{
  "chapter": {
    "id": "primitives-equations-differentielles-mc",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Primitives et équations différentielles",
    "description": "Notion de solution d'une équation différentielle, primitives\n(équation $y' = f$, unicité à constante près), reconnaissance\ndes formes $2uu'$, $e^u u'$ et $\\dfrac{u'}{u}$, équations\ndifférentielles $y' = ay$ et $y' = ay + b$ : solution\nparticulière constante et solution générale, vérification\nqu'une fonction est solution.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "verification"
      ],
      "title": "Vérifier une solution",
      "statement": "La fonction $f(x) = 5\\,e^{2x}$ est-elle solution de\nl'équation différentielle $y' = 2y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui, car $f'(x) = 10\\,e^{2x} = 2 \\times 5\\,e^{2x} =\n2\\,f(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on dérive et on compare : $f' = 2f$ est\nbien vérifiée pour tout $x$. C'est la méthode de\nvérification attendue."
        },
        {
          "text": "Non, car $f(0) = 5 \\neq 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équation $y' = 2y$ ne fixe aucune valeur en\n$0$ ; elle relie la **dérivée** à la fonction, ce que\n$f$ respecte."
        },
        {
          "text": "Non, car il y a un $5$ en facteur",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout multiple $C\\,e^{2x}$ convient : le facteur\nse conserve en dérivant et se simplifie dans l'équation."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas vérifier sans résoudre l'équation",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : vérifier est plus simple que résoudre : on\n**dérive** la candidate et on teste l'égalité."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue : vérifier qu'une fonction donnée est\nsolution en la dérivant et en substituant. $f' = 10e^{2x} =\n2f$ : solution."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive",
        "definition"
      ],
      "title": "Primitive et équation $y' = f$",
      "statement": "Chercher une primitive de $f$ revient à résoudre quelle\néquation différentielle ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y' = f$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une primitive de $f$ est une fonction\ndont la **dérivée** est $f$ : c'est l'équation\ndifférentielle la plus simple."
        },
        {
          "text": "$y' = y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $y' = y$ définit l'exponentielle (la dérivée\négale la fonction **inconnue**, pas une fonction\ndonnée)."
        },
        {
          "text": "$y = f'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inversé : ceci demanderait de **dériver** $f$. La\nprimitivation remonte : $y' = f$."
        },
        {
          "text": "$y' = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $y' = 0$ caractérise les fonctions constantes.\nLa primitive répond à $y' = f$ pour un $f$ quelconque."
        }
      ],
      "explanation": "Lien fondateur du chapitre : primitive de $f$ $=$ solution\nde $y' = f$. Deux primitives d'une même fonction continue\nsur un intervalle diffèrent d'une constante."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive",
        "constante"
      ],
      "title": "L'ensemble des primitives",
      "statement": "$F(x) = x^2$ est une primitive de $f(x) = 2x$ sur\n$\\mathbb{R}$. Quelles sont **toutes** les primitives de $f$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto x^2 + C$, $C$ constante réelle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux primitives d'une même fonction sur\nun intervalle diffèrent d'une constante : la famille\ncomplète est $x^2 + C$."
        },
        {
          "text": "La seule fonction $x \\mapsto x^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $x^2 + 7$ se dérive aussi en $2x$. Il y a\nune infinité de primitives, décalées verticalement."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto Cx^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(Cx^2)' = 2Cx \\neq 2x$ dès que $C \\neq 1$. La\nliberté est **additive** ($+C$), pas multiplicative."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $x \\mapsto x^2 + Cx$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(x^2 + Cx)' = 2x + C \\neq 2x$ pour $C \\neq 0$.\nSeule une **constante** ajoutée disparaît en dérivant."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (démonstration possible) : sur un intervalle, les\nprimitives de $f$ s'écrivent $F + C$. Une condition (valeur\nen un point) fixe $C$ et isole une primitive unique."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-2uu"
      ],
      "title": "Reconnaître la forme $2u'u$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2 \\times 3 \\times\n(3x + 1)$, c'est-à-dire $f = 2u'u$ avec $u(x) = 3x + 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = (3x + 1)^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(u^2)' = 2u'u$ : la forme $2u'u$ se\nprimitive en $u^2$. Contrôle : $\\left((3x+1)^2\\right)' =\n2 \\times 3 \\times (3x+1)$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = (3x + 1)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(u^3)' = 3u'u^2$, une autre forme. Ici\nl'exposant de départ est $1$ : la primitive est $u^2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 6x^2 + 2x$? Développons : $f(x) = 18x + 6$, de\nprimitive $9x^2 + 6x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Piégeux : $9x^2 + 6x$ **est** une primitive correcte\n(elle diffère de $(3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1$ d'une\nconstante), mais l'expression $6x^2 + 2x$ proposée ne se\ndérive pas en $f$. Vérifie toujours en dérivant."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2(3x + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(2(3x+1)\\right)' = 6$, constant : ce\nn'est pas $f$. La structure $2u'u$ appelle $u^2$."
