{
  "chapter": {
    "id": "statistique-deux-variables",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Probabilités et statistique",
    "title": "Statistique à deux variables quantitatives",
    "description": "Nuage de points et point moyen, droite de régression des\nmoindres carrés, coefficient de corrélation, ajustements se\nramenant à l'affine par changement de variable, interpolation\net extrapolation, corrélation et causalité.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "point-moyen"
      ],
      "title": "Point moyen d'un nuage",
      "statement": "Un nuage a pour points $(0\\,;\\,3)$, $(2\\,;\\,5)$,\n$(4\\,;\\,10)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen\n$G$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$G(2\\,;\\,6)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{0 + 2 + 4}{3} = 2$ et\n$\\bar{y} = \\dfrac{3 + 5 + 10}{3} = 6$."
        },
        {
          "text": "$G(6\\,;\\,18)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la division : ce sont les sommes ; on divise\npar l'effectif $3$."
        },
        {
          "text": "$G(2\\,;\\,5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,5)$ est un point du nuage ; la moyenne\ndes ordonnées vaut $6$, pas $5$."
        },
        {
          "text": "$G(4\\,;\\,10)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le dernier point du nuage, pas le centre\nde gravité."
        }
      ],
      "explanation": "$G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$ : moyennes des coordonnées.\nPropriété clé : la droite des moindres carrés passe par\n$G$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "moindres-carres",
        "sens"
      ],
      "title": "Le sens des « moindres carrés »",
      "statement": "Que minimise la droite de régression des moindres carrés\nparmi toutes les droites du plan ?",
      "options": [
        {
          "text": "La somme des carrés des écarts **verticaux** entre les\npoints du nuage et la droite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour chaque point, on mesure l'écart\nvertical (résidu) ; la droite de régression rend minimale\nla somme de leurs carrés."
        },
        {
          "text": "Le nombre de points situés au-dessus de la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun comptage : c'est une somme de **carrés\nd'écarts** qui est minimisée."
        },
        {
          "text": "La longueur de la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une droite est illimitée ; sa « longueur » n'a\npas de sens ici."
        },
        {
          "text": "La distance entre le premier et le dernier point",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ces deux points n'ont aucun rôle privilégié :\ntous les points comptent, par leurs écarts à la droite."
        }
      ],
      "explanation": "Moindres carrés : minimiser $\\sum (y_i - (ax_i + b))^2$.\nLes carrés évitent les compensations de signes et pénalisent\nles grands écarts. La droite obtenue passe par le point\nmoyen."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "regression",
        "utilisation"
      ],
      "title": "Utiliser une droite de régression",
      "statement": "La calculatrice fournit la droite de régression\n$y = 2{,}4x + 10$ pour un nuage (valeurs de $x$ observées\nentre $0$ et $20$). Quelle estimation de $y$ pour\n$x = 15$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$46$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2{,}4 \\times 15 + 10 = 46$ :\ninterpolation à l'intérieur de la plage observée."
        },
        {
          "text": "$36$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de calcul : $2{,}4 \\times 15 = 36$, plus la\nconstante $10$ : $46$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $15 + 10$ ignore le coefficient directeur.\nOn applique toute la formule."
        },
        {
          "text": "Aucune estimation possible pour une valeur non observée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : estimer les valeurs non observées est\nl'objectif même de la régression (avec d'autant plus de\nconfiance qu'on reste **dans** la plage des données)."
        }
      ],
      "explanation": "Capacité attendue : utiliser l'ajustement pour interpoler\n($x$ dans la plage) ou extrapoler ($x$ au-delà, avec\nprudence). Ici : interpolation, $y \\approx 46$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "correlation",
        "lecture"
      ],
      "title": "Lire un coefficient de corrélation",
      "statement": "Pour un nuage de points, la calculatrice affiche un\ncoefficient de corrélation $r = -0{,}98$. Comment\nl'interpréter ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un lien affine très fort et **décroissant** : le nuage\nest presque aligné sur une droite qui descend",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|r|$ proche de $1$ : alignement\nquasi parfait ; signe négatif : pente négative (quand\n$x$ monte, $y$ descend)."
