{ "chapter": { "id": "fonctions-convexes-mc", "level": "maths-complementaires", "theme": "Analyse", "title": "Fonctions convexes", "description": "Dérivée seconde, convexité définie par la position relative de\nla courbe et de ses sécantes (équivalences admises : position\npar rapport aux tangentes, croissance de $f'$, positivité de\n$f''$), concavité, points d'inflexion, lectures graphiques et\napplications (courbe de Lorenz).", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "secantes" ], "title": "Convexité et sécantes", "statement": "Comment la convexité d'une fonction sur un intervalle\nest-elle définie au programme ?", "options": [ { "text": "Sa courbe est en dessous de chacune de ses sécantes\n(cordes) sur l'intervalle", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre deux points de la courbe, le\nsegment qui les joint passe **au-dessus** de la courbe :\ndéfinition par les sécantes." }, { "text": "Sa courbe est au-dessus de ses sécantes", "correct": false, "feedback": "Inversé : la courbe au-dessus de ses cordes caractérise\nla **concavité** (bombée vers le haut)." }, { "text": "La fonction est croissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : la convexité parle de la **courbure**, pas du\nsens : $e^{-x}$ est décroissante et convexe." }, { "text": "La fonction est positive", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun lien : $x^2 - 10$ est convexe et prend\ndes valeurs négatives." } ], "explanation": "Définition du programme : $f$ convexe sur $I$ si sa courbe\nest sous ses sécantes ; équivalences admises (pour $f$\ndérivable) : courbe au-dessus de ses tangentes, $f'$\ncroissante, $f'' \\geq 0$." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee-seconde" ], "title": "Critère de la dérivée seconde", "statement": "Soit $f(x) = x^3$ sur $\\mathbb{R}$, de dérivée seconde\n$f''(x) = 6x$. Sur quel intervalle $f$ est-elle convexe ?", "options": [ { "text": "Sur $[0\\,;\\,+\\infty[$, car $f''(x) \\geq 0$ y est vérifié", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $6x \\geq 0 \\Leftrightarrow x \\geq 0$ :\nconvexe à droite de l'origine, concave à gauche." }, { "text": "Sur $\\mathbb{R}$ tout entier", "correct": false, "feedback": "Erreur : pour $x < 0$, $f''(x) = 6x < 0$ : la courbe y\nest **concave** (bombée vers le haut)." }, { "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,0]$", "correct": false, "feedback": "Inversé : c'est l'intervalle de **concavité**\n($f'' \\leq 0$)." }, { "text": "Nulle part, car $f$ change de signe", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $f$ est sans rapport ; seul le\nsigne de $f''$ décide de la convexité." } ], "explanation": "Critère pratique (admis) : $f'' \\geq 0$ sur $I$\n$\\Leftrightarrow$ $f$ convexe sur $I$. Pour $x^3$ :\nconcave puis convexe, avec bascule en $0$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "inflexion" ], "title": "Point d'inflexion", "statement": "Qu'est-ce qu'un point d'inflexion de la courbe de $f$ ?", "options": [ { "text": "Un point où la courbe change de convexité (la tangente y\ntraverse la courbe)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la courbure bascule (convexe-concave ou\nl'inverse) ; pour $f$ deux fois dérivable, $f''$ s'y\nannule en changeant de signe." }, { "text": "Un point où la fonction atteint un extremum", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'extremum concerne $f'$ (tangente\nhorizontale) ; l'inflexion concerne $f''$ (changement de\ncourbure)." }, { "text": "Un point où la courbe coupe l'axe des abscisses", "correct": false, "feedback": "Erreur : couper l'axe est une affaire de **signe de\n$f$**, pas de courbure." }, { "text": "Un point où la tangente est verticale", "correct": false, "feedback": "Erreur : la pente de la tangente n'est pas en cause :\nau point d'inflexion, la tangente (de pente quelconque)\n**traverse** la courbe." } ], "explanation": "Inflexion $=$ changement de convexité. Signature graphique :\nla tangente traverse la courbe. Signature analytique : $f''$\ns'annule **en changeant de signe**." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique" ], "title": "Lire la convexité sur une courbe", "statement": "La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. Quelle\nlecture de convexité est correcte ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-4,-2,2,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.25:2.25,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x*\\x-3*\\x});\n \\node[blue,font=\\small] at (2.45,3.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : maximum\nlocal en (-1 ; 2), minimum local en (1 ; -2), traversée de\nl'origine. La courbe est bombée vers le haut à gauche de 0\n(concave) et creusée vers le haut à droite (convexe).", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "Concave sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, convexe sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$, inflexion à l'origine", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : bombée à gauche (sous... au-dessus de\nses cordes), creusée à droite ; la bascule se fait en\n$0$, où la tangente traverse la courbe." }, { "text": "Convexe sur $]-\\infty\\,;\\,0]$, concave sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Inversé : à droite de $0$, la courbe « tient l'eau »\n(creusée vers le haut) : c'est la **convexité**." }, { "text": "Convexe partout, car la courbe monte à la fin", "correct": false, "feedback": "Erreur : monter n'est pas être convexe. Entre $-2$ et\n$-1$, la courbe monte en étant **concave**." }, { "text": "Points d'inflexion en $-1$ et $1$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $-1$ et $1$ sont les **extremums locaux**\n(tangentes horizontales). L'inflexion, unique, est à\nl'origine." } ], "explanation": "Lecture attendue au programme : repérer les zones bombées\n(concaves) et creusées (convexes) et leurs frontières (points\nd'inflexion). Ici : bascule en $(0\\,;\\,0)$, cohérente avec\n$f''(x) = 6x$." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "tangentes" ], "title": "Convexité et tangentes", "statement": "Soit $f$ dérivable et convexe sur un intervalle $I$. Comment\nla courbe se place-t-elle par rapport à ses tangentes ?", "options": [ { "text": "Au-dessus de chacune de ses tangentes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : équivalence admise au programme : courbe\nsous les sécantes $\\Leftrightarrow$ au-dessus des\ntangentes (pour une fonction dérivable)." }, { "text": "En dessous de ses tangentes", "correct": false, "feedback": "Inversé : sous les tangentes, c'est la **concavité**\n(pense au logarithme, toujours sous ses tangentes)." }, { "text": "Elle traverse chaque tangente", "correct": false, "feedback": "Erreur : la traversée de la tangente n'arrive qu'aux\n**points d'inflexion**, exclus d'un intervalle de\nconvexité stricte." }, { "text": "Cela dépend du signe de $f$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la position courbe-tangentes ne dépend que de\nla courbure, jamais du signe des valeurs." } ], "explanation": "Pour $f$ dérivable : convexe $\\Leftrightarrow$ courbe\nau-dessus de ses tangentes $\\Leftrightarrow$ $f'$ croissante\n$\\Leftrightarrow$ $f'' \\geq 0$ (équivalences admises).\nMémo : $\\exp$ au-dessus, $\\ln$ en dessous." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "fonctions-usuelles" ], "title": "Convexité des fonctions de référence", "statement": "Parmi ces fonctions, laquelle est **concave** sur son\nensemble de définition ?", "options": [ { "text": "$x \\mapsto \\ln x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)'' = -\\dfrac{1}{x^2} < 0$ : le\nlogarithme est concave (courbe sous ses tangentes,\ncroissance qui s'essouffle)." }, { "text": "$x \\mapsto e^x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(e^x)'' = e^x > 0$ : l'exponentielle est\n**convexe** (croissance qui s'emballe)." }, { "text": "$x \\mapsto x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(x^2)'' = 2 > 0$ : la parabole est le prototype\nde la convexité." }, { "text": "$x \\mapsto x$", "correct": false, "feedback": "Cas limite : une droite est à la fois convexe **et**\nconcave (au sens large), ses cordes étant confondues avec\nelle ; elle n'est pas « la » concave typique attendue." } ], "explanation": "Répertoire : convexes : $x^2$, $e^x$, $\\dfrac{1}{x}$ (sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$) ; concave : $\\ln x$, $\\sqrt{x}$. La\nconcavité du logarithme et de la racine dit le rendement\ndécroissant." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "f-prime-croissante" ], "title": "Convexité et croissance de $f'$", "statement": "Soit $f$ dérivable sur $I$. Quelle propriété de $f'$\ncaractérise la convexité de $f$ ?", "options": [ { "text": "$f'$ est croissante sur $I$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la pente ne cesse d'augmenter : la\ncourbe « tourne vers le haut ». (D'où $f'' \\geq 0$ quand\n$f''$ existe.)" }, { "text": "$f'$ est positive sur $I$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f' > 0$ donne la **croissance de $f$**, pas sa\nconvexité. Une pente peut être positive et diminuer\n(concave croissante, comme $\\ln$)." }, { "text": "$f'$ est constante sur $I$", "correct": false, "feedback": "Erreur : pente constante $=$ droite, le cas frontière.\nLa convexité (au sens large) demande une pente\n**croissante**." }, { "text": "$f'$ s'annule au milieu de $I$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'annulation de $f'$ signale un extremum de\n$f$, sans lien avec la courbure." } ], "explanation": "Lecture dynamique de la convexité : la **pente augmente** le\nlong de la courbe. Trois étages à ne pas mélanger : signe de\n$f$ (position), signe de $f'$ (sens), croissance de $f'$ ou\nsigne de $f''$ (courbure)." }, { "id": "q08", "difficulty": 3, "skills": [ "inflexion", "calcul" ], "title": "Trouver un point d'inflexion par le calcul", "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x$, avec $f''(x) = 6x - 12$. En\nquelle abscisse la courbe admet-elle un point d'inflexion ?", "options": [ { "text": "En $x = 2$ : $f''$ s'y annule en changeant de signe", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $6x - 12 < 0$ avant $2$, $> 0$ après :\nconcave puis convexe, inflexion en $x = 2$." }, { "text": "En $x = 12$", "correct": false, "feedback": "Erreur de résolution : $6x - 12 = 0$ donne $x = 2$, pas\n$12$." }, { "text": "En $x = 0$, car $f(0) = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'annulation de **$f$** (passage par l'origine)\nn'a rien à voir avec la courbure : on annule $f''$." }, { "text": "Il n'y en a pas, car $f''$ s'annule", "correct": false, "feedback": "Contresens : l'annulation **avec changement de signe**\nest exactement la condition d'inflexion." } ], "explanation": "Méthode : résoudre $f''(x) = 0$ et vérifier le changement\nde signe. $6x - 12 = 0 \\Rightarrow x = 2$, signe $-$ puis\n$+$ : inflexion en $(2\\,;\\,f(2)) = (2\\,;\\,-6)$." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "concavite", "interpretation" ], "title": "Croissance qui s'essouffle", "statement": "La production $f(t)$ d'une usine croît, mais de moins en\nmoins vite. Comment cela se traduit-il sur $f'$ et $f''$ ?", "options": [ { "text": "$f' > 0$ et $f'' < 0$ : croissante et concave", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : « croît » : $f' > 0$ ; « de moins en\nmoins vite » : la pente diminue, $f'$ décroît :\n$f'' < 0$." }, { "text": "$f' > 0$ et $f'' > 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f'' > 0$ décrirait une croissance qui\n**s'accélère** (convexe, type exponentielle)." }, { "text": "$f' < 0$ et $f'' < 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f' < 0$ signifierait une production en\n**baisse**. Elle croît : $f' > 0$." }, { "text": "$f' > 0$ et $f'' = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f'' = 0$ partout donnerait une croissance\nparfaitement **linéaire** (vitesse constante), pas un\nessoufflement." } ], "explanation": "Traduire les phrases en dérivées : le sens (croît/décroît)\nse lit sur $f'$, l'allure de la vitesse (accélère/ralentit)\nsur $f''$. « Croît de moins en moins vite » $=$ croissante\nconcave." }, { "id": "q10", "difficulty": 3, "skills": [ "lorenz", "application" ], "title": "La courbe de Lorenz", "statement": "Une courbe de Lorenz (répartition des richesses) relie\n$(0\\,;\\,0)$ à $(1\\,;\\,1)$ : en abscisse la part cumulée de\nla population, en ordonnée la part cumulée des richesses.