{ "chapter": { "id": "lois-a-densite", "level": "maths-complementaires", "theme": "Probabilités et statistique", "title": "Lois à densité", "description": "Notion de loi à densité : probabilité représentée par une aire,\nfonction de répartition $x \\mapsto P(X \\leq x)$, espérance sous\nforme d'intégrale, loi uniforme sur $[0\\,;\\,1]$ puis sur\n$[a\\,;\\,b]$ (densité, espérance), loi exponentielle (densité,\nespérance, absence de mémoire).", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "densite", "definition" ], "title": "Qu'est-ce qu'une densité de probabilité ?", "statement": "Quelles conditions une fonction $f$ doit-elle remplir pour\nêtre une densité de probabilité sur un intervalle $I$ ?", "options": [ { "text": "Être positive sur $I$, et l'aire totale sous sa courbe\nsur $I$ doit valoir $1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : positivité (les probabilités sont\npositives) et aire totale $1$ (l'événement certain)." }, { "text": "Être croissante et valoir $1$ à droite", "correct": false, "feedback": "Confusion : ces propriétés décrivent la fonction de\n**répartition** $P(X \\leq x)$, pas la densité." }, { "text": "Être comprise entre $0$ et $1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une densité peut dépasser $1$ (par exemple la\ndensité uniforme sur $[0\\,;\\,0{,}5]$ vaut $2$) : c'est\nl'**aire** qui est bornée par $1$, pas la hauteur." }, { "text": "Être continue et impaire", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'imparité forcerait des valeurs négatives ;\naucune symétrie n'est requise." } ], "explanation": "Densité : $f \\geq 0$ et aire totale $= 1$. Les probabilités\nse lisent alors comme des aires : $P(c \\leq X \\leq d) =$\naire sous $f$ entre $c$ et $d$." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "uniforme", "lecture" ], "title": "Lire une probabilité comme une aire", "statement": "La figure montre la densité de la loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,2]$ (hauteur $0{,}5$) ; la zone colorée s'étend de\n$0{,}5$ à $1{,}5$. Que vaut\n$P(0{,}5 \\leq X \\leq 1{,}5)$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.6,yscale=2.4]\n \\fill[blue!20] (0.5,0) rectangle (1.5,0.5);\n \\draw[->] (-0.5,0) -- (2.7,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-0.12) -- (0,0.85) node[above left] {$y$};\n \\draw[thick,blue] (0,0.5) -- (2,0.5);\n \\draw[thick,blue] (-0.4,0) -- (0,0);\n \\draw[thick,blue] (2,0) -- (2.6,0);\n \\draw[dashed,blue] (0,0) -- (0,0.5);\n \\draw[dashed,blue] (2,0) -- (2,0.5);\n \\node[left,font=\\small] at (-0.03,0.5) {$0{,}5$};\n \\foreach \\x in {0.5,1,1.5,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.02) {$\\x$};\n \\draw (0.5,0.01) -- (0.5,-0.01);\n \\draw (1.5,0.01) -- (1.5,-0.01);\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Densité de la loi uniforme sur [0 ; 2] : un segment\nhorizontal bleu à la hauteur 0,5 entre x = 0 et x = 2, nul\nailleurs. La zone rectangulaire entre x = 0,5 et x = 1,5,\nsous le segment, est coloriée en bleu clair.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$0{,}5$ : l'aire du rectangle de largeur $1$ et de\nhauteur $0{,}5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : probabilité $=$ aire $= 1 \\times 0{,}5 =\n0{,}5$. La moitié de l'intervalle porte la moitié de la\nprobabilité : cohérent pour une loi uniforme." }, { "text": "$1$ : la largeur de la zone", "correct": false, "feedback": "Erreur : la largeur seule ne suffit pas : l'aire\nmultiplie largeur **et** hauteur ($0{,}5$)." }, { "text": "$0{,}25$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5 \\times 0{,}5$ prend la mauvaise\nlargeur : la zone va de $0{,}5$ à $1{,}5$, largeur $1$." }, { "text": "$0{,}75$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}75$ correspondrait à une largeur de\n$1{,}5$ (par exemple de $0{,}5$ à $2$). Ici :\n$1 \\times 0{,}5 = 0{,}5$." } ], "explanation": "Pour une densité, probabilité $=$ **aire**. Uniforme sur\n$[a\\,;\\,b]$ : densité constante $\\frac{1}{b-a}$, et\n$P(c \\leq X \\leq d) = \\frac{d - c}{b - a}$ : la proportion\nde longueur." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "uniforme", "densite" ], "title": "Densité de la loi uniforme", "statement": "Quelle est la densité de la loi uniforme sur l'intervalle\n$[2\\,;\\,7]$ ?", "options": [ { "text": "$f(x) = \\dfrac{1}{5}$ sur $[2\\,;\\,7]$, nulle ailleurs", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : constante sur l'intervalle, de hauteur\n$\\dfrac{1}{b-a} = \\dfrac{1}{5}$ pour que l'aire totale\n($5 \\times \\frac{1}{5}$) vaille $1$." }, { "text": "$f(x) = \\dfrac{1}{7}$ sur $[2\\,;\\,7]$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur est la **longueur** $b - a =\n5$, pas la borne $7$. (Aire : $5 \\times \\frac{1}{7}\n\\neq 1$.)" }, { "text": "$f(x) = 5$ sur $[2\\,;\\,7]$", "correct": false, "feedback": "Erreur : hauteur $5$ sur une largeur $5$ donnerait une\naire de $25$. La densité est l'**inverse** de la\nlongueur." }, { "text": "$f(x) = x - 2$ sur $[2\\,;\\,7]$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une densité **croissante** privilégierait les\ngrandes valeurs : l'uniformité exige une hauteur\nconstante." } ], "explanation": "Uniforme sur $[a\\,;\\,b]$ : densité $\\frac{1}{b-a}$ sur\nl'intervalle, nulle ailleurs ; espérance $\\frac{a+b}{2}$\n(le milieu)." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "uniforme", "esperance" ], "title": "Espérance d'une loi uniforme", "statement": "Un bus passe toutes les $10$ minutes ; le temps d'attente\n$X$ d'un voyageur arrivant au hasard suit la loi uniforme\nsur $[0\\,;\\,10]$. Que vaut $E(X)$ ?", "options": [ { "text": "$5$ minutes", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{a+b}{2} = \\dfrac{0 +\n10}{2} = 5$ : en moyenne, on attend la moitié de\nl'intervalle." }, { "text": "$10$ minutes", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10$ est l'attente **maximale** (arrivée juste\naprès un bus). La moyenne vaut la moitié : $5$." }, { "text": "$0$ minute", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'attente nulle est le meilleur cas, pas la\nmoyenne." }, { "text": "$\\dfrac{1}{10}$ de minute", "correct": false, "feedback": "Confusion : $\\dfrac{1}{10}$ est la **densité**\n(hauteur), pas l'espérance." } ], "explanation": "$E = \\frac{a+b}{2}$ pour l'uniforme : le centre de gravité\ndu rectangle. Temps d'attente à un arrêt (thème du\nprogramme) : en moyenne, la moitié de l'intervalle entre\npassages." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "repartition" ], "title": "Fonction de répartition", "statement": "Pour une variable à densité $X$, que représente la fonction\nde répartition $F(x) = P(X \\leq x)$ ?", "options": [ { "text": "L'aire cumulée sous la densité jusqu'à $x$ : une\nfonction croissante de $0$ vers $1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $F$ accumule la probabilité de gauche à\ndroite : croissante, limite $0$ à gauche, $1$ à droite." }, { "text": "La hauteur de la densité en $x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la hauteur est $f(x)$ ; la répartition est\nl'**aire** accumulée jusqu'à $x$ (l'intégrale de la\ndensité)." }, { "text": "La probabilité que $X = x$ exactement", "correct": false, "feedback": "Erreur : pour une loi à densité, $P(X = x) = 0$ (une\naire de largeur nulle). $F(x)$ cumule tout ce qui est\n**inférieur ou égal** à $x$." }, { "text": "L'espérance de $X$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'espérance est un **nombre** ($\\int x f(x)\ndx$) ; la répartition est une **fonction** de $x$." } ], "explanation": "Fonction de répartition : $F(x) = P(X \\leq x)$, aire\ncumulée. Utilité pratique : $P(c \\leq X \\leq d) = F(d) -\nF(c)$." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "densite", "valeur-ponctuelle" ], "title": "$P(X = a)$ pour une loi à densité", "statement": "Soit $X$ une variable suivant une loi à densité. Que vaut\n$P(X = 3)$ (la probabilité d'une valeur exacte) ?", "options": [ { "text": "$0$ : une aire de largeur nulle", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la probabilité est une aire ; au-dessus\ndu seul point $3$, la largeur est nulle. Conséquence :\n$P(X \\leq 3) = P(X < 3)$ pour les lois à densité." }, { "text": "$f(3)$, la valeur de la densité", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f(3)$ est une **hauteur**, pas une\nprobabilité. Elle ne devient probabilité que multipliée\npar une largeur (aire)." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune valeur ponctuelle ne porte de masse dans\nune loi à densité : $P(X = 3) = 0$." }, { "text": "Cela dépend de la loi", "correct": false, "feedback": "Erreur : pour **toute** loi à densité, les valeurs\nexactes ont probabilité nulle (contrairement aux lois\ndiscrètes)." } ], "explanation": "Différence essentielle discret/continu : en continu,\n$P(X = a) = 0$ pour tout $a$ ; seules les **plages** de\nvaleurs portent de la probabilité." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "exponentielle", "definition" ], "title": "La loi exponentielle", "statement": "Quelle est la densité de la loi exponentielle de paramètre\n$\\lambda > 0$ ?", "options": [ { "text": "$f(t) = \\lambda\\,e^{-\\lambda t}$ pour $t \\geq 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une décroissance exponentielle depuis la\nhauteur $\\lambda$ : le modèle continu des durées de vie\nsans vieillissement." }, { "text": "$f(t) = e^{\\lambda t}$ pour $t \\geq 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une exponentielle **croissante** aurait une\naire infinie : impossible pour une densité." }, { "text": "$f(t) = \\lambda$ pour $t \\geq 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une constante sur $[0\\,;\\,+\\infty[$ aurait\naussi une aire infinie : c'est l'uniforme qui est\nconstante, sur un intervalle **borné**." }, { "text": "$f(t) = e^{-t^2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette forme « en cloche » évoque d'autres lois\n(hors programme). L'exponentielle décroît en\n$e^{-\\lambda t}$." } ], "explanation": "Loi exponentielle : densité $\\lambda e^{-\\lambda t}$ sur\n$[0\\,;\\,+\\infty[$, espérance $\\frac{1}{\\lambda}$, absence de\nmémoire. Version continue de la loi géométrique." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "exponentielle", "esperance" ], "title": "Espérance d'une loi exponentielle", "statement": "La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 0{,}1$ (par millier d'heures). Quelle\nest sa durée de vie moyenne ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{\\lambda} = 10$ milliers d'heures", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$ : plus le\ntaux de panne $\\lambda$ est faible, plus la vie moyenne\nest longue." }, { "text": "$0{,}1$ millier d'heures", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}1$ est le **paramètre** (taux) ;\nl'espérance en est l'inverse : $10$." }, { "text": "$\\lambda^2 = 0{,}01$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun carré ici : $E = \\frac{1}{\\lambda}$\n(et l'écart-type vaut aussi $\\frac{1}{\\lambda}$)." }, { "text": "Elle est infinie, car $t$ peut être arbitrairement grand", "correct": false, "feedback": "Erreur : les grandes durées sont possibles mais si\nimprobables que la moyenne reste **finie** :\n$\\frac{1}{\\lambda}$." } ], "explanation": "$E(X) = \\frac{1}{\\lambda}$ pour la loi exponentielle\n(parallèle exact avec le $\\frac{1}{p}$ de la loi\ngéométrique). Ici : $10$ milliers d'heures." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "exponentielle", "memoire" ], "title": "Absence de mémoire continue", "statement": "La durée de vie d'un composant suit une loi exponentielle.