{
  "chapter": {
    "id": "graphes-matrices",
    "level": "maths-expertes",
    "theme": "Graphes et matrices",
    "title": "Graphes, matrices et chaînes de Markov",
    "description": "Vocabulaire des graphes (sommets, arêtes, degré, chaîne,\nconnexité), matrices et opérations, inverse et puissances,\nmatrice d'adjacence et comptage de chemins, suites\n$U_{n+1} = AU_n + C$, chaînes de Markov à deux ou trois états,\nmatrice de transition et distributions invariantes.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "graphe",
        "vocabulaire"
      ],
      "title": "Degré d'un sommet",
      "statement": "Dans un graphe non orienté, qu'appelle-t-on degré d'un\nsommet ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le nombre d'arêtes dont ce sommet est une extrémité",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le degré compte les arêtes incidentes au\nsommet : son « nombre de connexions »."
        },
        {
          "text": "Le nombre total de sommets du graphe",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est l'**ordre** du graphe. Le degré est\nune caractéristique locale de chaque sommet."
        },
        {
          "text": "Le nombre total d'arêtes du graphe",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le degré ne compte que les arêtes **touchant ce\nsommet**, pas toutes."
        },
        {
          "text": "La longueur de la plus longue chaîne partant du sommet",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les chaînes mesurent des parcours ; le degré\nmesure les connexions immédiates."
        }
      ],
      "explanation": "Vocabulaire de base : ordre = nombre de sommets ; degré d'un\nsommet = nombre d'arêtes incidentes. Lemme des poignées de\nmain : la somme des degrés vaut $2 \\times$ (nombre d'arêtes),\ndonc elle est toujours paire."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "graphe-complet"
      ],
      "title": "Graphe complet",
      "statement": "Combien d'arêtes possède le graphe complet à $5$ sommets\n(chaque paire de sommets est reliée) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : une arête par paire de sommets :\n$\\binom{5}{2} = \\dfrac{5 \\times 4}{2} = 10$."
        },
        {
          "text": "$20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Double comptage : $5 \\times 4$ compte chaque arête dans\nles deux sens ; on divise par $2$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ arêtes font un simple cycle (pentagone). Le\ngraphe **complet** relie toutes les paires : $10$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5^2$ compterait aussi des boucles et les deux\nsens. Paires distinctes : $\\binom{5}{2} = 10$."
        }
      ],
      "explanation": "Graphe complet à $n$ sommets : chaque sommet est de degré\n$n - 1$, et il y a $\\binom{n}{2} = \\frac{n(n-1)}{2}$ arêtes.\nContrôle par les poignées de main : $\\frac{5 \\times 4}{2} =\n10$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "chaine",
        "connexite"
      ],
      "title": "Graphe connexe",
      "statement": "Que signifie « le graphe est connexe » ?",
      "options": [
        {
          "text": "Deux sommets quelconques sont toujours reliés par au\nmoins une chaîne",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : d'un seul tenant : on peut voyager de\nn'importe quel sommet vers n'importe quel autre en\nsuivant les arêtes."
        },
        {
          "text": "Chaque paire de sommets est reliée par une arête directe",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop fort : c'est le graphe **complet**. La connexité\nautorise les détours (chaînes de plusieurs arêtes)."
        },
        {
          "text": "Le graphe ne contient aucun cycle",
          "correct": false,
          "feedback": "Autre notion : c'est un graphe **acyclique** (une forêt).\nUn cycle peut très bien être connexe."
        },
        {
          "text": "Tous les sommets ont le même degré",
          "correct": false,
          "feedback": "Autre notion (graphe régulier) : deux triangles disjoints\nont tous leurs degrés égaux à $2$ sans être connexes."
        }
      ],
      "explanation": "Chaîne = suite d'arêtes consécutives ; sa longueur = nombre\nd'arêtes. Connexe = toute paire de sommets est reliée par\nune chaîne : le réseau est d'un seul bloc."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "matrice",
        "definition"
      ],
      "title": "Dimensions d'une matrice",
      "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\\\ 3 & -1 & 4\n\\end{pmatrix}$. Quelles sont les dimensions de $A$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2 \\times 3$ : deux lignes, trois colonnes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : convention lignes $\\times$ colonnes,\ntoujours dans cet ordre."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordre inversé : on annonce d'abord les **lignes** ($2$),\npuis les colonnes ($3$)."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $6$ est le nombre de coefficients, mais la\nforme ($2 \\times 3$ ou $3 \\times 2$ ou $6 \\times 1$…)\nest une information essentielle."
