{
  "chapter": {
    "id": "complexes-algebrique",
    "level": "maths-expertes",
    "theme": "Nombres complexes",
    "title": "Nombres complexes : point de vue algébrique",
    "description": "L'ensemble $\\mathbb{C}$, partie réelle et partie imaginaire,\nopérations, conjugaison et propriétés algébriques, inverse d'un\nnombre complexe non nul, équations $az = b$ et équations\nsimples faisant intervenir $z$ et $\\bar{z}$, formule du binôme.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "i"
      ],
      "title": "Le nombre $i$",
      "statement": "Quelle égalité définit le nombre $i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$i^2 = -1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $i$ est introduit comme un nombre dont le\ncarré vaut $-1$ : la clé qui ouvre la résolution de\ntoutes les équations du second degré."
        },
        {
          "text": "$i = \\sqrt{-1}$, avec les règles usuelles des racines",
          "correct": false,
          "feedback": "Piège d'écriture : la notation $\\sqrt{\\ }$ est réservée\naux réels positifs ; l'utiliser avec $-1$ mène à des\nabsurdités ($1 = \\sqrt{1} = \\sqrt{(-1)(-1)} =\ni \\times i = -1$ ?!). On dit : $i^2 = -1$."
        },
        {
          "text": "$i = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-1)^2 = 1 \\neq -1$. Le nombre $i$ n'est pas\nréel : c'est son **carré** qui vaut $-1$."
        },
        {
          "text": "$i^2 = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les nombres de carré $1$ sont $1$ et $-1$, déjà\nréels. La nouveauté de $i$ : $i^2 = -1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{C}$ est construit en adjoignant à $\\mathbb{R}$ un\nnombre $i$ tel que $i^2 = -1$ ; tout complexe s'écrit alors\n$z = a + ib$ ($a, b$ réels). Puissances utiles : $i^3 = -i$,\n$i^4 = 1$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "forme-algebrique"
      ],
      "title": "Parties réelle et imaginaire",
      "statement": "Soit $z = 3 - 5i$. Que valent la partie réelle et la partie\nimaginaire de $z$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\text{Re}(z) = 3$ et $\\text{Im}(z) = -5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dans $z = a + ib$, la partie imaginaire\nest le **réel** $b$ (ici $-5$), sans le facteur $i$."
        },
        {
          "text": "$\\text{Re}(z) = 3$ et $\\text{Im}(z) = -5i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de convention : la partie imaginaire est un\nnombre **réel** (le coefficient de $i$), pas $-5i$."
        },
        {
          "text": "$\\text{Re}(z) = 3$ et $\\text{Im}(z) = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $z = 3 + (-5)i$ : le coefficient de\n$i$ est $-5$."
        },
        {
          "text": "$\\text{Re}(z) = -5$ et $\\text{Im}(z) = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Rôles échangés : la partie réelle est le terme **sans**\n$i$ ($3$)."
        }
      ],
      "explanation": "Forme algébrique $z = a + ib$ : $\\text{Re}(z) = a$,\n$\\text{Im}(z) = b$, tous deux **réels**. Deux complexes sont\négaux si et seulement si leurs parties réelles et\nimaginaires coïncident."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "operations",
        "produit"
      ],
      "title": "Produit de deux complexes",
      "statement": "Que vaut le produit $(2 + i)(3 - 2i)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8 - i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $6 - 4i + 3i - 2i^2 = 6 - i + 2 =\n8 - i$ (le $-2i^2$ devient $+2$)."
        },
        {
          "text": "$6 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : produit des seuls premiers et derniers termes.\nOn développe entièrement (double distribution), avec\n$i^2 = -1$."
        },
        {
          "text": "$4 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur $i^2$ : $-2i^2 = +2$, à **ajouter** :\n$6 + 2 = 8$ pour la partie réelle."
        },
        {
          "text": "$8 + i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe sur la partie imaginaire :\n$-4i + 3i = -i$."
