{ "chapter": { "id": "derivation", "level": "premiere-specialite", "theme": "Analyse", "title": "Dérivation", "description": "Taux de variation et sécantes, nombre dérivé comme limite du taux\nde variation, tangente et son équation, approximation linéaire\n$f(a+h) \\approx f(a) + f'(a)h$, fonctions dérivées des fonctions\nde référence (carré, cube, inverse, racine), opérations (somme,\nproduit, inverse, quotient), dérivabilité de la valeur absolue\nen 0.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "taux-de-variation", "definition" ], "title": "Taux de variation", "statement": "Soit $f$ une fonction et $a$, $h$ des réels ($h \\neq 0$).\nComment s'écrit le taux de variation de $f$ entre $a$ et\n$a + h$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : variation des images divisée par la\nvariation de la variable : c'est la pente de la sécante\nentre les points d'abscisses $a$ et $a + h$." }, { "text": "$\\dfrac{f(a+h) - f(a)}{a + h}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de dénominateur : on divise par l'**écart** entre\nles deux abscisses, qui vaut $(a+h) - a = h$." }, { "text": "$f(a+h) - f(a)$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : ceci est la **variation** de $f$. Le taux la\nrapporte à la longueur du pas $h$, comme une vitesse\nmoyenne." }, { "text": "$\\dfrac{f(h) - f(a)}{h - a}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux points sont $a$ et $a + h$, pas $a$ et\n$h$. (La forme $\\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ est correcte avec\n$b = a + h$.)" } ], "explanation": "Taux de variation $= \\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ : pente de la\nsécante, vitesse moyenne en cinématique. Le nombre dérivé en\nsera la limite quand $h$ tend vers $0$." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "nombre-derive", "definition" ], "title": "Le nombre dérivé", "statement": "Que représente géométriquement le nombre dérivé $f'(a)$ ?", "options": [ { "text": "La pente de la tangente à la courbe de $f$ au point\nd'abscisse $a$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quand $h$ tend vers $0$, les sécantes\npivotent vers une position limite, la tangente ; leurs\npentes tendent vers $f'(a)$." }, { "text": "La pente de la sécante entre $a$ et $a + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette pente est le **taux de variation** pour\n$h = 1$. Le nombre dérivé est la **limite** des pentes des\nsécantes quand $h \\to 0$." }, { "text": "L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse $a$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'ordonnée est $f(a)$. Le nombre dérivé $f'(a)$\nmesure l'**inclinaison** de la courbe en ce point, pas sa\nhauteur." }, { "text": "L'aire sous la courbe jusqu'à $a$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'aire relève du calcul intégral (programme de\nterminale). La dérivation parle de pente." } ], "explanation": "$f'(a) = $ limite du taux de variation\n$\\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h \\to 0$ : géométriquement, la\npente de la tangente ; en cinématique, la vitesse instantanée." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique", "tangente" ], "title": "Lire un nombre dérivé sur un graphique", "statement": "Sur la figure ci-dessous, la droite $T$ est la tangente à la\ncourbe $\\mathcal{C}_f$ au point $A(1\\,;\\,1)$. Que vaut\n$f'(1)$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.72]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-1.7) grid (3.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (3.