{
  "chapter": {
    "id": "equations-polynomiales-racines-unite",
    "level": "maths-expertes",
    "theme": "Nombres complexes",
    "title": "Équations polynomiales et racines de l'unité",
    "description": "Équations du second degré à coefficients réels de discriminant\nnégatif, factorisation de $z^n - a^n$ et de $P(z)$ par\n$z - a$, majoration du nombre de racines par le degré, racines\n$n$-ièmes de l'unité et ensemble $\\mathbb{U}_n$, utilisation\ndes complexes en géométrie.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "second-degre",
        "discriminant-negatif"
      ],
      "title": "Second degré à discriminant négatif",
      "statement": "Quelles sont les solutions complexes de l'équation\n$z^2 + 4 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 2i$ et $z = -2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z^2 = -4 = 4i^2$, donc $z = \\pm 2i$ :\ndeux solutions conjuguées, comme toujours pour une\néquation à coefficients réels."
        },
        {
          "text": "$z = 2$ et $z = -2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(\\pm 2)^2 = +4 \\neq -4$. Les solutions de\n$z^2 = -4$ sont imaginaires pures."
        },
        {
          "text": "Aucune : l'équation n'a pas de solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Vrai dans $\\mathbb{R}$, faux dans $\\mathbb{C}$ : les\ncomplexes ont été créés exactement pour ça."
        },
        {
          "text": "$z = 2i$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $(-2i)^2 = 4i^2 = -4$ aussi : une équation\nde degré $2$ dans $\\mathbb{C}$ a deux racines (comptées\navec multiplicité)."
        }
      ],
      "explanation": "Si $\\Delta < 0$, l'équation $az^2 + bz + c = 0$ (coefficients\nréels) admet deux racines complexes conjuguées :\n$z = \\dfrac{-b \\pm i\\sqrt{-\\Delta}}{2a}$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "second-degre",
        "resolution"
      ],
      "title": "Résolution complète",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 - 2z + 5 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = 4 - 20 = -16$, donc\n$z = \\dfrac{2 \\pm i\\sqrt{16}}{2} = 1 \\pm 2i$."
        },
        {
          "text": "$z = 1 + 4i$ et $z = 1 - 4i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $\\sqrt{-\\Delta} = 4$, puis on divise\n**tout** par $2a = 2$ : $\\pm 2i$, pas $\\pm 4i$."
        },
        {
          "text": "$z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe de $b$ : la formule commence par $-b = +2$, d'où\npartie réelle $+1$. (Contrôle : somme des racines\n$= -b/a = 2$.)"
        },
        {
          "text": "Pas de solution car $\\Delta = -16 < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe de première à abandonner : dans $\\mathbb{C}$,\n$\\Delta < 0$ donne deux racines conjuguées."
        }
      ],
      "explanation": "$\\Delta = -16 < 0$ : racines $1 \\pm 2i$. Vérification par\nsomme et produit : $s = 2 = -b/a$, $p = 1 + 4 = 5 = c/a$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-produit-racines"
      ],
      "title": "Somme et produit des racines",
      "statement": "Sans résoudre, que valent la somme et le produit des racines\nde $z^2 - 6z + 13 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Somme $= 6$, produit $= 13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : pour $z^2 + bz + c$ unitaire, somme\n$= -b$ et produit $= c$ : ils se lisent sur le polynôme."
        },
        {
          "text": "Somme $= -6$, produit $= 13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : somme $= -b = -(-6) = +6$ (développer\n$(z - z_1)(z - z_2)$ pour s'en convaincre)."
        },
        {
          "text": "Somme $= 6$, produit $= -13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du produit : $(z - z_1)(z - z_2) = z^2 - sz + p$ :\nle produit est le terme constant, $+13$."
        },
        {
          "text": "Impossible sans calculer les racines",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le point du cours : somme et produit se\nlisent **directement** sur les coefficients."
        }
      ],
      "explanation": "$z^2 - sz + p = (z - z_1)(z - z_2)$ : $s = z_1 + z_2$, $p =\nz_1 z_2$. Ici : racines $3 \\pm 2i$ (somme $6$, produit\n$9 + 4 = 13$). Outil de contrôle et de fabrication\nd'équations."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factorisation",
        "racine-connue"
      ],
      "title": "Factoriser quand une racine est connue",
      "statement": "Soit $P(z) = z^3 - 1$. On sait que $P(1) = 0$. Quelle\nfactorisation est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + z + 1)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : identité $z^n - a^n = (z - a)(z^{n-1} +\naz^{n-2} + \\dots + a^{n-1})$ avec $n = 3$, $a = 1$.\nDévelopper pour contrôler."
        },
        {
          "text": "$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Développement faux : $(z-1)(z^2+1) = z^3 - z^2 + z - 1$.\nLe facteur exact est $z^2 + z + 1$."
        },
        {
          "text": "$z^3 - 1 = (z - 1)^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(z-1)^3 = z^3 - 3z^2 + 3z - 1$. Une racine\nn'est pas forcément triple !"
