{ "chapter": { "id": "fonction-exponentielle", "level": "premiere-specialite", "theme": "Analyse", "title": "Fonction exponentielle", "description": "Définition de l'exponentielle (unique fonction dérivable telle\nque $f' = f$ et $f(0) = 1$), propriétés algébriques, notation\n$e^x$, signe, variations et courbe, dérivée de $t \\mapsto\ne^{at}$, fonctions $t \\mapsto e^{kt}$ et $t \\mapsto e^{-kt}$,\nlien avec les suites géométriques.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "definition" ], "title": "Définition de l'exponentielle", "statement": "Comment la fonction exponentielle est-elle définie au\nprogramme de première ?", "options": [ { "text": "C'est l'unique fonction dérivable sur $\\mathbb{R}$\nvérifiant $f' = f$ et $f(0) = 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'exponentielle est sa propre dérivée et\nvaut $1$ en $0$ (existence et unicité admises)." }, { "text": "C'est la fonction $x \\mapsto x^e$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x^e$ est une fonction **puissance** (variable en\nbase). L'exponentielle a la variable **en exposant** :\n$e^x$." }, { "text": "C'est l'unique fonction vérifiant $f' = f$ et $f(0) = 0$", "correct": false, "feedback": "Piège : avec $f(0) = 0$, la seule solution de $f' = f$\nest la fonction **nulle**. La condition $f(0) = 1$ est\nessentielle." }, { "text": "C'est la fonction réciproque du logarithme", "correct": false, "feedback": "Anachronique : le logarithme n'arrive qu'en terminale. En\npremière, l'exponentielle se définit par l'équation\n$f' = f$ avec $f(0) = 1$." } ], "explanation": "Définition (au programme) : $\\exp$ est l'unique fonction\ndérivable sur $\\mathbb{R}$ telle que $\\exp' = \\exp$ et\n$\\exp(0) = 1$. Cette équation traduit une croissance dont la\nvitesse est proportionnelle à la valeur." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "signe" ], "title": "Signe de l'exponentielle", "statement": "Que peut-on dire du signe de $e^x$ ?", "options": [ { "text": "$e^x > 0$ pour tout réel $x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'exponentielle est strictement positive\nsur $\\mathbb{R}$ : sa courbe reste entièrement au-dessus\nde l'axe des abscisses, sans jamais le toucher." }, { "text": "$e^x > 0$ seulement pour $x > 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^{-2} = \\dfrac{1}{e^2} \\approx 0{,}135 > 0$ :\nmême pour les $x$ négatifs, l'exponentielle reste\npositive (petite, mais positive)." }, { "text": "$e^x$ s'annule en $x = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^0 = 1 \\neq 0$. L'exponentielle ne s'annule\n**jamais**." }, { "text": "$e^x$ change de signe en $x = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucun changement de signe : $e^x$ passe par $1$\nen $0$ et reste strictement positive partout." } ], "explanation": "Propriété fondamentale : $e^x > 0$ pour tout $x$ (conséquence\nde $e^x \\, e^{-x} = 1$ : le produit valant $1$, aucun facteur\nne peut s'annuler). Utile pour les signes de dérivées." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "proprietes-algebriques" ], "title": "Équation fonctionnelle", "statement": "Pour tous réels $x$ et $y$, que vaut $e^{x + y}$ ?", "options": [ { "text": "$e^x \\times e^y$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'exponentielle transforme les sommes en\nproduits : c'est sa propriété algébrique fondamentale." }, { "text": "$e^x + e^y$", "correct": false, "feedback": "Erreur : teste $x = y = 0$ : $e^0 = 1$ alors que\n$e^0 + e^0 = 2$. La somme des exposants correspond au\n**produit** des exponentielles." }, { "text": "$e^{xy}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le produit des exposants correspond à une\npuissance de puissance : $(e^x)^y = e^{xy}$, autre\nformule." }, { "text": "$e^x \\times y$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune règle de ce type. La bonne formule :\n$e^{x+y} = e^x e^y$." } ], "explanation": "Relation fonctionnelle : $e^{x+y} = e^x \\, e^y$. On en\ndéduit $e^{-x} = \\dfrac{1}{e^x}$, $e^{x-y} =\n\\dfrac{e^x}{e^y}$ et $(e^x)^n = e^{nx}$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "proprietes-algebriques" ], "title": "Exponentielle d'un opposé", "statement": "Que vaut $e^{-3}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{e^3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $e^x \\, e^{-x} = e^0 = 1$, donc $e^{-x}\n= \\dfrac{1}{e^x}$ : l'exponentielle d'un opposé est\nl'inverse." }, { "text": "$-e^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une exponentielle n'est **jamais négative**. Le\nsigne moins de l'exposant se traduit par un inverse, pas\npar un opposé." }, { "text": "$e^{1/3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'inverse porte sur l'exponentielle entière\n($\\frac{1}{e^3}$), pas sur l'exposant." }, { "text": "$1 - e^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune soustraction n'intervient :\n$e^{-3} = \\dfrac{1}{e^3} \\approx 0{,}05$, alors que\n$1 - e^3 \\approx -19$." } ], "explanation": "$e^{-x} = \\dfrac{1}{e^x}$ (conséquence de $e^x e^{-x} = 1$).\n$e^{-3} = \\frac{1}{e^3} \\approx 0{,}0498$ : positif et petit." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "proprietes-algebriques", "puissance" ], "title": "Puissance d'une exponentielle", "statement": "Que vaut $\\left(e^x\\right)^2$ ?", "options": [ { "text": "$e^{2x}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(e^x)^2 = e^x \\times e^x = e^{x + x} =\ne^{2x}$ : élever à une puissance multiplie l'exposant." }, { "text": "$e^{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^{x^2}$ élève $x$ au carré **dans**\nl'exposant : tout autre chose. $(e^x)^2$ double\nl'exposant : $e^{2x}$." }, { "text": "$2e^x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2e^x$ est le **double**, pas le carré. Teste\n$x = 1$ : $(e^1)^2 = e^2 \\approx 7{,}39$ alors que\n$2e \\approx 5{,}44$." }, { "text": "$e^{x+2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^{x+2} = e^x \\times e^2$ correspond à une\n**multiplication par $e^2$**, pas à une mise au carré." } ], "explanation": "$(e^x)^n = e^{nx}$ pour tout entier $n$. Bien distinguer\n$e^{2x} = (e^x)^2$, $2e^x$ (double) et $e^{x^2}$ (carré dans\nl'exposant)." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee" ], "title": "Dérivée de $e^{at}$", "statement": "Quelle est la dérivée de la fonction $f(t) = e^{5t}$ ?", "options": [ { "text": "$f'(t) = 5\\,e^{5t}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(e^{at})' = a\\,e^{at}$ : le coefficient\nde $t$ descend en facteur, l'exponentielle se conserve." }, { "text": "$f'(t) = e^{5t}$", "correct": false, "feedback": "Oubli du facteur $5$ : seule $e^t$ est exactement sa\npropre dérivée. Le $5t$ dans l'exposant fait sortir un\nfacteur $5$." }, { "text": "$f'(t) = 5\\,e^{t}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exposant $5t$ ne change pas en dérivant. On\nmultiplie par $5$ **sans toucher** à $e^{5t}$." }, { "text": "$f'(t) = 5t\\,e^{5t - 1}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est la règle des **puissances** $(t^n)' =\nnt^{n-1}$ appliquée à tort. Pour une exponentielle :\n$(e^{at})' = a\\,e^{at}$." } ], "explanation": "Formule au programme : pour $a$ réel, $(e^{at})' = a\\,e^{at}$.\nElle traduit l'équation $y' = ay$ des évolutions\nexponentielles (croissance si $a > 0$, décroissance sinon)." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique", "tangente" ], "title": "La tangente en 0", "statement": "Sur la figure ci-dessous, la droite $T$ est la tangente à la\ncourbe de l'exponentielle au point d'abscisse $0$. Quelle est\nson équation ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.75]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-0.7) grid (2.2,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.4,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-0.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.7:1.5,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{exp(\\x)});\n \\draw[domain=-1.6:2.2,thick,red] plot (\\x,{\\x+1});\n \\fill (0,1) circle (0.07);\n \\node[blue,font=\\small] at (0.7,4.2) {$y=e^x$};\n \\node[red,font=\\small] at (2,2.6) {$T$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec la courbe de l'exponentielle en bleu\n(croissante, passant par (0 ; 1)) et sa tangente T en rouge\nau point (0 ; 1) : une droite de pente 1 passant par (0 ; 1)\net (1 ; 2). La courbe reste au-dessus de la tangente.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$y = x + 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pente $\\exp'(0) = \\exp(0) = 1$ et passage\npar $(0\\,;\\,1)$ : $y = x + 1$. (Toute la définition de\nl'exponentielle se lit sur cette tangente.)" }, { "text": "$y = x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette droite passe par l'origine, alors que le\npoint de tangence est $(0\\,;\\,1)$ ($e^0 = 1$)." }, { "text": "$y = 1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une tangente horizontale signifierait\n$\\exp'(0) = 0$ ; or $\\exp'(0) = \\exp(0) = 1$ : la\ntangente monte avec une pente $1$." }, { "text": "$y = e\\,x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la pente $e \\approx 2{,}72$ est celle de la\ntangente au point d'abscisse $1$, pas $0$." } ], "explanation": "En $0$ : $\\exp(0) = 1$ et $\\exp'(0) = 1$ (car $\\exp' =\n\\exp$) : tangente $y = x + 1$. La courbe, au-dessus de cette\ntangente, illustre $e^x \\geq 1 + x$." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "variations", "comparaison" ], "title": "Comparer avec la croissance", "statement": "Comment se comparent $e^{-2}$ et $e^{-3}$ ?", "options": [ { "text": "$e^{-2} > e^{-3}$, car l'exponentielle est strictement\ncroissante et $-2 > -3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'exponentielle conserve l'ordre des\nexposants : $-3 < -2 \\Rightarrow e^{-3} < e^{-2}$." }, { "text": "$e^{-2} < e^{-3}$, car les exposants sont négatifs", "correct": false, "feedback": "Erreur : la croissance de l'exponentielle vaut sur\n**tout** $\\mathbb{R}$, exposants négatifs compris :\n$e^{-3} \\approx 0{,}05 < e^{-2} \\approx 0{,}14$." }, { "text": "Ils sont égaux", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exponentielle est **strictement** croissante :\ndeux exposants distincts donnent deux valeurs distinctes." }, { "text": "On ne peut pas les comparer sans calculatrice", "correct": false, "feedback": "Erreur : la stricte croissance permet de comparer par les\nexposants seuls, sans aucune valeur numérique." } ], "explanation": "$\\exp$ strictement croissante sur $\\mathbb{R}$ :\n$a < b \\Leftrightarrow e^a < e^b$. Cette équivalence sert à\ncomparer, mais aussi à résoudre équations et inéquations." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "suites-geometriques", "lien" ], "title": "Exponentielle et suite géométrique", "statement": "Soit la suite définie par $u_n = e^{0{,}5\\,n}$ pour $n$\nentier naturel. Quelle est sa nature ?", "options": [ { "text": "Géométrique de raison $e^{0{,}5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $u_{n+1} = e^{0{,}5(n+1)} = e^{0{,}5n}\n\\times e^{0{,}5}$ : chaque terme est multiplié par\n$e^{0{,}5} \\approx 1{,}65$." }, { "text": "Arithmétique de raison $0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est l'**exposant** qui avance de $0{,}5$ en\n$0{,}5$ ; les valeurs, elles, sont **multipliées** par\n$e^{0{,}5}$ : modèle géométrique." }, { "text": "Géométrique de raison $0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la raison est le facteur multiplicatif\n$\\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = e^{0{,}5}$, pas le coefficient de\nl'exposant." }, { "text": "Géométrique de raison $e$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la raison $e$ correspondrait à $u_n = e^n$. Ici\nle pas de l'exposant est $0{,}5$ : raison $e^{0{,}5}$." } ], "explanation": "Lien au programme : $(e^{kn})$ est géométrique de raison\n$e^k$ : l'exponentielle est le prolongement **continu** des\nsuites géométriques (évolution à taux constant)." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "modelisation", "decroissance" ], "title": "Croissance ou décroissance de $e^{kt}$", "statement": "Une quantité radioactive évolue selon $N(t) = N_0\\,\ne^{-0{,}3\\,t}$ (avec $N_0 > 0$). Que peut-on dire de la\nfonction $N$ ?", "options": [ { "text": "Elle est strictement décroissante : c'est une décroissance\nexponentielle", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $N'(t) = -0{,}3\\,N_0\\,e^{-0{,}3t} < 0$ :\nle coefficient $k = -0{,}3 < 0$ impose la décroissance\n(modèle de la désintégration radioactive)." }, { "text": "Elle est croissante, car une exponentielle croît toujours", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est $t \\mapsto e^t$ qui croît. Avec un exposant\n$-0{,}3\\,t$, la fonction **décroît** ($t \\mapsto e^{-kt}$,\n$k > 0$)." }, { "text": "Elle devient négative pour $t$ assez grand", "correct": false, "feedback": "Erreur : une exponentielle reste strictement positive : la\nquantité s'approche de $0$ sans jamais l'atteindre ni\npasser dessous." }, { "text": "Elle est constante égale à $N_0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $N_0$ n'est que la valeur **initiale**\n($N(0) = N_0\\,e^0 = N_0$) ; ensuite le facteur\n$e^{-0{,}3t}$ diminue." } ], "explanation": "Fonctions $t \\mapsto e^{kt}$ (capacité attendue) : croissantes\nsi $k > 0$, décroissantes si $k < 0$, toujours strictement\npositives. Modèles : intérêts composés, désintégration,\ndilution." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "calcul", "simplification" ], "title": "Simplifier une expression", "statement": "Simplifier l'expression $\\dfrac{e^x \\times e^2}{e^{x+1}}$.", "options": [ { "text": "$e$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le numérateur vaut $e^{x+2}$, et\n$\\dfrac{e^{x+2}}{e^{x+1}} = e^{(x+2)-(x+1)} = e^1 = e$." }, { "text": "$e^x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les exposants se soustraient **entièrement** :\n$(x + 2) - (x + 1) = 1$ : les $x$ se compensent." }, { "text": "$e^{2x + 1}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : au quotient, les exposants se **soustraient**,\nils ne s'ajoutent pas : $(x+2) - (x+1) = 1$." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la différence des exposants vaut $1$, pas $0$ :\nle résultat est $e^1 = e \\approx 2{,}72$." } ], "explanation": "Règles combinées : produit $\\to$ somme des exposants, quotient\n$\\to$ différence. $\\dfrac{e^x e^2}{e^{x+1}} = e^{x + 2 - x -\n1} = e$. Transformer les écritures est la capacité attendue\ncentrale." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "equation" ], "title": "Résoudre une équation avec exponentielles", "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^{x} = e^{2x - 1}$ ?", "options": [ { "text": "$x = 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'exponentielle étant strictement\ncroissante (donc injective), $e^a = e^b \\Leftrightarrow\na = b$ : $x = 2x - 1$ donne $x = 1$." }, { "text": "$x = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : teste : $e^0 = 1$ et $e^{-1} \\approx 0{,}37$ :\npas égaux. L'égalité des exponentielles équivaut à\nl'égalité des **exposants**." }, { "text": "$x = -1$", "correct": false, "feedback": "Erreur de résolution : $x = 2x - 1 \\Rightarrow -x = -1\n\\Rightarrow x = 1$ (attention aux signes en regroupant)." }, { "text": "L'équation n'a pas de solution", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'équation se ramène à une équation du premier\ndegré $x = 2x - 1$, qui a une solution : $x = 1$." } ], "explanation": "Stricte croissance $\\Rightarrow$ $e^a = e^b \\Leftrightarrow\na = b$ (et $e^a < e^b \\Leftrightarrow a < b$ pour les\ninéquations). L'équation se transporte sur les exposants :\n$x = 1$." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "valeur-zero" ], "title": "La valeur $e^0$", "statement": "Que vaut $e^0$ ?", "options": [ { "text": "$1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\exp(0) = 1$ : le point de départ de la\ncourbe, imposé par la définition ($f' = f$ et $f(0) =\n1$)." }, { "text": "$0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exponentielle ne s'annule **jamais** : en $0$\nelle vaut $1$, comme toute puissance d'exposant nul." }, { "text": "$e$", "correct": false, "feedback": "Décalage : $e = e^1$ : c'est l'image de $1$, pas de\n$0$." }, { "text": "$-1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'exponentielle est strictement positive : elle\nne prend jamais de valeur négative." } ], "explanation": "$e^0 = 1$ : ancre de toutes les courbes exponentielles, et\npoint de tangence avec la droite $y = 1 + x$. À coupler avec\n$e^1 = e \\approx 2{,}72$." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "relation-fonctionnelle-calcul" ], "title": "Produit d'exponentielles", "statement": "Que vaut $e^2 \\times e^3$ ?", "options": [ { "text": "$e^5$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $e^a e^b = e^{a+b}$ : les exposants\ns'additionnent quand les exponentielles se multiplient." }, { "text": "$e^6$", "correct": false, "feedback": "Exposants multipliés : $2 \\times 3 = 6$ correspondrait à\n$(e^2)^3$ : le **produit** additionne : $2 + 3 = 5$." }, { "text": "$2e^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^2$ n'est pas $2e$ : les exponentielles se\ncombinent par la relation fonctionnelle, pas par des\ncoefficients." }, { "text": "$e^2 + e^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la relation transforme le produit en **somme\nd'exposants**, pas en somme d'exponentielles." } ], "explanation": "Relation fonctionnelle : $e^{a}e^{b} = e^{a+b}$, d'où\n$\\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$, $(e^a)^n = e^{na}$ et $e^{-a} =\n\\frac{1}{e^a}$ : les règles des puissances, intégralement." }, { "id": "q15", "difficulty": 1, "skills": [ "equation-exp" ], "title": "Résoudre $e^x = e^3$", "statement": "Quelle est la solution de l'équation $e^x = e^3$ ?", "options": [ { "text": "$x = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'exponentielle est strictement\ncroissante, donc **injective** : deux exponentielles\négales ont des exposants égaux." }, { "text": "$x = e^3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la comparaison se fait exposant contre\nexposant : $x = 3$, pas $x = e^3 \\approx 20$." }, { "text": "Aucune solution", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x = 3$ convient à l'évidence : l'équation\n$e^x = k$ a une solution dès que $k > 0$." }, { "text": "$x = 3$ ou $x = -3$", "correct": false, "feedback": "Symétrie imaginaire : l'exponentielle n'est pas paire :\n$e^{-3} = \\frac{1}{e^3} \\neq e^3$ : une seule solution." } ], "explanation": "$e^a = e^b \\iff a = b$ (stricte croissance) : le levier de\ntoutes les équations exponentielles : ramener chaque membre\nà UNE exponentielle, puis égaler les exposants." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "puissance" ], "title": "Simplifier $(e^x)^2$", "statement": "Pour tout réel $x$, que vaut $\\left(e^x\\right)^2$ ?", "options": [ { "text": "$e^{2x}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(e^a)^n = e^{na}$ : élever à une\npuissance multiplie l'exposant." }, { "text": "$e^{x^2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^{x^2}$ élève $x$ au carré **dans**\nl'exposant : tout autre objet : la règle donne $2x$ en\nexposant." }, { "text": "$2e^x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le carré multiplie l'exponentielle par\nelle-même ($e^x \\times e^x = e^{2x}$), pas par $2$." }, { "text": "$e^{x+2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^{x+2} = e^x \\times e^2$ : l'addition\nd'exposants vient d'un **produit** par $e^2$, pas d'un\ncarré." } ], "explanation": "$(e^x)^2 = e^x \\times e^x = e^{2x}$ : cas particulier de\n$(e^a)^n = e^{na}$. Bien distinguer $e^{2x} = (e^x)^2$ de\n$e^{x^2}$ : les parenthèses changent tout." }, { "id": "q17", "difficulty": 2, "skills": [ "inequation" ], "title": "Résoudre $e^x \\geq 1$", "statement": "Quel est l'ensemble des solutions de $e^x \\geq 1$ ?", "options": [ { "text": "$[0\\ ;\\ +\\infty[$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1 = e^0$, et la croissance stricte\nconserve l'ordre : $e^x \\geq e^0 \\iff x \\geq 0$." }, { "text": "$\\mathbb{R}$ : une exponentielle est toujours positive", "correct": false, "feedback": "Confusion : positive, oui ($e^x > 0$), mais pas toujours\n$\\geq 1$ : $e^{-1} \\approx 0{,}37 < 1$ : la barre est à\n$x = 0$." }, { "text": "$[1\\ ;\\ +\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1$ est la **valeur** seuil, pas l'abscisse :\n$e^x = 1$ en $x = 0$." }, { "text": "$]-\\infty\\ ;\\ 0]$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : pour $x \\leq 0$, $e^x \\leq 1$ :\nl'exponentielle croît, elle dépasse $1$ **après** $0$." } ], "explanation": "Méthode : écrire le second membre comme exponentielle ($1 =\ne^0$), puis comparer les exposants dans le même sens\n(croissance stricte). Signe de $e^x - 1$ : celui de $x$ :\ntrès utile dans les tableaux." }, { "id": "q18", "difficulty": 2, "skills": [ "derivee-produit-exp" ], "title": "Dérivée de $x\\,e^x$", "statement": "Quelle est la dérivée de $f(x) = x\\,e^x$ ?", "options": [ { "text": "$f'(x) = (1 + x)\\,e^x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : produit $u = x$, $v = e^x$ : $u'v + uv'\n= e^x + xe^x = (1 + x)e^x$." }, { "text": "$f'(x) = e^x$", "correct": false, "feedback": "Produit ignoré : $e^x$ est la dérivée de $e^x$ seul : le\nfacteur $x$ impose la règle $u'v + uv'$." }, { "text": "$f'(x) = x\\,e^x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f' = f$ ne vaut que pour $e^x$ **pur** : le\nfacteur $x$ casse cette propriété (il ajoute le terme\n$e^x$)." }, { "text": "$f'(x) = e^{x} + x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le second terme est $x \\times (e^x)' = xe^x$,\npas $x$ : l'exponentielle ne disparaît pas en dérivant." } ], "explanation": "$(xe^x)' = (1 + x)e^x$ : le produit polynôme × exponentielle\ngarde toujours un facteur $e^x$ : son signe (toujours\npositif) laisse le polynôme décider des variations : ici $f$\ndécroît avant $-1$, croît après." }, { "id": "q19", "difficulty": 2, "skills": [ "allure-decroissante" ], "title": "L'allure de $e^{-x}$", "statement": "Quelle description correspond à la