        }
      ],
      "explanation": "Les opérations dans $\\mathbb{C}$ suivent les règles usuelles,\navec $i^2 = -1$ : $(2+i)(3-2i) = 6 - 4i + 3i + 2 = 8 - i$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "conjugaison"
      ],
      "title": "Conjugué d'un nombre complexe",
      "statement": "Quel est le conjugué de $z = 4 + 3i$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\bar{z} = 4 - 3i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : conjuguer change le signe de la **partie\nimaginaire** seulement (symétrie par rapport à l'axe\nréel)."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} = -4 - 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est l'**opposé** $-z$. Le conjugué ne touche\npas la partie réelle."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} = -4 + 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe a changé du mauvais côté : conjuguer\nagit sur le terme en $i$."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} = 3 + 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune permutation des parties : seul le signe\nde la partie imaginaire bascule."
        }
      ],
      "explanation": "$\\overline{a + ib} = a - ib$. Propriétés (démonstrations au\nprogramme) : $\\overline{z + z'} = \\bar{z} + \\bar{z'}$,\n$\\overline{zz'} = \\bar{z}\\,\\bar{z'}$, et\n$z\\bar{z} = a^2 + b^2$, réel positif : l'outil des\ndivisions."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inverse",
        "calcul"
      ],
      "title": "Inverse d'un complexe",
      "statement": "Quelle est la forme algébrique de $\\dfrac{1}{1 + 2i}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5} - \\dfrac{2}{5}i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on multiplie haut et bas par le\nconjugué : $\\dfrac{1 - 2i}{(1+2i)(1-2i)} =\n\\dfrac{1 - 2i}{1 + 4} = \\dfrac{1 - 2i}{5}$."
        },
        {
          "text": "$1 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : le conjugué seul n'est pas l'inverse : il\nfaut diviser par $z\\bar{z} = 5$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{1} + \\dfrac{1}{2i}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'inverse d'une somme n'est pas la somme des\ninverses (déjà faux chez les réels !)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{5} + \\dfrac{2}{5}i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le numérateur est le **conjugué**\n$1 - 2i$ : la partie imaginaire de l'inverse est\nnégative."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode systématique : $\\dfrac{1}{z} =\n\\dfrac{\\bar{z}}{z\\bar{z}}$, le dénominateur $z\\bar{z} =\na^2 + b^2$ étant réel. Ici : $\\frac{1-2i}{5}$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "lineaire"
      ],
      "title": "Équation linéaire $az = b$",
      "statement": "Quelle est la solution de l'équation $(1 + i)z = 4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 2 - 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z = \\dfrac{4}{1+i} = \\dfrac{4(1-i)}\n{(1+i)(1-i)} = \\dfrac{4(1-i)}{2} = 2(1 - i)$."
        },
        {
          "text": "$z = 4 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne « soustrait » pas le coefficient : on\n**divise** par $1 + i$ (via le conjugué)."
        },
        {
          "text": "$z = 2 + 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le conjugué du dénominateur est\n$1 - i$, qui transmet son signe : $z = 2 - 2i$.\n(Contrôle : $(1+i)(2+2i) = 4i \\neq 4$.)"
        },
        {
          "text": "$z = 4(1 + i)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $1 + i$ au lieu de diviser.\nContrôle : $(1+i) \\times 4(1+i) = 4(1+i)^2 = 8i \\neq 4$."
        }
      ],
      "explanation": "$az = b \\Rightarrow z = \\dfrac{b}{a}$, calculé par le\nconjugué. Toujours vérifier : $(1+i)(2-2i) = 2 - 2i + 2i +\n2 = 4$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation",
        "conjugue"
      ],
      "title": "Équation avec $z$ et $\\bar{z}$",
      "statement": "Quelles sont les solutions de l'équation $z + \\bar{z} = 6$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Tous les complexes de partie réelle $3$ (la droite\nverticale $x = 3$ du plan complexe)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : avec $z = x + iy$ : $z + \\bar{z} = 2x =\n6$, donc $x = 3$, et $y$ reste **libre** : une droite de\nsolutions."
        },
        {
          "text": "$z = 3$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $3 + 4i$ convient aussi ($z + \\bar{z} = 6$).\nLa partie imaginaire disparaît dans la somme : elle est\nlibre."
        },
        {
          "text": "$z = 6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 + \\bar{6} = 12 \\neq 6$. La somme\n$z + \\bar{z}$ vaut $2\\,\\text{Re}(z)$ : on résout\n$2x = 6$."