        },
        {
          "text": "$z^3 - 1 = (z - 1)(z^2 - z + 1)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $z^2 \\textbf{+} z + 1$. (Le facteur $z^2 - z +\n1$ correspond à $z^3 \\textbf{+} 1 = (z+1)(z^2-z+1)$.)"
        }
      ],
      "explanation": "Théorème central (démonstration au programme) : si $P(a) =\n0$, alors $P(z)$ se factorise par $(z - a)$. Cas modèle :\n$z^n - a^n = (z - a)\\sum_{k=0}^{n-1} a^k z^{n-1-k}$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "degre",
        "nombre-racines"
      ],
      "title": "Nombre de racines et degré",
      "statement": "Combien de racines complexes distinctes peut avoir, au\nmaximum, un polynôme de degré $5$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque racine détache un facteur\n$(z - a)$ ; le degré $5$ ne peut en fournir que $5$\n(démonstration au programme)."
        },
        {
          "text": "Une infinité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul le polynôme **nul** a une infinité de\nracines. Degré $5$ = au plus $5$ racines : c'est le\nthéorème."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la borne est le degré lui-même, pas son double."
        },
        {
          "text": "Exactement $5$, toujours",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance : **au plus** $5$ racines distinctes ; il peut y\nen avoir moins ($z^5 = 0$ n'a que la racine $0$,\nquintuple)."
        }
      ],
      "explanation": "Un polynôme de degré $n$ admet au plus $n$ racines.\nApplication clé : deux polynômes de degré $\\leq n$ égaux en\n$n + 1$ points sont égaux partout."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "equation-degre-3"
      ],
      "title": "Équation de degré 3 avec racine connue",
      "statement": "L'équation $z^3 - z^2 + 3z + 5 = 0$ admet la racine $z =\n-1$. En factorisant, quelles sont les autres solutions ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = 1 + 2i$ et $z = 1 - 2i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z^3 - z^2 + 3z + 5 = (z + 1)(z^2 - 2z\n+ 5)$, et le second facteur donne $\\Delta = -16$, soit\n$1 \\pm 2i$."
        },
        {
          "text": "$z = -1 + 2i$ et $z = -1 - 2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur dans le second facteur : la division donne\n$z^2 \\textbf{−} 2z + 5$ (racines de partie réelle\n$+1$)."
        },
        {
          "text": "$z = 5$ et $z = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : contrôle immédiat : $5^3 - 5^2 + 15 + 5 =\n120 \\neq 0$. Il faut diviser par $(z + 1)$ puis résoudre\nle trinôme."
        },
        {
          "text": "Aucune autre : $-1$ est la seule solution",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : le quotient $z^2 - 2z + 5$ a deux racines\ncomplexes conjuguées ($\\Delta = -16$)."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : identifier $z^3 - z^2 + 3z + 5 = (z +\n1)(az^2 + bz + c)$ (ou poser la division), puis résoudre le\ntrinôme. Ici : $(z+1)(z^2 - 2z + 5)$, racines $-1$,\n$1 \\pm 2i$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines-unite",
        "definition"
      ],
      "title": "Racines $n$-ièmes de l'unité",
      "statement": "Qu'appelle-t-on racines $n$-ièmes de l'unité ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les solutions complexes de l'équation $z^n = 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : elles sont exactement $n$ : $e^{2ik\\pi/n}$\npour $k = 0, 1, \\dots, n - 1$, régulièrement espacées\nsur le cercle unité."
        },
        {
          "text": "Les solutions de $z^n = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $z^n = 0$ n'a que la solution $z = 0$. L'unité,\nc'est $1$ : on résout $z^n = 1$."
        },
        {
          "text": "Les nombres $\\frac{1}{n}, \\frac{2}{n}, \\dots, 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce sont des rationnels de $[0\\ ;\\ 1]$. Les\nracines de l'unité vivent sur le **cercle** unité."