        }
      ],
      "explanation": "Formes à reconnaître (capacité attendue) : $2u'u \\to u^2$ ;\n$u'e^u \\to e^u$ ; $\\dfrac{u'}{u} \\to \\ln u$ (pour $u > 0$).\nToujours contrôler en redérivant."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-eu"
      ],
      "title": "Reconnaître la forme $u'e^u$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = 2x\\,e^{x^2}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = e^{x^2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $u = x^2$, $u' = 2x$ : $f = u'e^u$,\nde primitive $e^u = e^{x^2}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^2\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver ce produit donne $2x\\,e^{x^2} +\nx^2 \\times 2x\\,e^{x^2}$, un terme de trop. La primitive\nde $u'e^u$ est $e^u$ tout court."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{x^2}}{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « diviser par la dérivée de l'intérieur » ne\nmarche que pour un intérieur **affine**. Ici la\nvérification échoue (dérivée d'un quotient)."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2\\,e^{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(2e^{x^2}\\right)' = 4x\\,e^{x^2}$, le\ndouble de $f$. Le facteur $2x$ est **exactement** $u'$ :\naucun coefficient à ajouter."
        }
      ],
      "explanation": "$f = u'e^u$ avec $u = x^2$ : primitive $e^u$. La présence du\nfacteur $u' = 2x$ devant l'exponentielle est le signal à\nrepérer."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "forme-uprime-sur-u"
      ],
      "title": "Reconnaître la forme $\\dfrac{u'}{u}$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{2x}{x^2 + 1}$\nsur $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f = \\dfrac{u'}{u}$ avec\n$u = x^2 + 1 > 0$ : primitive $\\ln u$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{1}{x^2 + 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dériver $\\dfrac{1}{u}$ donne\n$-\\dfrac{u'}{u^2}$, pas $\\dfrac{u'}{u}$. La forme\nquotient-de-la-dérivée appelle le **logarithme**."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2x\\,\\ln(x^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce produit se dérive avec deux termes (règle du\nproduit) et ne redonne pas $f$. La primitive est\n$\\ln(x^2+1)$ seule."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\ln(2x)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(\\ln 2x)' = \\dfrac{1}{x}$, sans lien avec\n$f$. C'est tout le bloc $u = x^2 + 1$ qui entre dans le\nlogarithme."
        }
      ],
      "explanation": "$\\dfrac{u'}{u} \\to \\ln u$ (pour $u > 0$). Repérer au\nnumérateur la dérivée **exacte** du dénominateur : ici\n$(x^2+1)' = 2x$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-y-prime-ay"
      ],
      "title": "Résoudre $y' = ay$",
      "statement": "Quelles sont les solutions sur $\\mathbb{R}$ de l'équation\ndifférentielle $y' = -0{,}5\\,y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les fonctions $y = C\\,e^{-0{,}5x}$, $C$ réel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : solutions de $y' = ay$ : les\n$C\\,e^{ax}$. Ici $a = -0{,}5$ : des décroissances\nexponentielles (vers $0$ en $+\\infty$)."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $y = C\\,e^{0{,}5x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $(Ce^{0{,}5x})' = 0{,}5\\,y$, l'équation\nopposée. Le coefficient $a$ passe **tel quel** dans\nl'exposant."
        },
        {
          "text": "La seule fonction $y = e^{-0{,}5x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : tous les multiples conviennent, y compris la\nfonction nulle ($C = 0$). La constante s'ajuste ensuite à\nune condition initiale."
        },
        {
          "text": "Les fonctions $y = -0{,}5x + C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces affines résolvent $y' = -0{,}5$\n(second membre **constant**), pas $y' = -0{,}5\\,y$ où la\ndérivée dépend de la fonction elle-même."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème (démonstration possible) : les solutions de\n$y' = ay$ sont exactement les $x \\mapsto C\\,e^{ax}$. Signe\nde $a$ : croissance ($a > 0$) ou extinction ($a < 0$)."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-ay-plus-b"
      ],
      "title": "Résoudre $y' = ay + b$",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $y' = -2y + 8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = C\\,e^{-2x} + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : solution particulière constante :\n$0 = -2c + 8$ donne $c = 4$ ; solution générale : les\n$Ce^{-2x}$ de l'équation homogène, décalées de $4$."