        },
        {
          "text": "Aucune solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tout $z = 3 + iy$ convient : une infinité de\nsolutions."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : poser $z = x + iy$ et identifier.\n$z + \\bar{z} = 2x$ et $z - \\bar{z} = 2iy$ : les équations en\n$z$, $\\bar{z}$ se traduisent en conditions sur $x$ et $y$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "conjugaison",
        "proprietes"
      ],
      "title": "Conjugué d'un produit",
      "statement": "Pour tous complexes $z$ et $z'$, que vaut $\\overline{z\\,z'}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\bar{z} \\times \\bar{z'}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la conjugaison respecte les produits\n(démonstration au programme) : conjuguer avant ou après\nmultiplication revient au même."
        },
        {
          "text": "$\\bar{z} + \\bar{z'}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme des conjugués est le conjugué de la\n**somme**, pas du produit."
        },
        {
          "text": "$z\\,z'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le conjugué d'un produit n'est lui-même que si\nle produit est **réel**. En général, la partie\nimaginaire change de signe."
        },
        {
          "text": "$-z\\,z'$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : conjuguer n'est pas prendre l'opposé (seule la\npartie imaginaire bascule)."
        }
      ],
      "explanation": "Propriétés de la conjugaison : $\\overline{z + z'} = \\bar{z} +\n\\bar{z'}$, $\\overline{zz'} = \\bar{z}\\bar{z'}$,\n$\\overline{z^n} = \\bar{z}^n$, $\\overline{1/z} = 1/\\bar{z}$ :\nelle commute avec toutes les opérations."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "binome"
      ],
      "title": "Formule du binôme dans $\\mathbb{C}$",
      "statement": "Que vaut $(1 + i)^2$, et qu'en déduit-on pour\n$(1 + i)^4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = (2i)^2 = -4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 + 2i + i^2 = 2i$, puis $(2i)^2 =\n4i^2 = -4$ : les puissances se calculent par étages."
        },
        {
          "text": "$(1+i)^2 = 2$, donc $(1+i)^4 = 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le double produit $2i$ ne disparaît pas :\n$(1+i)^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$ (imaginaire pur)."
        },
        {
          "text": "$(1+i)^2 = 1 + i^2 = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur classique : le carré d'une somme exige le double\nproduit : $1 + 2i + i^2 = 2i \\neq 0$."
        },
        {
          "text": "$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^4 = 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur à la deuxième étape : $(2i)^2 = 4i^2 = -4$, réel\nnégatif ($i^2 = -1$ frappe encore)."
        }
      ],
      "explanation": "La formule du binôme vaut dans $\\mathbb{C}$ (démonstration au\nprogramme). $(1+i)^2 = 2i$ et $(1+i)^4 = -4$ : exemple\nfétiche, à retrouver plus tard par la forme exponentielle."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "z-zbar",
        "module-carre"
      ],
      "title": "Le produit $z\\bar{z}$",
      "statement": "Soit $z = a + ib$ (avec $a$, $b$ réels). Que vaut\n$z\\,\\bar{z}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a^2 + b^2$ : un réel positif",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a+ib)(a-ib) = a^2 - (ib)^2 = a^2 +\nb^2$ : l'identité remarquable qui rend les dénominateurs\nréels."
        },
        {
          "text": "$a^2 - b^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $-(ib)^2 = -i^2b^2 = +b^2$ : le\n$i^2 = -1$ retourne le signe."
        },
        {
          "text": "$a^2 + b^2\\,i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les termes croisés $-iab + iab$ s'annulent :\nle produit est **réel**."
        },
        {
          "text": "$2a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $2a = z + \\bar{z}$ (la somme). Le\n**produit** donne $a^2 + b^2$."
        }
      ],
      "explanation": "$z\\bar{z} = a^2 + b^2$ : toujours réel positif, nul\nseulement pour $z = 0$. C'est le carré du module\n($|z|^2 = z\\bar{z}$, exploité au chapitre géométrique)."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "reel-imaginaire-pur"
      ],
      "title": "Caractériser les réels par la conjugaison",
      "statement": "Soit $z$ un nombre complexe. Que signifie l'égalité\n$\\bar{z} = z$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z$ est un nombre réel",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{z} = z \\Leftrightarrow -b = b\n\\Leftrightarrow b = 0$ : la partie imaginaire est nulle.\n(De même : $\\bar{z} = -z \\Leftrightarrow z$ imaginaire\npur.)"
