{ "chapter": { "id": "complexes-geometrie-trigonometrie", "level": "maths-expertes", "theme": "Nombres complexes", "title": "Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle", "description": "Image et affixe, module et interprétation géométrique, relation\n$|z|^2 = z\\bar{z}$, ensemble $\\mathbb{U}$, arguments, forme\ntrigonométrique, exponentielle imaginaire $e^{i\\theta}$,\nformules d'Euler et de Moivre.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "affixe", "image" ], "title": "Affixe d'un point", "statement": "Dans le plan complexe, quel point est l'image du nombre\n$z = -2 + 3i$ ?", "options": [ { "text": "Le point de coordonnées $(-2\\ ;\\ 3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : abscisse = partie réelle, ordonnée =\npartie imaginaire. Le plan $\\mathbb{R}^2$ **est**\nl'ensemble des complexes." }, { "text": "Le point de coordonnées $(3\\ ;\\ -2)$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées échangées : $\\text{Re}$ en abscisse,\n$\\text{Im}$ en ordonnée." }, { "text": "Le point de coordonnées $(-2\\ ;\\ 3i)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les coordonnées d'un point sont **réelles** :\nl'ordonnée est le coefficient $3$, sans $i$." }, { "text": "Le point de coordonnées $(2\\ ;\\ 3)$", "correct": false, "feedback": "Signe perdu : la partie réelle vaut $-2$ : le point est\nà gauche de l'axe imaginaire." } ], "explanation": "À $z = a + ib$ on associe le point $M(a\\ ;\\ b)$ : $z$ est\nl'**affixe** de $M$ (et du vecteur $\\overrightarrow{OM}$).\nL'image de $\\bar{z}$ est le symétrique de $M$ par rapport à\nl'axe des abscisses." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "module", "calcul" ], "title": "Calcul d'un module", "statement": "Que vaut le module de $z = 3 - 4i$ ?", "options": [ { "text": "$|z| = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $|z| = \\sqrt{3^2 + (-4)^2} =\n\\sqrt{25} = 5$ : la distance de l'origine au point\n$(3\\ ;\\ -4)$." }, { "text": "$|z| = -1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 + (-4) = -1$ additionne les parties. Le\nmodule est $\\sqrt{a^2 + b^2}$, toujours positif." }, { "text": "$|z| = 25$", "correct": false, "feedback": "Racine oubliée : $a^2 + b^2 = 25$ est le **carré** du\nmodule." }, { "text": "$|z| = 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $|3| + |-4| = 7$ n'est pas le module : on ne\nsomme pas les valeurs absolues (c'est d'ailleurs la\nmajoration de l'inégalité triangulaire)." } ], "explanation": "$|a + ib| = \\sqrt{a^2 + b^2}$ : distance $OM$. Géométrie\nimmédiate : $|z - z'|$ = distance entre les images de $z$ et\n$z'$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "module", "z-zbar" ], "title": "La relation $|z|^2 = z\\bar{z}$", "statement": "Quelle égalité relie le module et le conjugué d'un nombre\ncomplexe $z$ ?", "options": [ { "text": "$|z|^2 = z\\,\\bar{z}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(a+ib)(a-ib) = a^2 + b^2 = |z|^2$\n(démonstration au programme). Cette relation fait tout :\ninverses, modules de produits…" }, { "text": "$|z| = z\\,\\bar{z}$", "correct": false, "feedback": "Puissance fausse : $z\\bar{z} = a^2 + b^2$ est le\n**carré** du module ($\\sqrt{\\ }$ manquante)." }, { "text": "$|z|^2 = z^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $z^2$ est en général complexe ($ (1+i)^2 = 2i$),\nalors que $|z|^2$ est réel : il faut le **conjugué**." }, { "text": "$|z|^2 = z + \\bar{z}$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $z + \\bar{z} = 2\\,\\text{Re}(z)$, qui peut\nêtre négatif : le carré du module vient du **produit**." } ], "explanation": "$|z|^2 = z\\bar{z}$ : pont entre algèbre et géométrie. On en\ntire $|zz'| = |z|\\,|z'|$ et $|1/z| = 1/|z|$ (démonstrations\nau programme)." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "module", "produit" ], "title": "Module d'un produit", "statement": "Soient $z$ et $z'$ deux complexes avec $|z| = 2$ et\n$|z'| = 3$. Que vaut $|z\\,z'|$ ?", "options": [ { "text": "$6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le module est multiplicatif :\n$|zz'| = |z|\\,|z'| = 6$, quelle que soit la direction\ndes deux nombres." }, { "text": "$5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2 + 3$ additionne les modules : c'est au mieux\nune **majoration** de $|z + z'|$, pas le module du\nproduit." }, { "text": "Impossible à déterminer sans connaître $z$ et $z'$", "correct": false, "feedback": "Erreur : justement, la force de la formule $|zz'| =\n|z|\\,|z'|$ est de ne dépendre que des modules." }, { "text": "$36$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $36 = (|z||z'|)^2$ : carré parasite. Le module\ndu produit est $2 \\times 3 = 6$." } ], "explanation": "$|zz'| = |z||z'|$ : se démontre avec $|zz'|^2 =\nzz'\\overline{zz'} = z\\bar{z}\\,z'\\bar{z'}$. Les arguments,\neux, s'**ajoutent** : multiplier = tourner et dilater." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "ensemble-U" ], "title": "L'ensemble $\\mathbb{U}$", "statement": "$\\mathbb{U}$ désigne l'ensemble des nombres complexes de\nmodule $1$. Pourquoi dit-on que $\\mathbb{U}$ est stable par\nproduit ?", "options": [ { "text": "Si $|z| = |z'| = 1$, alors $|z\\,z'| = 1 \\times 1 = 1$ :\nle produit reste dans $\\mathbb{U}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la multiplicativité du module garde le\nproduit sur le cercle unité. Avec $|1/z| = 1$,\n$\\mathbb{U}$ est stable par produit **et** inverse." }, { "text": "Parce que la somme de deux éléments de $\\mathbb{U}$\nreste dans $\\mathbb{U}$", "correct": false, "feedback": "Faux : $1 \\in \\mathbb{U}$ et $1 + 1 = 2 \\notin\n\\mathbb{U}$. La stabilité concerne le **produit**, pas\nla somme." }, { "text": "Parce que $\\mathbb{U}$ contient tous les nombres réels", "correct": false, "feedback": "Faux : seuls $1$ et $-1$ sont des réels de module $1$.\n$\\mathbb{U}$ est le **cercle** unité, pas une droite." }, { "text": "Parce que tout produit de complexes est de module $1$", "correct": false, "feedback": "Faux : $|2 \\times 3i| = 6$. La stabilité vaut pour les\néléments **de $\\mathbb{U}$** uniquement." } ], "explanation": "$\\mathbb{U}$ = cercle unité, stable par produit et passage à\nl'inverse : un exemple fondamental de groupe (sans le mot).\nSur $\\mathbb{U}$, multiplier revient à additionner les\nangles." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "argument", "interpretation" ], "title": "Argument d'un nombre complexe", "statement": "Le point $M$ ci-contre a pour affixe $z = 1 + i$. Que valent\n$|z|$ et un argument de $z$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.6]\n \\draw[->] (-0.6,0) -- (2,0) node[below] {$\\mathrm{Re}$};\n \\draw[->] (0,-0.6) -- (0,2) node[left] {$\\mathrm{Im}$};\n \\draw[dashed] (1,0) -- (1,1);\n \\draw[dashed] (0,1) -- (1,1);\n \\draw[->, thick] (0,0) -- (1,1);\n \\fill (1,1) circle (1.2pt) node[above right] {$M$};\n \\draw (0.45,0) arc (0:45:0.45);\n \\node[font=\\small] at (0.72,0.26) {$\\frac{\\pi}{4}$};\n \\node[below,font=\\small] at (1,0) {$1$};\n \\node[left,font=\\small] at (0,1) {$1$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Plan complexe : point M de coordonnées (1 ; 1), vecteur OM tracé, angle pi sur quatre marqué entre l'axe réel et OM.