        },
        {
          "text": "$y = C\\,e^{-2x} + 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la constante particulière n'est pas $b$ mais\n$-\\dfrac{b}{a} = -\\dfrac{8}{-2} = 4$. Contrôle : $y = 8$\ndonne $y' = 0$ mais $-2 \\times 8 + 8 = -8 \\neq 0$."
        },
        {
          "text": "$y = C\\,e^{2x} + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe dans l'exponentielle : l'équation\nhomogène associée est $y' = -2y$, de solutions\n$Ce^{-2x}$."
        },
        {
          "text": "$y = -2x + 8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette affine a une dérivée constante $-2$,\nalors que $-2y + 8$ varie avec $y$ : pas solution."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode au programme : (1) solution particulière constante\n$c = -\\frac{b}{a} = 4$ ; (2) solution générale\n$y = Ce^{ax} + c = Ce^{-2x} + 4$. Toutes les solutions\nconvergent ici vers $4$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "condition-initiale"
      ],
      "title": "Condition initiale",
      "statement": "Parmi les solutions $y = C\\,e^{-2x} + 4$ de $y' = -2y + 8$,\nlaquelle vérifie $y(0) = 10$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 6\\,e^{-2x} + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $y(0) = C + 4 = 10$ donne $C = 6$.\nExistence et unicité : une condition initiale isole une\nsolution."
        },
        {
          "text": "$y = 10\\,e^{-2x} + 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $C$ n'est pas $y(0)$ : la constante $+4$\ndécale la valeur initiale : $C = 10 - 4 = 6$."
        },
        {
          "text": "$y = 10\\,e^{-2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sans le $+4$, cette fonction résout $y' = -2y$\n(équation homogène), pas $y' = -2y + 8$."
        },
        {
          "text": "$y = 6\\,e^{-2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : il manque la solution particulière $+4$ : cette\nfonction vaut $6$ en $0$ (pas $10$) et ne vérifie pas\nl'équation complète."
        }
      ],
      "explanation": "$y(0) = C + 4 = 10 \\Rightarrow C = 6$. La solution\n$6e^{-2x} + 4$ part de $10$ et décroît vers l'équilibre $4$ :\nallure typique (refroidissement de Newton, charge de\ncondensateur)."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equilibre",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Interpréter la solution constante",
      "statement": "Dans un modèle de refroidissement $T' = -0{,}1\\,(T - 20)$\n(température $T$ en degrés, temps en minutes), que\nreprésente la constante $20$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La température ambiante, état d'équilibre vers lequel\n$T$ tend",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $T = 20$ annule $T'$ : c'est la solution\nconstante (équilibre). Toute solution s'en approche\nexponentiellement : l'objet finit à température\nambiante."
        },
        {
          "text": "La température initiale de l'objet",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la température initiale est $T(0)$, donnée à\npart. Le $20$ de l'équation est l'**attracteur**, pas le\ndépart."
        },
        {
          "text": "La vitesse de refroidissement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la vitesse est portée par le coefficient\n$-0{,}1$ (par minute). Le $20$ est une température."
        },
        {
          "text": "Une constante d'intégration",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la constante d'intégration $C$ apparaît dans la\nsolution générale $Ce^{-0{,}1t} + 20$ ; le $20$, lui,\nappartient au **modèle**."
        }
      ],
      "explanation": "Loi de refroidissement de Newton (thème du programme) :\nl'équation $y' = a(y - y_{\\text{éq}})$ a pour équilibre\n$y_{\\text{éq}}$, limite de toutes les solutions quand\n$a < 0$. Lire les constantes d'un modèle est une capacité\ncentrale."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "primitive",
        "condition"
      ],
      "title": "Primitive vérifiant une condition",
      "statement": "Quelle est la primitive $F$ de $f(x) = 3x^2$ vérifiant\n$F(1) = 5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = x^3 + 4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les primitives sont $x^3 + C$ ;\n$F(1) = 1 + C = 5$ donne $C = 4$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^3 + 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $C$ n'est pas la valeur imposée : $F(1) = 1 + 5\n= 6 \\neq 5$. On résout $1 + C = 5$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $F(1) = 1 \\neq 5$. Il faut ajuster la constante\npour satisfaire la condition."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 5x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(5x^3)' = 15x^2 \\neq 3x^2$ : la constante\ns'**ajoute**, elle ne multiplie pas."
