{
  "chapter": {
    "id": "suites-modeles-discrets",
    "level": "maths-complementaires",
    "theme": "Analyse",
    "title": "Suites numériques, modèles discrets",
    "description": "Approche intuitive de la limite d'une suite, opérations et\nthéorème des gendarmes, limite de $q^n$ pour une raison\npositive, limite de la somme $1 + q + \\cdots + q^n$ pour\n$0 < q < 1$, suites arithmético-géométriques (suite constante\nsolution, solution générale), problèmes de seuil.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Limite de $q^n$, raison entre 0 et 1",
      "statement": "Que vaut la limite de $0{,}7^n$ quand $n$ tend vers\n$+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier sans fin par $0{,}7 < 1$\nécrase la valeur : $0{,}7$ ; $0{,}49$ ; $0{,}343$… vers\n$0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'explosion vers $+\\infty$ demande une raison\n$q > 1$. Ici chaque multiplication **réduit**."
        },
        {
          "text": "$0{,}7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}7$ n'est que le premier terme ($n = 1$).\nLes puissances suivantes continuent de fondre vers $0$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $q^n \\to 1$ exigerait $q = 1$ (suite constante).\nAvec $0{,}7$, la décroissance vers $0$ est inexorable."
        }
      ],
      "explanation": "Limites de référence (raison positive) : $q^n \\to 0$ si\n$0 < q < 1$ ; $q^n \\to +\\infty$ si $q > 1$ ; constante $1$ si\n$q = 1$. Socle de tous les modèles exponentiels discrets."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-geometrique",
        "limite"
      ],
      "title": "Limite d'une somme géométrique",
      "statement": "Pour $0 < q < 1$, que vaut la limite de la somme\n$1 + q + q^2 + \\cdots + q^n$ quand $n$ tend vers $+\\infty$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{1 - q}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme vaut $\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1-q}$\net $q^{n+1} \\to 0$ : la limite est $\\dfrac{1}{1-q}$\n(démonstration possible au programme)."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : bien qu'on additionne une infinité de termes,\nceux-ci fondent si vite que le total **plafonne** :\nc'est la somme géométrique convergente."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ n'est que le premier terme. La limite\ncomplète vaut $\\dfrac{1}{1-q}$ (par exemple $2$ pour\n$q = \\frac{1}{2}$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{q - 1}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : pour $0 < q < 1$, $q - 1 < 0$\ndonnerait une limite négative, impossible pour une somme\nde termes positifs. La formule est $\\dfrac{1}{1 - q}$."
        }
      ],
      "explanation": "Résultat clé : $1 + q + \\cdots + q^n \\to \\dfrac{1}{1-q}$\npour $0 < q < 1$. Exemple parlant :\n$1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{4} + \\cdots \\to 2$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arithmetico-geometrique",
        "point-fixe"
      ],
      "title": "Suite constante solution",
      "statement": "Soit la relation de récurrence $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 4$.\nQuelle suite **constante** vérifie cette relation ?",
      "options": [
        {
          "text": "La suite constante égale à $20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une constante $c$ vérifie\n$c = 0{,}8c + 4$, soit $0{,}2c = 4$ et $c = 20$."
        },
        {
          "text": "La suite constante égale à $4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : teste : $0{,}8 \\times 4 + 4 = 7{,}2 \\neq 4$. La\nconstante cherchée résout $c = 0{,}8c + 4$."
        },
        {
          "text": "La suite constante égale à $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}8 \\times 5 + 4 = 8 \\neq 5$. L'équation du\npoint fixe donne $c = \\dfrac{4}{0{,}2} = 20$."