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.15:2.15,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x});\n \\draw[domain=-0.55:2.75,thick,red] plot (\\x,{2*\\x-1});\n \\fill (1,1) circle (0.08);\n \\node[above left,font=\\small] at (1,1) {$A$};\n \\node[blue,font=\\small] at (-1.95,4.25) {$\\mathcal{C}_f$};\n \\node[red,font=\\small] at (3.15,4.15) {$T$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec la parabole de f(x) = x² en bleu et sa\ntangente T en rouge au point A(1 ; 1). La tangente passe par\nles points (0 ; -1) et (2 ; 3) : elle monte de 2 unités par\npas de 1.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$f'(1) = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la tangente passe par $(0\\,;\\,-1)$ et\n$(2\\,;\\,3)$ : pente $\\dfrac{3 - (-1)}{2 - 0} = 2$. Le\nnombre dérivé **est** cette pente." }, { "text": "$f'(1) = 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ est l'**ordonnée** du point $A$ (la valeur\n$f(1)$), pas la pente de la tangente. Compte les carreaux :\n$T$ monte de $2$ par pas de $1$." }, { "text": "$f'(1) = -1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-1$ est l'**ordonnée à l'origine** de $T$ (son\nintersection avec l'axe vertical), pas sa pente." }, { "text": "$f'(1) = \\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Pente renversée : entre $(0\\,;\\,-1)$ et $(2\\,;\\,3)$, on\nmonte de $4$ pour $2$ d'avance : pente $2$, pas\n$\\frac{1}{2}$." } ], "explanation": "Lecture graphique du nombre dérivé (capacité attendue) :\n$f'(a)$ = pente de la tangente, mesurée entre deux points\nlisibles de la tangente. Ici : $2$ (cohérent avec\n$f(x) = x^2$ : $f'(1) = 2$)." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "tangente", "equation" ], "title": "Équation de la tangente", "statement": "Soit $f(x) = x^2$. Quelle est l'équation de la tangente à la\ncourbe de $f$ au point d'abscisse $a = 1$ ?", "options": [ { "text": "$y = 2x - 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $y = f'(1)(x - 1) + f(1)$ avec $f(1) = 1$\net $f'(1) = 2$ : $y = 2(x-1) + 1 = 2x - 1$." }, { "text": "$y = 2x + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de développement : $2(x - 1) + 1 = 2x - 2 + 1 =\n2x - 1$. Contrôle : la tangente doit passer par\n$(1\\,;\\,1)$, or $2(1) + 1 = 3 \\neq 1$." }, { "text": "$y = x + 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de pente : $f'(1) = 2 \\times 1 = 2$, pas $1$. (La\ndroite $y = x + 1$ n'est pas assez inclinée et **coupe**\nla parabole.)" }, { "text": "$y = 2x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette droite a la bonne pente mais passe par\nl'origine, pas par le point de tangence $(1\\,;\\,1)$ :\n$2 \\times 1 = 2 \\neq 1$." } ], "explanation": "Équation de la tangente en $a$ (démonstration au programme) :\n$y = f'(a)(x - a) + f(a)$. Toujours vérifier que le point de\ntangence vérifie l'équation obtenue." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "derivees-usuelles", "inverse" ], "title": "Dérivée de la fonction inverse", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction inverse\n$f(x) = \\dfrac{1}{x}$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{x^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est une dérivée de référence\n(démonstration au programme via le taux de variation). Le\nsigne négatif traduit la décroissance de l'inverse." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : l'inverse est **décroissante**, sa\ndérivée doit être négative : $-\\dfrac{1}{x^2}$." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exposant du dénominateur augmente en dérivant :\n$\\left(\\dfrac{1}{x}\\right)' = -\\dfrac{1}{x^2}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2x}$ mélange avec la dérivée de la\nracine carrée $\\left(\\frac{1}{2\\sqrt{x}}\\right)$. Pour\nl'inverse : $-\\dfrac{1}{x^2}$." } ], "explanation": "Dérivées de référence à connaître : $(x^2)' = 2x$,\n$(x^3)' = 3x^2$, $\\left(\\dfrac{1}{x}\\right)' =\n-\\dfrac{1}{x^2}$, $(\\sqrt{x})' = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "derivees-usuelles", "racine" ], "title": "Dérivée de la racine carrée", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\sqrt{x}$ sur\n$]0\\,;\\,+\\infty[$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : dérivée de référence. Elle explose près de\n$0$ : la courbe y démarre avec une tangente verticale\n(la fonction n'est pas dérivable en $0$, démonstration au\nprogramme)." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{\\sqrt{x}}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la racine passe au **dénominateur** en dérivant :\n$\\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$." }, { "text": "$f'(x) = 2\\sqrt{x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : $2\\sqrt{x}$ est une **primitive** de\n$\\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$ (vu en terminale). En dérivant\n$\\sqrt{x}$, on obtient $\\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{\\sqrt{x}}$", "correct": false, "feedback": "Presque : il manque le facteur $\\dfrac{1}{2}$ :\n$(\\sqrt{x})' = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$." } ], "explanation": "$(\\sqrt{x})' = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$ sur $]0\\,;\\,+\\infty[$.\nEn $0$ : le taux de variation $\\frac{\\sqrt{h}}{h} =\n\\frac{1}{\\sqrt{h}}$ explose : non dérivable en $0$ (tangente\nverticale)." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "operations", "produit" ], "title": "Dériver un produit", "statement": "Soit $f(x) = x^2\\,(x + 3)$. Que vaut $f'(x)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3x^2 + 6x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(uv)' = u'v + uv'$ donne\n$2x(x+3) + x^2 \\times 1 = 2x^2 + 6x + x^2 = 3x^2 + 6x$.\n(Contrôle : $f(x) = x^3 + 3x^2$ se dérive directement en\n$3x^2 + 6x$.)" }, { "text": "$f'(x) = 2x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2x \\times 1$ est le **produit des dérivées**, ce\nqui n'est pas la règle. Le produit se dérive en\n$u'v + uv'$." }, { "text": "$f'(x) = 2x(x + 3)$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : c'est le terme $u'v$ seul. Il faut lui ajouter\n$uv' = x^2$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 + 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : en développant d'abord, $f(x) = x^3 + 3x^2$ et le\nterme $3x^2$ se dérive en $6x$, pas en $3$." } ], "explanation": "Deux chemins concordants : la règle du produit\n$(uv)' = u'v + uv'$, ou développer d'abord\n($x^3 + 3x^2 \\to 3x^2 + 6x$). Faire les deux est un excellent\nauto-contrôle." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "operations", "inverse-fonction" ], "title": "Dériver l'inverse d'une fonction", "statement": "Soit $f(x) = \\dfrac{1}{x^2 + 1}$. Que vaut $f'(x)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' =\n-\\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u = x^2 + 1$ et $u' = 2x$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : la formule de l'inverse porte un\n**moins** : $-\\dfrac{u'}{u^2}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-1}{(x^2 + 1)^2}$", "correct": false, "feedback": "Oubli de $u' = 2x$ au numérateur : la dérivée de\nl'intérieur doit apparaître." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne dérive pas un quotient en inversant la\ndérivée du dénominateur. Règle :\n$\\left(\\frac{1}{u}\\right)' = -\\frac{u'}{u^2}$." } ], "explanation": "$\\left(\\dfrac{1}{u}\\right)' = -\\dfrac{u'}{u^2}$ : ici\n$-\\dfrac{2x}{(x^2+1)^2}$. Cas particulier $u(x) = x$ : on\nretrouve $-\\frac{1}{x^2}$." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "approximation-lineaire" ], "title": "Approximation linéaire", "statement": "En utilisant l'approximation $f(a+h) \\approx f(a) + f'(a)h$\navec $f(x) = \\sqrt{x}$ et $a = 4$, quelle valeur approchée\nobtient-on pour $\\sqrt{4{,}1}$ ?", "options": [ { "text": "$2{,}025$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f(4) = 2$, $f'(4) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{4}}\n= 0{,}25$ et $h = 0{,}1$ : $\\sqrt{4{,}1} \\approx 2 +\n0{,}25 \\times 0{,}1 = 2{,}025$ (valeur exacte :\n$2{,}0248\\ldots$)." }, { "text": "$2{,}05$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f'(4) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{4}} = \\dfrac{1}{4}$,\npas $\\dfrac{1}{2}$. Le facteur $2\\sqrt{x}$ du dénominateur\nvaut $4$ ici." }, { "text": "$2{,}1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ajouter $h$ tel quel revient à prendre\n$f'(4) = 1$. La pente locale de la racine en $4$ est bien\nplus douce : $0{,}25$." }, { "text": "$2{,}0025$", "correct": false, "feedback": "Erreur de décimale : $0{,}25 \\times 0{,}1 = 0{,}025$, pas\n$0{,}0025$." } ], "explanation": "Approximation linéaire (au programme) : près de $a$, la\ncourbe se confond avec sa tangente : $f(a+h) \\approx f(a) +\nf'(a)h$. Ici $\\sqrt{4{,}1} \\approx 2 + \\frac{0{,}1}{4} =\n2{,}025$." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "valeur-absolue", "derivabilite" ], "title": "La valeur absolue en 0", "statement": "La fonction $x \\mapsto |x|$ est-elle dérivable en $0$ ?", "options": [ { "text": "Non : le taux de variation vaut $1$ à droite de $0$ et\n$-1$ à gauche", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les sécantes n'ont pas de position\nlimite unique (pente $+1$ d'un côté, $-1$ de l'autre) : le\n« V » a un point anguleux en $0$." }, { "text": "Oui, avec $f'(0) = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une dérivée nulle signifierait une tangente\nhorizontale au fond du « V » ; or les pentes valent\n$\\pm 1$ de part et d'autre, sans se raccorder." }, { "text": "Oui, avec $f'(0) = 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la pente vaut $1$ seulement **à droite**. À\ngauche, elle vaut $-1$ : pas de valeur commune, pas de\nnombre dérivé." }, { "text": "Non, car la fonction n'est pas continue en $0$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'argument : $|x|$ est parfaitement **continue** en\n$0$. C'est la dérivabilité qui échoue (point anguleux) :\nl'exemple type qui sépare les deux notions." } ], "explanation": "Étude au programme : $\\dfrac{|0+h| - |0|}{h} = \\dfrac{|h|}{h}$\nvaut $1$ si $h > 0$ et $-1$ si $h < 0$ : pas de limite unique,\ndonc pas de nombre dérivé en $0$. Continue mais non dérivable." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "interpretation", "cinematique" ], "title": "Vitesse instantanée", "statement": "Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en\nsecondes). Quelle est sa vitesse instantanée à l'instant\n$t = 3$ ?", "options": [ { "text": "$6$ m/s", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la vitesse instantanée est le nombre\ndérivé de la position : $d'(t) = 2t$, donc $d'(3) = 6$\nm/s." }, { "text": "$9$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : $9 = d(3)$ est la **position** à l'instant $3$\n(en mètres), pas la vitesse." }, { "text": "$3$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : $3 = \\dfrac{d(3) - d(0)}{3}$ est la vitesse\n**moyenne** entre $0$ et $3$. L'instantanée se lit sur la\ndérivée : $2 \\times 3 = 6$." }, { "text": "$2$ m/s", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est le coefficient de $d'(t) = 2t$, pas sa\nvaleur en $t = 3$." } ], "explanation": "Interprétation cinématique (au programme) : taux de variation\n= vitesse moyenne ; nombre dérivé = vitesse **instantanée**.\n$d'(t) = 2t$ : le mobile accélère, et $d'(3) = 6$ m/s." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "derivees-usuelles", "puissances" ], "title": "Dérivée de $x^n$ pour $n$ négatif", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^{-2}$ (définie pour\n$x \\neq 0$) ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -2x^{-3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule $(x^n)' = n\\,x^{n-1}$ vaut pour\ntout $n \\in \\mathbb{Z}$ : ici $n = -2$ donne\n$-2x^{-3} = -\\dfrac{2}{x^3}$." }, { "text": "$f'(x) = -2x^{-1}$", "correct": false, "feedback": "Erreur d'exposant : on **retranche** $1$ à l'exposant :\n$-2 - 1 = -3$, pas $-1$." }, { "text": "$f'(x) = 2x^{-3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : l'exposant $n = -2$ descend en facteur\n**avec son signe**." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{x^{-1}}{-1}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : remonter l'exposant relève de la\nprimitive. En dérivant, l'exposant descend et diminue :\n$-2x^{-3}$." } ], "explanation": "$(x^n)' = n\\,x^{n-1}$ pour tout entier relatif $n$. Avec\n$n = -2$ : $f'(x) = -2x^{-3}$. Cohérent avec\n$\\left(\\frac{1}{x}\\right)' = -\\frac{1}{x^2}$ (cas $n = -1$)." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "derivee-monome" ], "title": "Dérivée de $3x^2$", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x^2$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 6x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la constante multiplicative reste en\nfacteur : $3 \\times (x^2)' = 3 \\times 2x = 6x$." }, { "text": "$f'(x) = 3x$", "correct": false, "feedback": "Exposant non descendu : $(x^2)' = 2x$ : le $2$ vient\nmultiplier le $3$." }, { "text": "$f'(x) = 6x^2$", "correct": false, "feedback": "Exposant conservé à tort : dériver fait **baisser** le\ndegré : $x^2$ devient $x$." }, { "text": "$f'(x) = 2x$", "correct": false, "feedback": "Coefficient $3$ perdu : il traverse la dérivation\nintact : $(3u)' = 3u'$." } ], "explanation": "$(ku)' = ku'$ : les constantes multiplicatives survivent à\nla dérivation. Combiné à $(x^n)' = nx^{n-1}$ : $(3x^2)' =\n6x$, et tout polynôme se dérive terme à terme." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "derivee-polynome" ], "title": "Dériver un polynôme", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x^3 - 5x^2 + 1$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 10x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : terme à terme : $(x^3)' = 3x^2$,\n$(-5x^2)' = -10x$, et la constante $1$ disparaît." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 10x + 1$", "correct": false, "feedback": "Constante fantôme : la dérivée de $1$ est $0$ : une\nconstante ne varie pas, sa pente est nulle." }, { "text": "$f'(x) = x^2 - 5x$", "correct": false, "feedback": "Exposants non descendus : chaque terme reçoit son\nexposant en facteur : $3x^2$ et $-10x$." }, { "text": "$f'(x) = 3x^2 - 5x^2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme $-5x^2$ se dérive en $-10x$\n(l'exposant $2$ descend ET le degré baisse)." } ], "explanation": "Dérivation d'un polynôme : chaque terme séparément, la\nconstante s'évanouit. Le degré baisse de $1$ : un cubique a\nune dérivée quadratique." }, { "id": "q15", "difficulty": 1, "skills": [ "derivee-constante" ], "title": "Dérivée d'une constante", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = 7$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la courbe de $f$ est une droite\nhorizontale : pente nulle partout, taux de variation\ntoujours nul." }, { "text": "$f'(x) = 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $7$ est la **valeur**, pas la pente : une\nfonction constante ne varie pas, sa dérivée est $0$." }, { "text": "$f'(x) = 1$", "correct": false, "feedback": "Confusion : c'est $f(x) = x$ qui a pour dérivée $1$\n(pente de la diagonale)." }, { "text": "$f'(x) = 7x$", "correct": false, "feedback": "Sens inverse : $7x$ est une **primitive** de $7$ :\ndériver une constante donne $0$." } ], "explanation": "Constante $\\Rightarrow$ dérivée nulle (et réciproquement sur\nun intervalle : le seul type de fonction de dérivée\npartout nulle). Géométrie : l'horizontale n'a pas de pente." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee-quotient" ], "title": "Dériver un quotient", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{3x + 1}{x - 2}$\n(pour $x \\neq 2$) ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-7}{(x - 2)^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{u'v - uv'}{v^2} =\n\\dfrac{3(x-2) - (3x+1)}{(x-2)^2} = \\dfrac{-7}{(x-2)^2}$ :\nnumérateur constant, fonction partout décroissante." }, { "text": "$f'(x) = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : dériver haut et bas séparément\n($\\frac{u'}{v'} = \\frac{3}{1}$) n'est pas la règle du\nquotient." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{7}{(x - 2)^2}$", "correct": false, "feedback": "Signe : $3(x-2) - (3x+1) = -6 - 1 = -7$ : le moins\nsurvit : la fonction est décroissante sur chaque\nintervalle." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{-7}{x - 2}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur : la formule impose $v^2 = (x-2)^2$ : le\ncarré garantit d'ailleurs le signe constant du\ndénominateur." } ], "explanation": "$\\left(\\frac{u}{v}\\right)' = \\frac{u'v - uv'}{v^2}$ : pour\nune homographique $\\frac{ax+b}{cx+d}$, le numérateur devient\nla constante $ad - bc$ : le signe de ce nombre donne le sens\nde variation global." }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "tangente-parallele" ], "title": "Tangente parallèle à une droite", "statement": "Soit $f(x) = x^2$. En quel point la tangente à la courbe\nest-elle parallèle à la droite $y = 4x - 7$ ?", "options": [ { "text": "Au point d'abscisse $2$, car $f'(x) = 2x = 4 \\iff x = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : parallèles = mêmes coefficients\ndirecteurs : on résout $f'(x) = 4$ : la pente de la\ntangente est $f'$, celle de la droite est $4$." }, { "text": "Au point d'abscisse $4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $x = 4$, la pente vaut $f'(4) = 8 \\neq 4$ :\non égale la **dérivée** à $4$, pas l'abscisse." }, { "text": "Au point d'abscisse $-7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $-7$ est l'ordonnée à l'origine de la droite :\nelle règle sa hauteur, pas sa pente : seule la pente\n($4$) compte pour le parallélisme." }, { "text": "Nulle part : une parabole n'a pas de tangente oblique", "correct": false, "feedback": "Erreur : la parabole a des tangentes de **toutes** les\npentes (une par valeur de $f'(x) = 2x$) : chaque pente\nest atteinte exactement une fois." } ], "explanation": "Tangente parallèle à une droite de pente $m$ : résoudre\n$f'(x) = m$. (Tangente horizontale : cas particulier\n$m = 0$.) La dérivée est un vivier de pentes : on y puise\ncelle qu'on veut." }, { "id": "q18", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique-signe" ], "title": "Tangente qui descend", "statement": "Sur un graphique, la tangente à la courbe de $f$ au point\nd'abscisse $a$ descend (de gauche à droite). Que peut-on en\ndéduire ?", "options": [ { "text": "$f'(a) < 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(a)$ est le coefficient directeur de\nla tangente : une droite qui descend a une pente\nnégative." }, { "text": "$f(a) < 0$", "correct": false, "feedback": "Confusion valeur/pente : la courbe peut être très haute\n($f(a) > 0$) avec une tangente qui descend : $f(a)$\ndonne l'altitude, $f'(a)$ l'inclinaison." }, { "text": "$f'(a) = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f'(a) = 0$ correspond à une tangente\n**horizontale** : ici elle penche vers le bas." }, { "text": "$a < 0$", "correct": false, "feedback": "Sans rapport : la position de $a$ sur l'axe n'a rien à\nvoir avec l'inclinaison de la tangente en ce point." } ], "explanation": "Dictionnaire graphique : tangente montante $\\iff f'(a) >\n0$ ; horizontale $\\iff f'(a) = 0$ ; descendante $\\iff\nf'(a) < 0$. Et la valeur $f(a)$ vit sur un axe totalement\nindépendant." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee-inverse-multiple" ], "title": "Dérivée de $\\dfrac{5}{x}$", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = \\dfrac{5}{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{5}{x^2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f = 5 \\times \\frac{1}{x}$ et\n$\\left(\\frac{1}{x}\\right)' = -\\frac{1}{x^2}$ : le $5$\nsuit, le moins reste." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{5}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Signe : la fonction inverse **décroît** : sa dérivée est\nnégative : le moins est structurel." }, { "text": "$f'(x) = -\\dfrac{1}{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Coefficient perdu : le $5$ multiplie la dérivée comme il\nmultipliait la fonction." }, { "text": "$f'(x) = 5\\ln x$", "correct": false, "feedback": "Sens inverse (et hors programme de première) : le\nlogarithme viendra en terminale comme **primitive** de\n$\\frac{1}{x}$, pas comme dérivée." } ], "explanation": "$\\left(\\frac{k}{x}\\right)' = -\\frac{k}{x^2}$ : combinaison\nde la constante multiplicative et de la dérivée de\nl'inverse. Alternative : $f(x) = 5x^{-1}$ et la règle\n$(x^n)' = nx^{n-1}$ avec $n = -1$." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee-produit-calcul" ], "title": "Produit : deux chemins, un résultat", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = (2x + 1)(x - 3)$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = 4x - 5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par le produit : $2(x-3) + (2x+1) = 4x -\n5$ ; ou en développant d'abord ($2x^2 - 5x - 3$) puis en\ndérivant : même résultat, toujours." }, { "text": "$f'(x) = 2$", "correct": false, "feedback": "Produit des dérivées : $2 \\times 1 = 2$ n'est pas la\nrègle : $(uv)' = u'v + uv'$, jamais $u'v'$." }, { "text": "$f'(x) = 4x + 5$", "correct": false, "feedback": "Signe : $2(x - 3) + (2x + 1) = 2x - 6 + 2x + 1 = 4x -\n5$ : le $-6$ pèse plus que le $+1$." }, { "text": "$f'(x) = 2x^2 - 5x - 3$", "correct": false, "feedback": "Développement sans dérivation : $2x^2 - 5x - 3$ est\n$f(x)$ développée : il reste à dériver ($4x - 5$)." } ], "explanation": "Pour un produit de polynômes, deux stratégies valides :\nrègle du produit, ou développer puis dériver. Les deux\ndoivent coïncider : excellent auto-contrôle en devoir." }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "non-derivabilite", "racine" ], "title": "La racine carrée en $0$", "statement": "La fonction $f(x) = \\sqrt{x}$ est-elle dérivable en $0$ ?", "options": [ { "text": "Non : le taux $\\dfrac{\\sqrt{h}}{h} = \\dfrac{1}{\\sqrt{h}}$\ntend vers $+\\infty$ : tangente verticale", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le taux d'accroissement explose : pas de\nnombre dérivé (fini). La courbe démarre verticalement en\n$0$ : pente infinie." }, { "text": "Oui, avec $f'(0) = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la formule $\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$ n'est pas\ndéfinie en $0$, et le taux tend vers $+\\infty$, pas vers\n$0$ : la tangente serait horizontale, or elle est\nverticale." }, { "text": "Oui, car $f$ est définie en $0$", "correct": false, "feedback": "Confusion : définie (et même continue) en $0$, oui :\nmais la dérivabilité exige en plus une pente **finie**,\nrefusée ici." }, { "text": "Non, car $\\sqrt{0}$ n'existe pas", "correct": false, "feedback": "Faux : $\\sqrt{0} = 0$ existe parfaitement : c'est la\n**pente** en $0$ qui fait défaut." } ], "explanation": "$\\sqrt{x}$ : définie et continue sur $[0\\ ;\\ +\\infty[$,\ndérivable seulement sur $]0\\ ;\\ +\\infty[$ : en $0$, tangente\nverticale. Avec $|x|$ (angle), le deuxième contre-exemple\nofficiel de non-dérivabilité." }, { "id": "q22", "difficulty": 3, "skills": [ "approximation-affine" ], "title": "Estimer sans calculatrice", "statement": "Soit $f(x) = x^2$. En