{
  "chapter": {
    "id": "fonctions-limites-logarithme",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Fonctions : continuité, limites, logarithme",
    "description": "Continuité (approche intuitive), théorème des valeurs\nintermédiaires (admis) et fonctions strictement monotones,\nlimites des fonctions de référence et asymptotes, fonction\nlogarithme népérien (réciproque de l'exponentielle, équation\nfonctionnelle, dérivée, limites), relation\n$\\ln(q^n) = n\\ln q$ pour les seuils, dérivées de $f(ax+b)$,\n$e^{u}$, $\\ln u$, $u^2$.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "continuite",
        "intuition"
      ],
      "title": "Continuité et tracé",
      "statement": "Intuitivement, que signifie « $f$ est continue sur un\nintervalle » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sa courbe se trace sur cet intervalle sans lever le\ncrayon",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est l'approche intuitive du programme,\nsuffisante pour utiliser le théorème des valeurs\nintermédiaires (toute fonction dérivable est continue)."
        },
        {
          "text": "Sa courbe est une droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la continuité n'impose aucune forme : une\nparabole ou une exponentielle sont continues sans être\ndroites."
        },
        {
          "text": "La fonction est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : continuité et monotonie sont indépendantes :\nune fonction peut onduler continûment."
        },
        {
          "text": "La fonction est positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe n'a rien à voir : $x \\mapsto -x^2$ est\ncontinue et négative."
        }
      ],
      "explanation": "Approche du programme : continue $=$ tracé sans saut. Les\nfonctions usuelles (polynômes, exponentielle, logarithme,\nracine) sont continues sur leurs intervalles de définition."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "tvi",
        "monotone"
      ],
      "title": "TVI et stricte monotonie",
      "statement": "Soit $f$ continue et strictement croissante sur $[0\\,;\\,4]$,\navec $f(0) = -3$ et $f(4) = 9$. Que peut-on dire de\nl'équation $f(x) = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle admet une unique solution dans $[0\\,;\\,4]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5$ est compris entre $-3$ et $9$\n(existence par le TVI, admis), et la stricte monotonie\nexclut une seconde solution."
        },
        {
          "text": "Elle admet au moins deux solutions",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une fonction strictement croissante ne repasse\njamais par la même valeur."
        },
        {
          "text": "Elle n'admet aucune solution, car $5 \\neq f(0)$ et\n$5 \\neq f(4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le TVI garantit que **toutes** les valeurs\nintermédiaires sont atteintes, pas seulement celles des\nbornes."
        },
        {
          "text": "La solution est $x = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $5$ est la **valeur** visée ($y$), pas la\nsolution ($x$), dont le théorème garantit l'existence\nsans donner la position."
        }
      ],
      "explanation": "TVI $+$ stricte monotonie : pour tout $k$ entre $f(a)$ et\n$f(b)$, l'équation $f(x) = k$ a exactement une solution. On\nl'approche ensuite par balayage ou dichotomie."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "asymptotes"
      ],
      "title": "Limite et asymptote",
      "statement": "On sait que $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} f(x) = 2$. Que\npeut-on en déduire pour la courbe de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La droite $y = 2$ est asymptote horizontale à la courbe\nen $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe se rapproche indéfiniment de\ncette horizontale quand $x$ grandit."
        },
        {
          "text": "La droite $x = 2$ est asymptote verticale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une asymptote **verticale** correspond à une\nlimite infinie en un point fini, pas à une limite finie à\nl'infini."
        },
        {
          "text": "La courbe coupe l'axe des ordonnées en $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'ordonnée à l'origine est $f(0)$, sans lien\navec le comportement en $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "La fonction est constante égale à $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la fonction peut varier longtemps avant de se\nstabiliser **vers** $2$ ; seule la tendance à l'infini\nest fixée."
        }
      ],
      "explanation": "Lecture des limites : limite finie $\\ell$ en $\\pm\\infty$\n$\\to$ asymptote horizontale $y = \\ell$ ; limite infinie en un\npoint $a$ $\\to$ asymptote verticale $x = a$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "logarithme",
        "reciproque"
      ],
      "title": "Le logarithme, réciproque de l'exponentielle",
      "statement": "Comment la fonction $\\ln$ est-elle définie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Comme la fonction réciproque de l'exponentielle :\n$\\ln(x) = y \\Leftrightarrow e^y = x$ (pour $x > 0$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ « défait » l'exponentielle :\n$\\ln(e^x) = x$ et $e^{\\ln x} = x$. Les deux courbes sont\nsymétriques par rapport à la droite $y = x$."
