dans\nle même ordre sur les deux côtés." }, { "text": "$\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AC}{AN}$", "correct": false, "feedback": "Le second quotient est retourné : il faut garder le même ordre des\ndeux côtés du signe égal." }, { "text": "$\\dfrac{AM}{MB} = \\dfrac{AN}{AC}$", "correct": false, "feedback": "Les deux quotients ne sont pas construits pareil : à gauche une\npart du côté, à droite le côté entier." }, { "text": "$\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{BC}{MN}$", "correct": false, "feedback": "Le troisième quotient est inversé : c'est $\\dfrac{MN}{BC}$ qui\nrejoint les deux premiers." } ], "explanation": "Les trois quotients s'écrivent toujours dans le même sens : chaque\npetite longueur au numérateur, la grande correspondante au\ndénominateur." }, { "id": "q05", "difficulty": 1, "skills": [ "aire", "triangle" ], "title": "Aire d'un triangle", "partie": "aires", "statement": "Un triangle a une base de $8$ cm et une hauteur de $5$ cm.\nQuelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$20$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\dfrac{8 \\times 5}{2} = 20$ cm$^2$." }, { "text": "$40$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle\nen est la moitié." }, { "text": "$13$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme\nde deux longueurs." }, { "text": "$26$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien\nà voir avec une aire." } ], "explanation": "Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le\ntout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base\nchoisie.", "variants": [ { "statement": "Un triangle a une base de $8$ cm et une hauteur de $5$ cm.\nQuelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$20$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\dfrac{8 \\times 5}{2} = 20$ cm$^2$." }, { "text": "$40$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle\nen est la moitié." }, { "text": "$13$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme\nde deux longueurs." }, { "text": "$26$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien\nà voir avec une aire." } ], "explanation": "Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le\ntout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base\nchoisie." }, { "statement": "Un triangle a une base de $12$ cm et une hauteur de $7$ cm.\nQuelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$42$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\dfrac{12 \\times 7}{2} = 42$ cm$^2$." }, { "text": "$84$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle\nen est la moitié." }, { "text": "$19$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme\nde deux longueurs." }, { "text": "$38$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien\nà voir avec une aire." } ], "explanation": "Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le\ntout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base\nchoisie." }, { "statement": "Un triangle a une base de $9$ cm et une hauteur de $6$ cm.\nQuelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$27$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut\n$\\dfrac{9 \\times 6}{2} = 27$ cm$^2$." }, { "text": "$54$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du rectangle de mêmes dimensions. Celle du triangle\nen est la moitié." }, { "text": "$15$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire se calcule par un produit, jamais par une somme\nde deux longueurs." }, { "text": "$30$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Cette formule est celle du périmètre d'un rectangle, qui n'a rien\nà voir avec une aire." } ], "explanation": "Aire d'un triangle : base multipliée par la hauteur correspondante, le\ntout divisé par $2$. La hauteur doit être perpendiculaire à la base\nchoisie." } ] }, { "id": "q06", "difficulty": 1, "skills": [ "aire", "triangle" ], "title": "Retrouver une base", "partie": "aires", "statement": "Un triangle a une aire de $24$ cm$^2$ et une hauteur de\n$6$ cm. Combien mesure la base correspondante ?", "options": [ { "text": "$8$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de $\\dfrac{b \\times 6}{2} = 24$ on tire\n$b = \\dfrac{2 \\times 24}{6} = 8$ cm." }, { "text": "$4$ cm", "correct": false, "feedback": "Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une\ndivision par $2$ qu'il faut compenser." }, { "text": "$2$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui\néloigne deux fois plus du résultat." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par\nla division qui inverse le produit." } ], "explanation": "Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :\nbase égale deux fois l'aire divisée par la hauteur.", "variants": [ { "statement": "Un triangle a une aire de $24$ cm$^2$ et une hauteur de\n$6$ cm. Combien mesure la base correspondante ?", "options": [ { "text": "$8$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de $\\dfrac{b \\times 6}{2} = 24$ on tire\n$b = \\dfrac{2 \\times 24}{6} = 8$ cm." }, { "text": "$4$ cm", "correct": false, "feedback": "Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une\ndivision par $2$ qu'il faut compenser." }, { "text": "$2$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui\néloigne deux fois plus du résultat." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par\nla division qui inverse le produit." } ], "explanation": "Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :\nbase égale deux fois l'aire divisée par la hauteur." }, { "statement": "Un triangle a une aire de $30$ cm$^2$ et une hauteur de\n$5$ cm. Combien mesure la base correspondante ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de $\\dfrac{b \\times 5}{2} = 30$ on tire\n$b = \\dfrac{2 \\times 30}{5} = 12$ cm." }, { "text": "$6$ cm", "correct": false, "feedback": "Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une\ndivision par $2$ qu'il faut compenser." }, { "text": "$3$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui\néloigne deux fois plus du résultat." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par\nla division qui inverse le produit." } ], "explanation": "Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :\nbase égale deux fois l'aire divisée par la hauteur." }, { "statement": "Un triangle a une aire de $42$ cm$^2$ et une hauteur de\n$12$ cm. Combien mesure la base correspondante ?", "options": [ { "text": "$7$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : de $\\dfrac{b \\times 12}{2} = 42$ on tire\n$b = \\dfrac{2 \\times 42}{12} = 7$ cm." }, { "text": "$3{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "Le facteur $2$ a été oublié : la formule de l'aire comporte une\ndivision par $2$ qu'il faut compenser." }, { "text": "$1{,}75$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : on a divisé par $2$ au lieu de multiplier, ce qui\néloigne deux fois plus du résultat." }, { "text": "$30$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : une aire ne se défait pas par une soustraction, mais par\nla division qui inverse le produit." } ], "explanation": "Pour remonter d'une aire à une longueur, on inverse la formule :\nbase égale deux fois l'aire divisée par la hauteur." } ] }, { "id": "q07", "difficulty": 1, "skills": [ "conversion", "aire" ], "title": "Du mètre carré au centimètre carré", "partie": "volumes", "statement": "À combien de centimètres carrés correspond $1$ mètre carré ?", "options": [ { "text": "$10\\,000$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^2$ vaut\n$100 \\times 100 = 10\\,000$ cm$^2$." }, { "text": "$100$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion des longueurs. Pour les aires, le facteur est\nmultiplié par lui-même." }, { "text": "$1\\,000$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1\\,000$ est le facteur entre le mètre cube et le\ndécimètre cube, pas entre ces deux unités d'aire." }, { "text": "$1\\,000\\,000$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur entre le mètre cube et le centimètre cube. Pour\nune aire, on ne multiplie $100$ qu'une seule fois par lui-même." } ], "explanation": "Une aire fait intervenir deux longueurs : le facteur de conversion des\nlongueurs est donc élevé au carré. Pour un volume, il est élevé au\ncube." }, { "id": "q08", "difficulty": 1, "skills": [ "conversion", "longueur" ], "title": "Des mètres aux centimètres", "partie": "volumes", "statement": "Convertir $2{,}5$ m en centimètres.", "options": [ { "text": "$250$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie\npar $100$." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour\narriver aux centimètres." }, { "text": "$2500$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\\,000$ va trop\nloin d'un rang." }, { "text": "$0{,}025$ cm", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le\nnombre obtenu doit être plus grand." } ], "explanation": "Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au\ncentimètre, on multiplie par $100$.", "variants": [ { "statement": "Convertir $2{,}5$ m en centimètres.", "options": [ { "text": "$250$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie\npar $100$." }, { "text": "$25$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour\narriver aux centimètres." }, { "text": "$2500$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\\,000$ va trop\nloin d'un rang." }, { "text": "$0{,}025$ cm", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le\nnombre obtenu doit être plus grand." } ], "explanation": "Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au\ncentimètre, on multiplie par $100$." }, { "statement": "Convertir $0{,}35$ m en centimètres.", "options": [ { "text": "$35$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie\npar $100$." }, { "text": "$3{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour\narriver aux centimètres." }, { "text": "$350$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\\,000$ va trop\nloin d'un rang." }, { "text": "$0{,}0035$ cm", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le\nnombre obtenu doit être plus grand." } ], "explanation": "Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au\ncentimètre, on multiplie par $100$." }, { "statement": "Convertir $12{,}4$ m en centimètres.", "options": [ { "text": "$1240$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un mètre vaut $100$ centimètres, donc on multiplie\npar $100$." }, { "text": "$124$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en décimètres : il reste un facteur $10$ pour\narriver aux centimètres." }, { "text": "$12400$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en millimètres : le facteur $1\\,000$ va trop\nloin d'un rang." }, { "text": "$0{,}124$ cm", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : le centimètre est plus petit que le mètre, donc le\nnombre obtenu doit être plus grand." } ], "explanation": "Vers une unité plus petite, le nombre grandit. Du mètre au\ncentimètre, on multiplie par $100$." } ] }, { "id": "q09", "difficulty": 1, "skills": [ "volume", "pave" ], "title": "Volume d'un pavé droit", "partie": "volumes", "statement": "Un pavé droit a pour dimensions $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm.\nQuel est son volume ?", "options": [ { "text": "$60$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses\ntrois dimensions, soit $60$ cm$^3$." }, { "text": "$12$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois\ndimensions n'a pas de sens ici." }, { "text": "$94$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le\nvolume du solide." }, { "text": "$30$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le\npavé droit." } ], "explanation": "Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée\npar hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume.", "variants": [ { "statement": "Un pavé droit a pour dimensions $3$ cm, $4$ cm et $5$ cm.\nQuel est son volume ?", "options": [ { "text": "$60$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses\ntrois dimensions, soit $60$ cm$^3$." }, { "text": "$12$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois\ndimensions n'a pas de sens ici." }, { "text": "$94$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le\nvolume du solide." }, { "text": "$30$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le\npavé droit." } ], "explanation": "Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée\npar hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume." }, { "statement": "Un pavé droit a pour dimensions $2$ cm, $6$ cm et $7$ cm.\nQuel est son volume ?", "options": [ { "text": "$84$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses\ntrois dimensions, soit $84$ cm$^3$." }, { "text": "$15$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois\ndimensions n'a pas de sens ici." }, { "text": "$136$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le\nvolume du solide." }, { "text": "$42$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le\npavé droit." } ], "explanation": "Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée\npar hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume." }, { "statement": "Un pavé droit a pour dimensions $5$ cm, $5$ cm et $8$ cm.\nQuel est son volume ?", "options": [ { "text": "$200$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le volume d'un pavé droit est le produit de ses\ntrois dimensions, soit $200$ cm$^3$." }, { "text": "$18$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un volume se calcule par un produit. La somme des trois\ndimensions n'a pas de sens ici." }, { "text": "$210$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire totale des six faces, exprimée en cm$^2$, et non le\nvolume du solide." }, { "text": "$100$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "La division par $2$ concerne le triangle ou la pyramide, pas le\npavé droit." } ], "explanation": "Volume d'un pavé droit : longueur multipliée par largeur multipliée\npar hauteur. Le résultat s'exprime en unités de volume." } ] }, { "id": "q10", "difficulty": 1, "skills": [ "cylindre", "vocabulaire" ], "title": "La formule du cylindre", "partie": "volumes", "statement": "Quelle formule donne le volume d'un cylindre de rayon $r$ et de\nhauteur $h$ ?", "options": [ { "text": "$\\pi r^2 h$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire du disque de base est $\\pi r^2$, que l'on\nmultiplie par la hauteur." }, { "text": "$2\\pi r h$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale : le périmètre du disque\nmultiplié par la hauteur." }, { "text": "$\\pi r h^2$", "correct": false, "feedback": "Les rôles sont échangés : c'est le rayon qui est élevé au carré,\npuisqu'il sert à calculer l'aire de la base." }, { "text": "$\\dfrac{\\pi r^2 h}{3}$", "correct": false, "feedback": "La division par $3$ est celle du cône ou de la pyramide, pas celle\ndu cylindre." } ], "explanation": "Pour un prisme ou un cylindre, le volume est l'aire de la base\nmultipliée par la hauteur. Le tiers n'apparaît que pour les solides\npointus." }, { "id": "q11", "difficulty": 2, "skills": [ "thales", "longueur" ], "title": "Deux droites qui se croisent", "partie": "thales", "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$\nétant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$\net $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 3$ cm, $OC = 9$ cm et\n$AB = 5$ cm. Combien mesure $CD$ ?", "options": [ { "text": "$15$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc\n$CD = \\dfrac{9 \\times 5}{3} = 15$ cm." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par\nmultiplication, pas par addition." }, { "text": "$4$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites\ndifférentes, leur différence n'a pas de sens." }, { "text": "$14$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport\n$\\dfrac{9}{3}$, et non par une somme." } ], "explanation": "Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les\nquotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles\nsoient emboîtés ou opposés par le sommet.", "variants": [ { "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$\nétant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$\net $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 3$ cm, $OC = 9$ cm et\n$AB = 5$ cm. Combien mesure $CD$ ?", "options": [ { "text": "$15$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc\n$CD = \\dfrac{9 \\times 5}{3} = 15$ cm." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par\nmultiplication, pas par addition." }, { "text": "$4$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites\ndifférentes, leur différence n'a pas de sens." }, { "text": "$14$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport\n$\\dfrac{9}{3}$, et non par une somme." } ], "explanation": "Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les\nquotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles\nsoient emboîtés ou opposés par le sommet." }, { "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$\nétant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$\net $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 4$ cm, $OC = 12$ cm et\n$AB = 7$ cm. Combien mesure $CD$ ?", "options": [ { "text": "$21$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc\n$CD = \\dfrac{12 \\times 7}{4} = 21$ cm." }, { "text": "$15$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par\nmultiplication, pas par addition." }, { "text": "$5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites\ndifférentes, leur différence n'a pas de sens." }, { "text": "$19$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport\n$\\dfrac{12}{4}$, et non par une somme." } ], "explanation": "Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les\nquotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles\nsoient emboîtés ou opposés par le sommet." }, { "statement": "Les droites $(AC)$ et $(BD)$ se coupent en $O$, les points $A$ et $C$\nétant de part et d'autre de $O$, comme $B$ et $D$. Les droites $(AB)$\net $(CD)$ sont parallèles. On donne $OA = 5$ cm, $OC = 15$ cm et\n$AB = 4$ cm. Combien mesure $CD$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{OA}{OC} = \\dfrac{AB}{CD}$, donc\n$CD = \\dfrac{15 \\times 4}{5} = 12$ cm." }, { "text": "$14$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a ajouté l'écart entre $OA$ et $OC$. Thalès agit par\nmultiplication, pas par addition." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : ces deux longueurs appartiennent à des droites\ndifférentes, leur différence n'a pas de sens." }, { "text": "$19$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $CD$ s'obtient en multipliant $AB$ par le rapport\n$\\dfrac{15}{5}$, et non par une somme." } ], "explanation": "Quand deux droites parallèles coupent deux droites sécantes, les\nquotients de longueurs correspondantes sont égaux, que les triangles\nsoient emboîtés ou opposés par le sommet." } ] }, { "id": "q12", "difficulty": 2, "skills": [ "agrandissement", "longueur" ], "title": "Revenir à la figure de départ", "partie": "thales", "statement": "Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $3$. Un côté\nmesure alors $21$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?", "options": [ { "text": "$7$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le\ncoefficient, soit $21 \\div 3 = 7$ cm." }, { "text": "$63$ cm", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire\nen divisant par $3$." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur\najoute pas une valeur fixe." }, { "text": "$24$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni\nl'ajouter ni le retrancher." } ], "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs\npar $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$.", "variants": [ { "statement": "Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $3$. Un côté\nmesure alors $21$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?", "options": [ { "text": "$7$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le\ncoefficient, soit $21 \\div 3 = 7$ cm." }, { "text": "$63$ cm", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire\nen divisant par $3$." }, { "text": "$18$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur\najoute pas une valeur fixe." }, { "text": "$24$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni\nl'ajouter ni le retrancher." } ], "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs\npar $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$." }, { "statement": "Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $2{,}5$. Un côté\nmesure alors $20$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?", "options": [ { "text": "$8$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le\ncoefficient, soit $20 \\div 2{,}5 = 8$ cm." }, { "text": "$50$ cm", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire\nen divisant par $2{,}5$." }, { "text": "$17{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur\najoute pas une valeur fixe." }, { "text": "$22{,}5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni\nl'ajouter ni le retrancher." } ], "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs\npar $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$." }, { "statement": "Toutes les longueurs d'une figure sont multipliées par $4$. Un côté\nmesure alors $54$ cm. Combien mesurait-il avant l'agrandissement ?", "options": [ { "text": "$13{,}5$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour revenir en arrière, on divise par le\ncoefficient, soit $54 \\div 4 = 13{,}5$ cm." }, { "text": "$216$ cm", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : la figure a déjà été agrandie, il faut donc réduire\nen divisant par $4$." }, { "text": "$50$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : un agrandissement multiplie les longueurs, il ne leur\najoute pas une valeur fixe." }, { "text": "$58$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient n'est pas une longueur, on ne peut ni\nl'ajouter ni le retrancher." } ], "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie toutes les longueurs\npar $k$. L'opération inverse est la division par ce même $k$." } ] }, { "id": "q13", "difficulty": 2, "skills": [ "agrandissement", "aire" ], "title": "Aire après agrandissement", "partie": "thales", "statement": "Une figure d'aire $15$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $2$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?", "options": [ { "text": "$60$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire est multipliée par $2^2$, donc elle vaut\n$15 \\times 2^2 = 60$ cm$^2$." }, { "text": "$30$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque\ndimension, donc deux fois sur une aire." }, { "text": "$120$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on\nélève le coefficient au carré." }, { "text": "$19$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas." } ], "explanation": "Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont\nmultipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$.", "variants": [ { "statement": "Une figure d'aire $15$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $2$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?", "options": [ { "text": "$60$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire est multipliée par $2^2$, donc elle vaut\n$15 \\times 2^2 = 60$ cm$^2$." }, { "text": "$30$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque\ndimension, donc deux fois sur une aire." }, { "text": "$120$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on\nélève le coefficient au carré." }, { "text": "$19$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas." } ], "explanation": "Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont\nmultipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$." }, { "statement": "Une figure d'aire $7$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $3$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?", "options": [ { "text": "$63$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire est multipliée par $3^2$, donc elle vaut\n$7 \\times 3^2 = 63$ cm$^2$." }, { "text": "$21$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque\ndimension, donc deux fois sur une aire." }, { "text": "$189$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on\nélève le coefficient au carré." }, { "text": "$16$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas." } ], "explanation": "Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont\nmultipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$." }, { "statement": "Une figure d'aire $4$ cm$^2$ est agrandie : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $5$. Quelle est l'aire de la figure obtenue ?", "options": [ { "text": "$100$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire est multipliée par $5^2$, donc elle vaut\n$4 \\times 5^2 = 100$ cm$^2$." }, { "text": "$20$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur très fréquente : le coefficient agit une fois sur chaque\ndimension, donc deux fois sur une aire." }, { "text": "$500$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Pour une aire, on\nélève le coefficient au carré." }, { "text": "$29$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie l'aire, il ne s'y ajoute pas." } ], "explanation": "Dans un agrandissement de coefficient $k$, les longueurs sont\nmultipliées par $k$, les aires par $k^2$ et les volumes par $k^3$." } ] }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "agrandissement", "volume" ], "title": "Volume après agrandissement", "partie": "thales", "statement": "Un solide de volume $9$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $2$. Quel est le volume du solide obtenu ?", "options": [ { "text": "$72$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le volume est multiplié par $2^3$, ce qui donne\n$72$ cm$^3$." }, { "text": "$36$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait\nintervenir trois dimensions." }, { "text": "$18$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des\ntrois dimensions est multipliée par $2$." }, { "text": "$17$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas." } ], "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,\nparce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de\n$k$.", "variants": [ { "statement": "Un solide de volume $9$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $2$. Quel est le volume du solide obtenu ?", "options": [ { "text": "$72$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le volume est multiplié par $2^3$, ce qui donne\n$72$ cm$^3$." }, { "text": "$36$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait\nintervenir trois dimensions." }, { "text": "$18$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des\ntrois dimensions est multipliée par $2$." }, { "text": "$17$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas." } ], "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,\nparce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de\n$k$." }, { "statement": "Un solide de volume $5$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $3$. Quel est le volume du solide obtenu ?", "options": [ { "text": "$135$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le volume est multiplié par $3^3$, ce qui donne\n$135$ cm$^3$." }, { "text": "$45$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait\nintervenir trois dimensions." }, { "text": "$15$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des\ntrois dimensions est multipliée par $3$." }, { "text": "$32$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas." } ], "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,\nparce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de\n$k$." }, { "statement": "Un solide de volume $2$ cm$^3$ est agrandi : toutes ses longueurs\nsont multipliées par $4$. Quel est le volume du solide obtenu ?", "options": [ { "text": "$128$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le volume est multiplié par $4^3$, ce qui donne\n$128$ cm$^3$." }, { "text": "$32$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le carré du coefficient concerne les aires. Un volume fait\nintervenir trois dimensions." }, { "text": "$8$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient n'agit pas une seule fois. Chacune des\ntrois dimensions est multipliée par $4$." }, { "text": "$66$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le coefficient multiplie le volume, il ne s'y ajoute pas." } ], "explanation": "Un agrandissement de coefficient $k$ multiplie les volumes par $k^3$,\nparce que les trois dimensions du solide sont agrandies chacune de\n$k$." } ] }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "aire", "disque" ], "title": "Aire d'un disque", "partie": "aires", "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $5$ cm, exprimée en fonction\nde $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$25\\pi$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2$, soit\n$5^2 \\times \\pi = 25\\pi$ cm$^2$." }, { "text": "$10\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du\ndisque." }, { "text": "$100\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui\nquadruple