{
  "chapter": {
    "id": "lois-discretes",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Probabilités et statistique",
    "title": "Lois discrètes",
    "description": "Loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$ et son espérance, loi de\nBernoulli (espérance, écart-type), schéma de Bernoulli et\ncoefficients binomiaux (triangle de Pascal), loi binomiale\n$\\mathcal{B}(n\\,;\\,p)$ (expression, espérance et écart-type\nadmis), loi géométrique (expression, espérance admise, absence\nde mémoire).",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "uniforme",
        "esperance"
      ],
      "title": "Loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$",
      "statement": "On lance un dé équilibré à $6$ faces : le résultat $X$ suit\nla loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, 6\\}$. Que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = \\dfrac{1 + 2 + \\cdots + 6}{6} =\n\\dfrac{21}{6} = 3{,}5$, soit $\\dfrac{n+1}{2}$ pour la loi\nuniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ serait le « milieu entier », mais la\nmoyenne des six faces vaut $\\dfrac{21}{6} = 3{,}5$\n(l'espérance n'est pas forcément une valeur possible)."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est la valeur maximale, pas la moyenne."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{6}$ est la **probabilité** de chaque\nface, pas l'espérance du résultat."
        }
      ],
      "explanation": "Loi uniforme sur $\\{1, \\ldots, n\\}$ : chaque valeur a la\nprobabilité $\\frac{1}{n}$ et $E(X) = \\frac{n+1}{2}$\n(démonstration possible avec $1 + \\cdots + n =\n\\frac{n(n+1)}{2}$). Pour le dé : $3{,}5$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "bernoulli"
      ],
      "title": "Loi de Bernoulli",
      "statement": "$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p = 0{,}2$\n($X = 1$ en cas de succès, $0$ sinon). Que valent $E(X)$ et\n$V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}16$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p) = 0{,}2\n\\times 0{,}8 = 0{,}16$ (démonstrations possibles au\nprogramme)."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 0{,}5$ et $V(X) = 0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces valeurs correspondent à $p = 0{,}5$\n(pièce équilibrée). Ici $p = 0{,}2$ : $E = 0{,}2$."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 1$ et $V(X) = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $E = 1$ et $V = 0$ décriraient un succès\n**certain** ($p = 1$). Avec $p = 0{,}2$, la variable\nfluctue."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 0{,}2$ et $V(X) = 0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur la variance : $V = p(1-p) = 0{,}16$, pas $p$\nlui-même."
        }
      ],
      "explanation": "Bernoulli de paramètre $p$ : $E(X) = p$,\n$V(X) = p(1-p)$, $\\sigma(X) = \\sqrt{p(1-p)}$ : la brique\nélémentaire de la binomiale."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pascal",
        "coefficients"
      ],
      "title": "Triangle de Pascal",
      "statement": "La ligne $n = 4$ du triangle de Pascal est $1\\ ;\\,4\\ ;\\,6\\ ;\n\\,4\\ ;\\,1$. Que vaut le coefficient binomial\n$\\dbinom{5}{2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$, en additionnant $4 + 6$ (relation de Pascal)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque coefficient est la somme des deux\nsitués au-dessus : $\\binom{5}{2} = \\binom{4}{1} +\n\\binom{4}{2} = 4 + 6 = 10$."
        },
        {
          "text": "$24$, en multipliant $4 \\times 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la relation de Pascal est **additive**, pas\nmultiplicative."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 = \\binom{4}{2}$ appartient à la ligne\n$n = 4$. La ligne suivante s'en déduit par sommes."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 = \\binom{5}{1}$ (deuxième coefficient de la\nligne). $\\binom{5}{2}$ est le troisième : $10$."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue : déterminer les coefficients binomiaux\npar le triangle de Pascal. Ligne $5$ : $1\\ ;\\,5\\ ;\\,10\\ ;\\,\n10\\ ;\\,5\\ ;\\,1$, obtenue par sommes de la ligne $4$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "identification"
      ],
      "title": "Identifier une loi binomiale",
      "statement": "On tire $10$ fois **avec remise** une boule dans une urne\ncontenant $30\\ \\%$ de boules rouges, et on compte le nombre\n$X$ de rouges. Quelle est la loi de $X$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La loi binomiale $\\mathcal{B}(10\\,;\\,0{,}3)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $10$ épreuves de Bernoulli identiques\n(remise !) et indépendantes, $X$ compte les succès :\nbinomiale."
        },
        {
          "text": "La loi uniforme sur $\\{0, \\ldots, 10\\}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les valeurs de $X$ ne sont pas équiprobables\n($5$ rouges est bien plus probable que $10$)."