        },
        {
          "text": "$2 \\times 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la matrice n'est pas carrée : elle a $3$\ncolonnes."
        }
      ],
      "explanation": "Matrice $n \\times p$ : tableau de $n$ lignes et $p$\ncolonnes. Cas particuliers : matrice carrée ($n = p$),\nmatrice ligne ($1 \\times p$), matrice colonne ($n \\times\n1$). Le produit $AB$ exige : colonnes de $A$ = lignes de\n$B$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "produit-matrices"
      ],
      "title": "Produit de matrices",
      "statement": "Soient $A = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et\n$B = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$. Que vaut\nle produit $AB$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$AB = \\begin{pmatrix} 5 & 2 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ligne par colonne : $(1 \\times 3 + 2\n\\times 1) = 5$, $(1 \\times 0 + 2 \\times 1) = 2$, $(0\n\\times 3 + 1 \\times 1) = 1$, $(0 \\times 0 + 1 \\times 1)\n= 1$."
        },
        {
          "text": "$AB = \\begin{pmatrix} 3 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Produit coefficient par coefficient : ce n'est pas la\nrègle : chaque case croise une **ligne** de $A$ avec une\n**colonne** de $B$."
        },
        {
          "text": "$AB = \\begin{pmatrix} 4 & 2 \\\\ 1 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition parasite : c'est $A + B$. Le produit multiplie\nligne par colonne puis somme."
        },
        {
          "text": "$AB = \\begin{pmatrix} 3 & 2 \\\\ 1 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Première case fausse : $(1\\ \\ 2) \\cdot\n\\binom{3}{1} = 3 + 2 = 5$, pas $3$."
        }
      ],
      "explanation": "Produit ligne $\\times$ colonne. Attention : en général\n$AB \\neq BA$ (ici $BA = \\begin{pmatrix} 3 & 6 \\\\ 1 & 3\n\\end{pmatrix}$) : la multiplication des matrices n'est pas\ncommutative."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "inverse-matrice"
      ],
      "title": "Inverse d'une matrice $2 \\times 2$",
      "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 2 & 1 \\\\ 5 & 3 \\end{pmatrix}$.\nQuelle est la matrice inverse $A^{-1}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : déterminant $= 2 \\times 3 - 1 \\times 5 =\n1$, puis échange de la diagonale et signes opposés sur\nl'autre : $\\frac{1}{1}\\begin{pmatrix} 3 & -1 \\\\ -5 & 2\n\\end{pmatrix}$. Contrôle : $AA^{-1} = I_2$."
        },
        {
          "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} \\frac{1}{2} & 1 \\\\ \\frac{1}{5}\n& \\frac{1}{3} \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : inverser coefficient par coefficient ne marche\npas : l'inverse doit vérifier $AA^{-1} = I_2$, pas\ninverser chaque case."
        },
        {
          "text": "$A^{-1} = \\begin{pmatrix} 3 & 1 \\\\ 5 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signes oubliés : les coefficients hors diagonale\nprennent un signe moins : $-1$ et $-5$."
        },
        {
          "text": "$A$ n'est pas inversible",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le déterminant $2 \\times 3 - 1 \\times 5 = 1\n\\neq 0$ : inversible."
        }
      ],
      "explanation": "Pour $\\begin{pmatrix} a & b \\\\ c & d \\end{pmatrix}$ avec\n$ad - bc \\neq 0$ : inverse $= \\dfrac{1}{ad - bc}\n\\begin{pmatrix} d & -b \\\\ -c & a \\end{pmatrix}$.\nL'inverse sert à résoudre $AX = B$ : $X = A^{-1}B$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "matrice-adjacence"
      ],
      "title": "Matrice d'adjacence",
      "statement": "Qu'est-ce que la matrice d'adjacence d'un graphe à $n$\nsommets ?",
      "options": [
        {
          "text": "La matrice carrée $n \\times n$ dont le coefficient\n$(i\\ ;\\ j)$ compte les arêtes reliant le sommet $i$ au\nsommet $j$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la carte d'identité numérique du\ngraphe : $1$ (ou le nombre d'arêtes) si liaison, $0$\nsinon. Symétrique pour un graphe non orienté."
