{
  "chapter": {
    "id": "arithmetique",
    "level": "maths-expertes",
    "theme": "Arithmétique",
    "title": "Arithmétique : divisibilité, congruences, nombres premiers",
    "description": "Divisibilité dans $\\mathbb{Z}$, division euclidienne,\ncongruences et compatibilité avec les opérations, PGCD et\nalgorithme d'Euclide, théorèmes de Bézout et de Gauss, nombres\npremiers, décomposition en facteurs premiers, petit théorème\nde Fermat.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "divisibilite"
      ],
      "title": "Divisibilité dans $\\mathbb{Z}$",
      "statement": "Que signifie « $a$ divise $b$ » (noté $a \\mid b$) pour deux\nentiers relatifs ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il existe un entier $k$ tel que $b = ka$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $b$ est un multiple de $a$. Exemples :\n$7 \\mid 42$ ($42 = 6 \\times 7$), $-3 \\mid 12$, et $5\n\\mid 0$ ($0 = 0 \\times 5$)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{a}{b}$ est un entier",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction à l'envers : « $a$ divise $b$ » signifie que\n$\\frac{b}{a}$ est entier (quand $a \\neq 0$), pas\n$\\frac{a}{b}$."
        },
        {
          "text": "$a < b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : $4 < 6$ mais $4 \\nmid 6$ ; et $7 \\mid 7$\nsans inégalité stricte."
        },
        {
          "text": "$a$ et $b$ ont le même signe",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : $-3 \\mid 12$ ($12 = (-4)(-3)$). La\ndivisibilité ignore les signes."
        }
      ],
      "explanation": "$a \\mid b \\iff \\exists k \\in \\mathbb{Z},\\ b = ka$.\nPropriétés : transitivité, et surtout : si $a \\mid b$ et\n$a \\mid c$, alors $a$ divise toute combinaison $ub + vc$ :\nl'outil de base des raisonnements."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "division-euclidienne"
      ],
      "title": "Division euclidienne d'un négatif",
      "statement": "Quelle est la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-17 = 5 \\times (-4) + 3$, quotient $-4$ et reste $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le reste doit vérifier $0 \\leq r < 5$ ;\non descend au multiple de $5$ **inférieur** à $-17$,\nsoit $-20$, et $-17 - (-20) = 3$."
        },
        {
          "text": "$-17 = 5 \\times (-3) - 2$, quotient $-3$ et reste $-2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste négatif interdit : la définition impose $0 \\leq\nr < 5$. On corrige : $-17 = 5(-4) + 3$."
        },
        {
          "text": "$-17 = 5 \\times (-3) + 2$, quotient $-3$ et reste $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Calcul faux : $5 \\times (-3) + 2 = -13 \\neq -17$.\nL'égalité doit être exacte **et** le reste dans\n$[0\\ ;\\ 5[$."
        },
        {
          "text": "Impossible : la division euclidienne exige des entiers\npositifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le programme la définit pour tout dividende de\n$\\mathbb{Z}$ (le diviseur restant dans\n$\\mathbb{N}^*$)."
        }
      ],
      "explanation": "$a = bq + r$ avec $0 \\leq r < b$ : le couple $(q, r)$ est\nunique. Pour un dividende négatif, le quotient « descend » :\n$-17 = 5 \\times (-4) + 3$. Le reste est aussi le\nreprésentant de $-17$ modulo $5$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "congruences",
        "definition"
      ],
      "title": "Définition d'une congruence",
      "statement": "Que signifie $a \\equiv b \\pmod n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$n$ divise $a - b$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : même reste dans la division par $n$,\nc'est-à-dire différence multiple de $n$. Exemple :\n$23 \\equiv 3 \\pmod 5$ car $5 \\mid 20$."
        },
        {
          "text": "$a = b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : la congruence est une égalité **à un\nmultiple de $n$ près** : $23 \\neq 3$ mais $23 \\equiv 3\n\\pmod 5$."
        },
        {
          "text": "$a$ divise $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est $n$ qui divise la **différence**\n$a - b$, pas $a$ qui divise $b$."
        },
        {
          "text": "$a$ et $b$ sont premiers avec $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sans rapport : $10 \\equiv 4 \\pmod 6$ alors que ni $10$\nni $4$ n'est premier avec $6$."