        },
        {
          "text": "Comme la dérivée de l'exponentielle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dérivée de $e^x$ est $e^x$ elle-même. Le\nlogarithme est la **réciproque**, pas la dérivée."
        },
        {
          "text": "Comme l'inverse : $\\ln(x) = \\dfrac{1}{e^x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{e^x} = e^{-x}$, une autre\nexponentielle. « Réciproque » (défaire) n'est pas\n« inverse » (un sur)."
        },
        {
          "text": "Comme la primitive de l'exponentielle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une primitive de $e^x$ est $e^x$. Le logarithme\nrépond à la question « quel exposant ? », c'est la\nréciproque."
        }
      ],
      "explanation": "Définition du programme : $\\ln$ est la réciproque de\n$\\exp$ : pour $x > 0$, $\\ln x$ est l'unique exposant $y$ tel\nque $e^y = x$. D'où $\\ln 1 = 0$ et $\\ln e = 1$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Équation fonctionnelle du logarithme",
      "statement": "Pour $a, b > 0$, que vaut $\\ln(a \\times b)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln a + \\ln b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme les produits en\nsommes : c'est sa raison d'être historique (simplifier\nles calculs astronomiques)."
        },
        {
          "text": "$\\ln a \\times \\ln b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : contrôle avec $a = b = e$ : $\\ln(e^2) = 2$,\nalors que $\\ln e \\times \\ln e = 1$."
        },
        {
          "text": "$\\ln(a + b)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln(a+b)$ ne se développe pas. La formule\ntransforme le **produit** en somme, pas l'inverse."
        },
        {
          "text": "$\\ln a - \\ln b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la différence correspond au **quotient** :\n$\\ln\\frac{a}{b} = \\ln a - \\ln b$."
        }
      ],
      "explanation": "Équation fonctionnelle : $\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$\n(démonstration possible au programme). Conséquences :\n$\\ln\\frac{a}{b} = \\ln a - \\ln b$, $\\ln(q^n) = n\\ln q$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "logarithme",
        "derivee"
      ],
      "title": "Dérivée du logarithme",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $\\ln$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\mapsto \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ (calcul\npossible au programme, la dérivabilité étant admise) :\npositive, donc $\\ln$ strictement croissante."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto \\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seule l'exponentielle est sa propre dérivée. Le\nlogarithme se dérive en $\\dfrac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto -\\dfrac{1}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-\\dfrac{1}{x^2}$ est la dérivée de la fonction\n**inverse** $\\dfrac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$x \\mapsto e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^x$ est la dérivée de l'exponentielle ; sa\nréciproque a une dérivée bien différente :\n$\\dfrac{1}{x}$."
        }
      ],
      "explanation": "$(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$. Croissante,\nconcave, avec $\\lim_{0^+} \\ln = -\\infty$ et\n$\\lim_{+\\infty} \\ln = +\\infty$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "logarithme",
        "seuil"
      ],
      "title": "Un seuil résolu par $\\ln(q^n) = n \\ln q$",
      "statement": "On cherche le plus petit entier $n$ tel que\n$0{,}8^n < 0{,}1$. En utilisant $\\ln(0{,}8^n) = n\\ln(0{,}8)$\n(avec $\\ln 0{,}8 \\approx -0{,}223$ et\n$\\ln 0{,}1 \\approx -2{,}303$), que trouve-t-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n = 11$, car l'inéquation équivaut à $n > \\dfrac{\\ln\n0{,}1}{\\ln 0{,}8} \\approx 10{,}3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n\\ln 0{,}8 < \\ln 0{,}1$ ; en divisant\npar $\\ln 0{,}8 < 0$, l'inégalité **se renverse** :\n$n > 10{,}3$, donc $n = 11$."
