{ "chapter": { "id": "geometrie-reperee", "level": "premiere-specialite", "theme": "Géométrie", "title": "Géométrie repérée", "description": "Dans un repère orthonormé : vecteur normal à une droite (le\nvecteur $(a\\,;\\,b)$ est normal à la droite $ax + by + c = 0$),\néquation d'une droite par point et vecteur normal, projeté\northogonal d'un point sur une droite, équations de cercles\n(centre, rayon, reconnaissance).", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "vecteur-normal" ], "title": "Lire un vecteur normal", "statement": "Quel vecteur est **normal** à la droite d'équation\n$3x - 2y + 5 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{n}(3\\,;\\,-2)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le vecteur $(a\\,;\\,b)$ des coefficients\nest normal à la droite $ax + by + c = 0$ (résultat au\nprogramme)." }, { "text": "$\\vec{n}(2\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(2\\,;\\,3) = (-b\\,;\\,a)$ est un vecteur\n**directeur** de la droite (il lui est parallèle), pas\nnormal." }, { "text": "$\\vec{n}(3\\,;\\,5)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est le terme constant $c$, qui positionne la\ndroite mais n'entre pas dans le vecteur normal\n$(a\\,;\\,b)$." }, { "text": "$\\vec{n}(-2\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(-2\\,;\\,3)$ est colinéaire au vecteur directeur\n$(2\\,;\\,-3)$… vérifie : $\\vec{n} \\cdot \\vec{u}$ doit être\nnon nul ici. Le normal se lit directement :\n$(3\\,;\\,-2)$." } ], "explanation": "Théorème : la droite $ax + by + c = 0$ admet\n$\\vec{n}(a\\,;\\,b)$ pour vecteur normal (et $(-b\\,;\\,a)$ pour\ndirecteur). Contrôle : $\\vec{n} \\cdot \\vec{u} = -ab + ab =\n0$." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "vecteur-normal", "directeur" ], "title": "Normal ou directeur ?", "statement": "Toujours pour la droite $3x - 2y + 5 = 0$, quel vecteur en\nest un vecteur **directeur** ?", "options": [ { "text": "$\\vec{u}(2\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u}(-b\\,;\\,a) = (2\\,;\\,3)$, et l'on\nvérifie $\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 2 \\times 3 + 3 \\times\n(-2) = 0$ : directeur bien orthogonal au normal." }, { "text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,-2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(3\\,;\\,-2)$ est le vecteur **normal**\n(perpendiculaire à la droite), pas directeur." }, { "text": "$\\vec{u}(3\\,;\\,2)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ni normal ni directeur : teste\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{n} = 9 - 4 = 5 \\neq 0$ : pas\northogonal au normal." }, { "text": "$\\vec{u}(5\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le terme constant $5$ ne fabrique aucun vecteur\nde la droite. Directeur : $(-b\\,;\\,a) = (2\\,;\\,3)$." } ], "explanation": "Pour $ax + by + c = 0$ : normal $(a\\,;\\,b)$, directeur\n$(-b\\,;\\,a)$ : les deux se contrôlent mutuellement par un\nproduit scalaire nul." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "equation-droite", "vecteur-normal" ], "title": "Droite par point et vecteur normal", "statement": "Quelle est une équation de la droite passant par\n$A(1\\,;\\,2)$ et de vecteur normal $\\vec{n}(3\\,;\\,1)$ ?", "options": [ { "text": "$3x + y - 5 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'équation a la forme $3x + y + c = 0$ ;\nle passage par $A$ donne $3 + 2 + c = 0$, soit $c = -5$." }, { "text": "$3x + y + 5 = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur $c$ : en substituant $A$ :\n$3(1) + 2 + c = 0 \\Rightarrow c = -5$. Toujours vérifier\navec le point." }, { "text": "$x + 3y - 7 = 0$", "correct": false, "feedback": "Coefficients échangés : le vecteur normal impose\n$(a\\,;\\,b) = (3\\,;\\,1)$, donc $3x + 1y + c = 0$." }, { "text": "$3x + y = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cette droite passe par l'origine, pas par $A$\n($3 + 2 = 5 \\neq 0$). Il manque la constante $c = -5$." } ], "explanation": "Méthode (capacité attendue) : le normal donne les\ncoefficients ($ax + by + c = 0$ avec $(a\\,;\\,b) = \\vec{n}$),\nle point donne $c$. Autre voie :\n$\\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{n} = 0$ développé." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "cercle", "equation" ], "title": "Équation d'un cercle", "statement": "Quelle est l'équation du cercle de centre $\\Omega(2\\,;\\,1)$\net de rayon $3$ ?", "options": [ { "text": "$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $M(x\\,;\\,y)$ est sur le cercle si\n$\\Omega M = 3$, soit $\\Omega M^2 = 9$ : les coordonnées\ndu centre en soustraction, le **carré** du rayon à\ndroite." }, { "text": "$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 3$", "correct": false, "feedback": "Le piège du rayon : le membre de droite est $r^2 = 9$,\npas $r = 3$ (l'équation traduit $\\Omega M^2 = r^2$)." }, { "text": "$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signes : le centre $(2\\,;\\,1)$ apparaît en\n**soustraction** : $(x - 2)$ et $(y - 1)$. (Tel quel, ce\ncercle serait centré en $(-2\\,;\\,-1)$.)" }, { "text": "$x^2 + y^2 = 9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce cercle est centré à l'**origine**. Le centre\n$(2\\,;\\,1)$ doit décaler les deux carrés." } ], "explanation": "Cercle de centre $\\Omega(a\\,;\\,b)$ et de rayon $r$ :\n$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$. Deux pièges : signes du centre\net **carré** du rayon." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "cercle", "lecture-graphique" ], "title": "Lire un cercle sur la figure", "statement": "Quelle est l'équation du cercle $\\mathcal{C}$ représenté\nci-dessous ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.78]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-1.7,-1.7) grid (4.7,3.7);\n \\draw[->] (-1.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.9) -- (0,3.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-1,1,2,3} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[thick,blue] (2,1) circle (2);\n \\fill (2,1) circle (0.07);\n \\node[below,font=\\small] at (2,0.85) {$\\Omega$};\n \\draw[dashed] (2,1) -- (4,1);\n \\node[above,font=\\small] at (3,1.02) {$r$};\n \\node[blue,font=\\small] at (4.15,2.75) {$\\mathcal{C}$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec un cercle bleu de centre Omega(2 ; 1),\nmarqué d'un point, et de rayon 2 matérialisé par un segment\npointillé horizontal du centre au point (4 ; 1). Le cercle\npasse par (0 ; 1), (4 ; 1), (2 ; 3) et (2 ; -1).", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : centre $\\Omega(2\\,;\\,1)$ (lu sur la\nfigure) et rayon $2$ (le cercle passe par $(4\\,;\\,1)$) :\nmembre de droite $r^2 = 4$." }, { "text": "$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2$", "correct": false, "feedback": "Piège du rayon : la figure montre $r = 2$, donc le membre\nde droite vaut $r^2 = 4$." }, { "text": "$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées du centre échangées : $\\Omega$ est en\n$(2\\,;\\,1)$ (abscisse $2$, ordonnée $1$)." }, { "text": "$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signes : centre $(2\\,;\\,1)$ donne $(x - 2)$ et\n$(y - 1)$. Les signes $+$ correspondraient au centre\n$(-2\\,;\\,-1)$, hors de la figure." } ], "explanation": "Lecture : centre aux coordonnées du point marqué, rayon par\nun point du cercle bien placé. Équation :\n$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 2^2 = 4$." }, { "id": "q06", "difficulty": 3, "skills": [ "cercle", "forme-canonique" ], "title": "Reconnaître un cercle", "statement": "L'équation $x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ est celle d'un\ncercle. Quels sont son centre et son rayon ?", "options": [ { "text": "Centre $(2\\,;\\,-1)$, rayon $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$ et $y^2 + 2y =\n(y+1)^2 - 1$ : l'équation devient $(x-2)^2 + (y+1)^2 =\n9$ : centre $(2\\,;\\,-1)$, rayon $\\sqrt{9} = 3$." }, { "text": "Centre $(-2\\,;\\,1)$, rayon $3$", "correct": false, "feedback": "Signes inversés : $(x - 2)^2$ correspond au centre\nd'abscisse $+2$, et $(y + 1)^2 = (y - (-1))^2$ à\nl'ordonnée $-1$." }, { "text": "Centre $(2\\,;\\,-1)$, rayon $9$", "correct": false, "feedback": "Piège final : $9$ est $r^2$. Le rayon vaut $\\sqrt{9} =\n3$." }, { "text": "Centre $(4\\,;\\,-2)$, rayon $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les coefficients $-4$ et $+2$ se **divisent par\ndeux** dans la complétion du carré : centre\n$(2\\,;\\,-1)$." } ], "explanation": "Méthode de complétion du carré : $x^2 - 4x + y^2 + 2y = 4\n\\Rightarrow (x-2)^2 + (y+1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$. Centre\n$(2\\,;\\,-1)$, rayon $3$. Vérifier que le membre de droite est\nstrictement positif (sinon, pas un cercle)." }, { "id": "q07", "difficulty": 1, "skills": [ "cercle", "appartenance" ], "title": "Un point sur le cercle ?", "statement": "Le point $A(5\\,;\\,1)$ appartient-il au cercle d'équation\n$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$ ?", "options": [ { "text": "Oui, car $(5-2)^2 + (1-1)^2 = 9$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les coordonnées vérifient l'équation\n($9 + 0 = 9$) : $A$ est sur le cercle, à distance $3$ du\ncentre $(2\\,;\\,1)$." }, { "text": "Non, car $5 > 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne compare pas une coordonnée au rayon ; on\nteste l'équation avec les **deux** coordonnées." }, { "text": "Non, car $(5-2)^2 = 9 \\neq 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur de lecture de l'équation : la **somme** des deux\ncarrés doit valoir $9$, ce qui est le cas\n($9 + 0$)." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans tracer le cercle", "correct": false, "feedback": "Erreur : la substitution des coordonnées dans l'équation\nrépond exactement et sans figure." } ], "explanation": "Appartenance à une courbe d'équation donnée : substituer les\ncoordonnées. $(5-2)^2 + (1-1)^2 = 9$ : oui. (Géométriquement :\n$\\Omega A = 3 = r$.)" }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "projete-orthogonal" ], "title": "Projeté orthogonal sur une droite horizontale", "statement": "Quel est le projeté orthogonal du point $M(2\\,;\\,3)$ sur la\ndroite $d$ d'équation $y = 1$, et qu'en déduit-on pour la\ndistance de $M$ à $d$ ?", "options": [ { "text": "$H(2\\,;\\,1)$, et la distance vaut $MH = 2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la droite est horizontale, la\nperpendiculaire issue de $M$ est verticale : même\nabscisse, ordonnée $1$. Distance $= |3 - 1| = 2$." }, { "text": "$H(0\\,;\\,1)$, et la distance vaut $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(0\\,;\\,1)$ est un point de $d$, mais pas le\npied de