        },
        {
          "text": "Aucune suite constante ne convient",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dès que le coefficient diffère de $1$,\nl'équation $c = ac + b$ a une unique solution :\n$c = \\dfrac{b}{1-a} = 20$ ici."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode au programme pour les suites\narithmético-géométriques : chercher la suite constante\nsolution ($c = ac + b$), point d'équilibre autour duquel tout\ns'organise. Ici $c = 20$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "arithmetico-geometrique",
        "solution-generale"
      ],
      "title": "Exploiter la suite constante",
      "statement": "Toujours avec $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 4$ (point d'équilibre\n$20$) et $u_0 = 30$. Que vaut la limite de $(u_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$20$ : l'écart au point d'équilibre est multiplié par\n$0{,}8$ à chaque rang et fond vers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la suite $v_n = u_n - 20$ vérifie\n$v_{n+1} = 0{,}8\\,v_n$ (géométrique) : $v_n = 10 \\times\n0{,}8^n \\to 0$, donc $u_n \\to 20$."
        },
        {
          "text": "$30$ : la suite reste à sa valeur initiale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $u_1 = 0{,}8 \\times 30 + 4 = 28 \\neq 30$ : la\nsuite bouge dès le premier pas, attirée vers $20$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le coefficient $0{,}8 < 1$ **contracte**\nl'écart au point fixe au lieu de l'amplifier : la suite\nconverge."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'**écart** $u_n - 20$ qui tend vers $0$,\npas la suite elle-même, qui se stabilise en $20$."
        }
      ],
      "explanation": "Schéma complet : poser $v_n = u_n - c$ ($c$ point\nd'équilibre) transforme la récurrence en suite géométrique\n$v_{n+1} = a\\,v_n$. Pour $|a| < 1$ : $v_n \\to 0$ et\n$u_n \\to c$. Modèle des stabilisations (température,\nmédicament, capital)."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gendarmes"
      ],
      "title": "Théorème des gendarmes",
      "statement": "Une suite vérifie, pour tout $n \\geq 1$,\n$3 - \\dfrac{1}{n} \\leq u_n \\leq 3 + \\dfrac{1}{n}$.\nQue peut-on conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(u_n)$ converge vers $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux suites encadrantes tendent vers\n$3$ : la suite coincée entre elles aussi (théorème des\ngendarmes)."
        },
        {
          "text": "$(u_n)$ est constante égale à $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la suite peut osciller **dans** le couloir\n(par exemple $3 + \\frac{(-1)^n}{2n}$) ; seul son\ncomportement limite est imposé."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_n$ explicitement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est la force du théorème : l'encadrement par\ndeux suites de **même limite** suffit à conclure."
        },
        {
          "text": "$(u_n)$ converge vers $\\dfrac{1}{n}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : une limite est un **nombre fixe** ;\n$\\frac{1}{n}$ dépend de $n$. Le couloir se resserre\nautour de $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Gendarmes : $v_n \\leq u_n \\leq w_n$ avec $v_n \\to \\ell$ et\n$w_n \\to \\ell$ $\\Rightarrow$ $u_n \\to \\ell$. Ici le couloir\nde largeur $\\frac{2}{n}$ se referme sur $3$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modelisation",
        "capital"
      ],
      "title": "Modéliser un compte avec versements",
      "statement": "Un compte rapporte $2\\ \\%$ par an et reçoit un versement de\n$100$ euros chaque fin d'année. Notant $u_n$ le solde après\n$n$ années, quelle récurrence modélise la situation ?",
      "options": [
        {
          "text": "$u_{n+1} = 1{,}02\\,u_n + 100$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le solde est d'abord multiplié par\n$1{,}02$ (intérêts), puis augmenté du versement : modèle\narithmético-géométrique typique."
        },
        {
          "text": "$u_{n+1} = u_n + 102$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce modèle additif ignore que les intérêts\nportent sur le **solde courant** (qui grandit), pas\nseulement sur un montant fixe."
        },
        {
          "text": "$u_{n+1} = 1{,}02\\,(u_n + 100)$? Non : les intérêts de\nl'année ne portent pas sur le versement de fin d'année",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège de chronologie : avec un versement en **fin**\nd'année, les intérêts de l'année ne s'y appliquent pas :\n$u_{n+1} = 1{,}02\\,u_n + 100$."