        },
        {
          "text": "Une erreur de calcul : un coefficient est toujours\npositif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $r$ vit dans $[-1\\,;\\,1]$ ; son **signe** porte\nle sens de la relation."
        },
        {
          "text": "Un lien très faible, car $r$ est négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la force du lien se lit sur $|r|$ ($0{,}98$ :\ntrès fort) ; le signe n'indique que le sens."
        },
        {
          "text": "$98\\ \\%$ des points sont sous la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $r$ ne compte aucun pourcentage de points ; il\nmesure la qualité de l'alignement affine du nuage."
        }
      ],
      "explanation": "Coefficient de corrélation : $-1 \\leq r \\leq 1$. $|r|$\nproche de $1$ : nuage presque aligné (ajustement affine\npertinent) ; proche de $0$ : pas de lien **affine**. Signe\n$=$ sens de la pente."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "correlation",
        "pertinence"
      ],
      "title": "Quand l'ajustement affine est-il pertinent ?",
      "statement": "Deux études donnent $r_1 = 0{,}99$ et $r_2 = 0{,}30$. Que\npeut-on en conclure sur la pertinence d'un ajustement\naffine ?",
      "options": [
        {
          "text": "Très pertinent pour la première, douteux pour la\nseconde",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|r_1|$ proche de $1$ : les données\nsuivent de près une droite ; $|r_2| = 0{,}30$ : le nuage\nest diffus, une droite résumerait mal."
        },
        {
          "text": "Pertinent dans les deux cas, car les deux sont positifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe ne juge pas la qualité ; c'est la\n**proximité de $|r|$ à $1$** qui compte."
        },
        {
          "text": "Aucun des deux : seul $r = 1$ exactement autorise\nl'ajustement",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop exigeant : les données réelles ne donnent jamais\n$r = 1$ ; $0{,}99$ est excellent."
        },
        {
          "text": "Le second est meilleur, car plus proche de $0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : $r$ proche de $0$ signale l'**absence** de\nlien affine, pas sa qualité."
        }
      ],
      "explanation": "Réflexe avant tout ajustement : regarder le nuage **et**\n$|r|$. Proche de $1$ : la droite résume bien ; loin de $1$ :\nchercher un autre modèle (ou admettre l'absence de lien)."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "changement-variable"
      ],
      "title": "Se ramener à l'affine par changement de variable",
      "statement": "Un nuage $(x_i\\,;\\,y_i)$ suit une tendance exponentielle\n$y = k\\,a^x$. Quel changement de variable ramène à un\najustement **affine** ?",
      "options": [
        {
          "text": "Poser $z = \\ln y$ : alors $z = \\ln k + x\\ln a$, affine\nen $x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le logarithme transforme le modèle\nmultiplicatif en modèle additif : le nuage\n$(x\\,;\\,\\ln y)$ s'aligne, et la régression s'applique."
        },
        {
          "text": "Poser $z = y^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : élever au carré accentue la courbure au lieu de\nla redresser. C'est le **logarithme** qui linéarise une\nexponentielle."
        },
        {
          "text": "Poser $z = \\dfrac{1}{y}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inverse convient à d'autres formes (du type\n$y = \\frac{1}{ax + b}$), pas à l'exponentielle."
        },
        {
          "text": "Aucun : un nuage courbé ne s'ajuste jamais",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt du programme : bien des\nmodèles se **ramènent** à l'affine par un changement de\nvariable adapté."