        },
        {
          "text": "Les solutions de $z^n = n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « unité » désigne le nombre $1$ : l'équation\nest $z^n = 1$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_n = \\{e^{2ik\\pi/n},\\ k = 0, \\dots, n-1\\}$ :\n$n$ points en polygone régulier sur le cercle unité, dont\ntoujours $1$. Détermination au programme (démonstration)."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines-cubiques",
        "j"
      ],
      "title": "Racines cubiques de l'unité",
      "statement": "Les racines cubiques de l'unité sont $1$, $j = e^{2i\\pi/3}$\net $j^2$ (figure ci-contre). Quelle est la forme algébrique\nde $j$ ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.5]\n  \\draw[->] (-1.5,0) -- (1.7,0) node[below] {$\\mathrm{Re}$};\n  \\draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.7) node[left] {$\\mathrm{Im}$};\n  \\draw (0,0) circle (1);\n  \\draw[dashed] (1,0) -- (-0.5,0.866) -- (-0.5,-0.866) -- cycle;\n  \\fill (1,0) circle (1.5pt);\n  \\node[below right,font=\\small] at (1,0) {$1$};\n  \\fill (-0.5,0.866) circle (1.5pt);\n  \\node[above left,font=\\small] at (-0.5,0.866) {$j$};\n  \\fill (-0.5,-0.866) circle (1.5pt);\n  \\node[below left,font=\\small] at (-0.5,-0.866) {$j^2$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Cercle unité du plan complexe avec les trois racines cubiques de l'unité : 1, j et j au carré, sommets d'un triangle équilatéral en pointillés.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"149.448pt\" height=\"146.972pt\" viewBox=\"0 0 149.448 146.972\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 2.21875 -3.5 L 2.21875 -6.078125 C 2.21875 -6.296875 2.21875 -6.421875 2.4375 -6.453125 C 2.546875 -6.46875 2.828125 -6.46875 3.03125 -6.46875 C 3.921875 -6.46875 5.03125 -6.421875 5.03125 -4.984375 C 5.03125 -4.3125 4.796875 -3.5 3.328125 -3.5 Z M 4.3125 -3.375 C 5.28125 -3.609375 6.046875 -4.21875 6.046875 -4.984375 C 6.046875 -5.9375 4.921875 -6.78125 3.46875 -6.78125 L 0.34375 -6.78125 L 0.34375 -6.46875 L 0.578125 -6.46875 C 1.34375 -6.46875 1.375 -6.359375 1.375 -6 L 1.375 -0.78125 C 1.375 -0.421875 1.34375 -0.3125 0.578125 -0.3125 L 0.34375 -0.3125 L 0.34375 0 C 0.703125 -0.03125 1.40625 -0.03125 1.796875 -0.03125 C 2.1875 -0.03125 2.890625 -0.03125 3.25 0 L 3.25 -0.3125 L 3 -0.3125 C 2.25 -0.3125 2.21875 -0.421875 2.21875 -0.78125 L 2.21875 -3.28125 L 3.359375 -3.28125 C 3.515625 -3.28125 3.9375 -3.28125 4.28125 -2.953125 C 4.65625 -2.59375 4.65625 -2.28125 4.65625 -1.625 C 4.65625 -0.96875 4.65625 -0.578125 5.0625 -0.203125 C 5.484375 0.15625 6.015625 0.21875 6.3125 0.21875 C 7.09375 0.21875 7.265625 -0.59375 7.265625 -0.875 C 7.265625 -0.9375 7.265625 -1.046875 7.140625 -1.046875 C 7.03125 -1.046875 7.03125 -0.953125 7.015625 -0.890625 C 6.953125 -0.171875 6.609375 0 6.359375 0 C 5.875 0 5.796875 -0.5 5.65625 -1.421875 L 5.53125 -2.21875 C 5.34375 -2.859375 4.859375 -3.1875 4.3125 -3.375 Z M 4.3125 -3.375 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-1\">\n<path d=\"M 1.109375 -2.5 C 1.171875 -3.984375 2 -4.234375 2.34375 -4.234375 C 3.359375 -4.234375 3.46875 -2.890625 3.46875 -2.5 Z M 1.09375 -2.296875 L 3.875 -2.296875 C 4.09375 -2.296875 4.125 -2.296875 4.125 -2.5 C 4.125 -3.484375 3.578125 -4.4375 2.34375 -4.4375 C 1.1875 -4.4375 0.28125 -3.421875 0.28125 -2.1875 C 0.28125 -0.859375 1.3125 0.109375 2.453125 0.109375 C 3.671875 0.109375 4.125 -0.984375 4.125 -1.1875 C 4.125 -1.28125 4.03125 -1.296875 3.984375 -1.296875 C 3.90625 -1.296875 3.875 -1.234375 3.859375 -1.15625 C 3.515625 -0.140625 2.625 -0.140625 2.515625 -0.140625 C 2.03125 -0.140625 1.625 -0.4375 1.40625 -0.796875 C 1.09375 -1.28125 1.09375 -1.9375 1.09375 -2.296875 Z M 1.09375 -2.296875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-2\">\n<path d=\"M 2.234375 -6 C 2.234375 -6.359375 2.265625 -6.46875 3.046875 -6.46875 L 3.296875 -6.46875 L 3.296875 -6.78125 C 2.953125 -6.75 2.171875 -6.75 1.796875 -6.75 C 1.40625 -6.75 0.625 -6.75 0.28125 -6.78125 L 0.28125 -6.46875 L 0.53125 -6.46875 C 1.3125 -6.46875 1.34375 -6.359375 1.34375 -6 L 1.34375 -0.78125 C 1.34375 -0.421875 1.3125 -0.3125 0.53125 -0.3125 L 0.28125 -0.3125 L 0.28125 0 C 0.625 -0.03125 