        },
        {
          "text": "La matrice colonne des degrés des sommets",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les degrés se **déduisent** de la matrice\nd'adjacence (somme de chaque ligne), mais elle contient\nbien plus : qui est relié à qui."
        },
        {
          "text": "Une matrice $2 \\times n$ listant les arêtes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la matrice d'adjacence est **carrée** $n \\times\nn$, indexée par les sommets en ligne et en colonne."
        },
        {
          "text": "La matrice identité $I_n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $I_n$ décrirait un graphe où chaque sommet n'a\nqu'une boucle sur lui-même : aucun intérêt."
        }
      ],
      "explanation": "Matrice d'adjacence $A$ : $a_{ij}$ = nombre d'arêtes de $i$\nvers $j$. Théorème clé (démonstration au programme) : le\ncoefficient $(i\\ ;\\ j)$ de $A^k$ compte les chemins de\nlongueur $k$ de $i$ à $j$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-adjacence",
        "chemins"
      ],
      "title": "Compter les chemins avec $A^k$",
      "statement": "Soit $A$ la matrice d'adjacence d'un graphe. Que représente\nle coefficient $(1\\ ;\\ 3)$ de la matrice $A^4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le nombre de chemins de longueur $4$ allant du sommet\n$1$ au sommet $3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque produit intermédiaire cumule une\nétape ; $A^4$ compte les parcours en exactement $4$\narêtes (revisites autorisées)."
        },
        {
          "text": "La distance entre les sommets $1$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la distance est la longueur du **plus court**\nchemin ; $A^4$ compte les chemins de longueur\nexactement $4$."
        },
        {
          "text": "Le nombre d'arêtes entre les sommets $1$ et $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est $A^1 = A$ qui donne les liaisons directes ; la\npuissance $4$ compte les parcours en $4$ étapes."
        },
        {
          "text": "$4$ fois le coefficient $(1\\ ;\\ 3)$ de $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion entre $A^4$ (produit matriciel itéré) et $4A$\n(multiplication par un scalaire)."
        }
      ],
      "explanation": "Théorème : $\\left(A^k\\right)_{ij}$ = nombre de chemins de\nlongueur $k$ de $i$ à $j$. Preuve par récurrence : un chemin\nde longueur $k$ = un chemin de longueur $k-1$ suivi d'une\narête, ce que le produit matriciel somme exactement."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "suite-matricielle"
      ],
      "title": "Suite $U_{n+1} = AU_n$",
      "statement": "Une suite de matrices colonnes vérifie $U_{n+1} = A\\,U_n$\npour tout $n$. Comment s'exprime $U_n$ en fonction de\n$U_0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$U_n = A^n\\,U_0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque étape multiplie par $A$ à\ngauche ; après $n$ étapes : $A^n U_0$ : exactement comme\nune suite géométrique, en version matricielle."
        },
        {
          "text": "$U_n = n\\,A\\,U_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion arithmétique/géométrique : on **multiplie**\npar $A$ à chaque étape, on n'ajoute pas : c'est une\npuissance, pas un multiple."
        },
        {
          "text": "$U_n = A\\,U_0^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la puissance porte sur $A$ (appliquée $n$\nfois) ; $U_0^n$ n'a même pas de sens pour une colonne."
        },
        {
          "text": "$U_n = A^{n-1}\\,U_1$ donc rien de plus simple",
          "correct": false,
          "feedback": "Exact mais inutilement décalé : en remontant jusqu'à\n$U_0$ : $U_n = A^n U_0$ : la forme close attendue."