        }
      ],
      "explanation": "Linéarisation (au programme) : $y = k\\,a^x \\Rightarrow\n\\ln y = \\ln k + (\\ln a)\\,x$. Si le nuage $(x\\,;\\,\\ln y)$ est\npresque aligné, le modèle exponentiel est validé et ses\nparamètres se lisent sur la droite."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "extrapolation",
        "prudence"
      ],
      "title": "Les limites de l'extrapolation",
      "statement": "Une droite de régression ajuste très bien ($r = 0{,}99$) la\ntempérature moyenne d'un lieu selon l'année, observée de\n$2000$ à $2020$. Peut-on l'utiliser pour prédire la\ntempérature en $2100$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Avec de grandes réserves : c'est une extrapolation très\nloin des données, la tendance peut changer",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le bon ajustement vaut **sur la plage\nobservée** ; à $80$ ans de distance, rien ne garantit la\npersistance de la tendance (regard critique exigé par le\nprogramme, exemple climatique compris)."
        },
        {
          "text": "Oui, sans réserve : $r = 0{,}99$ garantit la prédiction",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $r$ mesure l'alignement **passé**, pas la\nvalidité future du modèle. Extrapoler loin est toujours\nfragile."
        },
        {
          "text": "Non : une droite de régression ne sert jamais à prédire",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : prédire est l'un de ses usages ; c'est la\n**distance aux données** qui commande la confiance."
        },
        {
          "text": "Oui, si on utilise plus de décimales",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la précision numérique ne répare pas\nl'incertitude du **modèle** hors de son domaine."
        }
      ],
      "explanation": "Interpolation : fiable ; extrapolation : à manier avec un\nregard critique, d'autant plus que l'horizon s'éloigne\n(thème du programme, notamment sur le climat). Le modèle\ndécrit les données, pas l'avenir garanti."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "regression",
        "point-moyen"
      ],
      "title": "La droite passe par le point moyen",
      "statement": "Un nuage a pour point moyen $G(4\\,;\\,11)$ et la droite des\nmoindres carrés a pour pente $2$. Quelle est l'équation de\ncette droite ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 2x + 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la droite passe par $G$ :\n$11 = 2 \\times 4 + b$ donne $b = 3$."
        },
        {
          "text": "$y = 2x + 11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $b$ n'est pas l'ordonnée de $G$ : on impose le\n**passage** par $G$ : $11 = 8 + b$, $b = 3$."
        },
        {
          "text": "$y = 2x - 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $b = 11 - 8 = +3$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure sans tous les points",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pente donnée $+$ passage par $G$ (propriété\ndes moindres carrés) déterminent entièrement la droite."
        }
      ],
      "explanation": "Propriété structurante : la droite des moindres carrés passe\npar le point moyen $G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$. Avec la pente,\nl'équation s'en déduit : $y = 2x + 3$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "correlation-causalite"
      ],
      "title": "Corrélation n'est pas causalité",
      "statement": "Sur plusieurs communes, le nombre de médecins et le nombre\nde cas d'une maladie chronique sont fortement corrélés\n($r = 0{,}9$). Peut-on conclure que les médecins provoquent\nla maladie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : la taille de la population des communes explique\nvraisemblablement les deux variables",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : facteur commun classique : les grandes\ncommunes ont plus de médecins **et** plus de cas. La\ncorrélation est réelle, la causalité illusoire."
        },
        {
          "text": "Oui : $r = 0{,}9$ est une preuve causale forte",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur fondamentale : $r$ mesure une **association**,\njamais un mécanisme. Aucun seuil de $r$ ne crée de la\ncausalité."
        },
        {
          "text": "Oui, si la droite de régression est croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le sens de la pente n'ajoute rien : facteur\ncommun, hasard ou causalité inverse restent des\nexplications candidates."
        },
        {
          "text": "Non : les corrélations n'ont jamais aucun sens",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la corrélation **décrit** un lien réel\n(utile pour prédire) ; c'est son interprétation causale\nqui exige d'autres arguments."