la perpendiculaire issue de $M$ : la projection\nconserve l'**abscisse** quand la droite est horizontale." }, { "text": "$H(2\\,;\\,1)$, et la distance vaut $3$", "correct": false, "feedback": "Bon projeté, mauvaise distance : $MH = |3 - 1| = 2$\n($3$ serait la distance à l'axe des abscisses $y = 0$)." }, { "text": "$H(2\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as projeté sur l'axe des abscisses ($y = 0$)\nau lieu de la droite $y = 1$." } ], "explanation": "Le projeté orthogonal $H$ est le pied de la perpendiculaire\nissue de $M$ ; $MH$ est la **distance** de $M$ à la droite\n(le plus court chemin). Sur $y = 1$ : $H(2\\,;\\,1)$,\n$MH = 2$." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "projete-orthogonal", "calcul" ], "title": "Projeté orthogonal sur une droite oblique", "statement": "Quel est le projeté orthogonal du point $M(3\\,;\\,1)$ sur la\ndroite $d$ d'équation $y = x$ ?", "options": [ { "text": "$H(2\\,;\\,2)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $H(t\\,;\\,t)$ sur $d$ avec\n$\\overrightarrow{MH}(t-3\\,;\\,t-1)$ orthogonal au\ndirecteur $(1\\,;\\,1)$ : $(t-3) + (t-1) = 0$, $t = 2$." }, { "text": "$H(3\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(3\\,;\\,3)$ est sur $d$ mais la projection n'est\npas verticale : $\\overrightarrow{MH}(0\\,;\\,2)$ n'est pas\northogonal à $(1\\,;\\,1)$ (produit scalaire $2 \\neq 0$)." }, { "text": "$H(1\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\overrightarrow{MH}(-2\\,;\\,0)$ n'est pas\northogonal au directeur $(1\\,;\\,1)$ (produit scalaire\n$-2 \\neq 0$). Résous $(t-3) + (t-1) = 0$." }, { "text": "$H(2{,}5\\,;\\,2{,}5)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de résolution : $2t - 4 = 0$ donne $t = 2$, pas\n$2{,}5$." } ], "explanation": "Méthode : paramétrer le point courant de $d$\n($H(t\\,;\\,t)$), écrire $\\overrightarrow{MH} \\cdot \\vec{u} =\n0$ ($\\vec{u}$ directeur), résoudre. Ici $t = 2$ :\n$H(2\\,;\\,2)$, et $MH = \\sqrt{2}$ est la distance de $M$ à\n$d$." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "cercle", "droite", "intersection" ], "title": "Droite et cercle sans intersection", "statement": "Un cercle a pour rayon $3$ ; une droite passe à distance $5$\nde son centre. Combien ont-ils de points communs ?", "options": [ { "text": "Aucun", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la droite reste à distance $5 > 3$ du\ncentre : elle ne peut pas atteindre le cercle, dont tous\nles points sont à distance exactement $3$." }, { "text": "Un seul", "correct": false, "feedback": "Erreur : un unique point commun (tangence) exigerait une\ndistance **égale** au rayon : $d = r = 3$." }, { "text": "Deux", "correct": false, "feedback": "Erreur : deux intersections demandent une droite qui\ntraverse le disque : $d < r$. Ici $5 > 3$." }, { "text": "Cela dépend de la pente de la droite", "correct": false, "feedback": "Erreur : seule compte la **distance du centre à la\ndroite**, comparée au rayon : la pente n'apporte rien de\nplus." } ], "explanation": "Position relative droite-cercle, par comparaison de la\ndistance $d$ du centre à la droite avec le rayon $r$ :\n$d > r$ : disjoints ; $d = r$ : tangents ; $d < r$ : sécants\nen deux points." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "cercle", "tangente" ], "title": "Droite tangente à un cercle", "statement": "Que signifie « la droite $d$ est tangente au cercle\n$\\mathcal{C}$ de centre $\\Omega$ et de rayon $r$ » ?", "options": [ { "text": "$d$ touche le cercle en exactement un point, et la\ndistance de $\\Omega$ à $d$ vaut $r$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la tangence est le cas limite : un unique\npoint de contact $H$, qui est le projeté orthogonal de\n$\\Omega$ sur $d$ (le rayon $[\\Omega H]$ est\nperpendiculaire à $d$)." }, { "text": "$d$ passe par le centre $\\Omega$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une droite passant par le centre coupe le cercle\nen **deux** points diamétralement opposés." }, { "text": "$d$ évite entièrement le cercle", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'évitement correspond à $d(\\Omega\\,;\\,d) > r$\n(aucun point commun). La tangente **touche** le cercle." }, { "text": "$d$ coupe le cercle en deux points très proches", "correct": false, "feedback": "Erreur : deux points, même proches, font une sécante. La\ntangente réalise un contact en **un seul** point." } ], "explanation": "Tangence : distance du centre à la droite $=$ rayon ; le\npoint de contact est le projeté orthogonal du centre, et le\nrayon y est perpendiculaire à la tangente." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "configuration", "repere" ], "title": "Étudier une configuration dans un repère", "statement": "Dans un repère orthonormé, soit le triangle de sommets\n$A(0\\,;\\,0)$, $B(4\\,;\\,0)$ et $C(0\\,;\\,3)$. Quelle est la\nnature de ce triangle ?", "options": [ { "text": "Rectangle en $A$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AB}(4\\,;\\,0)$ et\n$\\overrightarrow{AC}(0\\,;\\,3)$ ont un produit scalaire\nnul : angle droit en $A$ (et $BC = 5$ : le triangle\n$3$-$4$-$5$)." }, { "text": "Isocèle en $A$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $AB = 4 \\neq 3 = AC$ : deux côtés issus de $A$\nde longueurs différentes." }, { "text": "Équilatéral", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois côtés valent $4$, $3$ et $5$ : tous\ndifférents." }, { "text": "Rectangle en $B$", "correct": false, "feedback": "Erreur : teste $\\overrightarrow{BA}(-4\\,;\\,0) \\cdot\n\\overrightarrow{BC}(-4\\,;\\,3) = 16 \\neq 0$ : pas d'angle\ndroit en $B$. L'angle droit est en $A$, entre les deux\naxes." } ], "explanation": "Utiliser un repère pour étudier une configuration (capacité\nattendue) : calculer les vecteurs des côtés et tester\nl'orthogonalité par le produit scalaire.\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC} = 0$ :\nrectangle en $A$." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "vecteur-normal-lecture" ], "title": "Normale d'une équation de droite", "statement": "Quel est un vecteur normal de la droite d'équation $3x - 2y\n+ 5 = 0$ ?", "options": [ { "text": "$\\vec{n}(3\\ ;\\ -2)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour $ax + by + c = 0$, le vecteur\n$(a\\ ;\\ b)$ est normal : lecture directe des\ncoefficients." }, { "text": "$\\vec{n}(-2\\ ;\\ 3)$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $(-b\\ ;\\ a)$ est un vecteur **directeur** :\nle vecteur normal lit les coefficients dans l'ordre :\n$(3\\ ;\\ -2)$." }, { "text": "$\\vec{n}(3\\ ;\\ 5)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $5$ est le terme **constant** : il positionne\nla droite, il ne participe pas à sa direction." }, { "text": "$\\vec{n}(2\\ ;\\ 3)$", "correct": false, "feedback": "Signe perdu : le coefficient de $y$ est $-2$ : la\nnormale est $(3\\ ;\\ -2)$." } ], "explanation": "$ax + by + c = 0$ : normale $(a\\ ;\\ b)$, directeur\n$(-b\\ ;\\ a)$ : les deux lectures à connaître par cœur, et\nleur produit scalaire $-ab + ab = 0$ confirme\nl'orthogonalité." }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "perpendiculaire" ], "title": "Droite