        }
      ],
      "explanation": "$U_{n+1} = AU_n \\Rightarrow U_n = A^n U_0$ : tout le\ncomportement asymptotique se lit sur les puissances de $A$.\nAvec un terme constant ($U_{n+1} = AU_n + C$), on cherche\nune colonne fixe $X = AX + C$ pour s'y ramener."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "markov",
        "matrice-transition"
      ],
      "title": "Matrice de transition",
      "statement": "Le graphe ci-contre décrit une chaîne de Markov à deux états\n$A$ et $B$. Quelle est sa matrice de transition $P$ (états\ndans l'ordre $A$, $B$, lignes = état de départ) ?",
      "figure": {
        "tikz": "\\begin{tikzpicture}\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (A) at (0,0) {$A$};\n  \\node[draw, circle, minimum size=9mm] (B) at (3.6,0) {$B$};\n  \\draw[->] (A) to[bend left=25] node[above, font=\\small] {$0{,}2$} (B);\n  \\draw[->] (B) to[bend left=25] node[below, font=\\small] {$0{,}3$} (A);\n  \\draw[->] (A) .. controls (-1.5,1.1) and (-1.5,-1.1) .. (A);\n  \\node[font=\\small] at (-1.55,0) {$0{,}8$};\n  \\draw[->] (B) .. controls (5.1,1.1) and (5.1,-1.1) .. (B);\n  \\node[font=\\small] at (5.15,0) {$0{,}7$};\n\\end{tikzpicture}",
        "alt": "Graphe orienté pondéré à deux états A et B : flèche de A vers B de poids 0,2, flèche de B vers A de poids 0,3, boucle sur A de poids 0,8, boucle sur B de poids 0,7.",
        "svg": "<svg xmlns=\"http://www.w3.org/2000/svg\" xmlns:xlink=\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width=\"212.322pt\" height=\"66.746pt\" viewBox=\"0 0 212.322 66.746\">\n<defs>\n<g>\n<g id=\"glyph-0-0\">\n<path d=\"M 1.78125 -1.140625 C 1.375 -0.46875 0.984375 -0.34375 0.5625 -0.3125 C 0.4375 -0.296875 0.34375 -0.296875 0.34375 -0.109375 C 0.34375 -0.046875 0.390625 0 0.46875 0 C 0.75 0 1.046875 -0.03125 1.328125 -0.03125 C 1.65625 -0.03125 2 0 2.328125 0 C 2.375 0 2.515625 0 2.515625 -0.1875 C 2.515625 -0.296875 2.421875 -0.3125 2.34375 -0.3125 C 2.125 -0.328125 1.890625 -0.40625 1.890625 -0.65625 C 1.890625 -0.78125 1.9375 -0.890625 2.03125 -1.015625 L 2.78125 -2.296875 L 5.265625 -2.296875 C 5.28125 -2.078125 5.421875 -0.734375 5.421875 -0.640625 C 5.421875 -0.34375 4.90625 -0.3125 4.71875 -0.3125 C 4.578125 -0.3125 4.46875 -0.3125 4.46875 -0.109375 C 4.46875 0 4.59375 0 4.609375 0 C 5.015625 0 5.453125 -0.03125 5.859375 -0.03125 C 6.109375 -0.03125 6.734375 0 6.96875 0 C 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-6.046875 L 0.515625 -4.171875 L 0.765625 -4.171875 C 0.796875 -4.375 0.859375 -4.875 0.984375 -4.984375 C 1.046875 -5.046875 1.75 -5.046875 1.875 -5.046875 L 3.75 -5.046875 L 2.890625 -3.875 C 1.734375 -2.265625 1.625 -0.8125 1.625 -0.296875 C 1.625 -0.203125 1.625 0.203125 2.03125 0.203125 C 2.453125 0.203125 2.453125 -0.203125 2.453125 -0.3125 L 2.453125 -0.75 C 2.453125 -2.0625 2.65625 -3.09375 3.125 -3.75 Z M 4.375 -5.453125 \"/>\n</g>\n<g id=\"glyph-2-0\">\n<path d=\"M 1.625 -0.140625 C 1.625 0.15625 1.625 0.890625 0.96875 1.515625 C 0.90625 1.578125 0.90625 1.578125 0.90625 1.625 C 0.90625 1.6875 0.96875 1.71875 1.03125 1.71875 C 1.125 1.71875 1.84375 1.03125 1.84375 -0.015625 C 1.84375 -0.578125 1.65625 -0.96875 1.265625 -0.96875 C 0.96875 -0.96875 0.78125 -0.734375 0.78125 -0.484375 C 0.78125 -0.234375 0.96875 0 1.265625 0 C 1.40625 0 1.53125 -0.046875 1.625 -0.140625 Z M 1.625 -0.140625 \"/>\n</g>\n</g>\n</defs>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 12.757775 0.000389188 C 12.757775 7.046633 7.04471 12.755777 -0.00153396 12.755777 C -7.043857 12.755777 -12.756921 7.046633 -12.756921 0.000389188 C -12.756921 -7.045855 -7.043857 -12.754998 -0.00153396 -12.754998 C 7.04471 -12.754998 12.757775 -7.045855 12.757775 0.000389188 Z M 12.757775 0.000389188 