1.40625 -0.03125 1.78125 -0.03125 C 2.171875 -0.03125 2.953125 -0.03125 3.296875 0 L 3.296875 -0.3125 L 3.046875 -0.3125 C 2.265625 -0.3125 2.234375 -0.421875 2.234375 -0.78125 Z M 2.234375 -6 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-0-3\">\n<path d=\"M 1.09375 -3.40625 L 1.09375 -0.75 C 1.09375 -0.3125 0.984375 -0.3125 0.3125 -0.3125 L 0.3125 0 C 0.671875 -0.015625 1.171875 -0.03125 1.4375 -0.03125 C 1.703125 -0.03125 2.21875 -0.015625 2.546875 0 L 2.546875 -0.3125 C 1.890625 -0.3125 1.78125 -0.3125 1.78125 -0.75 L 1.78125 -2.578125 C 1.78125 -3.609375 2.484375 -4.171875 3.109375 -4.171875 C 3.734375 -4.171875 3.84375 -3.625 3.84375 -3.0625 L 3.84375 -0.75 C 3.84375 -0.3125 3.734375 -0.3125 3.078125 -0.3125 L 3.078125 0 C 3.421875 -0.015625 3.921875 -0.03125 4.203125 -0.03125 C 4.453125 -0.03125 4.96875 -0.015625 5.3125 0 L 5.3125 -0.3125 C 4.640625 -0.3125 4.53125 -0.3125 4.53125 -0.75 L 4.53125 -2.578125 C 4.53125 -3.609375 5.234375 -4.171875 5.875 -4.171875 C 6.5 -4.171875 6.609375 -3.625 6.609375 -3.0625 L 6.609375 -0.75 C 6.609375 -0.3125 6.5 -0.3125 5.828125 -0.3125 L 5.828125 0 C 6.1875 -0.015625 6.6875 -0.03125 6.953125 -0.03125 C 7.21875 -0.03125 7.734375 -0.015625 8.0625 0 L 8.0625 -0.3125 C 7.546875 -0.3125 7.296875 -0.3125 7.296875 -0.609375 L 7.296875 -2.5 C 7.296875 -3.359375 7.296875 -3.65625 6.984375 -4.015625 C 6.84375 -4.1875 6.515625 -4.390625 5.9375 -4.390625 C 5.109375 -4.390625 4.671875 -3.796875 4.5 -3.40625 C 4.359375 -4.28125 3.625 -4.390625 3.1875 -4.390625 C 2.453125 -4.390625 2 -3.953125 1.71875 -3.34375 L 1.71875 -4.390625 L 0.3125 -4.28125 L 0.3125 -3.96875 C 1.015625 -3.96875 1.09375 -3.90625 1.09375 -3.40625 Z M 1.09375 -3.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-1-0\">\n<path d=\"M 2.71875 -5.71875 C 2.71875 -5.9375 2.703125 -5.953125 2.484375 -5.953125 C 1.9375 -5.375 1.109375 -5.375 0.828125 -5.375 L 0.828125 -5.109375 C 1 -5.109375 1.546875 -5.109375 2.03125 -5.328125 L 2.03125 -0.71875 C 2.03125 -0.390625 2 -0.28125 1.171875 -0.28125 L 0.890625 -0.28125 L 0.890625 0 C 1.203125 -0.03125 2 -0.03125 2.375 -0.03125 C 2.734375 -0.03125 3.546875 -0.03125 3.859375 0 L 3.859375 -0.28125 L 3.578125 -0.28125 C 2.75 -0.28125 2.71875 -0.390625 2.71875 -0.71875 Z M 2.71875 -5.71875 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 3.609375 -5.578125 C 3.609375 -5.75 3.484375 -5.90625 3.265625 -5.90625 C 3.03125 -5.90625 2.78125 -5.703125 2.78125 -5.4375 C 2.78125 -5.203125 2.953125 -5.109375 3.125 -5.109375 C 3.390625 -5.109375 3.609375 -5.359375 3.609375 -5.578125 Z M 1.78125 0.40625 C 1.59375 1.171875 1.125 1.609375 0.671875 1.609375 C 0.484375 1.609375 0.46875 1.59375 0.359375 1.5625 C 0.53125 1.5 0.71875 1.3125 0.71875 1.078125 C 0.71875 0.890625 0.5625 0.765625 0.375 0.765625 C 0.125 0.765625 -0.109375 0.96875 -0.109375 1.265625 C -0.109375 1.65625 0.28125 1.828125 0.6875 1.828125 C 1.328125 1.828125 2.1875 1.359375 2.40625 0.46875 L 3.25 -2.828125 C 3.28125 -2.96875 3.28125 -3.109375 3.28125 -3.125 C 3.28125 -3.609375 2.90625 -3.953125 2.40625 -3.953125 C 1.484375 -3.953125 0.953125 -2.671875 0.953125 -2.578125 C 0.953125 -2.5 1.015625 -2.46875 1.078125 -2.46875 C 1.171875 -2.46875 1.1875 -2.5 1.25 -2.65625 C 1.5 -3.234375 1.9375 -3.734375 2.390625 -3.734375 C 2.65625 -3.734375 2.671875 -3.484375 2.671875 -3.3125 C 2.671875 -3.3125 2.671875 -3.140625 2.640625 -3.03125 Z M 1.78125 0.40625 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-3-0\">\n<path d=\"M 3.203125 -1.109375 L 2.984375 -1.109375 C 2.96875 -1.03125 2.90625 -0.640625 2.828125 -0.578125 C 2.78125 -0.53125 2.296875 -0.53125 2.21875 -0.53125 L 1.09375 -0.53125 L 1.859375 -1.15625 C 2.0625 -1.3125 2.59375 -1.703125 2.78125 -1.875 C 2.953125 -2.046875 3.203125 -2.359375 3.203125 -2.78125 C 3.203125 -3.53125 2.53125 -3.953125 1.734375 -3.953125 C 0.96875 -3.953125 0.421875 -3.453125 0.421875 -2.890625 C 0.421875 -2.59375 0.6875 -2.546875 0.75 -2.546875 C 0.90625 -2.546875 1.078125 -2.65625 1.078125 -2.875 C 1.078125 -3 1 -3.203125 0.734375 -3.203125 C 0.875 -3.5 1.234375 -3.734375 1.640625 -3.734375 C 2.265625 -3.734375 2.59375 -3.265625 2.59375 -2.78125 C 2.59375 -2.359375 2.328125 -1.921875 1.90625 -1.546875 L 0.5 -0.25 C 0.4375 -0.1875 0.421875 -0.1875 0.421875 0 L 3.015625 0 Z M 3.203125 -1.109375 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -63.779341 -0.00154687 L 71.883963 -0.00154687 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 65.728227, 80.959396)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071161 2.390067 C -1.694776 0.955099 -0.85183 0.280742 -0.00104291 -0.00154687 C -0.85183 -0.279915 -1.694776 -0.958192 -2.071161 -2.38924 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 137.547914, 80.959396)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"131.886864\" y=\"91.248393\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"139.193376\" y=\"91.248393\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -0.00167037 -63.779217 L -0.00167037 71.884086 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 65.728227, 80.959396)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.071037 2.389363 C -1.694652 0.958316 -0.851707 0.280039 -0.000919411 0.00167037 C -0.851707 -0.280618 -1.694652 -0.954975 -2.071037 -2.389943 \" transform=\"matrix(0, -0.99632, -0.99632, 0, 65.728227, 9.139709)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-2\" x=\"50.365969\" y=\"12.332875\"/>\n<use xlink:href=\"#glyph-0-3\" x=\"53.950239\" y=\"12.332875\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 42.522004 -0.00154687 C 42.522004 23.483315 23.483191 42.522128 -0.00167037 42.522128 C -23.482611 42.522128 -42.521424 23.483315 -42.521424 -0.00154687 C -42.521424 -23.482488 -23.482611 -42.521301 -0.00167037 -42.521301 C 23.483191 -42.521301 42.522004 -23.482488 42.522004 -0.00154687 Z M 42.522004 -0.00154687 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 65.728227, 80.959396)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-dasharray=\"2.98883 2.98883\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 42.522004 -0.00154687 L -21.259587 36.821462 L -21.259587 -36.820635 Z M 42.522004 -0.00154687 \" transform=\"matrix(0.99632, 0, 0, -0.99632, 65.728227, 80.959396)\"/>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 110.324219 80.960938 C 110.324219 79.726562 109.324219 78.726562 108.09375 78.726562 C 106.859375 78.726562 105.859375 79.726562 105.859375 80.960938 C 105.859375 82.191406 106.859375 83.191406 108.09375 83.191406 C 109.324219 83.191406 110.324219 82.191406 110.324219 80.960938 Z M 110.324219 80.960938 \"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"111.5988\" y=\"90.22318\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 46.78125 44.273438 C 46.78125 43.039062 45.78125 42.039062 44.546875 42.039062 C 43.3125 42.039062 42.3125 43.039062 42.3125 44.273438 C 42.3125 45.507812 43.3125 46.507812 44.546875 46.507812 C 45.78125 46.507812 46.78125 45.507812 46.78125 44.273438 Z M 46.78125 44.273438 \"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"36.775168\" y=\"39.029269\"/>\n</g>\n<path fill-rule=\"nonzero\" fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\" d=\"M 46.78125 117.644531 C 46.78125 116.414062 45.78125 115.414062 44.546875 115.414062 C 43.3125 115.414062 42.3125 116.414062 42.3125 117.644531 C 42.3125 118.878906 43.3125 119.878906 44.546875 119.878906 C 45.78125 119.878906 46.78125 118.878906 46.78125 117.644531 Z M 46.78125 117.644531 \"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"32.639443\" y=\"128.785745\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-3-0\" x=\"36.904689\" y=\"124.990762\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$j = -\\dfrac{1}{2} + i\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\frac{2\\pi}{3} = -\\frac{1}{2}$,\n$\\sin\\frac{2\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ : le sommet en\nhaut à gauche du triangle équilatéral."
        },
        {
          "text": "$j = \\dfrac{1}{2} + i\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du cosinus : l'angle $\\frac{2\\pi}{3}$ est dans le\n**deuxième** quadrant : partie réelle négative. ($\\frac{1}{2}\n+ i\\frac{\\sqrt{3}}{2} = e^{i\\pi/3}$, racine sixième.)"
        },
        {
          "text": "$j = -\\dfrac{1}{2} - i\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $j^2 = e^{4i\\pi/3} = \\bar{j}$ : l'autre racine non\nréelle, sous l'axe."