        }
      ],
      "explanation": "Thème explicite du programme : distinguer corrélation et\ncausalité. Devant un $r$ élevé, examiner : facteur commun\n(ici la population), causalité inverse, coïncidence :\nprédire n'est pas expliquer."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "residus",
        "lecture"
      ],
      "title": "Bien lire un résidu",
      "statement": "Avec l'ajustement $y = 2{,}4x + 10$, une observation donne\n$x = 5$ et $y = 25$. Que vaut l'écart (résidu) entre la\nvaleur observée et la valeur prédite ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25 - 22 = 3$ : le point est au-dessus de la droite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : prédiction $2{,}4 \\times 5 + 10 = 22$ ;\nl'observation dépasse de $3$ : résidu positif, point\nau-dessus."
        },
        {
          "text": "$0$ : la droite passe par tous les points",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la droite passe **au plus près** des points,\npas dessus ; les résidus non nuls sont la règle."
        },
        {
          "text": "$25 - 5 = 20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on compare $y$ observé à $y$ **prédit** ($22$),\npas à $x$."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : observé ($25$) moins prédit ($22$) :\n$+3$ : le point domine la droite."
        }
      ],
      "explanation": "Résidu $=$ observé $-$ prédit : ici $+3$. Les moindres\ncarrés minimisent la somme des carrés de ces résidus ;\nles examiner permet de juger l'ajustement."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "outil",
        "calculatrice"
      ],
      "title": "Obtenir la régression en pratique",
      "statement": "Comment obtient-on en pratique la droite de régression d'une\nsérie de données (au programme) ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par la calculatrice, un tableur ou Python, qui renvoient\npente et ordonnée à l'origine",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la détermination est **instrumentée**\n(capacité attendue) : on saisit les listes, l'outil\nrenvoie $a$, $b$ (et $r$) ; à nous l'interprétation."
        },
        {
          "text": "En reliant le premier et le dernier point du nuage",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette corde dépend de deux points seulement et\nignore tout le reste du nuage."
        },
        {
          "text": "En traçant à main levée, seule méthode admise",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'ajustement au jugé est une première approche,\nmais la droite des moindres carrés se calcule\nexactement, et les outils la fournissent."
        },
        {
          "text": "Il faut connaître par cœur les formules de $a$ et $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune formule n'est exigée : l'accent porte\nsur l'usage des outils et l'interprétation des résultats."
        }
      ],
      "explanation": "Position du programme : déterminer la droite **à l'aide de\nla calculatrice ou d'un logiciel**, puis interpréter (pente,\n$r$, prédictions). La démonstration des formules reste une\npossibilité, pas une exigence."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "synthese",
        "demarche"
      ],
      "title": "La démarche complète d'un ajustement",
      "statement": "Quel est l'ordre pertinent des étapes pour ajuster une série\nde données à deux variables ?",
      "options": [
        {
          "text": "Représenter le nuage, choisir la forme du modèle\n(affine ou à linéariser), calculer l'ajustement et $r$,\npuis interpréter et prédire avec prudence",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le **regard sur le nuage** précède tout\ncalcul ; le coefficient $r$ valide ; l'interprétation\nconclut, en distinguant corrélation et causalité."
        },
        {
          "text": "Calculer $r$ d'abord, et ne tracer le nuage que si $r$\nest faible",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un même $r$ peut cacher des nuages très\ndifférents (courbure, point aberrant) : la\nreprésentation graphique vient **en premier**."
        },
        {
          "text": "Prédire d'abord, ajuster ensuite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune prédiction sans modèle ajusté et\nvalidé."
        },
        {
          "text": "Supprimer les points gênants, puis ajuster",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur méthodologique : écarter des données pour\nembellir l'ajustement fausse l'étude (un point aberrant\nse **discute**, ne se supprime pas en silence)."