        },
        {
          "text": "$u_{n+1} = 0{,}02\\,u_n + 100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}02$ ne garderait que les\nintérêts en perdant le capital ! Le coefficient d'une\nhausse de $2\\ \\%$ est $1{,}02$."
        }
      ],
      "explanation": "Modèle mixte (taux $+$ versement constant) : récurrence\narithmético-géométrique $u_{n+1} = a\\,u_n + b$ avec\n$a = 1{,}02$ et $b = 100$. La chronologie des opérations\ndécide de la formule exacte."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite",
        "operations"
      ],
      "title": "Opérations sur les limites",
      "statement": "Soient $u_n \\to 5$ et $v_n \\to 0{,}5$. Que vaut la limite de\n$\\dfrac{u_n}{v_n}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : quotient de limites (dénominateur non\nnul) : $\\dfrac{5}{0{,}5} = 10$."
        },
        {
          "text": "$2{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 \\times 0{,}5 = 2{,}5$ serait la limite du\n**produit**. Le quotient divise : $5 / 0{,}5 = 10$."
        },
        {
          "text": "$5{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 + 0{,}5$ est la limite de la **somme**."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas conclure",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les formes indéterminées demandent $0/0$ ou\n$\\infty/\\infty$ ; ici tout est fini et le dénominateur ne\ns'annule pas : les opérations s'appliquent directement."
        }
      ],
      "explanation": "Opérations sur les limites (admises) : somme, produit,\nquotient (dénominateur de limite non nulle) se passent aux\nlimites. $\\frac{5}{0{,}5} = 10$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "recurrence",
        "calcul"
      ],
      "title": "Dérouler une récurrence",
      "statement": "Soit $u_{n+1} = 0{,}5\\,u_n + 6$ avec $u_0 = 4$. Que vaut\n$u_2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_1 = 0{,}5 \\times 4 + 6 = 8$, puis\n$u_2 = 0{,}5 \\times 8 + 6 = 10$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $8 = u_1$. Le rang $2$ demande une itération\nde plus : $u_2 = 10$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5 \\times (4 + 6)$ ? La formule multiplie\nd'abord le terme courant, puis ajoute $6$ :\n$u_1 = 8$, $u_2 = 10$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16 = 4 \\times 2^2$ appliquerait un doublement.\nIci on multiplie par $0{,}5$ **et** on ajoute $6$ à\nchaque rang."
        }
      ],
      "explanation": "Une récurrence se calcule de proche en proche : $u_0 = 4 \\to\nu_1 = 8 \\to u_2 = 10$. (La suite grimpe vers son point\nd'équilibre $c = 12$.)"
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "seuil",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Problème de seuil",
      "statement": "La valeur d'un équipement est divisée par $2$ chaque année :\n$u_n = 1000 \\times 0{,}5^n$ (en euros). À partir de quel rang\n$n$ la valeur passe-t-elle sous $10$ euros ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n = 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1000 \\times 0{,}5^6 = 15{,}6$ euros\n(encore au-dessus) et $1000 \\times 0{,}5^7 = 7{,}8$\neuros : le seuil des $10$ euros est franchi au rang $7$."
        },
        {
          "text": "$n = 100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur linéaire : $1000/10 = 100$ raisonne comme si la\nperte était constante. La division répétée par $2$ va\nbien plus vite : $7$ rangs suffisent."
        },
        {
          "text": "$n = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $0{,}5^6 = \\dfrac{1}{64}$ donne $15{,}6$\neuros, toujours au-dessus de $10$. Un rang de plus."
        },
        {
          "text": "$n = 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : au rang $10$, il ne reste que $0{,}98$ euro :\nle seuil de $10$ euros est franchi depuis le rang $7$."
        }
      ],
      "explanation": "Recherche de seuil (algorithme du programme) : dérouler les\npuissances jusqu'au franchissement. $0{,}5^7 = \\frac{1}{128}$\n: $7{,}8 < 10 < 15{,}6$ : rang $7$. (Le logarithme donnera\nplus tard la solution directe.)"
