{ "chapter": { "id": "integration-mc", "level": "maths-complementaires", "theme": "Analyse", "title": "Intégration", "description": "Intégrale d'une fonction continue positive comme aire sous la\ncourbe, relation de Chasles, valeur moyenne (comprise entre les\nbornes de la fonction), méthode des rectangles, extension aux\nfonctions de signe quelconque, théorème fondamental et calcul\npar primitives ($F(b) - F(a)$), aire entre deux courbes.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "definition", "aire" ], "title": "L'intégrale comme aire", "statement": "Pour $f$ continue et positive sur $[a\\,;\\,b]$, que\nreprésente $\\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$ ?", "options": [ { "text": "L'aire, en unités d'aire, entre la courbe, l'axe des\nabscisses et les droites $x = a$ et $x = b$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est la définition du programme,\nappuyée sur la notion intuitive d'aire." }, { "text": "La variation $f(b) - f(a)$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $f(b) - f(a)$ est un accroissement. Le\ncalcul par primitive donne $F(b) - F(a)$, avec $F$\n**primitive** de $f$." }, { "text": "La pente moyenne de la courbe", "correct": false, "feedback": "Erreur : la pente relève de la dérivation. L'intégrale\n**cumule** les valeurs : c'est une aire." }, { "text": "Le maximum de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le maximum est une valeur ponctuelle ; l'aire\nagrège toute la plage $[a\\,;\\,b]$." } ], "explanation": "$\\int_a^b f(x)\\,dx$ $=$ aire sous la courbe (pour $f \\geq 0$),\navec les propriétés héritées de l'aire : additivité\n(Chasles), invariance par translation et symétrie." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "calcul", "primitive" ], "title": "Calcul par une primitive", "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_1^3 2x\\,dx$ ?", "options": [ { "text": "$8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $F(x) = x^2$ est une primitive de $2x$ :\n$F(3) - F(1) = 9 - 1 = 8$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4 = 2 \\times 3 - 2 \\times 1$ évalue $f$ aux\nbornes. Le calcul passe par une **primitive** :\n$[x^2]_1^3 = 8$." }, { "text": "$9$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $9 = F(3)$ oublie de retrancher\n$F(1) = 1$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $6 = f(3)$ est une valeur de la fonction, pas\nl'aire cumulée entre $1$ et $3$." } ], "explanation": "Théorème du calcul intégral : $\\int_a^b f(x)\\,dx = F(b) -\nF(a)$ pour toute primitive $F$ de $f$. Ici $[x^2]_1^3 = 8$\n(l'aire d'un trapèze, vérifiable géométriquement)." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "chasles" ], "title": "Relation de Chasles", "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_0^3 f = 7$ et\n$\\displaystyle\\int_3^8 f = 5$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^8 f$ ?", "options": [ { "text": "$12$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les aires se recollent bout à bout\n(Chasles) : $\\int_0^8 = \\int_0^3 + \\int_3^8 = 7 + 5$." }, { "text": "$35$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les intégrales d'intervalles mis bout à bout\ns'**additionnent**, elles ne se multiplient pas." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7 - 5$ soustrairait les morceaux. La réunion\ndes intervalles cumule les aires : $12$." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la relation de Chasles conclut sans la moindre\nformule pour $f$ : c'est une propriété de l'aire." } ], "explanation": "Chasles : $\\int_a^c f = \\int_a^b f + \\int_b^c f$ :\nl'additivité des aires, héritée de la géométrie." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "valeur-moyenne" ], "title": "Valeur moyenne", "statement": "La vitesse d'un véhicule sur l'intervalle $[0\\,;\\,2]$\n(heures) vérifie $\\displaystyle\\int_0^2 v(t)\\,dt = 150$\n(kilomètres). Quelle est la vitesse moyenne sur le trajet ?", "options": [ { "text": "$75$ km/h", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : valeur moyenne $= \\dfrac{1}{b - a}\n\\int_a^b v = \\dfrac{150}{2}$ : distance totale divisée\npar la durée." }, { "text": "$150$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : $150$ est la **distance** parcourue\n(l'intégrale) ; la moyenne la rapporte à la durée :\n$75$ km/h." }, { "text": "$300$ km/h", "correct": false, "feedback": "Erreur : multiplier par la durée irait dans le mauvais\nsens : on **divise** l'intégrale par $b - a$." }, { "text": "$75$ km", "correct": false, "feedback": "Erreur d'unité : une vitesse moyenne s'exprime en km/h ;\n$75$ km serait une distance." } ], "explanation": "Valeur moyenne de $f$ sur $[a\\,;\\,b]$ : $\\mu =\n\\frac{1}{b-a}\\int_a^b f$, comprise entre les bornes de la\nfonction. Pour une vitesse : distance/durée, l'exemple le\nplus parlant." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "rectangles" ], "title": "Méthode des rectangles", "statement": "Pour approcher $\\displaystyle\\int_0^1 f$ avec $f$\n**croissante**, on somme les aires de rectangles dont la\nhauteur est prise au bord **gauche** de chaque subdivision.\nCette approximation est :", "options": [ { "text": "Inférieure ou égale à l'intégrale", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f$ croissante : la valeur au bord\ngauche est la plus **petite** du morceau, chaque\nrectangle reste sous la courbe : minoration." }, { "text": "Supérieure ou égale à l'intégrale", "correct": false, "feedback": "Inversé : la majoration viendrait des bords **droits**\n(les plus hauts pour une croissante)." }, { "text": "Exactement égale à l'intégrale", "correct": false, "feedback": "Erreur : des marches d'escalier laissent toujours un\nécart avec une courbe (sauf constante) ; l'écart fond\nquand la subdivision s'affine." }, { "text": "Tantôt au-dessus, tantôt en dessous", "correct": false, "feedback": "Erreur : la monotonie fixe le sens pour **tous** les\nmorceaux : bords gauches $\\Rightarrow$ minoration\nsystématique." } ], "explanation": "Rectangles et monotonie : pour $f$ croissante, bords gauches\nminorent et bords droits majorent : un **encadrement** de\nl'intégrale, qui se resserre avec le pas (mise en œuvre\nalgorithmique au programme)." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "signe-quelconque" ], "title": "Intégrale d'une fonction négative", "statement": "Soit $f$ continue et **négative** sur $[0\\,;\\,4]$, le\ndomaine entre sa courbe et l'axe ayant une aire de $6$\nunités. Que vaut $\\displaystyle\\int_0^4 f(x)\\,dx$ ?", "options": [ { "text": "$-6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sous l'axe, l'intégrale compte l'aire\n**négativement** : $\\int_0^4 f = -6$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $6$ est l'**aire** (toujours positive) ;\nl'intégrale d'une fonction négative est négative." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : rien ne se compense ici : la fonction reste du\nmême côté de l'axe, l'intégrale vaut $-6$." }, { "text": "Impossible : une intégrale est toujours positive", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est l'aire qui est positive. L'intégrale,\nelle, est **algébrique** : positive au-dessus de l'axe,\nnégative en dessous." } ], "explanation": "Extension au signe quelconque : l'intégrale compte\npositivement les zones au-dessus de l'axe, négativement\ncelles en dessous. Aire géométrique $=$ intégrale de $|f|$." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "calcul", "exponentielle" ], "title": "Aire sous l'exponentielle", "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^x\\,dx$ ?", "options": [ { "text": "$e - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $e^x$ est sa propre primitive :\n$[e^x]_0^1 = e - e^0 = e - 1 \\approx 1{,}72$." }, { "text": "$e$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : il manque la borne inférieure :\n$e^0 = 1$ se retranche." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ serait l'aire d'un carré unité ; la courbe\nde $e^x$ monte de $1$ à $e$ : l'aire vaut $e - 1$." }, { "text": "$e + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $F(b) - F(a) = e - 1$ : on\n**soustrait** la valeur en la borne basse." } ], "explanation": "$\\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e - 1$ : l'exemple du\nprogramme (approché aussi par la méthode des rectangles pour\nvoir converger l'encadrement)." }, { "id": "q08", "difficulty": 3, "skills": [ "theoreme-fondamental" ], "title": "La fonction aire", "statement": "Soit $f$ continue sur $[a\\,;\\,b]$ et $F(x) =\n\\displaystyle\\int_a^x f(t)\\,dt$. Que dit le théorème du\nprogramme sur $F$ ?", "options": [ { "text": "$F$ est dérivable et $F' = f$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la « fonction aire cumulée » a pour\ndérivée la fonction intégrée : le pont entre aire et\nprimitive, qui justifie le calcul par $F(b) - F(a)$." }, { "text": "$F$ est constante", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'aire cumulée **grandit** avec $x$ (pour\n$f > 0$) : $F$ est loin d'être constante." }, { "text": "$F = f$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'étage : l'aire cumulée n'égale pas la hauteur\ncourante ; c'est sa **dérivée** (vitesse d'accumulation)\nqui vaut $f$." }, { "text": "$F' = f'$", "correct": false, "feedback": "Erreur : intégrer puis dériver redonne $f$ elle-même,\npas sa dérivée." } ], "explanation": "Théorème fondamental (au programme) : $x \\mapsto \\int_a^x\nf(t)\\,dt$ est dérivable de dérivée $f$. L'aire s'accumule à\nla vitesse de la hauteur : d'où le calcul des intégrales par\nprimitives." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "aire-entre-courbes" ], "title": "Aire entre deux courbes", "statement": "Sur $[0\\,;\\,2]$, on a $f(x) \\geq g(x)$. Comment se calcule\nl'aire du domaine compris entre les deux courbes ?", "options": [ { "text": "$\\displaystyle\\int_0^2 \\left(f(x) - g(x)\\right) dx$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la bande entre les courbes a pour\n« hauteur » locale $f(x) - g(x) \\geq 0$ : son aire est\nl'intégrale de la différence." }, { "text": "$\\displaystyle\\int_0^2 f + \\int_0^2 g$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la somme empilerait les deux aires sous les\ncourbes. Le domaine **entre** elles se mesure par la\ndifférence." }, { "text": "$\\displaystyle\\int_0^2 f \\times \\int_0^2 g$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun produit d'intégrales ne mesure une aire\nentre courbes." }, { "text": "$\\displaystyle\\int_0^2 g - \\int_0^2 f$", "correct": false, "feedback": "Signe inversé : avec $f \\geq g$, cette différence serait\n**négative** : l'aire est $\\int (f - g)$." } ], "explanation": "Aire entre deux courbes (capacité attendue) : $\\int_a^b (f -\ng)$ lorsque $f \\geq g$ sur $[a\\,;\\,b]$ (découper aux points\nde croisement sinon)." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "valeur-moyenne", "encadrement" ], "title": "La moyenne entre les bornes", "statement": "Une fonction continue vérifie $2 \\leq f(x) \\leq 8$ sur\n$[0\\,;\\,5]$. Que peut-on dire de sa valeur moyenne $\\mu$ sur\ncet intervalle ?", "options": [ { "text": "$2 \\leq \\mu \\leq 8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la valeur moyenne est toujours comprise\nentre les bornes de la fonction (propriété du\nprogramme) : une moyenne ne sort pas de la plage des\nvaleurs." }, { "text": "$\\mu = 5$ exactement", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ serait la moyenne des **bornes** ; la vraie\nmoyenne dépend du temps passé près de chaque valeur." }, { "text": "$10 \\leq \\mu \\leq 40$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as multiplié par la longueur $5$ : c'est\nl'**intégrale** qui est comprise entre $10$ et $40$, la\nmoyenne reste entre $2$ et $8$." }, { "text": "On ne peut rien dire", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'encadrement de $f$ se transmet à sa moyenne :\nc'est une garantie systématique." } ], "explanation": "Propriété au programme : $m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\,;\\,b]$\n$\\Rightarrow$ $m \\leq \\mu \\leq M$. (En intégrant :\n$m(b-a) \\leq \\int f \\leq M(b-a)$, puis division par\n$b - a$.)" }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "calcul", "aire-parabole" ], "title": "Aire sous une parabole", "statement": "Le domaine coloré ci-dessous est délimité par la courbe de\n$f(x) = 4 - x^2$ et l'axe des abscisses. Quelle est son\naire ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n \\fill[blue!20,domain=-2:2,samples=60] plot (\\x,{4-\\x*\\x}) -- (2,0) -- (-2,0) -- cycle;\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-3.7,-0.7) grid (3.7,4.7);\n \\draw[->] (-3.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-3,-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.55:2.55,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{4-\\x*\\x});\n \\node[blue,font=\\small] at (3,2.4) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = 4 - x², tournée\nvers le bas, de sommet (0 ; 4), coupant l'axe des abscisses\nen -2 et 2. Le domaine entre la parabole et l'axe des\nabscisses, de x = -2 à x = 2, est colorié en bleu clair.