        },
        {
          "text": "La loi de Bernoulli de paramètre $0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la Bernoulli décrit **une** épreuve. Le\n**compte** sur $10$ épreuves suit la binomiale."
        },
        {
          "text": "La loi géométrique de paramètre $0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la géométrique donne le **rang du premier\nsuccès**, pas le nombre de succès en $10$ tirages."
        }
      ],
      "explanation": "Identifier les lois (capacité attendue) : compte de succès\nsur $n$ répétitions indépendantes $\\to$ binomiale ; rang du\npremier succès $\\to$ géométrique ; une seule épreuve $\\to$\nBernoulli."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "calcul"
      ],
      "title": "Une probabilité binomiale",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(4\\,;\\,0{,}5)$ (quatre lancers d'une\npièce équilibrée). Que vaut $P(X = 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dbinom{4}{2} \\times 0{,}5^4 = \\dfrac{6}{16} = 0{,}375$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\binom{4}{2} = 6$ chemins à deux\nsuccès, chacun de probabilité $0{,}5^2 \\times 0{,}5^2 =\n0{,}5^4$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'intuition « la moitié du temps » surestime :\nles valeurs $0$, $1$, $3$, $4$ prennent ensemble\n$62{,}5\\ \\%$ de la masse."
        },
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5^2$ ignore les échecs et les\nplacements : la formule complète donne $6/16$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{16}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $\\dfrac{1}{16}$ est la probabilité d'**un\nseul** chemin ; il y en a $\\binom{4}{2} = 6$."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X = k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ : ici $6 \\times\n\\frac{1}{16} = 0{,}375$. Le triangle de Pascal fournit le\n$6$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "binomiale",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance et écart-type d'une binomiale",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(100\\,;\\,0{,}25)$. Que valent\n$E(X)$ et $\\sigma(X)$ (admis au programme) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$E(X) = 25$ et $\\sigma(X) = \\sqrt{18{,}75} \\approx\n4{,}33$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E = np = 25$ et $\\sigma =\n\\sqrt{np(1-p)} = \\sqrt{100 \\times 0{,}25 \\times 0{,}75}$."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 25$ et $\\sigma(X) = 18{,}75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $18{,}75$ est la **variance** ; l'écart-type en\nest la racine carrée."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 50$ et $\\sigma(X) = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $E = np = 100 \\times 0{,}25 = 25$, pas la\nmoitié de $n$."
        },
        {
          "text": "$E(X) = 0{,}25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}25$ est l'espérance d'**une** épreuve ;\nsur $100$ répétitions : $25$."
        }
      ],
      "explanation": "Formules admises : $E(X) = np$, $V(X) = np(1-p)$,\n$\\sigma(X) = \\sqrt{np(1-p)}$. Ici : $25 \\pm 4{,}3$ environ :\nl'ordre de grandeur des fluctuations attendues."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique",
        "definition"
      ],
      "title": "La loi géométrique",
      "statement": "On répète une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ jusqu'au\npremier succès ; $X$ est le rang de ce premier succès. Que\nvaut $P(X = k)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(1 - p)^{k-1}\\,p$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $k - 1$ échecs consécutifs puis un\nsuccès, les épreuves étant indépendantes."
        },
        {
          "text": "$p^k$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $p^k$ serait $k$ **succès** d'affilée. Le\npremier succès au rang $k$ exige d'abord $k-1$ échecs."
        },
        {
          "text": "$\\dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la formule **binomiale** (nombre de\nsuccès sur $n$ fixé). La géométrique n'a pas de\ncoefficient : l'ordre est imposé (échecs puis succès)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{k}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme : les\npetits rangs sont les plus probables."
        }
      ],
      "explanation": "Loi géométrique de paramètre $p$ : $P(X = k) =\n(1-p)^{k-1}p$ pour $k \\geq 1$, et $E(X) = \\dfrac{1}{p}$\n(admis). Modèle des temps d'attente discrets."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'un temps d'attente",
      "statement": "On lance un dé équilibré jusqu'à obtenir un $6$. Combien de\nlancers faut-il **en moyenne** ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$ lancers, car $E(X) = \\dfrac{1}{p} = \\dfrac{1}{1/6}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le rang du premier $6$ suit la loi\ngéométrique de paramètre $\\frac{1}{6}$ : espérance\n$\\frac{1}{p} = 6$ (admise au programme)."
        },
        {
          "text": "$3{,}5$ lancers",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $3{,}5$ est l'espérance du **résultat d'un\nlancer** (loi uniforme). Ici on attend un événement de\nprobabilité $\\frac{1}{6}$ : $6$ essais en moyenne."