\nQuelles sont ses propriétés mathématiques ?", "options": [ { "text": "Croissante et convexe, sous la bissectrice $y = x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les parts cumulées croissent, les plus\nmodestes détiennent moins que leur part (courbe sous la\ndiagonale), et l'accumulation s'accélère vers les plus\nriches : convexité." }, { "text": "Décroissante et concave", "correct": false, "feedback": "Erreur : des parts **cumulées** ne peuvent que\ncroître ; et la bosse au-dessus de la diagonale n'a pas\nde sens ici." }, { "text": "Croissante et au-dessus de la bissectrice", "correct": false, "feedback": "Erreur : au-dessus de $y = x$, les $20\\ \\%$ les plus\nmodestes détiendraient **plus** de $20\\ \\%$ des\nrichesses : contraire à la construction par ordre\ncroissant de richesse." }, { "text": "Périodique", "correct": false, "feedback": "Erreur : la courbe vit sur $[0\\,;\\,1]$ et ne se répète\npas : la périodicité n'a aucun sens ici." } ], "explanation": "Thème du programme (répartition des richesses) : la courbe\nde Lorenz est croissante, convexe, de $(0\\,;\\,0)$ à\n$(1\\,;\\,1)$, sous la diagonale. Plus elle s'incurve, plus la\nrépartition est inégalitaire (indice de Gini)." }, { "id": "q11", "difficulty": 2, "skills": [ "secantes", "position" ], "title": "Utiliser la position sécante-courbe", "statement": "Soit $f$ convexe sur $[0\\,;\\,4]$, avec $f(0) = 1$ et\n$f(4) = 9$. Que peut-on dire de $f(2)$ ?", "options": [ { "text": "$f(2) \\leq 5$ : la courbe est sous la corde, qui vaut\n$5$ au milieu", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la sécante joint $(0\\,;\\,1)$ à\n$(4\\,;\\,9)$ et vaut $\\dfrac{1 + 9}{2} = 5$ en $x = 2$ ;\nla convexité place la courbe **en dessous**." }, { "text": "$f(2) = 5$ exactement", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité ne vaudrait que pour une fonction\naffine. La convexité donne une **inégalité** :\n$f(2) \\leq 5$." }, { "text": "$f(2) \\geq 5$", "correct": false, "feedback": "Inversé : au-dessus de la corde, ce serait la\n**concavité**." }, { "text": "On ne peut rien dire sur $f(2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la convexité est justement une information\nquantitative : courbe sous la corde, donc\n$f(2) \\leq 5$." } ], "explanation": "La définition par les sécantes fournit des inégalités\nconcrètes : pour $f$ convexe, la valeur au milieu ne dépasse\npas la moyenne des valeurs aux bornes ($f(2) \\leq\n\\frac{f(0) + f(4)}{2} = 5$)." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "synthese", "etages" ], "title": "Ne pas confondre les trois étages", "statement": "Soit $f$ deux fois dérivable avec, en $x = a$ : $f(a) > 0$,\n$f'(a) < 0$ et $f''(a) > 0$. Comment la courbe se\ncomporte-t-elle près de $a$ ?", "options": [ { "text": "Au-dessus de l'axe, en descente, dans une zone convexe\n(la descente freine)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois informations indépendantes :\nposition haute ($f > 0$), pente négative ($f' < 0$),\ncourbure vers le haut ($f'' > 0$) : une descente qui\ns'adoucit, typique d'une décroissance exponentielle." }, { "text": "Sous l'axe, en montée", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f(a) > 0$ place le point **au-dessus** de\nl'axe et $f'(a) < 0$ le met en **descente**." }, { "text": "Au sommet d'une bosse", "correct": false, "feedback": "Erreur : un sommet exigerait $f'(a) = 0$ et une\ncourbure vers le bas ($f'' < 0$)." }, { "text": "En un point d'inflexion", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'inflexion demanderait $f''(a) = 0$ avec\nchangement de signe ; ici $f''(a) > 0$ franchement." } ], "explanation": "Les trois étages de lecture : $f$ (position), $f'$ (sens),\n$f''$ (courbure), indépendants les uns des autres. $f > 0$,\n$f' < 0$, $f'' > 0$ : décroissance amortie, l'allure de\n$e^{-x}$." } ] }