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "representation",
        "recurrence"
      ],
      "title": "Représentation en toile d'araignée",
      "statement": "Pour représenter graphiquement une suite $u_{n+1} = f(u_n)$\net conjecturer son comportement, on trace la courbe de $f$\net une autre droite. Laquelle ?",
      "options": [
        {
          "text": "La droite d'équation $y = x$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la construction en escalier rebondit\nentre la courbe (calcul de $f(u_n)$) et la droite\n$y = x$ (report du résultat en abscisse) ; les points\nfixes se lisent aux intersections courbe-droite."
        },
        {
          "text": "L'axe des abscisses",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'axe des abscisses ne permet pas de reporter\nl'ordonnée $f(u_n)$ en nouvelle abscisse ; c'est le rôle\nde la bissectrice $y = x$."
        },
        {
          "text": "La droite $y = f(0)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette horizontale n'a aucun rôle dans la\nconstruction ; le va-et-vient exige $y = x$."
        },
        {
          "text": "La tangente à la courbe en $u_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la tangente sert à d'autres méthodes (Newton) ;\nl'escalier de la récurrence utilise la droite $y = x$."
        }
      ],
      "explanation": "Représentation d'une suite récurrente (capacité attendue) :\ncourbe de $f$ $+$ droite $y = x$, construction en escalier\nou en spirale. Les intersections $f(x) = x$ sont les\ncandidats limites."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "radioactivite"
      ],
      "title": "Décroissance radioactive discrète",
      "statement": "Chaque année, $3\\ \\%$ des noyaux d'un échantillon se\ndésintègrent. Avec $N_0$ noyaux au départ, quel modèle\ndiscret décrit $N_n$ (nombre de noyaux après $n$ années) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$N_n = N_0 \\times 0{,}97^n$ : suite géométrique de raison\n$0{,}97$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : perdre $3\\ \\%$ par an revient à\nmultiplier par $0{,}97$ chaque année : décroissance\nexponentielle discrète."
        },
        {
          "text": "$N_n = N_0 - 0{,}03\\,n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce modèle linéaire retire un **montant fixe**\npar an. Or $3\\ \\%$ portent sur le stock **restant**, qui\ndiminue : modèle multiplicatif."
        },
        {
          "text": "$N_n = N_0 \\times 0{,}03^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}03$ ferait disparaître\n$97\\ \\%$ des noyaux chaque année. Le facteur de\n**conservation** est $0{,}97$."
        },
        {
          "text": "$N_n = N_0 \\times 1{,}03^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $1{,}03$ ferait **croître**\nl'échantillon. Une perte de $3\\ \\%$ correspond à\n$\\times\\,0{,}97$."
        }
      ],
      "explanation": "Taux de perte constant $\\to$ suite géométrique de raison\n$1 - t$. Modèle discret de la radioactivité (thème du\nprogramme), version continue à venir avec $y' = ay$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "limite",
        "comportement"
      ],
      "title": "Comportement selon la raison",
      "statement": "Trois suites géométriques ont pour raisons respectives\n$0{,}9$ ; $1$ ; $1{,}1$ (premiers termes strictement\npositifs). Quels sont leurs comportements à long terme ?",
      "options": [
        {
          "text": "Vers $0$ pour $0{,}9$ ; constante pour $1$ ; vers\n$+\\infty$ pour $1{,}1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la position de la raison par rapport à\n$1$ sépare trois destins radicalement différents, même\npour des raisons très proches ($0{,}9$ et $1{,}1$)."
        },
        {
          "text": "Les trois convergent, plus ou moins vite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}1^n$ **explose** ($1{,}1^{100} \\approx\n13\\,800$) : aucune convergence pour $q > 1$."
        },
        {
          "text": "Les trois tendent vers leur raison",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la raison est un **facteur**, pas un point\nd'arrivée. Les limites sont $0$, la constante initiale,\net $+\\infty$."
        },
        {
          "text": "Impossible à dire sans les premiers termes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour des premiers termes strictement positifs,\nseul le **rapport à $1$** de la raison décide du\ncomportement limite."