        }
      ],
      "explanation": "$a \\equiv b \\pmod n \\iff n \\mid (a - b) \\iff$ même reste\nmodulo $n$. C'est une relation d'équivalence, et surtout\nelle **respecte** addition et multiplication : on calcule\n« dans les restes »."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "congruences",
        "operations"
      ],
      "title": "Compatibilité avec les opérations",
      "statement": "Sachant $10 \\equiv 1 \\pmod 9$, que vaut $10^{2026}\n\\pmod 9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10^{2026} \\equiv 1 \\pmod 9$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la congruence passe aux puissances :\n$10^{2026} \\equiv 1^{2026} = 1$. C'est le cœur de la\npreuve par neuf et du critère de divisibilité par $9$."
        },
        {
          "text": "$10^{2026} \\equiv 2026 \\pmod 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant ne « descend » pas : on élève la\ncongruence à la puissance : $1^{2026} = 1$."
        },
        {
          "text": "$10^{2026} \\equiv 0 \\pmod 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10^{2026}$ n'est pas multiple de $9$ (ses\nseuls facteurs premiers sont $2$ et $5$)."
        },
        {
          "text": "Impossible sans calculer $10^{2026}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout l'intérêt des congruences est d'éviter ce\ncalcul : $10 \\equiv 1$ suffit."
        }
      ],
      "explanation": "Si $a \\equiv b \\pmod n$ alors $a + c \\equiv b + c$, $ac\n\\equiv bc$ et $a^k \\equiv b^k \\pmod n$. Conséquence : un\nentier est congru modulo $9$ à la somme de ses chiffres."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pgcd",
        "euclide"
      ],
      "title": "Algorithme d'Euclide",
      "statement": "On calcule $\\text{PGCD}(252\\ ;\\ 105)$ par l'algorithme\nd'Euclide : $252 = 105 \\times 2 + 42$, puis $105 = 42 \\times\n2 + 21$, puis $42 = 21 \\times 2 + 0$. Quel est le PGCD ?",
      "options": [
        {
          "text": "$21$ : le dernier reste non nul",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'algorithme repose sur\n$\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = \\text{PGCD}(b\\ ;\\ r)$ ; le\ndernier reste non nul est le PGCD."
        },
        {
          "text": "$42$ : le premier reste",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $42$ ne divise pas $105$ : on continue tant que\nle reste n'est pas nul ; c'est le **dernier** reste non\nnul qui gagne."
        },
        {
          "text": "$0$ : le dernier reste",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $0$ final signale l'arrêt ; le PGCD est le\nreste **précédent** ($21$)."
        },
        {
          "text": "$2$ : le quotient répété",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les quotients ne portent pas le PGCD : seuls\nles restes comptent."
        }
      ],
      "explanation": "Euclide : on remplace $(a\\ ;\\ b)$ par $(b\\ ;\\ r)$ jusqu'au\nreste nul ; le PGCD est le dernier reste non nul. Contrôle :\n$252 = 21 \\times 12$, $105 = 21 \\times 5$, et $12$, $5$\npremiers entre eux."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bezout"
      ],
      "title": "Théorème de Bézout",
      "statement": "Que dit le théorème de Bézout pour deux entiers $a$ et $b$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement s'il\nexiste des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'équivalence complète. Le sens « il\nexiste $u, v$ » se lit : tout diviseur commun divise\n$au + bv = 1$, donc vaut $\\pm 1$."
        },
        {
          "text": "Pour tous entiers $a$ et $b$, il existe $u$ et $v$ tels\nque $au + bv = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux sans hypothèse : $6u + 4v$ est toujours pair, donc\njamais égal à $1$. Il faut $a$ et $b$ **premiers entre\neux**."
        },
        {
          "text": "Si $a \\mid bc$ et $a$ premier avec $b$, alors $a \\mid c$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le théorème de **Gauss** : conséquence de Bézout,\nmais énoncé distinct."
        },
        {
          "text": "Tout entier $\\geq 2$ se décompose en produit de facteurs\npremiers",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le théorème de décomposition (existence et\nunicité), pas Bézout."