        }
      ],
      "explanation": "Deux temps : famille $x^3 + C$ (primitive de $3x^2$), puis\ncondition $F(1) = 5 \\Rightarrow C = 4$. Parmi l'infinité de\nprimitives, une seule passe par le point imposé."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "choix"
      ],
      "title": "Choisir la bonne équation différentielle",
      "statement": "Une population croît à une vitesse **proportionnelle à son\neffectif** $y(t)$, avec un taux de $4\\ \\%$ par unité de\ntemps. Quelle équation différentielle modélise cette\nsituation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y' = 0{,}04\\,y$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : « vitesse proportionnelle à l'effectif »\nse traduit mot à mot : $y' = k\\,y$ avec $k = 0{,}04$.\nSolutions : croissances exponentielles $Ce^{0{,}04t}$."
        },
        {
          "text": "$y' = 0{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une dérivée **constante** modélise une\ncroissance linéaire (même ajout par unité de temps),\nindépendante de l'effectif."
        },
        {
          "text": "$y = 0{,}04\\,t$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ceci est une fonction explicite, pas une\néquation différentielle, et elle décrit encore du\nlinéaire."
        },
        {
          "text": "$y' = y + 0{,}04$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le taux doit **multiplier** $y$\n(proportionnalité), pas s'y ajouter : $y' = 0{,}04y$."
        }
      ],
      "explanation": "Traduction modélisatrice type : « vitesse proportionnelle à\nla quantité » $\\Leftrightarrow y' = ky$ : le pont entre les\nsuites géométriques (discret) et l'exponentielle (continu),\ncœur du thème « modèles d'évolution »."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive-puissance"
      ],
      "title": "Primitive de $x^2$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = x^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^3}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'exposant monte d'un cran et on divise\npar le nouvel exposant : contrôle en dérivant :\n$\\frac{3x^2}{3} = x^2$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $2x$ est la **dérivée** de $x^2$ : la\nprimitive remonte le courant."
        },
        {
          "text": "$F(x) = x^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $(x^3)' = 3x^2$ : trois fois trop :\ndiviser par le nouvel exposant."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^2}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant figé : $\\frac{x^2}{2}$ primitive $x$ : pour\n$x^2$, l'exposant monte à $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Primitive de $x^n$ : $\\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ : monter\nl'exposant, diviser par lui. Toujours contrôler en\nredérivant : deux secondes qui évitent toutes les\nétourderies."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "primitive-inverse"
      ],
      "title": "Primitive de $\\dfrac{1}{x}$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = \\dfrac{1}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\ln x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(\\ln x)' = \\dfrac{1}{x}$ : le\nlogarithme est né pour combler ce trou de la formule des\npuissances."
        },
        {
          "text": "$F(x) = -\\dfrac{1}{x^2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $-\\frac{1}{x^2}$ est la **dérivée** de\n$\\frac{1}{x}$."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{x^0}{0}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par zéro : la règle des puissances casse\nexactement pour $n = -1$ : c'est $\\ln$ qui prend le\nrelais."
        },
        {
          "text": "$F(x) = e^x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $e^x$ est sa propre primitive : $\\frac{1}{x}$\nappelle le logarithme."
        }
      ],
      "explanation": "L'exception de la règle des puissances : primitive de\n$\\frac{1}{x}$ = $\\ln x + C$ (sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$). Un\nrésultat à connaître isolément : il ne se déduit d'aucune\nformule mécanique."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "primitive-exp"
      ],
      "title": "Primitive de $e^{2x}$",
      "statement": "Quelle est une primitive de $f(x) = e^{2x}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{2x}}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dériver $e^{2x}$ fait sortir un $2$ :\nla primitive le compense par $\\frac{1}{2}$. Contrôle :\n$\\left(\\frac{e^{2x}}{2}\\right)' = e^{2x}$ ✓."
        },
        {
          "text": "$F(x) = 2e^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens inverse : $2e^{2x}$ est la **dérivée** de $e^{2x}$ :\npour primitiver, on divise par le coefficient."
        },
        {
          "text": "$F(x) = e^{2x}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Compensation oubliée : $(e^{2x})' = 2e^{2x} \\neq\ne^{2x}$ : seule $e^x$ (coefficient $1$) est sa propre\nprimitive."
        },
        {
          "text": "$F(x) = \\dfrac{e^{3x}}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant d'une exponentielle ne monte pas\ncomme une puissance de $x$ : il reste $2x$, et on divise\npar $2$."