le résultat." }, { "text": "$5\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours\nintervenir deux longueurs." } ], "explanation": "Aire d'un disque : $\\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et\nl'on garde $\\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte.", "variants": [ { "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $5$ cm, exprimée en fonction\nde $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$25\\pi$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2$, soit\n$5^2 \\times \\pi = 25\\pi$ cm$^2$." }, { "text": "$10\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du\ndisque." }, { "text": "$100\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui\nquadruple le résultat." }, { "text": "$5\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours\nintervenir deux longueurs." } ], "explanation": "Aire d'un disque : $\\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et\nl'on garde $\\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte." }, { "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $7$ cm, exprimée en fonction\nde $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$49\\pi$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2$, soit\n$7^2 \\times \\pi = 49\\pi$ cm$^2$." }, { "text": "$14\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du\ndisque." }, { "text": "$196\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui\nquadruple le résultat." }, { "text": "$7\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours\nintervenir deux longueurs." } ], "explanation": "Aire d'un disque : $\\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et\nl'on garde $\\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte." }, { "statement": "Quelle est l'aire d'un disque de rayon $9$ cm, exprimée en fonction\nde $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$81\\pi$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire vaut $\\pi r^2$, soit\n$9^2 \\times \\pi = 81\\pi$ cm$^2$." }, { "text": "$18\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est le périmètre du cercle, une longueur, et non l'aire du\ndisque." }, { "text": "$324\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le diamètre a été élevé au carré à la place du rayon, ce qui\nquadruple le résultat." }, { "text": "$9\\pi$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le rayon doit être élevé au carré : une aire fait toujours\nintervenir deux longueurs." } ], "explanation": "Aire d'un disque : $\\pi r^2$. On élève d'abord le rayon au carré, et\nl'on garde $\\pi$ en facteur pour donner une valeur exacte." } ] }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "disque", "perimetre" ], "title": "Périmètre d'un cercle", "partie": "aires", "statement": "Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $6$ cm, exprimé en\nfonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$12\\pi$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2\\pi r$, soit\n$2 \\times 6 \\times \\pi = 12\\pi$ cm." }, { "text": "$36\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du\ncercle." }, { "text": "$6\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "Le facteur $2$ manque : la formule $\\pi d$ utiliserait le\ndiamètre, qui vaut deux fois le rayon." }, { "text": "$24\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut\n$2\\pi r$, pas $4\\pi r$." } ], "explanation": "Périmètre d'un cercle : $2\\pi r$, ou $\\pi d$ avec le diamètre. On\nretient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface.", "variants": [ { "statement": "Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $6$ cm, exprimé en\nfonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$12\\pi$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2\\pi r$, soit\n$2 \\times 6 \\times \\pi = 12\\pi$ cm." }, { "text": "$36\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du\ncercle." }, { "text": "$6\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "Le facteur $2$ manque : la formule $\\pi d$ utiliserait le\ndiamètre, qui vaut deux fois le rayon." }, { "text": "$24\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut\n$2\\pi r$, pas $4\\pi r$." } ], "explanation": "Périmètre d'un cercle : $2\\pi r$, ou $\\pi d$ avec le diamètre. On\nretient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface." }, { "statement": "Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $10$ cm, exprimé en\nfonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$20\\pi$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2\\pi r$, soit\n$2 \\times 10 \\times \\pi = 20\\pi$ cm." }, { "text": "$100\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du\ncercle." }, { "text": "$10\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "Le facteur $2$ manque : la formule $\\pi d$ utiliserait le\ndiamètre, qui vaut deux fois le rayon." }, { "text": "$40\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut\n$2\\pi r$, pas $4\\pi r$." } ], "explanation": "Périmètre d'un cercle : $2\\pi r$, ou $\\pi d$ avec le diamètre. On\nretient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface." }, { "statement": "Quel est le périmètre d'un cercle de rayon $9$ cm, exprimé en\nfonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$18\\pi$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le périmètre vaut $2\\pi r$, soit\n$2 \\times 9 \\times \\pi = 18\\pi$ cm." }, { "text": "$81\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire du disque, exprimée en cm$^2$, et non la longueur du\ncercle." }, { "text": "$9\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "Le facteur $2$ manque : la formule $\\pi d$ utiliserait le\ndiamètre, qui vaut deux fois le rayon." }, { "text": "$36\\pi$ cm", "correct": false, "feedback": "Le coefficient est deux fois trop grand : le périmètre vaut\n$2\\pi r$, pas $4\\pi r$." } ], "explanation": "Périmètre d'un cercle : $2\\pi r$, ou $\\pi d$ avec le diamètre. On\nretient que le périmètre est une longueur, l'aire une surface." } ] }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "volume", "cylindre" ], "title": "Volume d'un cylindre", "partie": "volumes", "statement": "Un cylindre a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est\nson volume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$45\\pi$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $3^2\\pi$, que l'on\nmultiplie par la hauteur $5$." }, { "text": "$30\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le\npérimètre au lieu de l'aire de la base." }, { "text": "$15\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base\nvaut $3^2\\pi$." }, { "text": "$75\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,\ncar il sert à calculer l'aire de la base." } ], "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,\nsoit $\\pi r^2 h$.", "variants": [ { "statement": "Un cylindre a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est\nson volume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$45\\pi$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $3^2\\pi$, que l'on\nmultiplie par la hauteur $5$." }, { "text": "$30\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le\npérimètre au lieu de l'aire de la base." }, { "text": "$15\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base\nvaut $3^2\\pi$." }, { "text": "$75\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,\ncar il sert à calculer l'aire de la base." } ], "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,\nsoit $\\pi r^2 h$." }, { "statement": "Un cylindre a pour rayon $4$ cm et pour hauteur $3$ cm. Quel est\nson volume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$48\\pi$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $4^2\\pi$, que l'on\nmultiplie par la hauteur $3$." }, { "text": "$24\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le\npérimètre au lieu de l'aire de la base." }, { "text": "$12\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base\nvaut $4^2\\pi$." }, { "text": "$36\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,\ncar il sert à calculer l'aire de la base." } ], "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,\nsoit $\\pi r^2 h$." }, { "statement": "Un cylindre a pour rayon $5$ cm et pour hauteur $4$ cm. Quel est\nson volume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$100\\pi$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire de la base vaut $5^2\\pi$, que l'on\nmultiplie par la hauteur $4$." }, { "text": "$40\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire de la surface latérale, en cm$^2$, obtenue avec le\npérimètre au lieu de l'aire de la base." }, { "text": "$20\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le rayon n'a pas été élevé au carré : l'aire du disque de base\nvaut $5^2\\pi$." }, { "text": "$80\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est la hauteur qui a été élevée au carré. Seul le rayon l'est,\ncar il sert à calculer l'aire de la base." } ], "explanation": "Volume d'un cylindre : aire de la base multipliée par la hauteur,\nsoit $\\pi r^2 h$." } ] }, { "id": "q18", "difficulty": 2, "skills": [ "reciproque", "thales" ], "title": "Démontrer un parallélisme", "partie": "thales", "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, placés\ndans le même ordre à partir de $A$. Que faut-il vérifier pour\nconclure que $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles ?", "options": [ { "text": "Que $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AN}{AC}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'égalité des deux quotients, avec des points bien\nrangés, donne le parallélisme." }, { "text": "Que $\\dfrac{AM}{AB} = \\dfrac{AC}{AN}$", "correct": false, "feedback": "Le second quotient est retourné : les deux fractions doivent se\nlire dans le même sens." }, { "text": "Que $AM = AN$ et que $AB = AC$", "correct": false, "feedback": "Ces égalités de longueurs sont bien trop exigeantes : seule\nl'égalité des deux quotients est nécessaire." }, { "text": "Que $AM + AN = AB + AC$", "correct": false, "feedback": "Une somme de longueurs ne prouve rien : la réciproque de Thalès\nrepose sur des quotients." } ], "explanation": "Réciproque du théorème de Thalès : si les points sont rangés dans le\nmême ordre et si les deux quotients sont égaux, alors les droites sont\nparallèles." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "reciproque", "thales" ], "title": "Longueur qui rend parallèle", "partie": "thales", "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 3$ cm et\n$AB = 8$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 24$ cm. Quelle\nlongueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?", "options": [ { "text": "$9$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il faut $\\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{3}{8}$,\nd'où $AN = 9$ cm." }, { "text": "$19$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige\nl'égalité de deux quotients." }, { "text": "$21$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas\nla même longueur totale." }, { "text": "$12$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : le rapport à respecter est $\\dfrac{3}{8}$, qui ne\nvaut pas la moitié." } ], "explanation": "On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en\ncroix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles.", "variants": [ { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 3$ cm et\n$AB = 8$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 24$ cm. Quelle\nlongueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?", "options": [ { "text": "$9$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il faut $\\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{3}{8}$,\nd'où $AN = 9$ cm." }, { "text": "$19$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige\nl'égalité de deux quotients." }, { "text": "$21$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas\nla même longueur totale." }, { "text": "$12$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : le rapport à respecter est $\\dfrac{3}{8}$, qui ne\nvaut pas la moitié." } ], "explanation": "On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en\ncroix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 4$ cm et\n$AB = 10$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 30$ cm. Quelle\nlongueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il faut $\\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{4}{10}$,\nd'où $AN = 12$ cm." }, { "text": "$24$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige\nl'égalité de deux quotients." }, { "text": "$26$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas\nla même longueur totale." }, { "text": "$15$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : le rapport à respecter est $\\dfrac{4}{10}$, qui ne\nvaut pas la moitié." } ], "explanation": "On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en\ncroix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 5$ cm et\n$AB = 20$ cm, et $N$ est sur $[AC]$ avec $AC = 32$ cm. Quelle\nlongueur $AN$ rend $(MN)$ parallèle à $(BC)$ ?", "options": [ { "text": "$8$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : il faut $\\dfrac{AN}{AC} = \\dfrac{5}{20}$,\nd'où $AN = 8$ cm." }, { "text": "$17$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : on a reporté un écart de longueurs. La réciproque exige\nl'égalité de deux quotients." }, { "text": "$27$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : retrancher $AM$ à $AC$ mélange deux côtés qui n'ont pas\nla même longueur totale." }, { "text": "$16$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : le rapport à respecter est $\\dfrac{5}{20}$, qui ne\nvaut pas la moitié." } ], "explanation": "On impose l'égalité des deux quotients, puis on résout par produit en\ncroix. Le point $N$ ainsi placé rend les deux droites parallèles." } ] }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "conversion", "volume" ], "title": "Des mètres cubes aux litres", "partie": "volumes", "statement": "Une cuve a un volume de $2$ m$^3$. Combien de litres peut-elle\ncontenir ?", "options": [ { "text": "$2000$ L", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire\n$1\\,000$ litres." }, { "text": "$200$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre\nle mètre cube et le litre." }, { "text": "$20$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur\nvoisines, pas entre deux unités de volume." }, { "text": "$0{,}002$ L", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,\ndonc le nombre de litres est plus grand." } ], "explanation": "Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient\n$1\\,000$ dm$^3$, il contient $1\\,000$ litres.", "variants": [ { "statement": "Une cuve a un volume de $2$ m$^3$. Combien de litres peut-elle\ncontenir ?", "options": [ { "text": "$2000$ L", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire\n$1\\,000$ litres." }, { "text": "$200$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre\nle mètre cube et le litre." }, { "text": "$20$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur\nvoisines, pas entre deux unités de volume." }, { "text": "$0{,}002$ L", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,\ndonc le nombre de litres est plus grand." } ], "explanation": "Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient\n$1\\,000$ dm$^3$, il contient $1\\,000$ litres." }, { "statement": "Une cuve a un volume de $0{,}5$ m$^3$. Combien de litres peut-elle\ncontenir ?", "options": [ { "text": "$500$ L", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire\n$1\\,000$ litres." }, { "text": "$50$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre\nle mètre cube et le litre." }, { "text": "$5$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur\nvoisines, pas entre deux unités de volume." }, { "text": "$0{,}0005$ L", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,\ndonc le nombre de litres est plus grand." } ], "explanation": "Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient\n$1\\,000$ dm$^3$, il contient $1\\,000$ litres." }, { "statement": "Une cuve a un volume de $3{,}5$ m$^3$. Combien de litres peut-elle\ncontenir ?", "options": [ { "text": "$3500$ L", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m$^3$ vaut $1\\,000$ dm$^3$, c'est-à-dire\n$1\\,000$ litres." }, { "text": "$350$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : $100$ est le facteur entre deux unités d'aire, pas entre\nle mètre cube et le litre." }, { "text": "$35$ L", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est le facteur entre deux unités de longueur\nvoisines, pas entre deux unités de volume." }, { "text": "$0{,}0035$ L", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : le litre est bien plus petit que le mètre cube,\ndonc le nombre de litres est plus grand." } ], "explanation": "Un litre est un décimètre cube. Comme $1$ m$^3$ contient\n$1\\,000$ dm$^3$, il contient $1\\,000$ litres." } ] }, { "id": "q21", "difficulty": 2, "skills": [ "aire", "perimetre" ], "title": "Du périmètre à l'aire", "partie": "aires", "statement": "Un carré a un périmètre de $20$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$25$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le côté vaut $20 \\div 4$, et l'aire est le carré\nde ce côté, soit $25$ cm$^2$." }, { "text": "$400$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut\nd'abord revenir au côté en divisant par $4$." }, { "text": "$40$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire\ns'obtient en multipliant le côté par lui-même." }, { "text": "$10$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas\nune aire." } ], "explanation": "Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le\ncôté par une division par $4$, avant d'élever au carré.", "variants": [ { "statement": "Un carré a un périmètre de $20$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$25$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le côté vaut $20 \\div 4$, et l'aire est le carré\nde ce côté, soit $25$ cm$^2$." }, { "text": "$400$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut\nd'abord revenir au côté en divisant par $4$." }, { "text": "$40$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire\ns'obtient en multipliant le côté par lui-même." }, { "text": "$10$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas\nune aire." } ], "explanation": "Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le\ncôté par une division par $4$, avant d'élever au carré." }, { "statement": "Un carré a un périmètre de $36$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$81$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le côté vaut $36 \\div 4$, et l'aire est le carré\nde ce côté, soit $81$ cm$^2$." }, { "text": "$1296$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut\nd'abord revenir au côté en divisant par $4$." }, { "text": "$72$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire\ns'obtient en multipliant le côté par lui-même." }, { "text": "$18$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas\nune aire." } ], "explanation": "Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le\ncôté par une division par $4$, avant d'élever au carré." }, { "statement": "Un carré a un périmètre de $28$ cm. Quelle est son aire ?", "options": [ { "text": "$49$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le côté vaut $28 \\div 4$, et l'aire est le carré\nde ce côté, soit $49$ cm$^2$." }, { "text": "$784$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le périmètre qui a été élevé au carré. Il faut\nd'abord revenir au côté en divisant par $4$." }, { "text": "$56$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : doubler le périmètre ne donne aucune aire. L'aire\ns'obtient en multipliant le côté par lui-même." }, { "text": "$14$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la moitié du périmètre est la somme de deux côtés, pas\nune aire." } ], "explanation": "Le périmètre d'un carré vaut quatre fois son côté. On retrouve donc le\ncôté par une division par $4$, avant d'élever au carré." } ] }, { "id": "q22", "difficulty": 2, "skills": [ "volume", "pyramide" ], "title": "La formule de la pyramide", "partie": "volumes", "statement": "Quelle formule donne le volume d'une pyramide dont la base a pour\naire $B$ et dont la hauteur vaut $h$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{B \\times h}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le volume d'une pyramide est le tiers du produit\nde l'aire de la base par la hauteur." }, { "text": "$B \\times h \\times 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : le tiers réduit le volume, il ne le triple pas." }, { "text": "$\\dfrac{B \\times h}{2}$", "correct": false, "feedback": "Confusion avec le triangle : dans l'espace, le diviseur est $3$ et\nnon $2$." }, { "text": "$\\dfrac{B + h}{3}$", "correct": false, "feedback": "Une aire et une longueur ne s'additionnent pas : la formule fait\nintervenir leur produit." } ], "explanation": "Pyramides et cônes ont le même volume : un tiers de l'aire de la base\nmultipliée par la hauteur." }, { "id": "q23", "difficulty": 2, "skills": [ "volume", "pyramide" ], "title": "Volume d'une pyramide", "partie": "volumes", "statement": "Une pyramide a une base carrée de côté $6$ cm et une hauteur de\n$5$ cm. Quel est son volume ?", "options": [ { "text": "$60$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $6^2$, et le volume vaut\n$\\dfrac{6^2 \\times 5}{3} = 60$ cm$^3$." }, { "text": "$180$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de\nmême base et de même hauteur." }, { "text": "$10$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "L'aire de la base est $6^2$, pas $6$ : un côté seul ne suffit\npas à décrire une surface." }, { "text": "$90$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient\nà l'aire du triangle." } ], "explanation": "On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la\nhauteur et l'on divise par $3$.", "variants": [ { "statement": "Une pyramide a une base carrée de côté $6$ cm et une hauteur de\n$5$ cm. Quel est son volume ?", "options": [ { "text": "$60$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $6^2$, et le volume vaut\n$\\dfrac{6^2 \\times 5}{3} = 60$ cm$^3$." }, { "text": "$180$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de\nmême base et de même hauteur." }, { "text": "$10$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "L'aire de la base est $6^2$, pas $6$ : un côté seul ne suffit\npas à décrire une surface." }, { "text": "$90$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient\nà l'aire du triangle." } ], "explanation": "On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la\nhauteur et l'on divise par $3$." }, { "statement": "Une pyramide a une base carrée de côté $3$ cm et une hauteur de\n$8$ cm. Quel est son volume ?", "options": [ { "text": "$24$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $3^2$, et le volume vaut\n$\\dfrac{3^2 \\times 8}{3} = 24$ cm$^3$." }, { "text": "$72$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de\nmême base et de même hauteur." }, { "text": "$8$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "L'aire de la base est $3^2$, pas $3$ : un côté seul ne suffit\npas à décrire une surface." }, { "text": "$36$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient\nà l'aire du triangle." } ], "explanation": "On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la\nhauteur et l'on divise par $3$." }, { "statement": "Une pyramide a une base carrée de côté $10$ cm et une hauteur de\n$9$ cm. Quel est son volume ?", "options": [ { "text": "$300$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $10^2$, et le volume vaut\n$\\dfrac{10^2 \\times 9}{3} = 300$ cm$^3$." }, { "text": "$900$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui d'un pavé droit de\nmême base et de même hauteur." }, { "text": "$30$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "L'aire de la base est $10^2$, pas $10$ : un côté seul ne suffit\npas à décrire une surface." }, { "text": "$450$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le diviseur est $3$ pour une pyramide. Le $2$ appartient\nà l'aire du triangle." } ], "explanation": "On calcule d'abord l'aire de la base, puis on multiplie par la\nhauteur et l'on divise par $3$." } ] }, { "id": "q24", "difficulty": 2, "skills": [ "thales", "rapport" ], "title": "Rapport de réduction", "partie": "thales", "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 6$ cm et\n$AB = 15$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant\nsur $[AC]$. Quel est le rapport $\\dfrac{AM}{AB}$ sous forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on simplifie $\\dfrac{6}{15}$ par leur plus\ngrand diviseur commun." }, { "text": "$\\dfrac{5}{2}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport\nest inférieur à $1$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et\nnon le côté entier $AB$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est le rapport $\\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie\ncomplémentaire du segment." } ], "explanation": "Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans\ncet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible.", "variants": [ { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 6$ cm et\n$AB = 15$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant\nsur $[AC]$. Quel est le rapport $\\dfrac{AM}{AB}$ sous forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on simplifie $\\dfrac{6}{15}$ par leur plus\ngrand diviseur commun." }, { "text": "$\\dfrac{5}{2}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport\nest inférieur à $1$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et\nnon le côté entier $AB$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "C'est le rapport $\\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie\ncomplémentaire du segment." } ], "explanation": "Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans\ncet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 8$ cm et\n$AB = 12$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant\nsur $[AC]$. Quel est le rapport $\\dfrac{AM}{AB}$ sous forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on simplifie $\\dfrac{8}{12}$ par leur plus\ngrand diviseur commun." }, { "text": "$\\dfrac{3}{2}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport\nest inférieur à $1$." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et\nnon le côté entier $AB$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "C'est le rapport $\\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie\ncomplémentaire du segment." } ], "explanation": "Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans\ncet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ avec $AM = 9$ cm et\n$AB = 24$ cm, et $(MN)$ est parallèle à $(BC)$, le point $N$ étant\nsur $[AC]$. Quel est le rapport $\\dfrac{AM}{AB}$ sous forme\nirréductible ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on simplifie $\\dfrac{9}{24}$ par leur plus\ngrand diviseur commun." }, { "text": "$\\dfrac{8}{3}$", "correct": false, "feedback": "Quotient inversé : $AM$ est plus petit que $AB$, donc le rapport\nest inférieur à $1$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Le dénominateur choisi est $MB$, la partie restante du côté, et\nnon le côté entier $AB$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{8}$", "correct": false, "feedback": "C'est le rapport $\\dfrac{MB}{AB}$, qui décrit la partie\ncomplémentaire du segment." } ], "explanation": "Le rapport de réduction compare la petite longueur à la grande, dans\ncet ordre. On le donne toujours sous forme irréductible." } ] }, { "id": "q25", "difficulty": 3, "skills": [ "thales", "piege" ], "title": "Côté entier ou partie du côté", "partie": "thales", "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec\n$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm, $MB = 6$ cm et\n$BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?", "options": [ { "text": "$6$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AB = 4 + 6 = 10$, donc\n$MN = \\dfrac{4 \\times 15}{10} = 6$ cm." }, { "text": "$10$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le\ndénominateur du quotient est $AB = 10$." }, { "text": "$5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence\nne mesure rien dans la figure." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences\négales." } ], "explanation": "Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.\nQuand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer\n$AB = AM + MB$.", "variants": [ { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec\n$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 4$ cm, $MB = 6$ cm et\n$BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?", "options": [ { "text": "$6$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AB = 4 + 6 = 10$, donc\n$MN = \\dfrac{4 \\times 15}{10} = 6$ cm." }, { "text": "$10$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le\ndénominateur du quotient est $AB = 10$." }, { "text": "$5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence\nne mesure rien dans la figure." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences\négales." } ], "explanation": "Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.\nQuand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer\n$AB = AM + MB$." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec\n$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 8$ cm, $MB = 4$ cm et\n$BC = 15$ cm. Combien mesure $MN$ ?", "options": [ { "text": "$10$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AB = 8 + 4 = 12$, donc\n$MN = \\dfrac{8 \\times 15}{12} = 10$ cm." }, { "text": "$30$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le\ndénominateur du quotient est $AB = 12$." }, { "text": "$3$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence\nne mesure rien dans la figure." }, { "text": "$7$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences\négales." } ], "explanation": "Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.\nQuand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer\n$AB = AM + MB$." }, { "statement": "Dans le triangle $ABC$, $M$ est sur $[AB]$ et $N$ sur $[AC]$, avec\n$(MN)$ parallèle à $(BC)$. On donne $AM = 9$ cm, $MB = 6$ cm et\n$BC = 20$ cm. Combien mesure $MN$ ?", "options": [ { "text": "$12$ cm", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $AB = 9 + 6 = 15$, donc\n$MN = \\dfrac{9 \\times 20}{15} = 12$ cm." }, { "text": "$30$ cm", "correct": false, "feedback": "Piège classique : $MB$ a été pris pour le côté entier. Le\ndénominateur du quotient est $AB = 15$." }, { "text": "$5$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : $BC$ et $AB$ sont deux côtés différents, leur différence\nne mesure rien dans la figure." }, { "text": "$11$ cm", "correct": false, "feedback": "Erreur : Thalès donne des quotients égaux, jamais des différences\négales." } ], "explanation": "Le quotient de Thalès compare une petite longueur au côté entier.\nQuand l'énoncé donne $AM$ et $MB$, il faut d'abord reconstituer\n$AB = AM + MB$." } ] }, { "id": "q26", "difficulty": 3, "skills": [ "pave", "agrandissement" ], "title": "Arêtes multipliées, volume multiplié", "partie": "volumes", "statement": "Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $2$. Par\ncombien son volume est-il multiplié ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par\n$2$, donc le volume l'est par $2^3 = 8$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met\nen jeu trois dimensions, pas deux." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite\nque les arêtes." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne\ns'ajoutent pas." } ], "explanation": "Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son\nvolume par $k \\times k \\times k$, soit $k^3$.", "variants": [ { "statement": "Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $2$. Par\ncombien son volume est-il multiplié ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par\n$2$, donc le volume l'est par $2^3 = 8$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met\nen jeu trois dimensions, pas deux." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite\nque les arêtes." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne\ns'ajoutent pas." } ], "explanation": "Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son\nvolume par $k \\times k \\times k$, soit $k^3$." }, { "statement": "Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $4$. Par\ncombien son volume est-il multiplié ?", "options": [ { "text": "$64$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par\n$4$, donc le volume l'est par $4^3 = 64$." }, { "text": "$16$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met\nen jeu trois dimensions, pas deux." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite\nque les arêtes." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne\ns'ajoutent pas." } ], "explanation": "Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son\nvolume par $k \\times k \\times k$, soit $k^3$." }, { "statement": "Toutes les arêtes d'un pavé droit sont multipliées par $10$. Par\ncombien son volume est-il multiplié ?", "options": [ { "text": "$1000$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chacune des trois dimensions est multipliée par\n$10$, donc le volume l'est par $10^3 = 1000$." }, { "text": "$100$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur qui s'applique aux aires des faces. Un volume met\nen jeu trois dimensions, pas deux." }, { "text": "$10$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur des longueurs. Le volume grandit bien plus vite\nque les arêtes." }, { "text": "$30$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois dimensions se multiplient entre elles, elles ne\ns'ajoutent pas." } ], "explanation": "Multiplier les trois dimensions d'un solide par $k$ multiplie son\nvolume par $k \\times k \\times k$, soit $k^3$." } ] }, { "id": "q27", "difficulty": 3, "skills": [ "conversion", "piege" ], "title": "Du mètre cube au centimètre cube", "partie": "volumes", "statement": "À combien de centimètres cubes correspondent $2$ m$^3$ ?", "options": [ { "text": "$2000000$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut\n$100 \\times 100 \\times 100 = 1\\,000\\,000$ cm$^3$." }, { "text": "$2000$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un\nfacteur $1\\,000$ à appliquer." }, { "text": "$20000$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10\\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le\ncentimètre carré, donc celui des aires." }, { "text": "$200$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume\nl'exige trois fois." } ], "explanation": "Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au\ncube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par\n$1\\,000\\,000$.", "variants": [ { "statement": "À combien de centimètres cubes correspondent $2$ m$^3$ ?", "options": [ { "text": "$2000000$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut\n$100 \\times 100 \\times 100 = 1\\,000\\,000$ cm$^3$." }, { "text": "$2000$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un\nfacteur $1\\,000$ à appliquer." }, { "text": "$20000$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10\\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le\ncentimètre carré, donc celui des aires." }, { "text": "$200$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume\nl'exige trois fois." } ], "explanation": "Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au\ncube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par\n$1\\,000\\,000$." }, { "statement": "À combien de centimètres cubes correspondent $0{,}5$ m$^3$ ?", "options": [ { "text": "$500000$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut\n$100 \\times 100 \\times 100 = 1\\,000\\,000$ cm$^3$." }, { "text": "$500$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un\nfacteur $1\\,000$ à appliquer." }, { "text": "$5000$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10\\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le\ncentimètre carré, donc celui des aires." }, { "text": "$50$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume\nl'exige trois fois." } ], "explanation": "Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au\ncube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par\n$1\\,000\\,000$." }, { "statement": "À combien de centimètres cubes correspondent $3$ m$^3$ ?", "options": [ { "text": "$3000000$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1$ m vaut $100$ cm, donc $1$ m$^3$ vaut\n$100 \\times 100 \\times 100 = 1\\,000\\,000$ cm$^3$." }, { "text": "$3000$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est la conversion en décimètres cubes : il reste encore un\nfacteur $1\\,000$ à appliquer." }, { "text": "$30000$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10\\,000$ est le facteur entre le mètre carré et le\ncentimètre carré, donc celui des aires." }, { "text": "$300$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur des longueurs, appliqué une seule fois. Un volume\nl'exige trois fois." } ], "explanation": "Pour un volume, le facteur de conversion des longueurs est élevé au\ncube : du mètre cube au centimètre cube, on multiplie par\n$1\\,000\\,000$." } ] }, { "id": "q28", "difficulty": 3, "skills": [ "volume", "pyramide" ], "title": "Volume d'un cône", "partie": "volumes", "statement": "Un cône a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est son\nvolume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$15\\pi$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $3^2\\pi$, et le volume en\nest le tiers multiplié par la hauteur." }, { "text": "$45\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même\nbase et de même hauteur." }, { "text": "$22{,}5\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la\npyramide, et non $2$." }, { "text": "$30\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $3^2\\pi$\nqu'il faut utiliser." } ], "explanation": "Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la\nbase multipliée par la hauteur.", "variants": [ { "statement": "Un cône a pour rayon $3$ cm et pour hauteur $5$ cm. Quel est son\nvolume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$15\\pi$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $3^2\\pi$, et le volume en\nest le tiers multiplié par la hauteur." }, { "text": "$45\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même\nbase et de même hauteur." }, { "text": "$22{,}5\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la\npyramide, et non $2$." }, { "text": "$30\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $3^2\\pi$\nqu'il faut utiliser." } ], "explanation": "Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la\nbase multipliée par la hauteur." }, { "statement": "Un cône a pour rayon $9$ cm et pour hauteur $4$ cm. Quel est son\nvolume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$108\\pi$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $9^2\\pi$, et le volume en\nest le tiers multiplié par la hauteur." }, { "text": "$324\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même\nbase et de même hauteur." }, { "text": "$162\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la\npyramide, et non $2$." }, { "text": "$72\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $9^2\\pi$\nqu'il faut utiliser." } ], "explanation": "Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la\nbase multipliée par la hauteur." }, { "statement": "Un cône a pour rayon $5$ cm et pour hauteur $6$ cm. Quel est son\nvolume, exprimé en fonction de $\\pi$ ?", "options": [ { "text": "$50\\pi$ cm$^3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la base a pour aire $5^2\\pi$, et le volume en\nest le tiers multiplié par la hauteur." }, { "text": "$150\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le tiers a été oublié : ce résultat est celui du cylindre de même\nbase et de même hauteur." }, { "text": "$75\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le diviseur d'un solide pointu est $3$, comme pour la\npyramide, et non $2$." }, { "text": "$60\\pi$ cm$^3$", "correct": false, "feedback": "Le périmètre du disque a servi de base : c'est l'aire $5^2\\pi$\nqu'il faut utiliser." } ], "explanation": "Le cône suit la même règle que la pyramide : un tiers de l'aire de la\nbase multipliée par la hauteur." } ] }, { "id": "q29", "difficulty": 3, "skills": [ "aire", "piege" ], "title": "Doubler le côté d'un carré", "partie": "aires", "statement": "On double la longueur du côté d'un carré. Que devient son aire ?", "options": [ { "text": "Elle est multipliée par $4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux dimensions doublent, donc l'aire est\nmultipliée par $2 \\times 2$." }, { "text": "Elle est multipliée par $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur la plus fréquente : le coefficient agit sur la longueur et\nsur la largeur, donc deux fois." }, { "text": "Elle est multipliée par $8$", "correct": false, "feedback": "C'est le facteur des volumes, où trois dimensions sont doublées.\nUne aire n'en compte que deux." }, { "text": "Elle augmente de $2$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'agrandissement multiplie l'aire, il ne lui ajoute pas\nune quantité fixe." } ], "explanation": "Doubler toutes les longueurs multiplie les aires par $2^2 = 4$ et les\nvolumes par $2^3 = 8$." }, { "id": "q30", "difficulty": 3, "skills": [ "aire", "agrandissement" ], "title": "Augmentation d'une aire", "partie": "aires", "statement": "Une photo a une aire de $12$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant\ntoutes ses longueurs par $2$. De combien de centimètres carrés son\naire augmente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$36$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $48$ cm$^2$, soit\n$36$ cm$^2$ de plus qu'au départ." }, { "text": "$48$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à\nretrancher l'aire de départ." }, { "text": "$12$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il\nagit deux fois." }, { "text": "$84$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en\njeu que deux dimensions." } ], "explanation": "La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la\ndifférence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même.", "variants": [ { "statement": "Une photo a une aire de $12$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant\ntoutes ses longueurs par $2$. De combien de centimètres carrés son\naire augmente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$36$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $48$ cm$^2$, soit\n$36$ cm$^2$ de plus qu'au départ." }, { "text": "$48$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à\nretrancher l'aire de départ." }, { "text": "$12$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il\nagit deux fois." }, { "text": "$84$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en\njeu que deux dimensions." } ], "explanation": "La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la\ndifférence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même." }, { "statement": "Une photo a une aire de $5$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant\ntoutes ses longueurs par $3$. De combien de centimètres carrés son\naire augmente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$40$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $45$ cm$^2$, soit\n$40$ cm$^2$ de plus qu'au départ." }, { "text": "$45$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à\nretrancher l'aire de départ." }, { "text": "$10$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il\nagit deux fois." }, { "text": "$130$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en\njeu que deux dimensions." } ], "explanation": "La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la\ndifférence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même." }, { "statement": "Une photo a une aire de $7$ cm$^2$. On l'agrandit en multipliant\ntoutes ses longueurs par $4$. De combien de centimètres carrés son\naire augmente-t-elle ?", "options": [ { "text": "$105$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la nouvelle aire vaut $112$ cm$^2$, soit\n$105$ cm$^2$ de plus qu'au départ." }, { "text": "$112$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "C'est l'aire de la photo agrandie, pas l'augmentation. Il reste à\nretrancher l'aire de départ." }, { "text": "$21$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le coefficient a été appliqué une seule fois. Pour une aire, il\nagit deux fois." }, { "text": "$441$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Le cube du coefficient concerne les volumes. Une aire ne met en\njeu que deux dimensions." } ], "explanation": "La nouvelle aire vaut $k^2$ fois l'ancienne. L'augmentation est la\ndifférence entre les deux, et non la nouvelle aire elle-même." } ] }, { "id": "q31", "difficulty": 1, "skills": [ "aires", "parallelogramme", "formule" ], "title": "Aire d'un parallélogramme", "partie": "aires", "statement": "Un parallélogramme a une base de $8$ cm, une hauteur relative à\ncette base de $5$ cm et un côté oblique de $6$ cm. Quelle est\nson aire ?", "options": [ { "text": "$40$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : aire $=$ base $\\times$ hauteur\n$= 8 \\times 5 = 40$ cm$^2$.\n" }, { "text": "$20$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du **triangle**,\npas celle du parallélogramme.\n" }, { "text": "$48$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la\nhauteur, perpendiculaire à la base.\n" }, { "text": "$28$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $28$ cm est le **périmètre**, pas l'aire.\n" } ], "explanation": "Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur\ncorrespondante, jamais par le côté oblique.", "variants": [ { "statement": "Un parallélogramme a une base de $8$ cm, une hauteur relative à\ncette base de $5$ cm et un côté oblique de $6$ cm. Quelle est\nson aire ?", "options": [ { "text": "$40$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : aire $=$ base $\\times$ hauteur\n$= 8 \\times 5 = 40$ cm$^2$.\n" }, { "text": "$20$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du **triangle**,\npas celle du parallélogramme.\n" }, { "text": "$48$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la\nhauteur, perpendiculaire à la base.\n" }, { "text": "$28$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $28$ cm est le **périmètre**, pas l'aire.\n" } ], "explanation": "Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur\ncorrespondante, jamais par le côté oblique." }, { "statement": "Un parallélogramme a une base de $12$ cm, une hauteur relative à\ncette base de $4$ cm et un côté oblique de $5$ cm. Quelle est\nson aire ?", "options": [ { "text": "$48$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : aire $=$ base $\\times$ hauteur\n$= 12 \\times 4 = 48$ cm$^2$.\n" }, { "text": "$24$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du **triangle**,\npas celle du parallélogramme.\n" }, { "text": "$60$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la\nhauteur, perpendiculaire à la base.\n" }, { "text": "$34$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $34$ cm est le **périmètre**, pas l'aire.\n" } ], "explanation": "Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur\ncorrespondante, jamais par le côté oblique." }, { "statement": "Un parallélogramme a une base de $9$ cm, une hauteur relative à\ncette base de $7$ cm et un côté oblique de $10$ cm. Quelle est\nson aire ?", "options": [ { "text": "$63$ cm$^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : aire $=$ base $\\times$ hauteur\n$= 9 \\times 7 = 63$ cm$^2$.\n" }, { "text": "$31$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ concerne l'aire du **triangle**,\npas celle du parallélogramme.\n" }, { "text": "$90$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le côté oblique n'est pas la hauteur ; il faut la\nhauteur, perpendiculaire à la base.\n" }, { "text": "$38$ cm$^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $38$ cm est le **périmètre**, pas l'aire.\n" } ], "explanation": "Aire d'un parallélogramme : base multipliée par la hauteur\ncorrespondante, jamais par le côté oblique." } ] } ] }