        }
      ],
      "explanation": "Bézout : $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1 \\iff \\exists\\, u, v \\in\n\\mathbb{Z},\\ au + bv = 1$. Les coefficients $u$, $v$ se\ncalculent en remontant l'algorithme d'Euclide (Euclide\nétendu). Plus généralement, le PGCD $d$ s'écrit toujours\n$d = au + bv$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gauss"
      ],
      "title": "Théorème de Gauss",
      "statement": "On sait que $7 \\mid 3n$ pour un entier $n$. Que peut-on\nconclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "$7 \\mid n$, car $7$ est premier avec $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : théorème de Gauss : $7$ divise le\nproduit $3n$ et est premier avec le facteur $3$, donc\ndivise l'autre facteur."
        },
        {
          "text": "$7 \\mid 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $3 < 7$ et $3 \\neq 0$. Gauss oriente la\ndivisibilité vers le facteur **non** premier avec rien…\nc'est $n$ qui hérite."
        },
        {
          "text": "$n = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop précis : $n$ est **multiple** de $7$ ($0$, $7$,\n$14$, $-7$…), pas forcément $7$."
        },
        {
          "text": "Rien : il faudrait connaître $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est exactement la situation du théorème de\nGauss : conclusion garantie sans connaître $n$."
        }
      ],
      "explanation": "Gauss (démonstration au programme, via Bézout) : si $a \\mid\nbc$ et $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = 1$, alors $a \\mid c$.\nL'hypothèse « premiers entre eux » est vitale : $6 \\mid 4\n\\times 3$ sans diviser ni $4$ ni $3$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "diophantienne"
      ],
      "title": "Équation diophantienne",
      "statement": "L'équation $3x + 5y = 1$ admet la solution particulière\n$(x_0\\ ;\\ y_0) = (2\\ ;\\ -1)$. Quelles sont toutes les\nsolutions entières ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 2 + 5k$, $y = -1 - 3k$, pour $k \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par différence, $3(x - 2) = -5(y + 1)$ ;\nGauss ($3$ premier avec $5$) force $5 \\mid x - 2$, d'où\nla forme annoncée. Contrôle : $3(2 + 5k) + 5(-1 - 3k) =\n1$."
        },
        {
          "text": "$(2\\ ;\\ -1)$ est la seule solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $(7\\ ;\\ -4)$ marche aussi ($21 - 20 = 1$) :\nune droite entière de solutions, indexée par $k$."
        },
        {
          "text": "$x = 2 + 3k$, $y = -1 - 5k$, pour $k \\in \\mathbb{Z}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Coefficients croisés : c'est $5$ (coefficient de $y$)\nqui module $x$, et $3$ qui module $y$. Contrôle avec\n$k = 1$ : $3 \\times 5 + 5 \\times (-6) = -15 \\neq 1$."
        },
        {
          "text": "Aucune : $3$ et $5$ ne divisent pas $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\text{PGCD}(3\\ ;\\ 5) = 1$ divise $1$ :\nBézout garantit des solutions."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode complète : solution particulière, puis soustraction\net théorème de Gauss pour la forme générale $x = x_0 + 5k$,\n$y = y_0 - 3k$. Résoudre $ax + by = c$ exige\n$\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) \\mid c$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nombres-premiers"
      ],
      "title": "L'ensemble des nombres premiers",
      "statement": "Que sait-on de l'ensemble des nombres premiers ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il est infini (démonstration d'Euclide)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : si $p_1, \\dots, p_n$ étaient les seuls\npremiers, $N = p_1 p_2 \\cdots p_n + 1$ n'en serait\ndivisible par aucun : contradiction avec l'existence\nd'un diviseur premier."
        },
        {
          "text": "Il est fini : le plus grand premier est connu",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les « records » (nombres de Mersenne) sont les\nplus grands premiers **connus**, pas les plus grands\nexistants : l'ensemble est infini."
        },
        {
          "text": "Tous les nombres premiers sont impairs",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de $2$ : le seul premier pair, mais premier quand\nmême."
        },
        {
          "text": "Un produit de deux premiers est premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Contraire de la définition : $3 \\times 5 = 15$ a quatre\ndiviseurs : composé."