        },
        {
          "text": "$z$ est un imaginaire pur",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : l'imaginaire pur vérifie $\\bar{z} = -z$\n(partie réelle nulle)."
        },
        {
          "text": "$z = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop restrictif : tout réel ($7$, $-3$, $\\pi$…) est égal\nà son conjugué."
        },
        {
          "text": "$z = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop restrictif : la propriété caractérise **tous** les\nréels, pas seulement $1$."
        }
      ],
      "explanation": "Caractérisations utiles : $z \\in \\mathbb{R} \\Leftrightarrow\n\\bar{z} = z$ ; $z$ imaginaire pur $\\Leftrightarrow \\bar{z} =\n-z$. Elles transforment des questions de nature en équations."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissances-i"
      ],
      "title": "Puissances de $i$",
      "statement": "Que vaut $i^{2026}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les puissances de $i$ tournent avec une\npériode $4$ ($i, -1, -i, 1$) ; $2026 = 4 \\times 506 + 2$,\ndonc $i^{2026} = i^2 = -1$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $i^n = 1$ exige $n$ multiple de $4$ ; or\n$2026 \\equiv 2 \\pmod 4$."
        },
        {
          "text": "$i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $i^n = i$ correspond à $n \\equiv 1 \\pmod 4$ ;\nle reste de $2026$ est $2$."
        },
        {
          "text": "$-i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-i$ correspond au reste $3$. Ici $2026 = 4\n\\times 506 + 2$ : $i^{2026} = -1$."
        }
      ],
      "explanation": "Cycle des puissances : $i^1 = i$, $i^2 = -1$, $i^3 = -i$,\n$i^4 = 1$, puis répétition. Calculer $i^n$ : réduire $n$\nmodulo $4$ (un avant-goût des congruences du chapitre\nd'arithmétique)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "somme"
      ],
      "title": "Somme de deux complexes",
      "statement": "Que vaut la somme $(3 + 2i) + (1 - 5i)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4 - 3i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : parties réelles ensemble ($3 + 1$),\nparties imaginaires ensemble ($2 - 5$)."
        },
        {
          "text": "$4 + 7i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $2i + (-5i) = -3i$ : le moins de $5i$ compte."
        },
        {
          "text": "$-1 + 7i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mélange : les parties réelles s'ajoutent entre elles\n($3 + 1 = 4$), sans croiser les imaginaires."
        },
        {
          "text": "$9i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : réels et imaginaires ne fusionnent pas : la\nsomme garde deux composantes : $4$ et $-3i$."
        }
      ],
      "explanation": "Addition composante par composante, comme des vecteurs :\n$(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)$. La structure la\nplus simple du chapitre : la géométrie dira « translation »."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "identification"
      ],
      "title": "Identifier parties réelles et imaginaires",
      "statement": "$x$ et $y$ sont des réels tels que $x + 2i = 3 + yi$. Que\nvalent $x$ et $y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$ et $y = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux complexes sont égaux si et\nseulement si leurs parties réelles ET imaginaires\ncoïncident : $x = 3$, $2 = y$."
        },
        {
          "text": "$x = 2$ et $y = 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Croisement : $x$ (réel) s'identifie à $3$ (réel), et le\ncoefficient $2$ de $i$ à $y$."
        },
        {
          "text": "Impossible : une équation ne détermine pas deux\ninconnues",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une équation COMPLEXE vaut DEUX équations\nréelles (une par partie) : exactement de quoi trouver\n$x$ et $y$."
        },
        {
          "text": "$x = 3 + yi - 2i$, on ne peut pas mieux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $x$ est RÉEL par hypothèse : sa partie\nimaginaire est nulle, ce qui force $y = 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Identification : $a + ib = c + id \\iff a = c$ et $b = d$\n($a, b, c, d$ réels). Une égalité complexe se dédouble en\ndeux égalités réelles : l'outil des équations à\ncoefficients inconnus."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "quotient"
      ],
      "title": "Quotient de deux complexes",
      "statement": "Quelle est la forme algébrique de $\\dfrac{2 + i}{1 - i}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1 + 3i}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier haut et bas par le conjugué\n$1 + i$ : numérateur $(2+i)(1+i) = 1 + 3i$,\ndénominateur $1 + 1 = 2$."