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-0\" x=\"51.271879\" y=\"36.637577\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 114.804796 0.000389188 C 114.804796 7.046633 109.095652 12.755777 102.049408 12.755777 C 95.003164 12.755777 89.294021 7.046633 89.294021 0.000389188 C 89.294021 -7.045855 95.003164 -12.754998 102.049408 -12.754998 C 109.095652 -12.754998 114.804796 -7.045855 114.804796 0.000389188 Z M 114.804796 0.000389188 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-0-1\" x=\"152.641121\" y=\"36.637577\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 11.742206 5.474266 C 39.507622 18.421788 62.540252 18.421788 89.944926 5.642874 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073181 2.392132 C -1.693184 0.955534 -0.850312 0.27991 -0.00186996 0.000596038 C -0.849773 -0.277958 -1.692826 -0.956616 -2.070628 -2.391796 \" transform=\"matrix(0.902864, 0.420998, 0.420998, -0.902864, 144.778781, 27.708357)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"99.958603\" y=\"12.875005\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"104.548138\" y=\"12.875005\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-1\" x=\"107.098433\" y=\"12.875005\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 90.305668 -5.473488 C 62.540252 -18.424931 39.507622 -18.424931 12.102948 -5.642095 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.07214 2.391759 C -1.692143 0.95516 -0.849271 0.279537 -0.000828882 0.000222631 C -0.848732 -0.278332 -1.691784 -0.956989 -2.071244 -2.388616 \" transform=\"matrix(-0.902864, -0.420998, -0.420998, 0.902864, 66.870439, 38.784606)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"99.958603\" y=\"57.637662\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"104.548138\" y=\"57.637662\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-2\" x=\"107.098433\" y=\"57.637662\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -10.447385 7.662248 C -42.522106 31.181097 -42.522106 -31.180318 -10.768916 -7.896737 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.074318 2.391214 C -1.693387 0.954548 -0.851627 0.278902 -0.00080057 0.000211061 C -0.850363 -0.276369 -1.694023 -0.956017 -2.070741 -2.391418 \" transform=\"matrix(0.803313, -0.589098, -0.589098, -0.803313, 44.426549, 40.995792)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"5.357604\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"9.948135\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-3\" x=\"12.49843\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"butt\" stroke-linejoin=\"miter\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M 112.495259 7.662248 C 144.569981 31.181097 144.569981 -31.180318 112.81679 -7.896737 \" transform=\"matrix(0.996209, 0, 0, -0.996209, 54.993716, 33.246481)\"/>\n<path fill=\"none\" stroke-width=\"0.3985\" stroke-linecap=\"round\" stroke-linejoin=\"round\" stroke=\"currentColor\" stroke-opacity=\"1\" stroke-miterlimit=\"10\" d=\"M -2.073262 2.389569 C -1.693381 0.956488 -0.849721 0.27684 -0.000158869 0.000259521 C -0.850985 -0.278432 -1.695908 -0.956396 -2.073676 -2.390744 \" transform=\"matrix(-0.803313, -0.589098, -0.589098, 0.803313, 167.222682, 40.995792)\"/>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-0\" x=\"194.558605\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-2-0\" x=\"199.149136\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n<g fill=\"currentColor\" fill-opacity=\"1\">\n<use xlink:href=\"#glyph-1-4\" x=\"201.699431\" y=\"35.255835\"/>\n</g>\n</svg>\n"
      },
      "options": [
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\\\ 0{,}3 & 0{,}7\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : ligne $A$ : rester en $A$ ($0{,}8$),\naller en $B$ ($0{,}2$) ; ligne $B$ : $0{,}3$ puis\n$0{,}7$. Chaque **ligne** somme à $1$."