        }
      ],
      "explanation": "L'infinité des premiers est une démonstration au programme.\nArgument clé : tout entier $\\geq 2$ admet un diviseur\npremier, et $N = p_1\\cdots p_n + 1$ échappe à la liste\n(reste $1$ dans chaque division)."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "decomposition"
      ],
      "title": "Décomposition en facteurs premiers",
      "statement": "Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $360$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$360 = 2^3 \\times 3^2 \\times 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $360 = 8 \\times 45 = 8 \\times 9 \\times\n5$. La décomposition existe et est **unique** (à l'ordre\nprès) : c'est le théorème fondamental."
        },
        {
          "text": "$360 = 2^2 \\times 3^2 \\times 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : le produit vaut bien $360$, mais $10 = 2\n\\times 5$ n'est pas premier : la décomposition doit\naller jusqu'au bout."
        },
        {
          "text": "$360 = 2^3 \\times 45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Inachevé : $45 = 3^2 \\times 5$ est composé. On\nfactorise jusqu'à n'avoir que des premiers."
        },
        {
          "text": "$360 = 6 \\times 60$",
          "correct": false,
          "feedback": "Simple produit : ni $6$ ni $60$ n'est premier. La\ndécomposition canonique : $2^3 \\times 3^2 \\times 5$."
        }
      ],
      "explanation": "Existence et unicité de la décomposition : au programme\n(avec démonstration de l'existence). Applications : lecture\ndes diviseurs ($360$ en a $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$), PGCD par\nexposants minimaux."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "fermat"
      ],
      "title": "Petit théorème de Fermat",
      "statement": "$p = 7$ est premier et $a = 3$ n'est pas divisible par $7$.\nQue donne le petit théorème de Fermat ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3^6 \\equiv 1 \\pmod 7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$ : l'exposant\nest $p - 1 = 6$. Vérification : $3^6 = 729 = 104 \\times\n7 + 1$."
        },
        {
          "text": "$3^7 \\equiv 1 \\pmod 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exposant faux : la forme en $a^p$ est $3^7 \\equiv 3\n\\pmod 7$ (congru à $a$, pas à $1$)."
        },
        {
          "text": "$3^6 \\equiv 0 \\pmod 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3^6$ n'a que des facteurs $3$ : jamais\ndivisible par $7$. Fermat donne le reste $1$."
        },
        {
          "text": "$6^3 \\equiv 1 \\pmod 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Base et exposant échangés : c'est $a^{p-1} = 3^6$.\n(D'ailleurs $6^3 = 216 \\equiv 6 \\pmod 7$.)"
        }
      ],
      "explanation": "Petit théorème de Fermat : si $p$ premier et $p \\nmid a$,\nalors $a^{p-1} \\equiv 1 \\pmod p$ (variante : $a^p \\equiv a$\npour tout $a$). Usage : réduire les exposants géants modulo\n$p - 1$, tests de primalité, RSA."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "inverse-modulaire"
      ],
      "title": "Inverse modulo $n$",
      "statement": "Quel est l'inverse de $3$ modulo $7$, c'est-à-dire l'entier\n$x \\in \\{1, \\dots, 6\\}$ tel que $3x \\equiv 1 \\pmod 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $3 \\times 5 = 15 = 2 \\times 7 + 1\n\\equiv 1$. L'inverse existe car $3$ et $7$ sont premiers\nentre eux (Bézout)."
        },
        {
          "text": "$x = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "$3 \\times 4 = 12 \\equiv 5 \\pmod 7$ : pas $1$. On teste\nou on remonte Bézout : $x = 5$."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors sujet : l'inverse modulaire est un **entier** : pas\nde fractions dans $\\mathbb{Z}/n$. Ici $5$ joue le rôle\nde $\\frac{1}{3}$."
        },
        {
          "text": "Il n'existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\text{PGCD}(3\\ ;\\ 7) = 1$ garantit l'inverse\n(Bézout : $3 \\times 5 + 7 \\times (-2) = 1$)."