        },
        {
          "text": "$n = 10$, car $10{,}3$ s'arrondit à $10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'arrondi : il faut $n$ **strictement supérieur**\nà $10{,}3$ : le premier entier convenable est $11$\n(vérification : $0{,}8^{10} \\approx 0{,}107 > 0{,}1$)."
        },
        {
          "text": "$n = 11$, mais sans renverser l'inégalité",
          "correct": false,
          "feedback": "Résultat juste, raisonnement incomplet : diviser par\n$\\ln 0{,}8$, **négatif**, renverse le sens : oublier ce\nrenversement mène à « $n < 10{,}3$ », absurde ici."
        },
        {
          "text": "Aucun $n$ ne convient : une puissance reste positive",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : positive, certes, mais aussi petite qu'on veut :\n$0{,}8^n \\to 0$ franchit tout seuil positif."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue : utiliser $\\ln(q^n) = n\\ln q$ pour\nrésoudre un seuil exactement. Vigilance : $\\ln q < 0$ pour\n$q < 1$, la division renverse l'inégalité. Ici $n = 11$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-composee"
      ],
      "title": "Dérivée de $f(ax + b)$",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $g(x) = e^{3x + 1}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$g'(x) = 3\\,e^{3x + 1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dérivée de $x \\mapsto f(ax + b)$ :\n$a\\,f'(ax + b)$. Ici $f = \\exp$, $a = 3$ :\n$3\\,e^{3x+1}$."
        },
        {
          "text": "$g'(x) = e^{3x + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du facteur $3$ : la composition par $3x + 1$ fait\nsortir le coefficient de $x$."
        },
        {
          "text": "$g'(x) = (3x + 1)\\,e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ni l'exposant ne change, ni l'intérieur ne\ndescend tel quel : seul $a = 3$ sort en facteur."
        },
        {
          "text": "$g'(x) = 3\\,e^{3x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant $3x + 1$ se conserve intégralement\nen dérivant : $3\\,e^{3x+1}$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule au programme : $\\left(f(ax+b)\\right)' =\na\\,f'(ax+b)$. Pour l'exponentielle : $(e^{ax+b})' =\na\\,e^{ax+b}$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "derivee-composee",
        "ln"
      ],
      "title": "Dérivée de $\\ln(u)$",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $h(x) = \\ln(x^2 + 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$h'(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 1}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$ avec\n$u = x^2 + 1$ (strictement positif) et $u' = 2x$."
        },
        {
          "text": "$h'(x) = \\dfrac{1}{x^2 + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du numérateur $u' = 2x$ : la règle de la composée\nest $\\dfrac{u'}{u}$, pas $\\dfrac{1}{u}$."
        },
        {
          "text": "$h'(x) = \\ln(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne dérive pas « à l'intérieur du\nlogarithme » : le $\\ln$ disparaît au profit du quotient\n$\\frac{u'}{u}$."
        },
        {
          "text": "$h'(x) = \\dfrac{2x}{\\ln(x^2 + 1)}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le dénominateur est $u = x^2 + 1$ lui-même, pas\nson logarithme."
        }
      ],
      "explanation": "Dérivées composées au programme : $(e^u)' = u'\\,e^u$,\n$(\\ln u)' = \\dfrac{u'}{u}$, $(u^2)' = 2u\\,u'$. Ici :\n$\\dfrac{2x}{x^2+1}$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "ln"
      ],
      "title": "Résoudre avec le logarithme",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^{2x} = 10$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\dfrac{\\ln 10}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln(e^{2x}) = 2x$, donc\n$2x = \\ln 10$ et $x = \\dfrac{\\ln 10}{2} \\approx 1{,}15$."
        },
        {
          "text": "$x = \\ln 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln 5$ résoudrait $e^x = 5$. Ici l'exposant\nest $2x$ : $x = \\frac{\\ln 10}{2}$ (et $\\frac{\\ln 10}{2}\n= \\ln\\sqrt{10} \\neq \\ln 5$)."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{10}{2e}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exponentielle ne se « divise » pas : on la\ndéfait par le **logarithme** : $2x = \\ln 10$."
        },
        {
          "text": "$x = \\ln 10 - 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient $2$ **divise** ($2x = \\ln 10$),\nil ne se soustrait pas."