\nIl fonctionne déjà depuis $5$ ans. Que dire de sa durée de\nvie **restante** ?", "options": [ { "text": "Elle suit la même loi exponentielle qu'un composant\nneuf : le composant ne vieillit pas", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : absence de mémoire, propriété\ncaractéristique de la loi exponentielle : conditionner\npar la survie ne change pas la loi du temps restant." }, { "text": "Elle est plus courte : il a déjà consommé une partie de\nsa vie", "correct": false, "feedback": "Intuition d'usure, **hors modèle** : l'exponentielle\nmodélise précisément les pannes sans vieillissement\n(défaillances accidentelles, désintégration atomique)." }, { "text": "Elle est plus longue : il a prouvé sa robustesse", "correct": false, "feedback": "Erreur : ni bonus ni malus : la loi du temps restant est\nexactement celle d'origine." }, { "text": "Elle devient certaine et égale à $\\dfrac{1}{\\lambda}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'**espérance** restante vaut\n$\\frac{1}{\\lambda}$, mais la durée reste aléatoire, de\nmême loi qu'au départ." } ], "explanation": "Absence de mémoire : $P(X > s + t \\mid X > s) = P(X > t)$.\nL'atome radioactif ou le composant « sans usure » ignorent\nleur âge : c'est ce qui définit la loi exponentielle parmi\nles lois à densité." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "esperance", "integrale" ], "title": "L'espérance comme intégrale", "statement": "Pour une variable $X$ de densité $f$ sur $[a\\,;\\,b]$,\ncomment s'exprime l'espérance $E(X)$ ?", "options": [ { "text": "$E(X) = \\displaystyle\\int_a^b x\\,f(x)\\,dx$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la version continue de\n$\\sum x_i\\,p_i$ : chaque valeur $x$ pondérée par sa\ndensité, sommée par intégrale." }, { "text": "$E(X) = \\displaystyle\\int_a^b f(x)\\,dx$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette intégrale vaut toujours $1$ (aire\ntotale). L'espérance pondère par la **valeur** $x$ :\n$\\int x f(x) dx$." }, { "text": "$E(X) = f\\left(\\dfrac{a+b}{2}\\right)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la densité au milieu n'est pas une moyenne\n(sauf coïncidence). L'espérance intègre toutes les\nvaleurs pondérées." }, { "text": "$E(X) = \\dfrac{f(a) + f(b)}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : moyenner deux hauteurs de densité n'a pas de\nsens probabiliste : l'espérance est $\\int x f(x)\\,dx$." } ], "explanation": "Analogie discret-continu : $\\sum x_i p_i \\to \\int x f(x)\ndx$. Exemple : uniforme sur $[a\\,;\\,b]$ : $\\int_a^b\n\\frac{x}{b-a} dx = \\frac{a+b}{2}$." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "uniforme", "simulation" ], "title": "Simuler avec la loi uniforme", "statement": "En Python, `random()` renvoie un réel de loi uniforme sur\n$[0\\,;\\,1[$. Comment simuler une variable uniforme sur\n$[3\\,;\\,8]$ ?", "options": [ { "text": "`3 + 5 * random()`", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on dilate $[0\\,;\\,1[$ par la longueur\n($\\times 5$) puis on translate au bon départ ($+3$) :\nuniforme sur $[3\\,;\\,8[$." }, { "text": "`random(3, 8)`", "correct": false, "feedback": "Erreur : `random()` ne prend pas d'arguments. La\ntransformation affine $a + (b-a) \\times$ `random()` fait\nle travail." }, { "text": "`3 * random() + 8`", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette expression vit dans $[8\\,;\\,11[$ :\ncoefficients mal placés. Longueur $5$ en facteur, départ\n$3$ en décalage." }, { "text": "`randint(3, 8)`", "correct": false, "feedback": "Erreur : `randint` produit des **entiers** (loi uniforme\ndiscrète). Pour un réel de loi à densité : `random()`\ntransformé." } ], "explanation": "Rôle central de l'uniforme sur $[0\\,;\\,1]$ (au programme) :\nelle simule les autres lois. Uniforme sur $[a\\,;\\,b]$ :\n$a + (b-a)U$. C'est la brique des simulations continues." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "modelisation", "choix" ], "title": "Choisir entre uniforme et exponentielle", "statement": "Quel phénomène est le mieux modélisé par une loi\n**exponentielle** ?", "options": [ { "text": "Le temps d'attente entre deux appels indépendants à un\nstandard téléphonique", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : temps d'attente d'événements\n« sans mémoire » (appels, désintégrations, pannes\naccidentelles) : le domaine de la loi exponentielle." }, { "text": "La position d'un point choisi au hasard sur un segment", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun endroit du segment n'est privilégié :\nloi **uniforme**." }, { "text": "Le nombre de succès en $20$ tirages avec remise", "correct": false, "feedback": "Erreur : un **compte** discret : loi binomiale, pas une\nloi à densité." }, { "text": "Le résultat d'un lancer de dé", "correct": false, "feedback": "Erreur : six valeurs équiprobables : loi uniforme\n**discrète**." } ], "explanation": "Guide de modélisation : position au hasard $\\to$ uniforme ;\ndurée d'attente sans mémoire $\\to$ exponentielle ; comptes\n$\\to$ lois discrètes (binomiale, géométrique). Le thème\n« temps d'attente » articule ces choix." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "uniforme-calcul" ], "title": "Probabilité uniforme simple", "statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[0\\ ;\\ 10]$. Que vaut\n$P(X \\leq 3)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : proportion de l'intervalle : longueur\nfavorable ($3$) sur longueur totale ($10$)." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3$ est la longueur favorable : une probabilité\nla rapporte au total : $\\frac{3}{10}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur est la longueur **totale**\n($10$), pas la borne demandée." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5$ correspondrait à $P(X \\leq 5)$ (la\nmoitié) : ici la zone couvre $30\\ \\%$ de l'intervalle." } ], "explanation": "Loi uniforme sur $[c\\ ;\\ d]$ : $P(X \\in I) =\n\\frac{\\text{longueur de } I}{d - c}$ : la probabilité EST la\nproportion géométrique. Le modèle du « point au hasard »." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "aire-totale" ], "title": "L'aire totale sous une densité", "statement": "Que vaut l'aire totale sous la courbe d'une densité de\nprobabilité ?", "options": [ { "text": "$1$ : la certitude entière", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la variable prend forcément UNE valeur :\nla probabilité totale, lue comme aire complète, vaut\n$1$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce sont les probabilités **ponctuelles** ($P(X\n= a)$) qui sont nulles : l'aire totale, elle, vaut $1$." }, { "text": "Cela dépend de la loi", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est la condition DÉFINISSANT une densité :\npositive ET d'aire totale $1$, quelle que soit sa forme." }, { "text": "L'espérance de la variable", "correct": false, "feedback": "Confusion : l'espérance est l'intégrale de\n$t\\,f(t)$ (la valeur moyenne) : l'aire de $f$ seule vaut\ntoujours $1$." } ], "explanation": "Une densité : $f \\geq 0$ et $\\int f = 1$ : les deux\nconditions. Vérifier l'aire totale est le premier test face\nà toute densité proposée (et la clé pour trouver une\nconstante inconnue)." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "uniforme-intervalle" ], "title": "Uniforme sur $[2\\ ;\\ 8]$", "statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $[2\\ ;\\ 8]$. Que vaut\n$P(3 \\leq X \\leq 5)$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{6} = \\dfrac{1}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : longueur favorable $5 - 3 = 2$, longueur\ntotale $8 - 2 = 6$ : proportion $\\frac{1}{3}$." }, { "text": "$\\dfrac{5}{8}$", "correct": false, "feedback": "Bornes brutes : les probabilités uniformes se calculent\nsur les **longueurs** ($2$ sur $6$), pas sur les valeurs\ndes bornes." }, { "text": "$\\dfrac{2}{8}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur : la longueur totale est $8 - 2 = 6$\n(l'intervalle commence à $2$, pas à $0$)." }, { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun rapport de bornes ne donne la\nprobabilité : longueur sur longueur : $\\frac{2}{6}$." } ], "explanation": "Uniforme : toujours des rapports de **longueurs** :\n$P(a \\leq X \\leq b) = \\frac{b - a}{d - c}$. Piège récurrent :\noublier que l'intervalle total ne démarre pas en $0$." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "exponentielle-repartition" ], "title": "Fonction de répartition exponentielle", "statement": "$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\\lambda$. Que\nvaut $P(X \\leq t)$ pour $t \\geq 0$ ?", "options": [ { "text": "$1 - e^{-\\lambda t}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'aire sous la densité entre $0$ et $t$ :\npart de $0$, grimpe vers $1$ : la fonction de\nrépartition de la loi exponentielle." }, { "text": "$e^{-\\lambda t}$", "correct": false, "feedback": "Complémentaire : $e^{-\\lambda t}$ est $P(X > t)$ (la\nsurvie) : la répartition en est le complément à $1$." }, { "text": "$\\lambda e^{-\\lambda t}$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $\\lambda e^{-\\lambda t}$ est la **densité**\n(la hauteur de la courbe) : la probabilité cumulée est\nson intégrale." }, { "text": "$\\lambda t$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\lambda t$ dépasse $1$ pour $t$ grand :\nimpossible pour une probabilité : la bonne formule\nsature vers $1$." } ], "explanation": "Loi exponentielle : trois visages à distinguer : densité\n$\\lambda e^{-\\lambda t}$, répartition $P(X \\leq t) = 1 -\ne^{-\\lambda t}$, survie $P(X > t) = e^{-\\lambda t}$. Tout\ncalcul en découle." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "exponentielle-esperance" ], "title": "Durée de vie moyenne", "statement": "La durée de vie d'un composant suit la loi exponentielle de\nparamètre $\\lambda = 0{,}5$ (par année). Quelle est sa durée\nde vie moyenne ?", "options": [ { "text": "$2$ ans : $E(X) = \\dfrac{1}{\\lambda}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\frac{1}{\\lambda} =\n\\frac{1}{0{,}5} = 2$ : le paramètre est un **taux** (de\npanne par an), la moyenne en est l'inverse." }, { "text": "$0{,}5$ an", "correct": false, "feedback": "Confusion : $0{,}5$ est le taux de défaillance :\nl'espérance l'inverse : $2$ ans." }, { "text": "$\\lambda^2 = 0{,}25$ an", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun carré dans l'espérance exponentielle :\n$E(X) = \\frac{1}{\\lambda}$." }, { "text": "$e^{0{,}5} \\approx 1{,}65$ an", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exponentielle intervient dans la densité, pas\ndans la formule de l'espérance : $\\frac{1}{\\lambda} =\n2$." } ], "explanation": "$E(X) = \\frac{1}{\\lambda}$ : taux et durée moyenne sont\ninverses. Un composant à $\\lambda = 0{,}5$ panne/an dure en\nmoyenne $2$ ans : la traduction mécanique du paramètre." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "exponentielle-calcul" ], "title": "Probabilité de survie", "statement": "Avec $\\lambda = 0{,}5$, quelle est la probabilité que le\ncomposant fonctionne encore après $4$ ans ?", "options": [ { "text": "$P(X > 4) = e^{-2} \\approx 0{,}135$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : survie : $e^{-\\lambda t} = e^{-0{,}5\n\\times 4} = e^{-2}$ : environ $13{,}5\\ \\%$ des\ncomposants passent le cap des $4$ ans." }, { "text": "$1 - e^{-2} \\approx 0{,}865$", "correct": false, "feedback": "Complémentaire : $1 - e^{-2}$ est $P(X \\leq 4)$ : la\nprobabilité d'être DÉJÀ tombé en panne." }, { "text": "$e^{-0{,}5} \\approx 0{,}61$", "correct": false, "feedback": "Durée oubliée : l'exposant est $\\lambda \\times t = 0{,}5\n\\times 4 = 2$, pas $\\lambda$ seul." }, { "text": "$0$ : c'est le double de la durée moyenne", "correct": false, "feedback": "Erreur : dépasser la moyenne n'a rien d'impossible : la\nloi exponentielle a une longue queue : $13{,}5\\ \\%$ de\nsurvivants à $2E(X)$." } ], "explanation": "$P(X > t) = e^{-\\lambda t}$ : identifier $\\lambda$, $t$,\nmultiplier, exponentier. Repère utile : à $t = E(X)$, la\nsurvie vaut $e^{-1} \\approx 37\\ \\%$ : la moyenne n'est pas\nla médiane." } ] }