        }
      ],
      "explanation": "$a$ inversible modulo $n \\iff \\text{PGCD}(a\\ ;\\ n) = 1$ ;\nl'inverse sort des coefficients de Bézout. Application :\nrésoudre $3x \\equiv 4 \\pmod 7$ : multiplier par $5$ :\n$x \\equiv 20 \\equiv 6$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "critere-divisibilite"
      ],
      "title": "Divisibilité par $3$",
      "statement": "Le nombre $741$ est-il divisible par $3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Oui : la somme de ses chiffres, $7 + 4 + 1 = 12$, est\ndivisible par $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : critère fondé sur $10 \\equiv 1\n\\pmod 3$ : tout nombre est congru à la somme de ses\nchiffres modulo $3$. ($741 = 3 \\times 247$.)"
        },
        {
          "text": "Non : il est impair",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la parité teste la divisibilité par $2$ :\n$9$, $15$, $741$… sont impairs ET divisibles par $3$."
        },
        {
          "text": "Non : il ne se termine pas par $3$, $6$ ou $9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux critère : le dernier chiffre teste $2$, $5$ ou\n$10$ : pour $3$, c'est la **somme** des chiffres qui\ndécide."
        },
        {
          "text": "Impossible à savoir sans poser la division",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le critère de la somme des chiffres répond en\ndeux secondes : c'est toute la force des congruences."
        }
      ],
      "explanation": "$10 \\equiv 1 \\pmod 3$ (et $\\pmod 9$) : un entier est congru\nà la somme de ses chiffres modulo $3$ et $9$. Les critères\nde divisibilité sont des théorèmes de congruence déguisés."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "division-euclidienne-calcul"
      ],
      "title": "Division euclidienne de $47$ par $6$",
      "statement": "Quels sont le quotient et le reste de la division\neuclidienne de $47$ par $6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$47 = 6 \\times 7 + 5$ : quotient $7$, reste $5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $6 \\times 7 = 42 \\leq 47 < 48 = 6\n\\times 8$, et $47 - 42 = 5$, bien dans $[0\\ ;\\ 6[$."
        },
        {
          "text": "Quotient $8$, reste $-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste négatif interdit : la définition impose $0 \\leq\nr < 6$ : on prend le multiple de $6$ juste EN DESSOUS."
        },
        {
          "text": "Quotient $7$, reste $6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Reste trop grand : $r = 6$ signifierait qu'une unité de\nquotient reste à prendre : le reste vit STRICTEMENT sous\nle diviseur."
        },
        {
          "text": "Quotient $5$, reste $7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés (et reste invalide) : $47 = 6q + r$ avec\n$q = 7$ (combien de fois $6$) et $r = 5$ (ce qui\ndéborde)."
        }
      ],
      "explanation": "$a = bq + r$, $0 \\leq r < b$ : le quotient est le plus grand\nmultiple qui tient, le reste est le débordement. La\ncontrainte sur $r$ rend le couple UNIQUE : c'est elle qui\nfait tout marcher."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "entiers-consecutifs"
      ],
      "title": "Deux entiers consécutifs",
      "statement": "Que peut-on dire de $n$ et $n + 1$ pour tout entier $n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Ils sont toujours premiers entre eux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : tout diviseur commun divise leur\ndifférence $(n+1) - n = 1$ : le PGCD vaut $1$, sans\nexception."
        },
        {
          "text": "Ils ont toujours un facteur commun",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : leur seul diviseur commun est $1$ : deux\nvoisins n'ont rien à partager (l'argument de la\ndifférence le prouve)."
        },
        {
          "text": "L'un des deux est toujours premier",
          "correct": false,
          "feedback": "Faux : $8$ et $9$ sont tous deux composés : « premiers\nentre eux » ne dit rien de la primalité individuelle."
        },
        {
          "text": "Leur PGCD est $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $n \\mid n$ mais $n \\nmid n + 1$ (dès $n \\geq\n2$) : le PGCD tombe à $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Argument roi : tout diviseur commun de $a$ et $b$ divise\n$a - b$. Pour des consécutifs, la différence vaut $1$ : PGCD\n$= 1$. Ce petit lemme alimente quantité de démonstrations\n(dont l'infinité des premiers)."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "dernier-chiffre"
      ],
      "title": "Dernier chiffre et modulo $10$",
      "statement": "Quel est le dernier chiffre de $7^4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$ : car $7^2 = 49 \\equiv 9$, puis $7^4 \\equiv 9^2 =\n81 \\equiv 1 \\pmod{10}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le dernier chiffre EST le reste modulo\n$10$ : on réduit à chaque étape ($49 \\to 9$, $81 \\to\n1$) au lieu de calculer $2401$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arrêt à mi-course : $9$ est le dernier chiffre de\n$7^2$ : encore une élévation au carré : $9^2 \\equiv 1$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les derniers chiffres de $7^n$ tournent :\n$7, 9, 3, 1, 7, \\dots$ : au rang $4$, le cycle retombe\nsur $1$."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4$ est l'exposant, pas le reste : le calcul\nmodulaire donne $1$ ($7^4 = 2401$)."