        }
      ],
      "explanation": "Utiliser la réciprocité : $e^{2x} = 10 \\Leftrightarrow 2x =\n\\ln 10 \\Leftrightarrow x = \\frac{\\ln 10}{2}$. Capacité\nattendue : transformer une écriture avec l'équation\nfonctionnelle."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limites",
        "ln"
      ],
      "title": "Limites du logarithme",
      "statement": "Quelles sont les limites de $\\ln x$ en $0^+$ et en\n$+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\infty$ en $0^+$ et $+\\infty$ en $+\\infty$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la courbe plonge le long de l'axe des\nordonnées près de $0$ et grimpe sans plafond (mais très\nlentement) vers $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "$0$ en $0^+$ et $+\\infty$ en $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln$ s'annule en $x = 1$, pas en $0$. Près de\n$0^+$, le logarithme dévisse vers $-\\infty$\n($\\ln 0{,}001 \\approx -6{,}9$)."
        },
        {
          "text": "$-\\infty$ en $0^+$ et $e$ en $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune saturation en $e$ : le logarithme dépasse\ntoute valeur, aussi lentement que ce soit."
        },
        {
          "text": "Elles n'existent pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux limites existent (au sens infini) :\n$-\\infty$ et $+\\infty$ : la courbe du logarithme les rend\nvisibles."
        }
      ],
      "explanation": "Limites de référence : $\\lim_{x \\to 0^+} \\ln x = -\\infty$\n(asymptote verticale $x = 0$) et\n$\\lim_{x \\to +\\infty} \\ln x = +\\infty$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "tableau-variations",
        "equation"
      ],
      "title": "Nombre de solutions par le tableau de variations",
      "statement": "Une fonction continue $f$ décroît de $8$ à $-1$ sur\n$[0\\,;\\,3]$ puis croît de $-1$ à $2$ sur $[3\\,;\\,6]$.\nCombien l'équation $f(x) = 1$ a-t-elle de solutions sur\n$[0\\,;\\,6]$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux : une sur chaque branche de monotonie",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : sur $[0\\,;\\,3]$, $f$ traverse $1$ en\ndescendant de $8$ à $-1$ (une solution) ; sur\n$[3\\,;\\,6]$, elle le retraverse en remontant de $-1$ à\n$2$ (une seconde)."
        },
        {
          "text": "Une seule",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les **deux** branches contiennent $1$ dans leur\nplage de valeurs ($[-1\\,;\\,8]$ et $[-1\\,;\\,2]$) : une\nsolution chacune."
        },
        {
          "text": "Aucune",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ est compris entre $-1$ et $8$ : le TVI\ngarantit au moins une traversée."
        },
        {
          "text": "Trois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : chaque branche strictement monotone livre **au\nplus une** solution : deux branches, deux solutions\nmaximum."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue : exploiter le tableau de variations pour\n**compter** les solutions de $f(x) = k$ : une par branche de\nmonotonie dont la plage de valeurs contient $k$. Ici :\ndeux."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "valeurs-reference"
      ],
      "title": "Les deux valeurs à connaître",
      "statement": "Que valent $\\ln 1$ et $\\ln e$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 1 = 0$ et $\\ln e = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $e^0 = 1$ et $e^1 = e$ : le logarithme,\nréciproque de l'exponentielle, renvoie les exposants."
        },
        {
          "text": "$\\ln 1 = 1$ et $\\ln e = e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le logarithme ne rend pas le nombre lui-même :\nil rend l'**exposant** à donner à $e$ ($0$ pour obtenir\n$1$)."
        },
        {
          "text": "$\\ln 1 = 0$ et $\\ln e = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln e = 1$ (il faut l'exposant $1$ pour\nobtenir $e$) : seul $\\ln 1$ est nul."
        },
        {
          "text": "$\\ln 1$ n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln$ est défini sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ et $1 >\n0$ : c'est $\\ln 0$ qui n'existe pas."