        }
      ],
      "explanation": "Trichotomie fondamentale des suites géométriques positives :\n$q < 1$ : extinction ; $q = 1$ : équilibre ; $q > 1$ :\nexplosion. Un écart minime de raison ($0{,}9$ contre\n$1{,}1$) sépare des mondes : sensibilité clé en modélisation\n(épidémies, intérêts)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "limite-arithmetique"
      ],
      "title": "Limite d'une suite arithmétique",
      "statement": "Quelle est la limite d'une suite arithmétique de raison\n$r = 3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+\\infty$ : chaque pas ajoute $3$, sans plafond",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_n = u_0 + 3n$ dépasse tout seuil :\nune suite arithmétique de raison positive file vers\n$+\\infty$."
        },
        {
          "text": "$3$ : la raison",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la raison est le **pas**, pas la\ndestination : les termes s'accumulent sans s'arrêter à\n$3$."
        },
        {
          "text": "$u_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $u_0$ est le point de départ : avec $r > 0$, la\nsuite s'en éloigne définitivement."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce destin appartient aux suites\n**géométriques** de raison $|q| < 1$ : l'arithmétique de\nraison positive grimpe sans retour."
        }
      ],
      "explanation": "Suites arithmétiques : $r > 0$ : limite $+\\infty$ ; $r <\n0$ : $-\\infty$ ; $r = 0$ : constante. Le modèle linéaire\ndiscret ne plafonne jamais : contraste fondamental avec les\ngéométriques amorties."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-geometrique-formule"
      ],
      "title": "Somme des puissances de $q$",
      "statement": "Pour $q \\neq 1$, que vaut la somme $1 + q + q^2 + \\dots +\nq^n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n + 1$ termes, du rang $0$ au rang\n$n$ : l'exposant du numérateur est le **nombre de\ntermes**."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1 - q^{n}}{1 - q}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant décalé : cette formule somme $n$ termes\n($1 + \\dots + q^{n-1}$) : jusqu'à $q^n$ inclus, il y en\na $n + 1$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{q^{n+1}}{1 - q}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Numérateur amputé : le $1 -$ initial est indispensable\n(testez $q = 0$ : la somme vaut $1$, la formule doit le\nredonner)."
        },
        {
          "text": "$(n + 1)\\,q$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec l'arithmétique : ce serait la somme de\n$n+1$ termes ÉGAUX à $q$ : ici les termes grimpent en\npuissances."
        }
      ],
      "explanation": "$1 + q + \\dots + q^n = \\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ :\nl'exposant compte les termes. Conséquence clé pour les\nlimites : si $|q| < 1$, la somme tend vers $\\frac{1}{1 -\nq}$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equilibre"
      ],
      "title": "Point d'équilibre d'un modèle mixte",
      "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 50$. Quelle est la\nvaleur d'équilibre (suite constante solution) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$250$, solution de $\\ell = 0{,}8\\,\\ell + 50$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'équilibre vérifie $\\ell = 0{,}8\\ell +\n50$, soit $0{,}2\\ell = 50$ : $\\ell = 250$ : si la suite\ny démarre, elle y reste."
        },
        {
          "text": "$50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $0{,}8 \\times 50 + 50 = 90 \\neq 50$ : le\nterme constant n'est pas l'équilibre : on résout\nl'équation du point fixe."
        },
        {
          "text": "$62{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{50}{0{,}8}$ divise par le coefficient au\nlieu de $1 - 0{,}8$ : l'équation est $0{,}2\\ell = 50$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}8 \\times 0 + 50 = 50 \\neq 0$ : zéro n'est\néquilibre que des modèles SANS terme constant."