        },
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}3 \\\\ 0{,}2 & 0{,}7\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Transposée : ici les lignes ne somment plus à $1$\n($0{,}8 + 0{,}3 = 1{,}1$) : le signe sûr d'un échange\nlignes/colonnes."
        },
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}8 \\\\ 0{,}7 & 0{,}3\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Diagonale échangée : le coefficient $(1\\ ;\\ 1)$ est la\nprobabilité de **rester** en $A$, soit $0{,}8$ (la\nboucle)."
        },
        {
          "text": "$P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\\\ 0{,}7 & 0{,}3\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ligne $B$ inversée : depuis $B$, la probabilité d'aller\nen $A$ (première colonne) est $0{,}3$, celle de rester\nest $0{,}7$."
        }
      ],
      "explanation": "Matrice de transition : $p_{ij}$ = probabilité de passer de\nl'état $i$ à l'état $j$ en une étape ; chaque ligne somme à\n$1$. Le graphe pondéré et la matrice sont deux écritures du\nmême objet."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "markov",
        "distribution"
      ],
      "title": "Distribution après $n$ transitions",
      "statement": "Une chaîne de Markov a pour matrice de transition $P$ et\npour distribution initiale la matrice ligne $\\pi_0$. Que\nreprésente la matrice ligne $\\pi_0 P^n$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La distribution de probabilité de l'état du système\naprès $n$ transitions",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque multiplication par $P$ fait\navancer d'une étape ; $\\pi_n = \\pi_0 P^n$ donne les\nprobabilités d'occupation de chaque état à l'instant\n$n$."
        },
        {
          "text": "La probabilité de rester dans l'état initial",
          "correct": false,
          "feedback": "Réducteur : $\\pi_0 P^n$ est une **ligne complète** : une\nprobabilité par état, pas un seul nombre."
        },
        {
          "text": "La matrice des chemins de longueur $n$ du graphe",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la matrice d'**adjacence** : ici les\ncoefficients sont des probabilités, et $\\pi_0 P^n$ est\nune ligne, pas une matrice carrée."
        },
        {
          "text": "Toujours la distribution uniforme",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la limite éventuelle dépend de $P$ (c'est la\ndistribution invariante, rarement uniforme)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\pi_{n+1} = \\pi_n P$, d'où $\\pi_n = \\pi_0 P^n$\n(démonstration au programme). Interprétation coefficient par\ncoefficient : $(P^n)_{ij}$ = probabilité de passer de $i$ à\n$j$ en $n$ transitions."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "markov",
        "invariante"
      ],
      "title": "Distribution invariante",
      "statement": "Pour la chaîne de matrice $P = \\begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2\n\\\\ 0{,}3 & 0{,}7 \\end{pmatrix}$, quelle est la distribution\ninvariante $\\pi = (x\\ ;\\ y)$ (vérifiant $\\pi P = \\pi$ et\n$x + y = 1$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\pi = (0{,}6\\ ;\\ 0{,}4)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\pi P = \\pi$ donne $0{,}8x + 0{,}3y =\nx$, soit $0{,}3y = 0{,}2x$ ; avec $x + y = 1$ :\n$x = 0{,}6$, $y = 0{,}4$. Contrôle : $0{,}8 \\times\n0{,}6 + 0{,}3 \\times 0{,}4 = 0{,}6$."
        },
        {
          "text": "$\\pi = (0{,}5\\ ;\\ 0{,}5)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Uniforme par réflexe : contrôle : $0{,}8 \\times 0{,}5 +\n0{,}3 \\times 0{,}5 = 0{,}55 \\neq 0{,}5$ : pas\ninvariante."
        },
        {
          "text": "$\\pi = (0{,}8\\ ;\\ 0{,}2)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Première ligne recopiée : ce n'est pas la définition :\non résout $\\pi P = \\pi$ avec $x + y = 1$."
        },
        {
          "text": "Il n'en existe pas",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : pour une chaîne à deux états comme celle-ci, le\nsystème $\\pi P = \\pi$, $x + y = 1$ a une solution :\n$(0{,}6\\ ;\\ 0{,}4)$."