        }
      ],
      "explanation": "Les deux ancres du logarithme : $\\ln 1 = 0$ (la courbe coupe\nl'axe en $1$) et $\\ln e = 1$. Tout calcul de logarithme se\nraccroche à elles."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ln-produit-calcul"
      ],
      "title": "Décomposer $\\ln 6$",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln 6$ en fonction de $\\ln 2$ et\n$\\ln 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 6 = \\ln 2 + \\ln 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $6 = 2 \\times 3$, et le logarithme\ntransforme le produit en somme."
        },
        {
          "text": "$\\ln 6 = \\ln 2 \\times \\ln 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit des logarithmes n'est pas le\nlogarithme du produit : la propriété échange produit\ncontre **somme**."
        },
        {
          "text": "$\\ln 6 = \\ln(2 + 3) + \\ln 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 + 3 = 5 \\neq 6$, et $\\ln(a + b)$ ne se\ndécompose pas : c'est le produit $2 \\times 3$ qu'on\néclate."
        },
        {
          "text": "$\\ln 6 = 2\\ln 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2\\ln 3 = \\ln 3^2 = \\ln 9 \\neq \\ln 6$ :\nl'exposant en facteur code une puissance, pas un\nproduit de facteurs distincts."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(ab) = \\ln a + \\ln b$ : décomposer les entiers en\nfacteurs pour tout exprimer avec $\\ln 2$, $\\ln 3$, $\\ln 5$…\nGymnastique de base du chapitre."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "signe-ln"
      ],
      "title": "Où $\\ln$ est-il négatif ?",
      "statement": "Pour quels réels $x$ a-t-on $\\ln x < 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pour $0 < x < 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\ln$ s'annule en $1$ et croît :\nnégatif avant, positif après ($\\ln 0{,}5 \\approx\n-0{,}69$)."
        },
        {
          "text": "Pour $x < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Domaine : $\\ln x$ n'existe pas pour $x \\leq 0$ : la\nquestion du signe ne se pose que sur $]0\\ ;\\\n+\\infty[$."
        },
        {
          "text": "Jamais : un logarithme est positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln 0{,}1 \\approx -2{,}3$ : sur $]0\\ ;\\ 1[$,\nle logarithme plonge (vers $-\\infty$ en $0^+$)."
        },
        {
          "text": "Pour $x < e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais repère : l'annulation se fait en $1$ ($\\ln 1 =\n0$) : entre $1$ et $e$, $\\ln$ est déjà positif."
        }
      ],
      "explanation": "Signe de $\\ln$ : négatif sur $]0\\ ;\\ 1[$, nul en $1$,\npositif au-delà. Utile en permanence dans les études de\nsigne et les résolutions d'inéquations."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ln-puissance"
      ],
      "title": "Écrire $\\ln 16$ avec $\\ln 2$",
      "statement": "Comment s'écrit $\\ln 16$ en fonction de $\\ln 2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\ln 16 = 4\\ln 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $16 = 2^4$ et $\\ln(a^n) = n\\ln a$ :\nl'exposant descend en facteur."
        },
        {
          "text": "$\\ln 16 = (\\ln 2)^4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant sort en **facteur**, pas en\npuissance du logarithme : $(\\ln 2)^4 \\approx 0{,}23$\nalors que $\\ln 16 \\approx 2{,}77$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 16 = 8\\ln 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant faux : $16 = 2^4$ (et non $2^8 = 256$) :\nfacteur $4$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 16 = \\ln 2 + 14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune addition de ce type : la décomposition\npasse par la puissance $2^4$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(a^n) = n\\ln a$ : LA propriété qui résout les seuils\n($q^n < \\varepsilon$) et simplifie les calculs. Toujours\ncommencer par décomposer le nombre ($16 = 2^4$)."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "domaine-ln-u"
      ],
      "title": "Domaine de $\\ln(3 - x)$",
      "statement": "Sur quel ensemble la fonction $f(x) = \\ln(3 - x)$ est-elle\ndéfinie ?",
      "options": [
        {
          "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 3[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut $3 - x > 0$, soit $x < 3$ :\nl'argument du logarithme doit être strictement positif."
        },
        {
          "text": "$]3\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $3 - x > 0$ se résout en $x < 3$\n(attention au signe du coefficient de $x$)."
        },
        {
          "text": "$]0\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la condition porte sur $3 - x$ (l'intérieur),\npas sur $x$ lui-même."