utilisant l'approximation $f(a + h)\n\\approx f(a) + h\\,f'(a)$, quelle estimation de $2{,}01^2$\nobtient-on ?", "options": [ { "text": "$2{,}01^2 \\approx 4 + 0{,}01 \\times 4 = 4{,}04$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $a = 2$, $h = 0{,}01$ : $f(2) = 4$,\n$f'(2) = 4$ : estimation $4{,}04$ (exact : $4{,}0401$ :\nl'erreur est en $h^2$)." }, { "text": "$2{,}01^2 \\approx 4$", "correct": false, "feedback": "Ordre zéro : arrondir à $f(2)$ ignore la variation ; le\nterme correctif $h f'(a) = 0{,}04$ est justement ce que\nl'approximation affine apporte." }, { "text": "$2{,}01^2 \\approx 4 + 0{,}01 = 4{,}01$", "correct": false, "feedback": "Pente oubliée : l'accroissement de $f$ n'est pas $h$\nmais $h \\times f'(a)$ : la courbe monte à la vitesse\n$4$, pas $1$." }, { "text": "$2{,}01^2 \\approx 4{,}4$", "correct": false, "feedback": "Facteur $10$ : $h f'(a) = 0{,}01 \\times 4 = 0{,}04$,\npas $0{,}4$." } ], "explanation": "Approximation affine : $f(a + h) \\approx f(a) + h f'(a)$\npour $h$ petit : remplacer la courbe par sa tangente.\nL'erreur commise est de l'ordre de $h^2$ : négligeable au\npremier ordre." }, { "id": "q23", "difficulty": 3, "skills": [ "cinematique" ], "title": "De la position à la vitesse", "statement": "Un mobile a pour position $d(t) = t^2$ (en mètres, $t$ en\nsecondes). Quelle est sa vitesse instantanée à $t = 3$ ?", "options": [ { "text": "$6$ m/s : la dérivée $d'(t) = 2t$ évaluée en $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la vitesse instantanée est la dérivée de\nla position : $d'(3) = 6$ m/s : le compteur affiche la\npente de la courbe position-temps." }, { "text": "$9$ m/s", "correct": false, "feedback": "Confusion : $9 = d(3)$ est la **position** (distance\nparcourue), pas la vitesse : dériver d'abord, évaluer\nensuite." }, { "text": "$3$ m/s : la vitesse moyenne depuis le départ", "correct": false, "feedback": "Moyenne au lieu d'instantanée : $\\frac{d(3) - d(0)}{3} =\n3$ m/s est la moyenne sur $[0\\ ;\\ 3]$ ; le mobile\naccélère : à l'instant $3$, il file à $6$ m/s." }, { "text": "$2$ m/s", "correct": false, "feedback": "Évaluation manquante : $2$ est le coefficient de\n$d'(t) = 2t$ : en $t = 3$, la vitesse vaut $2 \\times 3 =\n6$ m/s." } ], "explanation": "Vitesse instantanée = dérivée de la position : la\nsignification physique du nombre dérivé. La vitesse moyenne\ncorrespond, elle, au taux de variation sur un intervalle :\nles deux se rejoignent quand l'intervalle rétrécit." }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "derivee-produit-racine" ], "title": "Dérivée de $x\\sqrt{x}$", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x\\sqrt{x}$ sur\n$]0\\ ;\\ +\\infty[$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = \\dfrac{3}{2}\\sqrt{x}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : produit $u = x$, $v = \\sqrt{x}$ :\n$\\sqrt{x} + x \\times \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}} = \\sqrt{x} +\n\\dfrac{\\sqrt{x}}{2} = \\dfrac{3\\sqrt{x}}{2}$." }, { "text": "$f'(x) = \\sqrt{x}$", "correct": false, "feedback": "Second terme perdu : la règle du produit ajoute $x\n\\times (\\sqrt{x})' = \\frac{\\sqrt{x}}{2}$ : total\n$\\frac{3}{2}\\sqrt{x}$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{1}{2\\sqrt{x}}$", "correct": false, "feedback": "Facteur $x$ ignoré : $\\frac{1}{2\\sqrt{x}}$ est la\ndérivée de $\\sqrt{x}$ **seule** : le produit exige\n$u'v + uv'$." }, { "text": "$f'(x) = \\dfrac{2}{3}\\sqrt{x}$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : le calcul donne $\\frac{3}{2}$, pas\n$\\frac{2}{3}$ (ajouter $\\sqrt{x}$ et sa moitié)." } ], "explanation": "$x\\sqrt{x} = x^{3/2}$ : la réponse $\\frac{3}{2}x^{1/2}$\nillustre que la règle $(x^n)' = nx^{n-1}$ s'étend aux\nexposants fractionnaires : joli contrôle de cohérence du\ncalcul par la règle du produit." } ] }