        },
        {
          "text": "$j = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(-1)^3 = -1 \\neq 1$ : $-1$ est racine\n**carrée**, pas cubique, de l'unité."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_3 = \\{1,\\ j,\\ j^2\\}$ avec $j = e^{2i\\pi/3} =\n-\\frac{1}{2} + i\\frac{\\sqrt{3}}{2}$. Relations d'or :\n$j^3 = 1$, $j^2 = \\bar{j}$ et $1 + j + j^2 = 0$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "racines-quatriemes"
      ],
      "title": "Racines quatrièmes de l'unité",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $z^4 = 1$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$, $i$, $-1$ et $-i$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les quatre points cardinaux du cercle\nunité ($e^{ik\\pi/2}$, $k = 0, 1, 2, 3$) : le carré\ninscrit."
        },
        {
          "text": "$1$ et $-1$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : ce sont les racines **carrées** ; $i^4 =\n(i^2)^2 = 1$ et $(-i)^4 = 1$ aussi : quatre racines pour\nle degré $4$."
        },
        {
          "text": "$1$, $\\dfrac{1}{4}$, $\\dfrac{1}{2}$, $\\dfrac{3}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^4 = \\frac{1}{16} \\neq\n1$. Les racines sont sur le **cercle unité**, pas dans\nl'intervalle $[0\\ ;\\ 1]$."
        },
        {
          "text": "$1$ et $i$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : leurs opposés conviennent aussi (puissance\npaire) : $\\mathbb{U}_4$ a quatre éléments."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_4 = \\{1, i, -1, -i\\}$ : carré inscrit dans le\ncercle unité. Cas particuliers au programme : $n = 2$\n($\\pm 1$), $n = 3$ ($1, j, j^2$), $n = 4$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "somme-racines-unite"
      ],
      "title": "Somme des racines $n$-ièmes",
      "statement": "Que vaut la somme $1 + j + j^2$ des trois racines cubiques\nde l'unité ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 + j + j^2 = \\dfrac{j^3 - 1}{j - 1} =\n\\dfrac{0}{j - 1} = 0$ (somme géométrique). Géométrie :\nle centre de gravité du triangle équilatéral est\nl'origine."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les deux racines non réelles $j$ et $j^2 =\n\\bar{j}$ somment à $2\\,\\text{Re}(j) = -1$, qui annule le\n$1$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ serait la somme si les trois racines\nvalaient $1$. Elles pointent dans trois directions qui\nse compensent exactement."
        },
        {
          "text": "$j^3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $j^3 = 1$ (c'est la définition d'une racine\ncubique), et la somme ne vaut pas $1$ mais $0$."
        }
      ],
      "explanation": "Pour tout $n \\geq 2$, la somme des racines $n$-ièmes de\nl'unité est nulle : somme géométrique de raison $\\omega \\neq\n1$ avec $\\omega^n = 1$. Un classique des problèmes\n(polygones réguliers, transformation de Fourier discrète)."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "geometrie",
        "quotient"
      ],
      "title": "Le quotient $\\dfrac{c-a}{b-a}$",
      "statement": "Soient $A$, $B$, $C$ trois points d'affixes $a$, $b$, $c$\ndistinctes. Que traduit l'appartenance du quotient\n$\\dfrac{c - a}{b - a}$ à $\\mathbb{R}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les points $A$, $B$, $C$ sont alignés",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle\n$(\\overrightarrow{AB}\\ ;\\ \\overrightarrow{AC})$ ;\nquotient réel = angle nul ou plat = alignement."
        },
        {
          "text": "Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est le cas **imaginaire pur** : angle $\\pm\\pi/2$ en\n$A$, donc orthogonalité de $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$."
        },
        {
          "text": "$ABC$ est équilatéral",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : équilatéral correspond à un quotient de module\n$1$ et d'argument $\\pm\\pi/3$ ($e^{\\pm i\\pi/3}$), pas à\nun réel."
        },
        {
          "text": "$B$ et $C$ sont confondus",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $b = c$ donnerait un quotient... égal à $1$,\ncertes réel, mais le cas général « quotient réel »\ncouvre tout l'alignement."
        }
      ],
      "explanation": "Dictionnaire géométrique : $\\left|\\dfrac{c-a}{b-a}\\right| =\n\\dfrac{AC}{AB}$ et $\\arg\\dfrac{c-a}{b-a} =\n(\\overrightarrow{AB}\\ ;\\ \\overrightarrow{AC})$. Réel =\nalignés ; imaginaire pur = angle droit en $A$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racines-unite",
        "polygone"
      ],
      "title": "Racines de l'unité et polygones",
      "statement": "Les images des racines $5$-ièmes de l'unité forment quelle\nfigure du plan complexe ?",
      "options": [
        {
          "text": "Un pentagone régulier inscrit dans le cercle unité, avec\nun sommet en $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les $e^{2ik\\pi/5}$ partagent le cercle en\n$5$ arcs égaux à partir de $1$ : polygone régulier\ngaranti par la régularité des angles."