        },
        {
          "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 3]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Borne : en $x = 3$, l'intérieur vaut $0$ et $\\ln 0$\nn'existe pas : intervalle **ouvert**."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln(u(x))$ exige $u(x) > 0$ strictement : résoudre cette\ninéquation est le réflexe d'ouverture de tout exercice avec\nlogarithme composé."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inequation-ln"
      ],
      "title": "Résoudre $\\ln x \\geq 1$",
      "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de $\\ln x \\geq 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$[e\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 = \\ln e$, et la croissance stricte\nconserve l'ordre : $\\ln x \\geq \\ln e \\iff x \\geq e$."
        },
        {
          "text": "$[1\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\ln 1 = 0 < 1$ : le seuil n'est pas $1$ mais\n$e$ (le nombre dont le logarithme vaut $1$)."
        },
        {
          "text": "$[0\\ ;\\ +\\infty[$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : outre le domaine ($x > 0$ strict), $\\ln 2\n\\approx 0{,}69 < 1$ : il faut monter jusqu'à $e$."
        },
        {
          "text": "$]0\\ ;\\ e]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : $\\ln$ croît : les GRANDES valeurs de $x$\ndonnent les grands logarithmes : $x \\geq e$."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : écrire le second membre en logarithme ($1 = \\ln\ne$), puis utiliser la croissance stricte pour comparer les\narguments dans le même sens. Solution : $x \\geq e \\approx\n2{,}72$."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "reciprocite"
      ],
      "title": "Simplifier $e^{\\ln 5}$",
      "statement": "Que vaut $e^{\\ln 5}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : exponentielle et logarithme se\nneutralisent : $e^{\\ln x} = x$ pour tout $x > 0$."
        },
        {
          "text": "$\\ln 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exponentielle a bien été appliquée ? Elle\ndéfait le logarithme : il reste le nombre nu, $5$."
        },
        {
          "text": "$e \\times 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^{\\ln 5}$ n'est pas un produit : c'est $e$\nélevé à la puissance $\\ln 5$, et la réciprocité rend\n$5$."
        },
        {
          "text": "$e^5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant est $\\ln 5 \\approx 1{,}6$, pas $5$ :\nla simplification exacte donne $5$."
        }
      ],
      "explanation": "Les deux annulations à connaître : $e^{\\ln x} = x$ ($x >\n0$) et $\\ln(e^x) = x$ (tout $x$). Elles fondent toutes les\nrésolutions d'équations mêlant les deux fonctions."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-exp"
      ],
      "title": "Résoudre $e^x = 7$",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = \\ln 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : appliquer $\\ln$ aux deux membres :\n$\\ln(e^x) = x$ à gauche, $\\ln 7$ à droite. C'est LA\nraison d'être du logarithme."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{7}{e}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : diviser par $e$ ne défait pas une puissance :\nl'opération réciproque de $e^x$ est le logarithme."
        },
        {
          "text": "$x = 7 - e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : soustraire $e$ n'a aucun effet sur l'exposant :\nseule la fonction réciproque isole $x$."
        },
        {
          "text": "Aucune solution : $7$ n'est pas une puissance de $e$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout réel **strictement positif** est atteint\npar l'exponentielle : la solution existe et se nomme\n$\\ln 7 \\approx 1{,}95$."
        }
      ],
      "explanation": "$e^x = k$ ($k > 0$) $\\iff x = \\ln k$ : le logarithme est\nl'outil d'extraction des exposants. Pour $k \\leq 0$ : aucune\nsolution (l'exponentielle est strictement positive)."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "derivee-x-ln-x"
      ],
      "title": "Dérivée de $x\\ln x$",
      "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x\\ln x$ sur $]0\\ ;\\\n+\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f'(x) = \\ln x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : règle du produit : $1 \\times \\ln x + x\n\\times \\frac{1}{x} = \\ln x + 1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Facteur oublié : $\\frac{1}{x}$ dérive $\\ln x$ seul : le\nfacteur $x$ impose la règle du produit."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = \\ln x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme manquant : le produit $x \\times \\frac{1}{x} = 1$\ns'ajoute : $\\ln x + 1$."