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$|z| = \\sqrt{2}$ et $\\arg(z) = \\dfrac{\\pi}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $|z| = \\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}$\n(diagonale du carré unité) et l'angle avec l'axe réel\nvaut $45°$, soit $\\pi/4$." }, { "text": "$|z| = 2$ et $\\arg(z) = \\dfrac{\\pi}{4}$", "correct": false, "feedback": "Module faux : $1^2 + 1^2 = 2$, puis racine :\n$|z| = \\sqrt{2} \\approx 1{,}41$." }, { "text": "$|z| = \\sqrt{2}$ et $\\arg(z) = \\dfrac{\\pi}{2}$", "correct": false, "feedback": "Argument faux : $\\pi/2$ est l'axe imaginaire (affixe\n$i$). Ici $M$ est sur la bissectrice : $\\pi/4$." }, { "text": "$|z| = 1$ et $\\arg(z) = \\dfrac{\\pi}{4}$", "correct": false, "feedback": "Module faux : $M$ n'est pas sur le cercle unité :\n$OM = \\sqrt{2} > 1$." } ], "explanation": "Un argument de $z \\neq 0$ = mesure de l'angle\n$(\\vec{u}\\ ;\\ \\overrightarrow{OM})$, défini modulo $2\\pi$.\nIci $z = \\sqrt{2}\\left(\\cos\\frac{\\pi}{4} +\ni\\sin\\frac{\\pi}{4}\\right) = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "forme-trigonometrique" ], "title": "Forme trigonométrique", "statement": "Quelle est la forme algébrique du nombre\n$z = 2\\left(\\cos\\dfrac{\\pi}{3} + i\\sin\\dfrac{\\pi}{3}\\right)$ ?", "options": [ { "text": "$z = 1 + i\\sqrt{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}$ et\n$\\sin\\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$, puis on\nmultiplie par $2$." }, { "text": "$z = \\sqrt{3} + i$", "correct": false, "feedback": "Cosinus et sinus échangés : c'est l'angle $\\pi/6$ qui\ndonne $\\sqrt{3} + i$ (après multiplication par 2)." }, { "text": "$z = \\dfrac{1}{2} + i\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$", "correct": false, "feedback": "Module oublié : c'est $e^{i\\pi/3}$, de module $1$ : il\nreste à multiplier par $r = 2$." }, { "text": "$z = 2 + i\\dfrac{2\\pi}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on n'écrit pas l'angle en partie imaginaire :\non **évalue** cosinus et sinus." } ], "explanation": "Forme trigonométrique : $z = r(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)$\navec $r = |z|$ et $\\theta = \\arg(z)$. Conversion : $a =\nr\\cos\\theta$, $b = r\\sin\\theta$." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "forme-exponentielle" ], "title": "Forme exponentielle", "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $z = 1 + i$ ?", "options": [ { "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : module $\\sqrt{2}$, argument $\\pi/4$,\nd'où $z = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$ : l'écriture la plus\nefficace pour multiplier et élever aux puissances." }, { "text": "$z = e^{i\\pi/4}$", "correct": false, "feedback": "Module oublié : $e^{i\\pi/4}$ est de module $1$, or\n$|1 + i| = \\sqrt{2}$." }, { "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/2}$", "correct": false, "feedback": "Argument faux : $\\pi/2$ correspond à l'axe imaginaire\npur ; $1 + i$ est sur la bissectrice ($\\pi/4$)." }, { "text": "$z = 2\\,e^{i\\pi/4}$", "correct": false, "feedback": "Module faux : $\\sqrt{1^2 + 1^2} = \\sqrt{2}$, pas $2$." } ], "explanation": "Notation $e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$ ; tout\n$z \\neq 0$ s'écrit $r\\,e^{i\\theta}$. Relation fonctionnelle :\n$e^{i\\theta}e^{i\\theta'} = e^{i(\\theta + \\theta')}$ : mêmes\nrègles que l'exponentielle réelle." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "exponentielle", "produit" ], "title": "Produit sous forme exponentielle", "statement": "Que vaut le produit $3e^{i\\pi/6} \\times 2e^{i\\pi/3}$ ?", "options": [ { "text": "$6\\,e^{i\\pi/2} = 6i$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : modules multipliés ($3 \\times 2$),\narguments ajoutés ($\\frac{\\pi}{6} + \\frac{\\pi}{3} =\n\\frac{\\pi}{2}$), et $e^{i\\pi/2} = i$." }, { "text": "$6\\,e^{i\\pi^2/18}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les arguments s'**ajoutent** (relation\nfonctionnelle), ils ne se multiplient pas." }, { "text": "$5\\,e^{i\\pi/2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les modules se **multiplient** ($3 \\times 2 =\n6$), ils ne s'ajoutent