        }
      ],
      "explanation": "Distribution invariante : $\\pi P = \\pi$ avec somme $1$ : si\nla chaîne démarre sur $\\pi$, elle y reste ; et ici les\ndistributions $\\pi_n$ convergent vers $\\pi$ quel que soit le\ndépart. L'état $A$ est occupé $60\\ \\%$ du temps en régime\nétabli."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "poignees-de-main"
      ],
      "title": "Le lemme des poignées de main",
      "statement": "Dans un graphe non orienté, que vaut la somme des degrés de\ntous les sommets ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le double du nombre d'arêtes",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque arête possède deux extrémités :\nelle contribue $2$ à la somme des degrés : somme $= 2\n\\times$ arêtes."
        },
        {
          "text": "Le nombre d'arêtes",
          "correct": false,
          "feedback": "Moitié : chaque arête est comptée par ses DEUX bouts :\nla somme des degrés double le compte des arêtes."
        },
        {
          "text": "Le nombre de sommets",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme dépend des connexions, pas du seul\neffectif : un triangle (3 sommets) a une somme de degrés\nde $6$."
        },
        {
          "text": "Cela dépend du graphe, sans formule générale",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la formule $\\sum \\deg = 2 \\times$ arêtes vaut\npour TOUT graphe : c'est un des rares invariants\nuniversels."
        }
      ],
      "explanation": "Lemme des poignées de main : $\\sum \\deg(s) = 2 \\times\n|\\text{arêtes}|$ : donc la somme des degrés est toujours\nPAIRE, et le nombre de sommets de degré impair aussi. Deux\nconséquences qui tuent bien des constructions impossibles."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "matrice-identite"
      ],
      "title": "La matrice identité",
      "statement": "Que vaut le produit $A\\,I_2$, où $I_2 = \\begin{pmatrix} 1 &\n0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ et $A$ est une matrice $2 \\times\n2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A$ : l'identité est neutre pour le produit",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $AI = IA = A$ : l'identité joue pour les\nmatrices le rôle du nombre $1$ : c'est la référence des\ninverses ($AA^{-1} = I$)."
        },
        {
          "text": "$I_2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par l'identité ne « remplace » pas\npar elle : chaque ligne de $A$ ressort intacte."
        },
        {
          "text": "La matrice nulle",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : c'est la matrice NULLE qui absorbe tout :\nl'identité, elle, laisse tout passer."
        },
        {
          "text": "$2A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les $1$ de la diagonale recopient chaque\ncoefficient UNE fois : aucun doublement."
        }
      ],
      "explanation": "$I_n$ : des $1$ sur la diagonale, des $0$ ailleurs : le\nneutre du produit matriciel. Elle définit l'inverse\n($AA^{-1} = I$) et sert de point de départ aux puissances\n($A^0 = I$)."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "non-commutativite"
      ],
      "title": "$AB$ contre $BA$",
      "statement": "Pour deux matrices carrées $A$ et $B$, a-t-on toujours\n$AB = BA$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : par exemple $\\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0\n\\end{pmatrix} \\neq \\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 1 & 0\n\\end{pmatrix}\\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 0 & 0\n\\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les deux produits donnent\n$\\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$ et\n$\\begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ :\nl'ordre des facteurs CHANGE le résultat."
        },
        {
          "text": "Oui : la multiplication est toujours commutative",
          "correct": false,
          "feedback": "Réflexe des nombres à abandonner : composer des\ntransformations dépend de l'ordre (tourner puis étirer\nn'est pas étirer puis tourner)."
        },
        {
          "text": "Oui, dès que les deux matrices sont carrées de même\ntaille",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : même carrées, l'ordre compte : le contre-exemple\nci-contre utilise deux matrices $2 \\times 2$."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si les matrices sont différentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Confus : certains COUPLES commutent (une matrice et ses\npuissances, l'identité avec tout) : mais la règle\ngénérale est la non-commutativité."
        }
      ],
      "explanation": "Le produit matriciel n'est PAS commutatif : réflexe\npermanent : ne jamais échanger l'ordre des facteurs\n(développements, factorisations, équations : tout doit\nrespecter le côté de multiplication)."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "dimensions-produit"
      ],
      "title": "Dimensions compatibles",
      "statement": "$A$ est de taille $2 \\times 3$ et $B$ de taille $3 \\times\n1$. Que dire du produit $AB$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Il existe et mesure $2 \\times 1$ (une colonne de hauteur\n$2$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les dimensions intérieures coïncident\n($3 = 3$) : le produit existe, aux dimensions\nextérieures $2 \\times 1$."