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$\\dfrac{32}{3}$ unités d'aire", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\int_{-2}^{2} (4 - x^2)\\,dx =\n\\left[4x - \\dfrac{x^3}{3}\\right]_{-2}^{2} =\n\\dfrac{32}{3} \\approx 10{,}7$ (la quadrature de la\nparabole, déjà chez Archimède)." }, { "text": "$16$ unités d'aire", "correct": false, "feedback": "Erreur : $16$ est l'aire du rectangle englobant\n($4 \\times 4$). La parabole en occupe les deux tiers :\n$\\dfrac{32}{3}$." }, { "text": "$\\dfrac{16}{3}$ unités d'aire", "correct": false, "feedback": "Erreur de bornes : $\\dfrac{16}{3} = \\int_0^2 (4 -\nx^2)dx$ : la moitié droite seulement. Le domaine va de\n$-2$ à $2$." }, { "text": "$0$ : les deux moitiés se compensent", "correct": false, "feedback": "Erreur : la fonction est **positive** sur tout\n$[-2\\,;\\,2]$ : rien ne se compense, les moitiés\ns'additionnent." } ], "explanation": "Calcul type (thème « calculs d'aires ») : primitive\n$4x - \\frac{x^3}{3}$, intégrale $\\frac{32}{3}$ : exactement\nles deux tiers du rectangle circonscrit, résultat\nd'Archimède." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "monte-carlo", "algorithme" ], "title": "Estimer une aire par Monte-Carlo", "statement": "Pour estimer l'aire sous une courbe dans le carré unité, on\ntire $10\\,000$ points au hasard dans le carré et on compte\nla proportion de points situés **sous** la courbe. Pourquoi\ncette méthode fonctionne-t-elle ?", "options": [ { "text": "La proportion de points sous la courbe approche le\nrapport des aires (loi des grands nombres)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque point a une probabilité égale à\nl'aire cherchée (carré d'aire $1$) d'y tomber : la\nfréquence observée estime cette aire." }, { "text": "Les points tirés se placent d'eux-mêmes sous la courbe", "correct": false, "feedback": "Erreur : les tirages sont uniformes dans **tout** le\ncarré ; c'est le comptage qui filtre." }, { "text": "La méthode donne l'aire exacte dès $100$ points", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'estimation fluctue (en $1/\\sqrt{n}$) : elle\nse raffine avec le nombre de points sans jamais devenir\nexacte." }, { "text": "Elle ne fonctionne que pour des aires rectangulaires", "correct": false, "feedback": "Erreur : sa force est justement de traiter des formes\n**quelconques**, y compris sans primitive connue." } ], "explanation": "Méthode de Monte-Carlo (algorithme du programme) :\nprobabilité de tomber dans le domaine $=$ aire relative ;\nla fréquence sur un grand nombre de tirages l'estime.\nPrécieuse quand les primitives manquent." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "integrale-constante" ], "title": "Intégrale d'une constante", "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_1^4 5\\,dt$ ?", "options": [ { "text": "$15$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un rectangle de hauteur $5$ et de\nlargeur $4 - 1 = 3$ : aire $15$." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Largeur oubliée : la constante se multiplie par la\nlongueur de l'intervalle : $5 \\times 3$." }, { "text": "$20$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5 \\times 4$ prend la borne droite au lieu de\nla largeur $4 - 1 = 3$." }, { "text": "$\\dfrac{15}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division par $2$ vaudrait pour un triangle :\nune constante dessine un rectangle plein." } ], "explanation": "$\\int_a^b c\\,dt = c(b - a)$ : le rectangle fondamental.\nPoint d'ancrage pour contrôler les calculs plus élaborés et\nles encadrements." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "bornes-echangees" ], "title": "Échanger les bornes", "statement": "Sachant $\\displaystyle\\int_0^2 f = 7$, que vaut\n$\\displaystyle\\int_2^0 f$ ?", "options": [ { "text": "$-7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : échanger les bornes renverse le signe :\n$F(0) - F(2) = -(F(2) - F(0))$." }, { "text": "$7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'intégrale est **orientée** : parcourir\nl'intervalle à l'envers change le signe." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\int_a^a = 0$ demande des bornes **égales** :\nici elles sont échangées : opposé." }, { "text": "$\\dfrac{1}{7}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun inverse en jeu : le crochet change\nsimplement de signe." } ], "explanation": "$\\int_b^a f = -\\int_a^b f$ : conséquence directe du crochet\n$F(b) - F(a)$. À utiliser pour remettre les bornes en ordre\ncroissant avant tout calcul." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "linearite" ], "title": "Linéarité de l'intégrale", "statement": "On donne $\\displaystyle\\int_0^1 f = 4$ et\n$\\displaystyle\\int_0^1 g = -2$. Que vaut\n$\\displaystyle\\int_0^1 (3f + g)$ ?", "options": [ { "text": "$10$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : linéarité : $3 \\times 4 + (-2) = 10$ :\nles coefficients sortent, les intégrales s'additionnent." }, { "text": "$14$", "correct": false, "feedback": "Signe : $\\int g = -2$ est négative : $12 + (-2) = 10$,\npas $12 + 2$." }, { "text": "$6$", "correct": false, "feedback": "Coefficient perdu : le $3$ multiplie $\\int f = 4$ :\n$12 - 2 = 10$." }, { "text": "$2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4 - 2 = 2$ ignore le facteur $3$ : la\nlinéarité le conserve." } ], "explanation": "$\\int(\\alpha f + \\beta g) = \\alpha\\int f + \\beta\\int g$ :\nl'intégrale respecte sommes et coefficients : le levier qui\ndécompose tout calcul en briques simples." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "positivite" ], "title": "Signe d'une intégrale", "statement": "$f$ est continue et **positive** sur $[0\\ ;\\ 3]$. Que\npeut-on dire de $\\displaystyle\\int_0^3 f(t)\\,dt$ sans la\ncalculer ?", "options": [ { "text": "Elle est positive ou nulle", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une aire sous une courbe au-dessus de\nl'axe ne peut pas être négative : la positivité se\ntransmet de la fonction à l'intégrale." }, { "text": "Elle est strictement positive", "correct": false, "feedback": "Trop fort : la fonction nulle est positive et son\nintégrale vaut $0$ : conclusion en inégalité **large**." }, { "text": "Rien : il faut calculer", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe s'obtient GRATUITEMENT par la\npositivité : l'argument le plus économique du chapitre." }, { "text": "Elle vaut exactement l'aire du rectangle $3 \\times\n\\max f$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce rectangle **majore** l'intégrale, il ne\nl'égale pas (sauf fonction constante)." } ], "explanation": "Positivité : $f \\geq 0$ sur $[a\\ ;\\ b]$ ($a \\leq b$)\n$\\Rightarrow \\int_a^b f \\geq 0$. Avec la linéarité, elle\nfournit la comparaison des intégrales : les deux outils\nthéoriques du chapitre." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "encadrement" ], "title": "Encadrer sans calculer", "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 4]$, on sait que $2 \\leq f(t) \\leq 5$. Quel\nencadrement de $\\displaystyle\\int_0^4 f(t)\\,dt$ en\ndécoule ?", "options": [ { "text": "$8 \\leq \\displaystyle\\int_0^4 f(t)\\,dt \\leq 20$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : intégrer l'encadrement : les bornes $2$\net $5$ se multiplient par la largeur $4$ : rectangles\nminorant et majorant." }, { "text": "$2 \\leq \\displaystyle\\int_0^4 f(t)\\,dt \\leq 5$", "correct": false, "feedback": "Largeur oubliée : c'est la **valeur moyenne** qui reste\nentre $2$ et $5$ : l'intégrale, elle, est multipliée par\nla largeur $4$." }, { "text": "$0 \\leq \\displaystyle\\int_0^4 f(t)\\,dt \\leq 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la fonction vaut au moins $2$ sur une largeur\n$4$ : l'intégrale ne descend pas sous $8$." }, { "text": "Aucun : il faut l'expression exacte de $f$", "correct": false, "feedback": "Erreur : encadrer la fonction suffit à encadrer\nl'intégrale : c'est le service rendu par la comparaison." } ], "explanation": "$m \\leq f \\leq M$ sur $[a\\ ;\\ b] \\Rightarrow m(b - a) \\leq\n\\int_a^b f \\leq M(b - a)$ : l'inégalité de la moyenne. Les\ndeux rectangles encadrent l'aire : image à garder en tête." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "calcul-exponentielle" ], "title": "Calculer $\\displaystyle\\int_0^1 e^{-t}\\,dt$", "statement": "Que vaut $\\displaystyle\\int_0^1 e^{-t}\\,dt$ ?", "options": [ { "text": "$1 - \\dfrac{1}{e}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : primitive $-e^{-t}$ : le crochet donne\n$-e^{-1} - (-e^0) = 1 - \\frac{1}{e} \\approx 0{,}63$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{e} - 1$", "correct": false, "feedback": "Ordre du crochet : $F(1) - F(0)$, avec le signe de la\nprimitive : le résultat est **positif** (aire sous une\ncourbe positive)." }, { "text": "$e - 1$", "correct": false, "feedback": "Signe de l'exposant perdu : $e - 1$ est\n$\\int_0^1 e^{t}dt$ : ici l'exponentielle décroît : aire\nplus petite ($\\approx 0{,}63$)." }, { "text": "$-e^{-1}$", "correct": false, "feedback": "Borne basse oubliée : le crochet soustrait $F(0) = -1$ :\n$-e^{-1} + 1$." } ], "explanation": "Primitive de $e^{-t}$ : $-e^{-t}$ (le signe compense).\nContrôle de cohérence : la fonction est positive sur\n$[0\\ ;\\ 1]$ : l'intégrale doit être positive : $1 -\n\\frac{1}{e}$ ✓." } ] }