        },
        {
          "text": "$1$ lancer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $6$ tombe du premier coup une fois sur six\nseulement ; en moyenne, l'attente dure $6$ lancers."
        },
        {
          "text": "$36$ lancers",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $36 = 6^2$ surestime : la formule est\n$E = \\frac{1}{p} = 6$."
        }
      ],
      "explanation": "Règle mémorable : un événement de probabilité $p$ se produit\nen moyenne au bout de $\\frac{1}{p}$ essais. Pour le $6$ :\nsix lancers."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "geometrique",
        "memoire"
      ],
      "title": "Absence de mémoire",
      "statement": "On a déjà lancé le dé $10$ fois sans obtenir de $6$. Quelle\nest la probabilité d'obtenir enfin un $6$ au prochain\nlancer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$, comme à chaque lancer : le dé n'a pas de\nmémoire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les lancers sont indépendants : la\nmalchance passée n'augmente en rien les chances futures.\nC'est la propriété caractéristique de la loi géométrique\n(absence de mémoire)."
        },
        {
          "text": "Plus de $\\dfrac{1}{6}$ : le $6$ « doit » sortir",
          "correct": false,
          "feedback": "L'illusion du joueur : le dé ignore son passé. Après dix\néchecs, l'attente **restante** suit exactement la même\nloi qu'au départ."
        },
        {
          "text": "Moins de $\\dfrac{1}{6}$ : ce dé semble défavorable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur (dans le modèle du dé équilibré) : dix échecs\nn'ont rien d'extraordinaire\n($\\left(\\frac{5}{6}\\right)^{10} \\approx 16\\ \\%$) et ne\nremettent pas en cause l'équilibre."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{10}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$. La\nréponse est $\\frac{1}{6}$, inchangée."
        }
      ],
      "explanation": "Absence de mémoire (au programme) : sachant $X > n$, la loi\nde l'attente restante est celle de $X$ au départ. Le passé\ndes échecs ne crée aucune « dette » de succès : antidote\nmathématique à l'illusion du joueur."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calcul explicite d'une probabilité géométrique",
      "statement": "$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p = 0{,}5$\n(premier pile d'une pièce équilibrée). Que vaut\n$P(X = 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}5^2 \\times 0{,}5 = 0{,}125$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux faces puis un pile :\n$(1-p)^{2}\\,p = 0{,}25 \\times 0{,}5 = \\dfrac{1}{8}$."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5$ est la probabilité d'un pile à un\nlancer donné ; exiger « premier pile au rang 3 » impose\naussi deux échecs préalables."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la loi géométrique n'est pas uniforme ; le rang\n$3$ a la probabilité $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 =\n\\frac{1}{8}$."
        },
        {
          "text": "$0{,}375$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}375 = \\binom{4}{2}/16$ vient d'un calcul\n**binomial**. Ici pas de coefficient : l'ordre\néchec-échec-succès est imposé."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X = 3) = (1-p)^2 p = \\frac{1}{8}$ : la moitié des cas au\nrang 1, un quart au rang 2, un huitième au rang 3 : la masse\ndécroît géométriquement."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binomiale",
        "intervalle"
      ],
      "title": "Intervalle et calculatrice",
      "statement": "Soit $X \\sim \\mathcal{B}(50\\,;\\,0{,}5)$ (une pièce testée\nsur $50$ lancers). La calculatrice donne\n$P(18 \\leq X \\leq 32) \\approx 0{,}967$. Comment interpréter\nce résultat pour tester l'équilibre de la pièce ?",
      "options": [
        {
          "text": "Si la pièce est équilibrée, le nombre de piles tombe\ndans $[18\\,;\\,32]$ dans environ $97\\ \\%$ des cas ; un\nrésultat hors de cet intervalle rend le modèle suspect",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : c'est la démarche du programme (test\nd'une pièce) : un intervalle de forte probabilité sous\nle modèle ; une observation très improbable conduit à\ndouter du modèle."
        },
        {
          "text": "La pièce est équilibrée avec probabilité $0{,}967$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'interprétation : la probabilité porte sur les\n**résultats sous le modèle**, pas sur le modèle\nlui-même."
        },
        {
          "text": "Il sortira exactement entre $18$ et $32$ piles, garanti",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il reste environ $3\\ \\%$ de cas hors\nintervalle, parfaitement possibles avec une pièce\néquilibrée."
        },
        {
          "text": "Ce calcul ne sert à rien sans la liste des lancers",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le **nombre total** de piles suffit : c'est lui\nque la binomiale modélise."