        }
      ],
      "explanation": "Équilibre de $u_{n+1} = au_n + b$ : $\\ell = \\dfrac{b}{1 -\na}$ (résoudre $\\ell = a\\ell + b$). Avec $|a| < 1$, les\nsuites convergent vers cet équilibre : la valeur de long\nterme du modèle."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite-forme-explicite"
      ],
      "title": "Limite d'une forme explicite",
      "statement": "Que vaut $\\lim\\limits_{n \\to +\\infty} \\left(5 - 3 \\times\n0{,}7^n\\right)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $0{,}7^n \\to 0$ (raison entre $0$ et\n$1$) : le terme correctif s'évanouit, reste le plateau\n$5$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 - 3 = 2$ évalue $0{,}7^n$ à $1$ (sa valeur\nen $n = 0$) : à l'infini, la puissance fond vers $0$."
        },
        {
          "text": "$+\\infty$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}7 < 1$ : la puissance **décroît** vers\n$0$, elle n'explose pas : la suite plafonne à $5$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est $0{,}7^n$ qui tend vers $0$, pas la suite\nentière : le $5$ demeure."
        }
      ],
      "explanation": "Forme $\\ell + C q^n$ avec $|q| < 1$ : limite $\\ell$ : la\npartie géométrique meurt, le plateau reste. La forme\nexplicite standard des modèles convergents (la lire, c'est\nlire le long terme)."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "suite-auxiliaire"
      ],
      "title": "La suite auxiliaire $v_n = u_n - 250$",
      "statement": "Pour $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 50$ (équilibre $250$), on pose\n$v_n = u_n - 250$. Que devient la suite $(v_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Géométrique de raison $0{,}8$ : $v_{n+1} = 0{,}8\\,v_n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $v_{n+1} = u_{n+1} - 250 = 0{,}8u_n +\n50 - 250 = 0{,}8(u_n - 250) = 0{,}8v_n$ : mesurer\nl'écart à l'équilibre purifie le modèle."
        },
        {
          "text": "Arithmétique de raison $50$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le décalage a précisément **absorbé** le $+50$ :\nil ne reste que la multiplication par $0{,}8$."
        },
        {
          "text": "Constante égale à $250$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $v_n$ mesure l'**écart** à $250$ : il rétrécit\nde $20\\ \\%$ par étape, il n'est pas figé."
        },
        {
          "text": "De même nature que $(u_n)$ : rien ne change",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout change ! $(u_n)$ est arithmético-\ngéométrique (mixte), $(v_n)$ est géométrique **pure** :\nc'est le but de la manœuvre."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode de la suite auxiliaire : retrancher l'équilibre\ntransforme le modèle mixte en géométrique pure : $v_n = v_0\n\\times 0{,}8^n$, d'où $u_n = 250 + (u_0 - 250) \\times\n0{,}8^n$ : forme explicite et limite d'un seul coup."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "interpretation-modele"
      ],
      "title": "Interpréter la convergence",
      "statement": "Une population de poissons suit $u_{n+1} = 0{,}8\\,u_n + 50$\n(en centaines, $50$ = alevins introduits chaque année).\nComment interpréter la convergence vers $250$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La population se stabilise vers $25\\,000$ poissons :\npertes et repeuplement finissent par s'équilibrer",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : à $250$ centaines, les $20\\ \\%$ de\npertes ($50$) sont exactement compensées par les $50$\nintroduites : flux entrant = flux sortant : plateau."
        },
        {
          "text": "La population disparaît à terme",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le repeuplement annuel maintient un socle : la\nlimite est $250$ centaines, pas $0$ (ce serait le cas\nsans le $+50$)."
        },
        {
          "text": "La population explose : on ajoute des poissons chaque\nannée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les pertes de $20\\ \\%$ grossissent avec la\npopulation : elles finissent par absorber tout l'apport :\nle modèle plafonne."
        },
        {
          "text": "La population oscille sans se stabiliser",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec une raison $0 < 0{,}8 < 1$, la\nconvergence est monotone : la suite s'approche du\nplateau sans le franchir."
        }
      ],
      "explanation": "Lire un modèle $u_{n+1} = au_n + b$ : $a$ = ce qui reste\nd'une période à l'autre, $b$ = l'apport fixe, l'équilibre\n$\\frac{b}{1-a}$ = le point où l'apport compense exactement\nles pertes. Les maths et l'écologie disent la même chose."
    }
  ]
}