        }
      ],
      "explanation": "Dernier chiffre = reste modulo $10$ : réduire À CHAQUE\nétape garde les nombres minuscules. Les puissances modulo\n$10$ tournent en cycles courts ($7$ : période $4$) : les\nrepérer économise tout."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "nombre-diviseurs"
      ],
      "title": "Compter les diviseurs",
      "statement": "Sachant $360 = 2^3 \\times 3^2 \\times 5$, combien $360$\na-t-il de diviseurs positifs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(3+1)(2+1)(1+1) = 24$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un diviseur choisit un exposant pour\nchaque facteur premier : $4$ choix pour le $2$ ($2^0$ à\n$2^3$), $3$ pour le $3$, $2$ pour le $5$ : produit $24$."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 2 \\times 1 = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le « $+1$ » oublié : l'exposant $0$ est un choix\nlégitime (ne pas prendre le facteur) : chaque exposant\noffre $e + 1$ possibilités."
        },
        {
          "text": "$3 + 2 + 1 = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition au lieu de multiplication : les choix\nd'exposants sont **indépendants** : principe\nmultiplicatif."
        },
        {
          "text": "$360 \\div 2 = 180$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun lien de ce type : le compte sort de la\ndécomposition : $(3+1)(2+1)(1+1) = 24$."
        }
      ],
      "explanation": "Nombre de diviseurs de $p_1^{e_1} \\cdots p_k^{e_k}$ :\n$(e_1 + 1)\\cdots(e_k + 1)$ : chaque diviseur est un choix\nd'exposants entre $0$ et $e_i$. La décomposition en facteurs\npremiers révèle TOUTE la structure multiplicative."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "pgcd-fraction"
      ],
      "title": "Rendre une fraction irréductible",
      "statement": "Sachant $\\text{PGCD}(252\\ ;\\ 105) = 21$, quelle est la\nforme irréductible de $\\dfrac{252}{105}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{12}{5}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : diviser haut et bas par le PGCD :\n$\\frac{252 \\div 21}{105 \\div 21} = \\frac{12}{5}$, et\n$12$, $5$ sont premiers entre eux : irréductible\ngaranti."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{84}{35}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Simplification partielle : diviser par $3$ seulement\nlaisse le facteur $7$ commun : le PGCD simplifie EN UNE\nFOIS et à fond."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{5}{12}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction renversée : le numérateur $252$ donne $12$, le\ndénominateur $105$ donne $5$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{21}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $21$ est le PGCD (le diviseur commun), pas le\nnumérateur simplifié ($252 \\div 21 = 12$)."
        }
      ],
      "explanation": "Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD donne LA\nforme irréductible en une étape : c'est l'application\nquotidienne de l'algorithme d'Euclide."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "test-primalite"
      ],
      "title": "Tester la primalité de $97$",
      "statement": "Pour vérifier que $97$ est premier, quels diviseurs\nsuffit-il de tester ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les premiers $2, 3, 5, 7$ : tous ceux qui ne dépassent\npas $\\sqrt{97} \\approx 9{,}8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un composé $n = ab$ a toujours un\nfacteur $\\leq \\sqrt{n}$ : quatre divisions suffisent\n(aucune ne tombe juste : $97$ est premier)."
        },
        {
          "text": "Tous les entiers de $2$ à $96$",
          "correct": false,
          "feedback": "Gaspillage : si aucun diviseur n'existe sous $\\sqrt{97}$,\naucun n'existe au-dessus (ils iraient par paires) :\n$9{,}8$ est la frontière utile."