        }
      ],
      "explanation": "Démarche type : nuage $\\to$ choix du modèle (affine direct\nou changement de variable) $\\to$ ajustement outillé et $r$\n$\\to$ interprétation critique (interpolation, extrapolation\nprudente, corrélation $\\neq$ causalité)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "correlation-negative"
      ],
      "title": "Un coefficient de $-0{,}95$",
      "statement": "Entre l'altitude et la température, on mesure un coefficient\nde corrélation $r = -0{,}95$. Comment l'interpréter ?",
      "options": [
        {
          "text": "Lien linéaire fort et décroissant : quand l'altitude\nmonte, la température descend",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|r|$ proche de $1$ : lien fort ; signe\nnégatif : les deux variables varient en sens\n**contraires**."
        },
        {
          "text": "Lien très faible, car le coefficient est négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion signe/force : la force se lit sur $|r| =\n0{,}95$ (très forte) : le signe donne seulement le SENS\ndu lien."
        },
        {
          "text": "Erreur de mesure : un coefficient ne peut pas être\nnégatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $r$ vit dans $[-1\\ ;\\ 1]$ : les valeurs\nnégatives décrivent les liens décroissants, parfaitement\nlégitimes."
        },
        {
          "text": "L'altitude cause la baisse de température, c'est prouvé",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop dit : la corrélation mesure l'ASSOCIATION : la\ncausalité (ici plausible physiquement) demande d'autres\narguments que le seul $r$."
        }
      ],
      "explanation": "Lire $r$ en deux temps : $|r|$ = force du lien linéaire\n($0$ = aucun, $1$ = parfait) ; signe = sens (croissant ou\ndécroissant). Et jamais de causalité sur la seule foi du\ncoefficient."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "correlation-nulle"
      ],
      "title": "Un coefficient proche de $0$",
      "statement": "Un nuage de points donne $r = 0{,}05$. Que peut-on en\nconclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "Pas de lien **linéaire** entre les variables (mais un\nlien courbe reste possible)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $r$ ne mesure QUE l'alignement : une\nparabole parfaite peut donner $r \\approx 0$ : toujours\nregarder le nuage."
        },
        {
          "text": "Aucun lien d'aucune sorte entre les variables",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : $r$ est aveugle aux liens **non\nlinéaires** : un nuage en U a un $r$ presque nul et un\nlien très net."
        },
        {
          "text": "Un lien faible mais croissant",
          "correct": false,
          "feedback": "Sur-lecture : à $0{,}05$, le signe n'a plus de\nsignification : le nuage est un brouillard (ou une\ncourbe)."
        },
        {
          "text": "Les données sont fausses",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'absence de lien linéaire est un résultat\nparfaitement valide : deux variables peuvent n'avoir\nrien à voir."
        }
      ],
      "explanation": "$r \\approx 0$ : pas d'alignement : soit indépendance, soit\nlien NON linéaire : seul le graphique tranche. Règle d'or :\njamais de conclusion sur $r$ sans avoir vu le nuage."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "prevision"
      ],
      "title": "Prévoir avec la droite de régression",
      "statement": "La droite de régression vaut $y = 2x + 1$. Quelle valeur le\nmodèle prévoit-il pour $x = 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$y = 15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2 \\times 7 + 1 = 15$ : la droite sert\nexactement à produire cette estimation."
        },
        {
          "text": "$y = 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $7 + 2 = 9$ additionne au lieu de multiplier :\n$2x$ signifie $2 \\times x$."
        },
        {
          "text": "$y = 14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante oubliée : $14 = 2 \\times 7$ : le $+1$ du\nmodèle s'ajoute."
        },
        {
          "text": "Impossible : il faut la valeur observée en $x = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : la régression sert justement à **estimer**\nlà où on n'a pas observé : c'est une prévision de\nmodèle."