fonction $x \\mapsto\ne^{-x}$ ?", "options": [ { "text": "Strictement décroissante, toujours positive, tend vers\n$0$ en $+\\infty$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $e^{-x} = \\frac{1}{e^x}$ : positive,\ndécroissante (dérivée $-e^{-x} < 0$), asymptote $y = 0$\nen $+\\infty$ : la décroissance exponentielle type." }, { "text": "Décroissante puis négative après son zéro", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^{-x}$ ne s'annule **jamais** : elle frôle\nzéro sans le toucher : aucun passage en négatif." }, { "text": "Croissante, comme toute exponentielle", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de l'exposant décide : $e^{kt}$ croît\npour $k > 0$, décroît pour $k < 0$ : ici $k = -1$." }, { "text": "Constante égale à $\\dfrac{1}{e}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{e} = e^{-1}$ est la valeur **en\n$1$** : la fonction varie ($1$ en $0$, $\\approx 0{,}14$\nen $2$…)." } ], "explanation": "$e^{-x}$ : le miroir de $e^x$ (symétrie par rapport à l'axe\ndes ordonnées) : décroissante, positive, limite nulle en\n$+\\infty$ : le modèle des décharges, refroidissements et\ndésintégrations." }, { "id": "q20", "difficulty": 2, "skills": [ "simplification-quotient" ], "title": "Simplifier $\\dfrac{e^{x+1}}{e^x}$", "statement": "Pour tout réel $x$, que vaut $\\dfrac{e^{x+1}}{e^{x}}$ ?", "options": [ { "text": "$e$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $e^{(x+1) - x} = e^1 = e$ : le quotient\nsoustrait les exposants, et le $x$ s'efface : résultat\nconstant." }, { "text": "$e^{x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la soustraction des exposants donne $(x + 1) -\nx = 1$ : tout le $x$ disparaît." }, { "text": "$1 + \\dfrac{1}{e^x}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^{x+1}$ n'est pas $e^x + e$ : l'exposant\nsomme se **factorise** ($e^x \\times e$), il ne se\ndéveloppe pas en somme." }, { "text": "$x + 1 - x = 1$", "correct": false, "feedback": "Presque : $1$ est le bon **exposant** : le quotient vaut\n$e^1 = e \\approx 2{,}72$, pas $1$." } ], "explanation": "$\\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ : ici $e^{x+1-x} = e$. Les\nquotients d'exponentielles décalées sont constants : la\nsignature des suites géométriques ($\\frac{u_{n+1}}{u_n} = e$\npour $u_n = e^n$)." }, { "id": "q21", "difficulty": 3, "skills": [ "modelisation" ], "title": "Décroissance exponentielle modélisée", "statement": "La température d'un café suit $f(t) = 20 + 60\\,e^{-0{,}1t}$\n($t$ en minutes). Que valent la température initiale et la\ntempérature de long terme ?", "options": [ { "text": "$80$ degrés au départ, $20$ degrés à long terme", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f(0) = 20 + 60 = 80$ ; quand $t \\to\n+\\infty$, $e^{-0{,}1t} \\to 0$ : reste $20$ degrés : la\ntempérature de la pièce." }, { "text": "$60$ degrés au départ, $0$ degré à long terme", "correct": false, "feedback": "Deux oublis : le $+20$ compte dès le départ ($f(0) =\n80$), et à long terme il **reste** : le café finit à\ntempérature ambiante, pas à zéro." }, { "text": "$20$ degrés au départ, $80$ degrés à long terme", "correct": false, "feedback": "Inversé : l'exponentielle **décroît** ($e^{-0{,}1t}$) :\nle café refroidit de $80$ vers $20$, il ne chauffe pas." }, { "text": "$80$ degrés au départ, $0$ degré à long terme", "correct": false, "feedback": "Asymptote fausse : le terme constant $20$ ne s'éteint\npas : seule la partie exponentielle fond : limite $20$." } ], "explanation": "Lecture d'un modèle $A + Be^{-kt}$ : valeur initiale $A +\nB$, valeur limite $A$ (l'exponentielle s'évanouit), vitesse\nréglée par $k$. Trois questions, trois lectures immédiates :\naucun calcul