        },
        {
          "text": "Seulement $2$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Insuffisant : $35 = 5 \\times 7$ échappe à $2$ et $3$ :\nil faut monter jusqu'à $\\sqrt{n}$ ($5$ et $7$ compris)."
        },
        {
          "text": "Les nombres pairs uniquement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les diviseurs pairs se réduisent au test de\n$2$ : ce sont les premiers IMPAIRS ($3, 5, 7$) qui\nrestent à examiner."
        }
      ],
      "explanation": "Test de primalité : diviser par les premiers $\\leq\n\\sqrt{n}$ : si $n = ab$ avec $a \\leq b$, alors $a \\leq\n\\sqrt{n}$. Pour $97$ : quatre tests, verdict premier : la\nracine carrée divise le travail par dix."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "congruence-application"
      ],
      "title": "Le calendrier modulo $7$",
      "statement": "Nous sommes lundi. Quel jour serons-nous dans $100$ jours ?",
      "options": [
        {
          "text": "Mercredi : $100 \\equiv 2 \\pmod 7$, donc deux jours après\nlundi",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $100 = 14 \\times 7 + 2$ : les $14$\nsemaines pleines ne comptent pas, seuls les $2$ jours de\nreste décalent."
        },
        {
          "text": "Lundi : $100$ est un compte rond",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « rond » en base $10$ ne dit rien modulo $7$ :\nseul le reste de $100$ par $7$ (qui vaut $2$) compte."
        },
        {
          "text": "Vendredi",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de reste : $100 = 98 + 2$ et $98 = 14 \\times 7$ :\nreste $2$, pas $4$ : lundi $+ 2 =$ mercredi."
        },
        {
          "text": "Impossible sans calendrier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les jours de la semaine SONT une arithmétique\nmodulo $7$ : le reste répond sans calendrier."
        }
      ],
      "explanation": "Les cycles du quotidien (jours, heures, angles) sont des\ncongruences : seul le reste importe. $100 \\equiv 2\n\\pmod 7$ : le décalage net de $100$ jours est de $2$ jours."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-modulo"
      ],
      "title": "Calculer $2^{100} \\pmod 7$",
      "statement": "Que vaut le reste de $2^{100}$ dans la division par $7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$ : car $2^3 = 8 \\equiv 1 \\pmod 7$ et $100 = 3 \\times\n33 + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le cycle de $2$ modulo $7$ est de\nlongueur $3$ ($2, 4, 1, 2, 4, 1, \\dots$) : $2^{100} =\n(2^3)^{33} \\times 2 \\equiv 1^{33} \\times 2 = 2$."
        },
        {
          "text": "$0$ : une puissance aussi grande est divisible par tout",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^{100}$ n'a que des facteurs $2$ : jamais\ndivisible par $7$ : le reste ne peut pas être nul."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de position dans le cycle : $4 = 2^2$\ncorrespondrait à un exposant $\\equiv 2 \\pmod 3$ ; or\n$100 \\equiv 1$ : reste $2$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $1$ correspond aux exposants **multiples de\n$3$** ($99$ par exemple) : $100$ dépasse d'un cran :\n$\\times 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Puissances modulo $n$ : trouver le cycle (ici $2^3 \\equiv\n1$), réduire l'exposant modulo sa longueur. Le petit\nthéorème de Fermat garantit un cycle divisant $p - 1 = 6$ ;\nle cycle réel peut être plus court ($3$ ici)."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-congruence"
      ],
      "title": "Résoudre $5x \\equiv 3 \\pmod 7$",
      "statement": "Quelles sont les solutions de la congruence $5x \\equiv 3\n\\pmod 7$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x \\equiv 2 \\pmod 7$ : on multiplie par $3$, inverse de\n$5$ modulo $7$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $5 \\times 3 = 15 \\equiv 1$ : $3$ est\nl'inverse de $5$ ; alors $x \\equiv 3 \\times 3 = 9\n\\equiv 2$. Contrôle : $5 \\times 2 = 10 \\equiv 3$ ✓."
        },
        {
          "text": "$x = \\dfrac{3}{5}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Hors monde : pas de fractions dans les congruences : la\n« division » se fait en multipliant par l'INVERSE\nmodulaire de $5$ (qui est $3$)."