        },
        {
          "text": "$f'(x) = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : simplifier $x \\times \\frac{1}{x}$ avant de\ndériver ne respecte pas la structure produit : la\ndérivée complète est $\\ln x + 1$."
        }
      ],
      "explanation": "$(x\\ln x)' = \\ln x + 1$ : le calcul type mêlant produit et\nlogarithme. Son signe (négatif avant $e^{-1}$, positif\naprès) donne le minimum de $x\\ln x$ : un classique d'étude."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "croissance-comparee"
      ],
      "title": "Limite de $\\dfrac{\\ln x}{x}$ en $+\\infty$",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to +\\infty} \\dfrac{\\ln x}{x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$ : le logarithme croît infiniment plus lentement que\n$x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : croissance comparée : $\\ln x$ est\nnégligeable devant toute puissance de $x$ : le quotient\ns'écrase sur $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$ : le numérateur tend vers l'infini",
          "correct": false,
          "feedback": "Duel oublié : le dénominateur explose AUSSI, et beaucoup\nplus vite : le rapport fond ($\\frac{\\ln 10^6}{10^6}\n\\approx 0{,}000014$)."
        },
        {
          "text": "$1$ : deux infinis s'équilibrent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune règle d'équilibre : la hiérarchie des\ncroissances tranche : $\\ln x \\ll x$."
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la forme $\\frac{\\infty}{\\infty}$ se lève par la\ncroissance comparée : limite $0$, résultat de cours."
        }
      ],
      "explanation": "Hiérarchie en $+\\infty$ : $\\ln x \\ll x^n \\ll e^x$ : le\nlogarithme perd contre toute puissance, l'exponentielle\ngagne contre toutes. Trois croissances, un classement\nimmuable."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-ln"
      ],
      "title": "Résoudre $\\ln(2x) = \\ln(x + 3)$",
      "statement": "Quelle est la solution de $\\ln(2x) = \\ln(x + 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$ (et le domaine $x > 0$ est respecté)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par injectivité, $2x = x + 3$, donc\n$x = 3$ ; contrôle du domaine : $2 \\times 3 = 6 > 0$ ✓."
        },
        {
          "text": "$x = -3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Résolution fausse ET domaine violé : $2x = x + 3$ donne\n$+3$ ; et en $-3$, aucun des deux logarithmes n'existe."
        },
        {
          "text": "$x = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $\\ln 2 \\neq \\ln 4$ : l'équation $2x = x + 3$\ndonne $x = 3$."
        },
        {
          "text": "Aucune : deux logarithmes différents ne sont jamais\négaux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ils sont égaux exactement quand leurs\n**arguments** le sont : l'équation se ramène à $2x = x +\n3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\ln a = \\ln b \\iff a = b$ (avec $a, b > 0$) : égaler les\narguments, puis VÉRIFIER le domaine : une racine qui rend un\nargument négatif est à rejeter (pas ici)."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limite-zero"
      ],
      "title": "Le logarithme en $0^+$",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{x \\to 0^+} \\ln x$, et que dire de la\ncourbe ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-\\infty$ : l'axe des ordonnées est asymptote verticale",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quand $x$ fond vers $0$, l'exposant\nnécessaire plonge : $\\ln(0{,}001) \\approx -6{,}9$… : la\ncourbe longe l'axe vertical vers le bas."
        },
        {
          "text": "$0$ : le logarithme s'annule au bord",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\ln$ s'annule en $x = 1$, pas en $0$ : au\nbord du domaine, il plonge sans limite."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1 = \\ln(e^{-1}) = \\ln(0{,}37)$ : une étape\ndu plongeon, pas sa fin : la chute continue vers\n$-\\infty$."
        },
        {
          "text": "La limite n'existe pas car $\\ln 0$ n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance : la **valeur** $\\ln 0$ n'existe pas, mais la\n**limite** en $0^+$ existe au sens infini : $-\\infty$."
        }
      ],
      "explanation": "Bilan des limites de $\\ln$ : $-\\infty$ en $0^+$ (asymptote\nverticale $x = 0$), $+\\infty$ en $+\\infty$ (sans asymptote,\ncroissance lente). Le miroir exact de l'exponentielle."
    }
  ]
}