lourd." }, { "id": "q22", "difficulty": 3, "skills": [ "inegalite-tangente" ], "title": "L'inégalité $e^x \\geq 1 + x$", "statement": "Pourquoi a-t-on $e^x \\geq 1 + x$ pour tout réel $x$ ?", "options": [ { "text": "La courbe de l'exponentielle est au-dessus de sa\ntangente en $0$, qui a pour équation $y = 1 + x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : tangente en $0$ : $y = e^0 + e^0(x - 0)\n= 1 + x$, et la courbe (convexe) la domine partout,\navec égalité au seul point de tangence." }, { "text": "Parce que $e^x$ est toujours positif", "correct": false, "feedback": "Insuffisant : $1 + x$ est parfois positif aussi ($x >\n-1$) : la positivité ne compare pas les deux membres :\nc'est la position par rapport à la tangente qui le fait." }, { "text": "Parce que $e > 2$", "correct": false, "feedback": "Hors sujet : la valeur de $e$ n'explique pas une\ninégalité valable pour **tout** $x$ : l'argument est\ngéométrique (courbe/tangente)." }, { "text": "L'inégalité est fausse pour $x$ négatif", "correct": false, "feedback": "Erreur : testez $x = -2$ : $e^{-2} \\approx 0{,}14 \\geq\n-1$ : vrai. L'inégalité tient sur tout $\\mathbb{R}$\n(égalité en $x = 0$ seulement)." } ], "explanation": "$e^x \\geq 1 + x$ : l'inégalité de tangente de\nl'exponentielle, démontrable en étudiant $g(x) = e^x - 1 -\nx$ (minimum $0$ en $0$). Un outil de minoration\nomniprésent, jusqu'aux limites de terminale." }, { "id": "q23", "difficulty": 3, "skills": [ "equation-factorisation" ], "title": "Résoudre $e^{2x} = e^{x}$", "statement": "Quelles sont les solutions de $e^{2x} = e^x$ ?", "options": [ { "text": "$x = 0$ seulement", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par injectivité, $2x = x \\iff x = 0$.\n(Ou en factorisant : $e^x(e^x - 1) = 0$, et $e^x \\neq\n0$ : reste $e^x = 1$.)" }, { "text": "$x = 0$ ou $x = 1$", "correct": false, "feedback": "Contrôle : $x = 1$ : $e^2 \\neq e$. L'équation $2x = x$\nn'a qu'une solution : $0$." }, { "text": "Aucune : les exposants sont différents", "correct": false, "feedback": "Erreur : les exposants $2x$ et $x$ **coïncident** en $x\n= 0$ : c'est exactement là que l'équation se résout." }, { "text": "Tout réel $x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x = 1$ échoue déjà ($e^2 \\approx 7{,}4$\ncontre $e \\approx 2{,}7$) : l'égalité est\nexceptionnelle, pas générale." } ], "explanation": "Deux voies sûres : injectivité ($e^a = e^b \\iff a = b$) ou\nfactorisation par $e^x$ (jamais nul !). La factorisation\ngénéralise mieux : $e^{2x} - 3e^x = 0$, etc." }, { "id": "q24", "difficulty": 3, "skills": [ "signe-expression" ], "title": "Signe de $e^x - 1$", "statement": "Quel est le signe de $e^x - 1$ selon les valeurs de $x$ ?", "options": [ { "text": "Négatif pour $x < 0$, nul en $0$, positif pour $x > 0$ :\nle signe de $x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $e^x - 1 > 0 \\iff e^x > e^0 \\iff x > 0$\n(croissance stricte) : l'expression a exactement le\nsigne de $x$." }, { "text": "Toujours positif, car une exponentielle est positive", "correct": false, "feedback": "Le $-1$ change la donne : $e^{-1} - 1 \\approx -0{,}63 <\n0$ : c'est $e^x$ qui est toujours positif, pas $e^x -\n1$." }, { "text": "Toujours négatif", "correct": false, "feedback": "Erreur : $e^1 - 1 \\approx 1{,}72 > 0$ : le signe bascule\nen $x = 0$." }, { "text": "Positif pour $x < 0$, négatif pour $x > 0$", "correct": false, "feedback": "Inversé : l'exponentielle **croît** : elle est sous $1$\navant $0$, au-dessus après." } ], "explanation": "Signe de $e^x - 1$ = signe de $x$ (et plus généralement,\nsigne de $e^{u} - 1$ = signe de $u$) : brique récurrente\ndes tableaux de signes dès que l'exponentielle s'invite dans\nune dérivée." } ] }