        },
        {
          "text": "Aucune solution : $5$ ne divise pas $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la divisibilité ordinaire ne décide pas :\n$\\text{PGCD}(5\\ ;\\ 7) = 1$ garantit un inverse, donc une\nsolution unique modulo $7$."
        },
        {
          "text": "$x \\equiv 3 \\pmod 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $5 \\times 3 = 15 \\equiv 1 \\neq 3$ : c'est\nl'inverse de $5$, pas la solution : encore une\nmultiplication par $3$."
        }
      ],
      "explanation": "$ax \\equiv b \\pmod n$ avec $\\text{PGCD}(a\\ ;\\ n) = 1$ :\nmultiplier par l'inverse de $a$ : $x \\equiv a^{-1}b$.\nL'inverse se trouve par tâtonnement (petits modules) ou par\nBézout remonté (gros modules)."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "contraposee-parite"
      ],
      "title": "$n^2$ pair implique $n$ pair",
      "statement": "Comment démontrer proprement : « si $n^2$ est pair, alors\n$n$ est pair » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Par contraposée : si $n$ est impair, $n = 2k + 1$ donne\n$n^2 = 2(2k^2 + 2k) + 1$, impair",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la contraposée (« $n$ impair\n$\\Rightarrow n^2$ impair ») se calcule en une ligne, et\nelle est logiquement ÉQUIVALENTE à l'énoncé."
        },
        {
          "text": "En vérifiant pour $n = 2, 4, 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Exemples, pas preuve : trois cas ne couvrent pas tous\nles entiers (et testent d'ailleurs le sens réciproque !)."
        },
        {
          "text": "C'est faux : $n^2$ pair n'impose rien à $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'énoncé est vrai (essentiel, entre autres,\ndans la preuve de l'irrationalité de $\\sqrt{2}$) : la\ncontraposée le démontre."
        },
        {
          "text": "En divisant $n^2$ par $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la parité ne « se divise » pas : le passage\npar l'écriture $n = 2k + 1$ (contraposée) est le chemin\nrigoureux."
        }
      ],
      "explanation": "Contraposée : « $A \\Rightarrow B$ » équivaut à « non $B$\n$\\Rightarrow$ non $A$ » : quand l'hypothèse directe est\ndifficile à exploiter, renverser. Ici : l'imparité se\ncalcule ($2k+1$), la parité de $n^2$ ne se remonte pas\ndirectement."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "principe-euclide"
      ],
      "title": "Pourquoi Euclide fonctionne",
      "statement": "L'algorithme d'Euclide repose sur l'égalité\n$\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) = \\text{PGCD}(b\\ ;\\ r)$ où $r$ est le\nreste de $a$ par $b$. Pourquoi est-elle vraie ?",
      "options": [
        {
          "text": "Parce que $a = bq + r$ : les diviseurs communs de\n$(a\\ ;\\ b)$ et de $(b\\ ;\\ r)$ sont exactement les mêmes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $d$ divise $a$ et $b$ $\\Rightarrow$ il\ndivise $r = a - bq$ ; et $d$ divise $b$ et $r$\n$\\Rightarrow$ il divise $a = bq + r$ : mêmes diviseurs\ncommuns, même PGCD."
        },
        {
          "text": "Parce que $r$ est toujours plus petit que $b$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la raison de la **terminaison** (les restes\ndécroissent), pas de la correction : l'égalité des PGCD\nvient de $a = bq + r$."
        },
        {
          "text": "Parce que le PGCD est toujours le dernier reste",
          "correct": false,
          "feedback": "Circulaire : c'est la CONSÉQUENCE de l'égalité répétée,\npas sa justification."
        },
        {
          "text": "C'est une convention posée sans démonstration",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est un théorème, démontré en deux lignes par\nla conservation des diviseurs communs à travers $a = bq\n+ r$."
        }
      ],
      "explanation": "Deux ingrédients : correction ($\\text{PGCD}(a\\ ;\\ b) =\n\\text{PGCD}(b\\ ;\\ r)$, par conservation des diviseurs\ncommuns) et terminaison (les restes décroissent strictement\nvers $0$). Le modèle de toute preuve d'algorithme."
    }
  ]
}