        },
        {
          "text": "Un segment de l'axe réel",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une seule racine $5$-ième est réelle ($1$, car\n$5$ impair). Les autres se répartissent sur le cercle."
        },
        {
          "text": "Un pentagone régulier centré en $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de centre : le polygone est inscrit dans le\ncercle de centre $O$ (module $1$) ; $1$ en est un\n**sommet**."
        },
        {
          "text": "Cinq points au hasard sur le cercle unité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les arguments $\\frac{2k\\pi}{5}$ sont en\nprogression arithmétique : espacement parfaitement\nrégulier, rien d'aléatoire."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_n$ = sommets du polygone régulier à $n$ côtés\ninscrit dans le cercle unité, un sommet en $1$. C'est le\npont entre équations polynomiales et géométrie (construction\ndu pentagone, $\\cos\\frac{2\\pi}{5}$…)."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "racines-conjuguees"
      ],
      "title": "Racines par paires conjuguées",
      "statement": "Un polynôme à coefficients **réels** admet $2 + 3i$ comme\nracine. Que peut-on affirmer ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 - 3i$ est aussi racine : les racines non réelles vont\npar paires conjuguées",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : conjuguer l'égalité $P(z) = 0$ donne\n$P(\\bar{z}) = 0$ (les coefficients réels sont leurs\npropres conjugués) : les racines complexes arrivent en\ncouple."
        },
        {
          "text": "$-2 - 3i$ est aussi racine",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $-2 - 3i$ est l'**opposé** : la symétrie des\ncoefficients réels est la **conjugaison** (signe de la\npartie imaginaire seule)."
        },
        {
          "text": "Rien : chaque racine est indépendante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les coefficients réels imposent la symétrie par\nconjugaison : c'est un théorème, pas un hasard."
        },
        {
          "text": "Le polynôme n'a que des racines complexes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des racines réelles peuvent coexister (elles\nsont leurs propres conjuguées) : la paire ne concerne\nque les racines NON réelles."
        }
      ],
      "explanation": "Coefficients réels : $P(z) = 0 \\Rightarrow P(\\bar{z}) = 0$ :\nl'axe réel est un miroir pour les racines. Conséquence : un\npolynôme réel de degré impair a toujours au moins une racine\nréelle."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "trinome-j"
      ],
      "title": "Résoudre $z^2 + z + 1 = 0$",
      "statement": "Quelles sont les solutions de $z^2 + z + 1 = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$z = \\dfrac{-1 \\pm i\\sqrt{3}}{2}$ : les nombres $j$ et\n$j^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = 1 - 4 = -3$ : racines\n$\\frac{-1 \\pm i\\sqrt{3}}{2}$ : exactement les racines\ncubiques non réelles de l'unité (cohérent : $z^3 - 1 =\n(z - 1)(z^2 + z + 1)$)."
        },
        {
          "text": "$z = \\dfrac{-1 \\pm \\sqrt{3}}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $i$ oublié : $\\Delta = -3 < 0$ : les racines sont\ncomplexes : $\\sqrt{-\\Delta} = \\sqrt{3}$ s'accompagne du\nfacteur $i$."
        },
        {
          "text": "$z = 1$ et $z = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $1 + 1 + 1 = 3 \\neq 0$ : ni $1$ ni $-1$\nn'annulent le trinôme."
        },
        {
          "text": "Aucune : $\\Delta < 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe de première : dans $\\mathbb{C}$, $\\Delta < 0$\nfournit deux racines conjuguées : c'est tout l'objet du\nchapitre."
        }
      ],
      "explanation": "$z^2 + z + 1 = 0$ : les racines sont $j = e^{2i\\pi/3}$ et\n$j^2 = \\bar{j}$ : le facteur non trivial de $z^3 - 1$. Somme\n$-1$, produit $1$ : contrôle immédiat par les relations\ncoefficients-racines."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "factorisation-complexe"
      ],
      "title": "Factoriser $z^2 + 9$",
      "statement": "Comment $z^2 + 9$ se factorise-t-il dans $\\mathbb{C}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$(z - 3i)(z + 3i)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z^2 + 9 = z^2 - (3i)^2$ : une\ndifférence de carrés déguisée : les racines $\\pm 3i$\nfournissent les facteurs."
        },
        {
          "text": "$(z + 3)(z - 3)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $(z+3)(z-3) = z^2 - 9$ : pour $z^2 + 9$, les\nracines sont **imaginaires** : $\\pm 3i$."
        },
        {
          "text": "$(z + 3)^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Développement : $(z+3)^2 = z^2 + 6z + 9$ : le double\nproduit parasite : notre polynôme n'a pas de terme en\n$z$."
        },
        {
          "text": "Il est irréductible : somme de carrés",
          "correct": false,
          "feedback": "Vrai dans $\\mathbb{R}$, faux dans $\\mathbb{C}$ : tout\npolynôme s'y factorise en degrés $1$ : $z^2 + 9 = (z -\n3i)(z + 3i)$."