        }
      ],
      "explanation": "Problème type du programme : construire un intervalle $I$\ntel que $P(X \\in I) \\geq 1 - \\alpha$ sous le modèle, puis\nconfronter l'observation. Improbable sous le modèle\n$\\Rightarrow$ modèle remis en question : l'esprit du test\nd'hypothèse."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "identification",
        "synthese"
      ],
      "title": "Choisir la bonne loi",
      "statement": "Trois variables : $A$ = numéro obtenu en tirant une carte\nparmi $10$ numérotées de $1$ à $10$ ; $B$ = nombre de\nclients qui achètent parmi $20$ visiteurs indépendants\n(chacun achète avec probabilité $0{,}1$) ; $C$ = rang du\npremier appel décroché par un standard qui décroche avec\nprobabilité $0{,}6$ à chaque appel. Quelles lois ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A$ : uniforme sur $\\{1, \\ldots, 10\\}$ ; $B$ :\nbinomiale $\\mathcal{B}(20\\,;\\,0{,}1)$ ; $C$ :\ngéométrique de paramètre $0{,}6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : équiprobabilité sur un ensemble fini\n$\\to$ uniforme ; compte de succès sur $n$ répétitions\n$\\to$ binomiale ; rang du premier succès $\\to$\ngéométrique."
        },
        {
          "text": "$A$ : binomiale ; $B$ : géométrique ; $C$ : uniforme",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout est permuté. Relie chaque situation à sa\nstructure : équiprobable / compte de succès / première\nréussite."
        },
        {
          "text": "Les trois suivent des lois binomiales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A$ n'a ni succès ni répétition, et $C$ n'a\npas de nombre d'épreuves fixé à l'avance."
        },
        {
          "text": "$A$ : uniforme ; $B$ : géométrique ; $C$ : binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur sur $B$ et $C$ : compter des acheteurs sur $20$\nvisiteurs est binomial ; attendre le premier décroché\nest géométrique."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue centrale : **identifier** la loi d'après\nla structure de l'expérience. Uniforme : équiprobabilité ;\nBernoulli : une épreuve ; binomiale : compte sur $n$\népreuves ; géométrique : premier succès."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "binomiale-zero"
      ],
      "title": "Aucun succès sur $n$ essais",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =\n0{,}3$. Que vaut $P(X = 0)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}7^4 \\approx 0{,}24$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : zéro succès = quatre échecs\nindépendants : $(1 - p)^n = 0{,}7^4$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3^4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : $0{,}3^4$ est $P(X = 4)$ (quatre **succès**) :\nl'absence de succès se code avec la probabilité d'échec."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « aucun succès » est un scénario tout à fait\npossible (environ une chance sur quatre ici)."
        },
        {
          "text": "$1 - 0{,}3 = 0{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Puissance manquante : $0{,}7$ est l'échec sur UN essai :\nquatre échecs consécutifs exigent $0{,}7^4$."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X = 0) = (1 - p)^n$ : le cas le plus utile de la\nbinomiale : il ouvre le calcul de $P(X \\geq 1)$ par le\ncomplémentaire."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "uniforme-esperance"
      ],
      "title": "Espérance de la loi uniforme",
      "statement": "$X$ suit la loi uniforme sur $\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}$ (un dé\néquilibré). Que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : moyenne des valeurs équiprobables :\n$\\frac{1 + 6}{2} = 3{,}5$ (formule $\\frac{n + 1}{2}$\npour $\\{1, \\dots, n\\}$)."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le « milieu » exact des entiers $1$ à $6$ est\n$3{,}5$ : l'espérance n'a pas besoin d'être une valeur\natteignable."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $\\frac{1}{6}$ est la probabilité de chaque\nface, pas la moyenne des résultats."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est le maximum : la moyenne de long terme\nse place au centre : $3{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "Loi uniforme sur $\\{1, \\dots, n\\}$ : $E(X) = \\frac{n+1}{2}$ :\nle centre de gravité des valeurs équiprobables. Pour le dé :\n$3{,}5$, la référence mentale des jeux équilibrés."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "au-moins-un-succes"
      ],
      "title": "Au moins un succès",
      "statement": "$X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 4$ et $p =\n0{,}3$. Comment calculer $P(X \\geq 1)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$P(X \\geq 1) = 1 - 0{,}7^4 \\approx 0{,}76$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le contraire de « au moins un » est\n« aucun » : $1 - P(X = 0)$ : un seul terme au lieu de\nquatre."