        }
      ],
      "explanation": "Utiliser la régression : substituer, calculer : la valeur\nobtenue est une estimation, fiable dans la zone des données\n(interpolation), fragile au-delà (extrapolation)."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe-r-pente"
      ],
      "title": "Le signe de $r$ et la pente",
      "statement": "Quel lien existe-t-il entre le signe du coefficient de\ncorrélation $r$ et la droite de régression ?",
      "options": [
        {
          "text": "$r$ et la pente de la droite ont toujours le même signe",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : lien croissant : $r > 0$ ET droite\nmontante ; lien décroissant : les deux négatifs : les\ndeux indicateurs racontent le même sens."
        },
        {
          "text": "Ils sont toujours de signes opposés",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un nuage montant donne une droite montante ET\nun $r$ positif : les deux signes coïncident."
        },
        {
          "text": "Aucun lien : $r$ et la droite sont indépendants",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux sortent des mêmes données : le sens du\nlien (signe) leur est commun ($r$ ajoute la mesure de la\nforce)."
        },
        {
          "text": "$r$ est le carré de la pente",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune formule de ce type (un carré serait\ntoujours positif, or $r$ peut être négatif) : seul le\nSIGNE est partagé."
        }
      ],
      "explanation": "Signe de $r$ = signe de la pente de la régression = sens du\nlien. La force, elle, appartient à $|r|$ : une droite peut\nêtre pentue avec un nuage très dispersé (petit $|r|$)."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "residu-calcul"
      ],
      "title": "Calculer un résidu",
      "statement": "Le modèle $y = 2x + 1$ prévoit $15$ pour $x = 7$, mais on\nobserve $y = 14$. Que vaut le résidu (observé moins prédit),\net que signifie son signe ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$ : le point observé est **en dessous** de la droite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $14 - 15 = -1$ : résidu négatif = la\ndroite surestime en ce point : l'observation est sous le\nmodèle."
        },
        {
          "text": "$+1$ : le point est au-dessus",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre de la soustraction : observé − prédit $= 14 -\n15 = -1$ : le point est SOUS la droite."
        },
        {
          "text": "$29$ : la somme des deux valeurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le résidu est un **écart** : une soustraction,\npas une somme."
        },
        {
          "text": "$0$ : le modèle est bon donc l'écart est nul",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un bon modèle a des résidus **petits**, pas\nnuls : $-1$ ici : la droite ne passe pas par tous les\npoints, par construction."
        }
      ],
      "explanation": "Résidu = observé − prédit : négatif sous la droite, positif\nau-dessus. Les moindres carrés minimisent la somme des\nrésidus AU CARRÉ : les petits écarts des deux côtés sont la\nnorme, pas un défaut."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "correlation-parfaite"
      ],
      "title": "Quand $|r| = 1$",
      "statement": "Que signifie un coefficient de corrélation égal à $-1$\nexactement ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les points sont PARFAITEMENT alignés, sur une droite\ndécroissante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $|r| = 1$ : alignement exact (tous les\nrésidus nuls) ; signe négatif : droite qui descend. Cas\nlimite rarissime sur données réelles."
        },
        {
          "text": "Les variables n'ont aucun lien",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens complet : l'absence de lien linéaire\ncorrespond à $r \\approx 0$ : $\\pm 1$ est le lien le plus\nfort possible."
        },
        {
          "text": "Il y a forcément une erreur : $r$ ne peut pas atteindre\n$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ est la borne **atteignable** de\nl'intervalle $[-1\\ ;\\ 1]$ : il suffit de points\nexactement alignés en descente."
        },
        {
          "text": "La moitié des points est au-dessus de la droite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : à $|r| = 1$, AUCUN point ne quitte la droite :\ntous les résidus sont nuls."
        }
      ],
      "explanation": "Échelle de $|r|$ : $1$ = alignement parfait, $0$ = aucun\nalignement, entre les deux : un continuum. En pratique, les\ndonnées réelles vivent entre $0$ et $1$ strictement : $\\pm\n1$ signale souvent une variable dupliquée."
    }
  ]
}