        }
      ],
      "explanation": "Primitive de $e^{ax}$ : $\\dfrac{e^{ax}}{a}$ : l'exposant est\nconservé, le coefficient passe au dénominateur. La brique de\ntoutes les solutions d'équations différentielles."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "solutions-homogene"
      ],
      "title": "Les solutions de $y' = 3y$",
      "statement": "Quelles sont toutes les solutions de l'équation\ndifférentielle $y' = 3y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y(x) = C\\,e^{3x}$, pour une constante $C$ quelconque",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les exponentielles $Ce^{3x}$ vérifient\n$y' = 3Ce^{3x} = 3y$, et le théorème garantit qu'il n'y\nen a pas d'autres."
        },
        {
          "text": "$y(x) = e^{3x}$ uniquement",
          "correct": false,
          "feedback": "Famille amputée : $5e^{3x}$, $-2e^{3x}$… conviennent\naussi : une équation différentielle a une **famille** de\nsolutions, indexée par $C$."
        },
        {
          "text": "$y(x) = 3x + C$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $3x + C$ résout $y' = 3$ (second membre\nconstant) : ici $y'$ est proportionnel à $y$ :\ncroissance exponentielle."
        },
        {
          "text": "$y(x) = C\\,e^{x} + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : contrôle : $y' = Ce^x$ mais $3y = 3Ce^x + 9$ :\npas égaux : le coefficient $3$ appartient à l'exposant."
        }
      ],
      "explanation": "$y' = ay$ : solutions $Ce^{ax}$, une par valeur de $C$\n(fixée par la condition initiale : $C = y(0)$). L'équation\ndit « la vitesse est proportionnelle au stock » : c'est LA\ndéfinition dynamique de l'exponentielle."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "resolution-complete"
      ],
      "title": "Résoudre avec condition initiale",
      "statement": "Quelle est la solution de $y' = -0{,}5\\,y + 10$ vérifiant\n$y(0) = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y(t) = 20\\left(1 - e^{-0{,}5t}\\right)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : équilibre $\\frac{10}{0{,}5} = 20$ ;\nsolutions $20 + Ce^{-0{,}5t}$ ; $y(0) = 0$ force $C =\n-20$ : la courbe monte de $0$ vers le plateau $20$."
        },
        {
          "text": "$y(t) = 20\\,e^{-0{,}5t}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Condition violée : $y(0) = 20 \\neq 0$ : cette solution\npart du plateau et décroît : la nôtre part de $0$ et\nmonte."
        },
        {
          "text": "$y(t) = 10\\,t$",
          "correct": false,
          "feedback": "Modèle linéaire : il ignore le terme $-0{,}5y$ (le\nfreinage proportionnel au stock) : la vraie solution\nsature à $20$."
        },
        {
          "text": "$y(t) = -20\\,e^{-0{,}5t}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Équilibre oublié : cette expression tend vers $0$ et\npart de $-20$ : la solution complète est équilibre PLUS\npartie exponentielle : $20 - 20e^{-0{,}5t}$."
        }
      ],
      "explanation": "Plan de résolution de $y' = ay + b$ : 1) équilibre\n$-\\frac{b}{a}$ ; 2) forme générale équilibre $+ Ce^{at}$ ;\n3) condition initiale pour $C$. La forme $\\ell(1 -\ne^{at})$ : la charge d'un réservoir depuis zéro."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comportement-long-terme"
      ],
      "title": "Long terme des solutions",
      "statement": "Pour l'équation $y' = -0{,}5\\,y + 10$, que deviennent\ntoutes les solutions quand $t \\to +\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elles convergent toutes vers l'équilibre $20$, quel que\nsoit leur point de départ",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la partie $Ce^{-0{,}5t}$ s'éteint\n(coefficient négatif dans l'exposant) : seul le plateau\n$20$ survit : équilibre **attracteur**."
        },
        {
          "text": "Elles divergent vers $+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient de $y$ est **négatif** ($-0{,}5$) :\nil freine : l'explosion appartient aux équations $y' =\nay + b$ avec $a > 0$."
        },
        {
          "text": "Elles tendent vers $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme constant oublié : le second membre $+10$ maintient\nun apport : l'équilibre est $\\frac{10}{0{,}5} = 20$, pas\n$0$."
        },
        {
          "text": "Cela dépend du point de départ",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le départ règle la **trajectoire** (montée ou\ndescente), pas la destination : toutes finissent en\n$20$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $y' = ay + b$ avec $a < 0$ : l'équilibre\n$-\\frac{b}{a}$ attire toutes les solutions (la partie\nexponentielle meurt). Avec $a > 0$ : il les repousse. Le\nsigne de $a$ raconte tout le film."
    }
  ]
}