        },
        {
          "text": "$P(X = 1) = 4 \\times 0{,}3 \\times 0{,}7^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $P(X = 1)$ compte **exactement un** succès :\n« au moins un » englobe $1, 2, 3$ et $4$ : le\ncomplémentaire est la voie courte."
        },
        {
          "text": "$4 \\times 0{,}3 = 1{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Alerte : une probabilité au-dessus de $1$ : l'addition\ndes $p$ ne calcule pas « au moins un » (elle ignore les\nrecouvrements)."
        },
        {
          "text": "$0{,}3^4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}3^4$ est « QUE des succès » ($X = 4$) : à\nl'opposé du calcul demandé."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X \\geq 1) = 1 - (1 - p)^n$ : LE réflexe binomial. Toute\nquestion « au moins un » se traite par le complémentaire\n« aucun » : un produit, une soustraction, fini."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique-survie"
      ],
      "title": "Attendre plus de $n$ essais",
      "statement": "$X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ (rang du\npremier succès). Que vaut $P(X > n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(1 - p)^n$ : les $n$ premiers essais sont tous des\néchecs",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : attendre au-delà de $n$ = n'avoir encore\nrien obtenu = $n$ échecs consécutifs : $(1 - p)^n$."
        },
        {
          "text": "$p^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : $p^n$ enchaînerait $n$ **succès** : attendre,\nc'est enchaîner des échecs."
        },
        {
          "text": "$1 - p^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le complémentaire mal placé : l'événement\n« $X > n$ » se décrit directement : $n$ échecs\nd'affilée."
        },
        {
          "text": "$n(1 - p)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les échecs successifs se **multiplient**\n(indépendance), ils ne s'additionnent pas."
        }
      ],
      "explanation": "$P(X > n) = (1 - p)^n$ : la « fonction de survie » de la loi\ngéométrique. On en déduit tout : $P(X \\leq n) = 1 - (1 -\np)^n$, et l'absence de mémoire."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "geometrique-esperance"
      ],
      "title": "Temps d'attente moyen",
      "statement": "Un tir au but réussit avec la probabilité $p = 0{,}2$. En\nmoyenne, combien de tirs faut-il pour obtenir le premier\nsuccès ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$ tirs : $E(X) = \\dfrac{1}{p}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : loi géométrique : $E(X) = \\frac{1}{p} =\n\\frac{1}{0{,}2} = 5$ : un succès sur cinq en moyenne =\ncinq essais par succès."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$ tir",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $0{,}2$ est la probabilité par essai :\nl'attente moyenne en est l'**inverse** : $5$."
        },
        {
          "text": "$2$ tirs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{0{,}2} = 5$, pas $2$ (attention à la\ndivision par un décimal)."
        },
        {
          "text": "Impossible à prévoir : l'attente est aléatoire",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : chaque attente est aléatoire, mais leur\nMOYENNE de long terme est parfaitement déterminée :\n$\\frac{1}{p}$."
        }
      ],
      "explanation": "$E(X) = \\frac{1}{p}$ pour la loi géométrique : l'inverse de\nla probabilité. Intuition solide : un événement à $1\\ \\%$\ns'attend en moyenne $100$ répétitions : à retenir pour tous\nles ordres de grandeur."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "choisir-binomiale-geometrique"
      ],
      "title": "Binomiale ou géométrique ?",
      "statement": "Expérience A : « je lance $10$ fléchettes et je compte les\nréussites ». Expérience B : « je lance des fléchettes\njusqu'à la première réussite et je compte les lancers ».\nQuelles lois ?",
      "options": [
        {
          "text": "A : binomiale (nombre d'essais fixé) ; B : géométrique\n(rang du premier succès)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la question discriminante : QUI est\naléatoire ? En A, le nombre de succès (essais fixés) ;\nen B, le nombre d'essais (arrêt au premier succès)."
        },
        {
          "text": "A : géométrique ; B : binomiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : la binomiale exige un nombre d'essais **fixé\nd'avance** ($10$ en A) ; la géométrique compte l'attente\n(B)."
        },
        {
          "text": "Les deux sont binomiales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en B, le nombre d'essais n'est pas fixé : c'est\njustement la variable : hors du cadre binomial."
        },
        {
          "text": "Les deux sont géométriques",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : en A, on ne s'arrête pas au premier succès : on\népuise les $10$ essais et on **compte** : binomiale."
        }
      ],
      "explanation": "Le test de reconnaissance : « combien de succès sur $n$\nessais fixés ? » : binomiale $(n\\ ;\\ p)$ ; « combien\nd'essais jusqu'au premier succès ? » : géométrique $(p)$.\nIdentifier la loi AVANT tout calcul."
    }
  ]
}