        },
        {
          "text": "$2 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : diviser terme à terme n'existe pas : la méthode\npasse par le conjugué du dénominateur."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{3 + 3i}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Développement : $(2+i)(1+i) = 2 + 2i + i + i^2 = 1 +\n3i$ (le $i^2 = -1$ mange une unité réelle)."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1 + 3i}{0}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Dénominateur : $(1-i)(1+i) = 1 - i^2 = 2$ (jamais nul\npour un complexe non nul : c'est $|1 - i|^2$)."
        }
      ],
      "explanation": "Division : multiplier par le conjugué du dénominateur, qui\nrend celui-ci réel ($z\\bar{z} = |z|^2$). Contrôle :\n$\\frac{1 + 3i}{2} \\times (1 - i) = \\frac{1 + 3i - i + 3}{2}\n= 2 + i$ ✓."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "z-moins-zbar"
      ],
      "title": "La différence $z - \\bar{z}$",
      "statement": "Pour $z = a + ib$, que vaut $z - \\bar{z}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2ib$ : un imaginaire pur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(a + ib) - (a - ib) = 2ib$ : la partie\nréelle s'annule, la partie imaginaire double."
        },
        {
          "text": "$2a$ : un réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la **somme** : $z + \\bar{z} = 2a$ : la\ndifférence, elle, isole l'imaginaire."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $z - \\bar{z} = 0$ seulement si $z$ est réel\n($b = 0$) : en général, il reste $2ib$."
        },
        {
          "text": "$2b$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $i$ perdu : la différence vaut $2ib$, imaginaire\npur : $2b$ serait un réel."
        }
      ],
      "explanation": "Les deux extracteurs : $z + \\bar{z} = 2\\,\\text{Re}(z)$ et\n$z - \\bar{z} = 2i\\,\\text{Im}(z)$ : somme pour le réel,\ndifférence pour l'imaginaire. Ils transforment les équations\nen $z, \\bar{z}$ en systèmes réels."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "equation-carre-negatif"
      ],
      "title": "Résoudre $z^2 = -9$",
      "statement": "Quelles sont les solutions complexes de $z^2 = -9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 3i$ et $z = -3i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(3i)^2 = 9i^2 = -9$ et $(-3i)^2 = -9$ :\nles « racines carrées » de $-9$ sont imaginaires pures,\nconjuguées l'une de l'autre."
        },
        {
          "text": "$z = -3$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-3)^2 = +9 \\neq -9$ : aucun réel n'a de carré\nnégatif : les solutions vivent sur l'axe imaginaire."
        },
        {
          "text": "$z = 3i$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié : $(-3i)^2 = -9$ aussi : une équation de degré\n$2$ garde ses deux racines dans $\\mathbb{C}$."
        },
        {
          "text": "Aucune : un carré est toujours positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe réel périmé : dans $\\mathbb{C}$, tout nombre a\ndes racines carrées : c'est la raison d'être de $i$."
        }
      ],
      "explanation": "$z^2 = -k$ ($k > 0$) : solutions $\\pm i\\sqrt{k}$ : la\nbrique des trinômes à discriminant négatif ($\\sqrt{-\\Delta}$\ndevient $i\\sqrt{-\\Delta}$... écrit proprement :\n$\\pm i\\sqrt{|\\Delta|}$)."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-cube"
      ],
      "title": "Calculer $(1 + i)^3$",
      "statement": "Que vaut $(1 + i)^3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-2 + 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $(1+i)^2 = 2i$, puis $(1+i)^3 = 2i(1 +\ni) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$ : par étages, jamais en force."
        },
        {
          "text": "$1 + i^3 = 1 - i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cube distribué à tort : $(a + b)^3 \\neq a^3 + b^3$ : le\nbinôme complet (ou le calcul par étages) est\nobligatoire."
        },
        {
          "text": "$2 + 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $2i \\times i = 2i^2 = -2$ : la partie réelle\nest négative."
        },
        {
          "text": "$3 + 3i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $3$ n'est pas élever au cube :\n$(1+i)^3$ se calcule via $(1+i)^2 = 2i$."
        }
      ],
      "explanation": "Stratégie des puissances : passer par le carré ($(1+i)^2 =\n2i$, à connaître) puis multiplier. Contrôle par le module :\n$|1+i|^3 = (\\sqrt{2})^3 = 2\\sqrt{2} = |-2 + 2i|$ ✓."
    }
  ]
}