        }
      ],
      "explanation": "Dans $\\mathbb{C}$, $a^2 + b^2 = (a - ib)(a + ib)$ : les\nsommes de carrés se factorisent. C'est le miracle du corps\ndes complexes : plus aucun polynôme n'est irréductible\nau-delà du degré $1$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "cardinal-Un"
      ],
      "title": "Combien de racines $n$-ièmes ?",
      "statement": "Combien l'équation $z^n = 1$ a-t-elle de solutions\ncomplexes ?",
      "options": [
        {
          "text": "Exactement $n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les $e^{2ik\\pi/n}$ pour $k = 0, \\dots,\nn - 1$, toutes distinctes : le maximum autorisé par le\ndegré, atteint."
        },
        {
          "text": "Une seule : $z = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Vision réelle : dans $\\mathbb{C}$, le cercle fournit $n$\nsolutions régulièrement espacées ($1$ n'est que celle de\n$k = 0$)."
        },
        {
          "text": "Deux : $z = 1$ et $z = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Cas particulier : $\\pm 1$ sont les solutions pour $n =\n2$ (et $-1$ seulement si $n$ est pair) : en général, il\ny en a $n$."
        },
        {
          "text": "Une infinité",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un polynôme de degré $n$ a au plus $n$\nracines : les angles $\\frac{2k\\pi}{n}$ se répètent\nmodulo $2\\pi$ : exactement $n$ points distincts."
        }
      ],
      "explanation": "$\\mathbb{U}_n$ compte exactement $n$ éléments : le degré\nmajore, l'exhibition des $e^{2ik\\pi/n}$ atteint la borne.\nC'est LE cas d'école où « au plus $n$ » devient\n« exactement $n$ »."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "quotient-imaginaire-pur"
      ],
      "title": "Quotient imaginaire pur",
      "statement": "$A$, $B$, $C$ sont trois points d'affixes $a$, $b$, $c$\ndistinctes. Que signifie « $\\dfrac{c - a}{b - a}$ est\nimaginaire pur (non nul) » ?",
      "options": [
        {
          "text": "L'angle en $A$ entre $\\overrightarrow{AB}$ et\n$\\overrightarrow{AC}$ est droit",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'argument du quotient est l'angle\n$(\\overrightarrow{AB}\\ ;\\ \\overrightarrow{AC})$ :\nimaginaire pur = argument $\\pm\\frac{\\pi}{2}$ = angle\ndroit en $A$."
        },
        {
          "text": "Les points sont alignés",
          "correct": false,
          "feedback": "Inversé : l'alignement correspond au quotient **réel**\n(argument $0$ ou $\\pi$) : l'imaginaire pur est la\nperpendiculaire."
        },
        {
          "text": "Le triangle est équilatéral",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : équilatéral demande un quotient $e^{\\pm\ni\\pi/3}$ (module $1$, angle $60°$) : ni réel ni\nimaginaire pur."
        },
        {
          "text": "$AB = AC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion module/argument : l'égalité des longueurs se\nlit sur le MODULE du quotient ($= 1$) : l'imaginaire pur\nparle de l'angle."
        }
      ],
      "explanation": "Le quotient $\\frac{c-a}{b-a}$ : son argument = l'angle en\n$A$, son module = le rapport $\\frac{AC}{AB}$. Réel :\nalignement ; imaginaire pur : angle droit ; $e^{i\\pi/3}$ :\ntriangle équilatéral. Un dictionnaire géométrique complet."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "racines-cubiques-8"
      ],
      "title": "Résoudre $z^3 = 8$",
      "statement": "Quelles sont les solutions complexes de $z^3 = 8$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$, $2j$ et $2j^2$ (où $j = e^{2i\\pi/3}$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $z^3 = 8 \\iff \\left(\\frac{z}{2}\\right)^3\n= 1$ : les solutions sont $2$ fois les racines cubiques\nde l'unité : un triangle équilatéral de rayon $2$."
        },
        {
          "text": "$2$ seulement",
          "correct": false,
          "feedback": "Vision réelle : $2$ est la seule solution RÉELLE : dans\n$\\mathbb{C}$, le degré $3$ livre trois racines ($2j$ et\n$2j^2$ complètent)."
        },
        {
          "text": "$2$, $-2$ et $2i$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : $(-2)^3 = -8 \\neq 8$ et $(2i)^3 = -8i$ : les\nbonnes racines s'obtiennent en tournant de $120°$ :\n$2e^{2i\\pi/3}$, $2e^{4i\\pi/3}$."
        },
        {
          "text": "$8$, $8j$ et $8j^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Module : la racine cubique de $8$ est $2$ ($2^3 = 8$) :\nle module des solutions est $2$, pas $8$."
        }
      ],
      "explanation": "$z^n = a$ ($a > 0$) : solutions $\\sqrt[n]{a}\\;e^{2ik\\pi/n}$ :\nla racine réelle multipliée par les racines $n$-ièmes de\nl'unité : polygone régulier de rayon $\\sqrt[n]{a}$. Ramener\nà $\\mathbb{U}_n$ par division : le réflexe."
    }
  ]
}