pas." }, { "text": "$6\\,e^{i\\pi/6 \\times i\\pi/3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'écriture : $e^{a}e^{b} = e^{a+b}$ : on\nadditionne les exposants." } ], "explanation": "$re^{i\\theta} \\times r'e^{i\\theta'} =\nrr'\\,e^{i(\\theta+\\theta')}$ : multiplier des complexes =\nmultiplier les longueurs et additionner les angles. Toute la\ngéométrie des rotations est là." }, { "id": "q10", "difficulty": 3, "skills": [ "euler" ], "title": "Formules d'Euler", "statement": "Quelle est l'expression de $\\cos\\theta$ donnée par les\nformules d'Euler ?", "options": [ { "text": "$\\cos\\theta = \\dfrac{e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : en ajoutant $e^{i\\theta} = \\cos\\theta +\ni\\sin\\theta$ et $e^{-i\\theta} = \\cos\\theta -\ni\\sin\\theta$, le sinus s'élimine." }, { "text": "$\\cos\\theta = \\dfrac{e^{i\\theta} - e^{-i\\theta}}{2i}$", "correct": false, "feedback": "C'est la formule du **sinus** : la différence élimine le\ncosinus, et le $2i$ normalise." }, { "text": "$\\cos\\theta = \\dfrac{e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}}{2i}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la somme est déjà réelle ($2\\cos\\theta$) :\ndiviser par $2i$ rendrait le résultat imaginaire." }, { "text": "$\\cos\\theta = e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}$", "correct": false, "feedback": "Facteur oublié : la somme vaut $2\\cos\\theta$ : il faut\ndiviser par $2$." } ], "explanation": "Euler : $\\cos\\theta = \\frac{e^{i\\theta} + e^{-i\\theta}}{2}$,\n$\\sin\\theta = \\frac{e^{i\\theta} - e^{-i\\theta}}{2i}$. Usage\ntypique : linéariser $\\cos^n\\theta$ pour intégrer." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "moivre" ], "title": "Formule de Moivre", "statement": "Que dit la formule de Moivre ?", "options": [ { "text": "$(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^n = \\cos(n\\theta) +\ni\\sin(n\\theta)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est $\\left(e^{i\\theta}\\right)^n =\ne^{in\\theta}$ en notation trigonométrique : élever à la\npuissance $n$ = multiplier l'angle par $n$." }, { "text": "$(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^n = \\cos(\\theta^n) +\ni\\sin(\\theta^n)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'angle est **multiplié par $n$**\n($n\\theta$), pas élevé à la puissance $n$." }, { "text": "$(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^n = n\\cos\\theta +\nin\\sin\\theta$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la puissance n'est pas une multiplication par\n$n$ : le module reste $1$, seul l'angle est multiplié." }, { "text": "$\\cos(n\\theta) = n\\cos\\theta$", "correct": false, "feedback": "Faux : déjà pour $n = 2$ : $\\cos(2\\theta) =\n2\\cos^2\\theta - 1 \\neq 2\\cos\\theta$." } ], "explanation": "Moivre : $(\\cos\\theta + i\\sin\\theta)^n = \\cos(n\\theta) +\ni\\sin(n\\theta)$. En développant le membre de gauche par le\nbinôme, on obtient $\\cos(n\\theta)$ et $\\sin(n\\theta)$ en\nfonction de $\\cos\\theta$ et $\\sin\\theta$." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "puissance", "forme-exponentielle" ], "title": "Puissance par la forme exponentielle", "statement": "En écrivant $1 + i = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$, que vaut\n$(1 + i)^8$ ?", "options": [ { "text": "$16$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(\\sqrt{2})^8 e^{i\\,8\\pi/4} =\n2^4\\,e^{2i\\pi} = 16 \\times 1 = 16$ : huit lignes de\ncalcul algébrique évitées." }, { "text": "$-16$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'angle : $8 \\times \\frac{\\pi}{4} = 2\\pi$, et\n$e^{2i\\pi} = 1$ (tour complet), pas $-1$." }, { "text": "$16\\,i$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^{2i\\pi} = 1$, pas $i$ ($i$ correspond à un\nquart de tour, $\\pi/2$)." }, { "text": "$8\\sqrt{2}$", "correct": false, "feedback": "Module faux : $(\\sqrt{2})^8 = 2^{8/2} = 2^4 = 16$, pas\n$8\\sqrt{2} = 2^{3{,}5}$." } ], "explanation": "Méthode reine pour les puissances : forme exponentielle puis\n$\\left(re^{i\\theta}\\right)^n = r^n e^{in\\theta}$. Contrôle :\n$(1+i)^2 = 2i$, donc $(1+i)^8 = (2i)^4 = 16i^4 = 16$." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "identite-euler" ], "title": "La valeur $e^{i\\pi}$", "statement": "Que vaut $e^{i\\pi}$ ?", "options": [ { "text": "$-1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $e^{i\\pi} = \\cos\\pi + i\\sin\\pi = -1 +\n0$ : le demi-tour du cercle unité : la célèbre identité\nd'Euler." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1 = e^{i \\cdot 0} = e^{2i\\pi}$ (tour\ncomplet) : $\\pi$ n'est que le DEMI-tour : $-1$." }, { "text": "$i$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $i = e^{i\\pi/2}$ (quart de tour) : à $\\pi$, on\natteint le point $(-1\\ ;\\ 0)$." }, { "text": "$e^{\\pi} \\approx 23$", "correct": false, "feedback": "Le $i$ oublié : $e^{i\\pi}$ vit sur le cercle unité\n(module $1$), rien à voir avec l'exponentielle réelle\n$e^{\\pi}$." } ], "explanation": "Les quatre points cardinaux : $e^{i0} = 1$, $e^{i\\pi/2} =\ni$, $e^{i\\pi} = -1$, $e^{3i\\pi/2} = -i$ : le cercle unité\npar quarts de tour. « $e^{i\\pi} + 1 = 0$ » relie les cinq\nconstantes fondamentales." }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "module-quotient" ], "title": "Module d'un quotient", "statement": "Avec $|z| = 6$ et $|z'| = 2$, que vaut\n$\\left|\\dfrac{z}{z'}\\right|$ ?", "options": [ { "text": "$3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le module d'un quotient est le quotient\ndes modules : $\\frac{6}{2} = 3$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Soustraction : les modules se **divisent** dans un\nquotient (comme ils se multiplient dans un produit) :\n$6 - 2$ ne correspond à rien." }, { "text": "$12$", "correct": false, "feedback": "Produit au lieu du quotient : $12 = |z z'|$ : pour la\ndivision : $\\frac{6}{2} = 3$." }, { "text": "Impossible sans connaître les arguments", "correct": false, "feedback": "Erreur : le module du quotient ne dépend QUE des\nmodules : les arguments règlent la direction, pas la\nlongueur." } ], "explanation": "$\\left|\\frac{z}{z'}\\right| = \\frac{|z|}{|z'|}$ et\n$\\arg\\frac{z}{z'} = \\arg z - \\arg z'$ : le quotient divise\nles longueurs et soustrait les angles : le miroir exact du\nproduit." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "argument-reel-negatif" ], "title": "Argument d'un réel négatif", "statement": "Quel est un argument de $z = -5$ ?", "options": [ { "text": "$\\pi$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $-5$ est sur la demi-droite des réels\nnégatifs : angle $\\pi$ avec l'axe positif : $-5 =\n5e^{i\\pi}$." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'argument $0$ appartient aux réels\n**positifs** : $-5$ pointe à l'opposé : $\\pi$." }, { "text": "$-5$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $-5$ est le nombre lui-même : son argument\nest un ANGLE : $\\pi$ (et son module $5$)." }, { "text": "Il n'en a pas : seuls les complexes ont un argument", "correct": false, "feedback": "Erreur : les réels SONT des complexes : tout nombre non\nnul a un argument ($0$ pour les positifs, $\\pi$ pour les\nnégatifs)." } ], "explanation": "Arguments des réels : positifs : $0 \\pmod{2\\pi}$ ;\nnégatifs : $\\pi$. Des imaginaires purs : $\\pm\\frac{\\pi}{2}$.\nQuatre directions à placer sans réfléchir sur le cercle." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "conjugue-module-argument" ], "title": "Module et argument du conjugué", "statement": "Comment module et argument de $\\bar{z}$ se comparent-ils à\nceux de $z$ (non nul) ?", "options": [ { "text": "$|\\bar{z}| = |z|$ et $\\arg\\bar{z} = -\\arg z$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : conjuguer = réfléchir par rapport à\nl'axe réel : la distance à l'origine ne bouge pas,\nl'angle bascule en son opposé." }, { "text": "$|\\bar{z}| = -|z|$", "correct": false, "feedback": "Impossible : un module est une distance, toujours\npositive : la symétrie ne change pas les longueurs." }, { "text": "Module et argument sont tous deux conservés", "correct": false, "feedback": "Erreur : garder les deux caractériserait $z$ lui-même :\nle conjugué retourne l'ANGLE ($z$ réel excepté)." }, { "text": "$\\arg\\bar{z} = \\pi - \\arg z$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise symétrie : $\\pi - \\theta$ est la réflexion\nd'axe VERTICAL (celle de $-\\bar{z}$) : conjuguer\nréfléchit horizontalement : $-\\theta$." } ], "explanation": "$\\bar{z} = re^{-i\\theta}$ quand $z = re^{i\\theta}$ :\nsymétrie d'axe réel : module intact, argument opposé.\nCohérent avec $z\\bar{z} = r^2 e^{0} = |z|^2$." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "distance-affixes" ], "title": "Distance entre deux points par les affixes", "statement": "$A$ et $B$ ont pour affixes $z_A = 1 + 2i$ et $z_B = 4 +\n6i$. Que vaut la distance $AB$ ?", "options": [ { "text": "$AB = |z_B - z_A| = |3 + 4i| = 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la distance est le module de la\n**différence** des affixes : $\\sqrt{9 + 16} = 5$." }, { "text": "$AB = |z_B| - |z_A|$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la différence des modules minore la distance\n(inégalité triangulaire) sans l'égaler : ici $\\sqrt{52}\n- \\sqrt{5} \\approx 4{,}97 \\neq 5$… proche mais faux en\ngénéral : le bon objet est $|z_B - z_A|$." }, { "text": "$AB = z_B - z_A = 3 + 4i$", "correct": false, "feedback": "Erreur de nature : $3 + 4i$ est l'affixe du VECTEUR\n$\\overrightarrow{AB}$ : la distance est son module,\n$5$." }, { "text": "$AB = |z_A + z_B|$", "correct": false, "feedback": "Somme au lieu de différence : $|z_A + z_B|$ mesure\n$2\\,OM$ où $M$ est le milieu : la distance $AB$ passe\npar la soustraction." } ], "explanation": "Dictionnaire : $z_B - z_A$ = affixe de\n$\\overrightarrow{AB}$ ; $|z_B - z_A| = AB$. Les distances\nde la géométrie deviennent des modules : cercles et\nmédiatrices s'écrivent en une équation complexe." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "forme-expo-quadrant" ], "title": "Forme exponentielle de $-1 + i$", "statement": "Quelle est la forme exponentielle de $z = -1 + i$ ?", "options": [ { "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{3i\\pi/4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : module $\\sqrt{1 + 1} = \\sqrt{2}$ ; le\npoint $(-1\\ ;\\ 1)$ vit dans le deuxième quadrant, sur la\nbissectrice : argument $\\pi - \\frac{\\pi}{4} =\n\\frac{3\\pi}{4}$." }, { "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{i\\pi/4}$", "correct": false, "feedback": "Quadrant raté : $e^{i\\pi/4}$ pointe vers $(+1\\ ;\\ +1)$\n(premier quadrant) : notre point a une partie réelle\nNÉGATIVE : $\\frac{3\\pi}{4}$." }, { "text": "$z = 2\\,e^{3i\\pi/4}$", "correct": false, "feedback": "Module : $\\sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \\sqrt{2}$, pas $2$." }, { "text": "$z = \\sqrt{2}\\,e^{-i\\pi/4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-\\frac{\\pi}{4}$ descend dans le quatrième\nquadrant ($1 - i$ normalisé) : notre point est en haut à\ngauche." } ], "explanation": "Méthode : module d'abord, puis PLACER le point (quadrant !)\navant de choisir l'argument : $\\cos\\theta =\n\\frac{-1}{\\sqrt{2}}$, $\\sin\\theta = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$ :\n$\\theta = \\frac{3\\pi}{4}$. Le dessin évite l'erreur de\nquadrant, la plus fréquente du chapitre." } ] }