        },
        {
          "text": "Il n'existe pas : les tailles sont différentes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit n'exige pas des tailles égales, mais\ndes dimensions INTÉRIEURES égales (colonnes de $A$ =\nlignes de $B$) : c'est le cas."
        },
        {
          "text": "Il existe et mesure $3 \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 \\times 3$ sortirait de $BA$… qui n'existe\nd'ailleurs pas ($1 \\neq 2$) : $AB$ prend les dimensions\nextérieures : $2 \\times 1$."
        },
        {
          "text": "Il existe et mesure $2 \\times 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la dimension commune $3$ est CONSOMMÉE par le\nproduit : restent $2$ (lignes de $A$) et $1$ (colonnes\nde $B$)."
        }
      ],
      "explanation": "Règle des dominos : $(m \\times n)(n \\times p) = m \\times p$ :\nles dimensions intérieures doivent coïncider et\ndisparaissent. À vérifier AVANT tout calcul : la moitié des\nerreurs de produit sont des produits impossibles."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "puissance-matrice"
      ],
      "title": "Calculer $A^2$",
      "statement": "Soit $A = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$.\nQue vaut $A^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$A^2 = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : produit ligne par colonne : seul le\ncoefficient supérieur droit bouge : $1 \\times 1 + 1\n\\times 1 = 2$. (Et $A^n$ y affichera $n$ : récurrence\nélégante.)"
        },
        {
          "text": "$A^2 = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $A$ n'est pas idempotente : le coefficient\ndroit cumule : $1 + 1 = 2$."
        },
        {
          "text": "$A^2 = \\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}^2 =\n\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ coefficient\npar coefficient",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de méthode : élever chaque coefficient au carré\nn'est PAS le produit matriciel (qui croise lignes et\ncolonnes)."
        },
        {
          "text": "$A^2 = \\begin{pmatrix} 2 & 2 \\\\ 0 & 2 \\end{pmatrix}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $2A$ double les coefficients : $A^2 = A\n\\times A$ suit la règle ligne-colonne : seul le $2$\nsupérieur droit apparaît."
        }
      ],
      "explanation": "Puissance = produits successifs (jamais coefficient par\ncoefficient). La matrice $\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 0 & 1\n\\end{pmatrix}$ vérifie $A^n = \\begin{pmatrix} 1 & n \\\\ 0 &\n1 \\end{pmatrix}$ : premier exemple de conjecture + récurrence\nmatricielle."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "matrice-stochastique"
      ],
      "title": "Une matrice de transition valide ?",
      "statement": "La matrice $\\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}6 \\\\ 0{,}3 & 0{,}7\n\\end{pmatrix}$ peut-elle être la matrice de transition\nd'une chaîne de Markov ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : la première ligne somme à $1{,}1 \\neq 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque LIGNE d'une matrice de transition\nliste les probabilités de départ d'un état : elle doit\nsommer à $1$ ($0{,}5 + 0{,}6 = 1{,}1$ : impossible)."
        },
        {
          "text": "Oui : tous les coefficients sont entre $0$ et $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Nécessaire mais pas suffisant : il faut AUSSI que chaque\nligne somme à $1$ : la première déborde."
        },
        {
          "text": "Non : les colonnes ne somment pas à $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais axe : la convention du programme somme les\n**lignes** (ligne = état de départ) : et c'est bien une\nligne qui cloche ici."
        },
        {
          "text": "Oui : il suffit de la diviser par $1{,}1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : renormaliser une seule ligne casserait l'autre\n($0{,}3 + 0{,}7 = 1$ déjà) : la matrice donnée est\nsimplement invalide."
        }
      ],
      "explanation": "Matrice de transition (stochastique) : coefficients dans\n$[0\\ ;\\ 1]$ ET chaque ligne somme à $1$ (toutes les\ndestinations depuis un état). Vérification systématique\navant tout calcul de $\\pi_0 P^n$."
    }
  ]
}