perpendiculaire par un point", "statement": "Quelle est l'équation de la droite perpendiculaire à $d :\n2x + y - 1 = 0$ passant par $A(1\\ ;\\ 3)$ ?", "options": [ { "text": "$x - 2y + 5 = 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la normale de $d$, $(2\\ ;\\ 1)$, dirige\nla perpendiculaire : donc la perpendiculaire a pour\nnormale $(1\\ ;\\ -2)$ : $x - 2y + c = 0$, et $A$ donne\n$1 - 6 + c = 0$, $c = 5$." }, { "text": "$2x + y - 5 = 0$", "correct": false, "feedback": "Parallèle, pas perpendiculaire : mêmes coefficients\n$(2\\ ;\\ 1)$ = même normale = même direction : il faut\n**échanger** les rôles." }, { "text": "$x - 2y = 0$", "correct": false, "feedback": "Direction correcte, point raté : $A(1\\ ;\\ 3)$ donne $1 -\n6 = -5 \\neq 0$ : la constante se calcule avec le point." }, { "text": "$2x - y + 1 = 0$", "correct": false, "feedback": "Normale $(2\\ ;\\ -1)$ : produit scalaire avec $(2\\ ;\\\n1)$ : $4 - 1 = 3 \\neq 0$ : pas perpendiculaire (il faut\n$(1\\ ;\\ -2)$ ou tout colinéaire)." } ], "explanation": "Perpendiculaire à $d$ : le vecteur normal de $d$ devient\n**directeur** de la nouvelle droite (donc sa normale est\nl'ancienne directrice). Puis la constante s'ajuste avec le\npoint de passage. Contrôle : produit scalaire des deux\nnormales $= 0$." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "forme-canonique-cercle" ], "title": "Centre et rayon en complétant les carrés", "statement": "Quel est le centre et le rayon du cercle d'équation $x^2 +\ny^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ ?", "options": [ { "text": "Centre $(2\\ ;\\ -1)$, rayon $3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 - 4 = 0$,\nsoit $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9$ : centre $(2\\ ;\\ -1)$,\nrayon $\\sqrt{9} = 3$." }, { "text": "Centre $(-2\\ ;\\ 1)$, rayon $3$", "correct": false, "feedback": "Signes inversés : $(x - 2)^2$ correspond au centre\n$x = +2$ (le signe du centre est l'**opposé** de celui\nde l'équation développée)." }, { "text": "Centre $(2\\ ;\\ -1)$, rayon $9$", "correct": false, "feedback": "Racine oubliée : $9$ est $r^2$ : le rayon vaut $3$." }, { "text": "Centre $(4\\ ;\\ -2)$, rayon $2$", "correct": false, "feedback": "Division par $2$ oubliée : les coordonnées du centre\nsont la **moitié** des coefficients de $x$ et $y$\n(changés de signe) : $(2\\ ;\\ -1)$." } ], "explanation": "Forme développée → forme canonique : compléter les deux\ncarrés, basculer les constantes à droite. $(x - a)^2 +\n(y - b)^2 = r^2$ : centre $(a\\ ;\\ b)$, rayon $\\sqrt{r^2}$\n(vérifier que le membre de droite est positif !)." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "cercle-par-point" ], "title": "Cercle défini par centre et point", "statement": "Quelle est l'équation du cercle de centre $\\Omega(1\\ ;\\ 2)$\npassant par $A(4\\ ;\\ 6)$ ?", "options": [ { "text": "$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le rayon est la distance $\\Omega A =\n\\sqrt{9 + 16} = 5$ : équation avec $r^2 = 25$." }, { "text": "$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5$", "correct": false, "feedback": "Carré oublié : l'équation utilise $r^2$ : la distance\nvaut $5$, le membre de droite $25$." }, { "text": "$(x - 4)^2 + (y - 6)^2 = 25$", "correct": false, "feedback": "Mauvais centre : $A$ est un point **du** cercle, pas son\ncentre : les coordonnées dans les parenthèses sont\ncelles de $\\Omega$." }, { "text": "$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 25$", "correct": false, "feedback": "Signes : centre $(1\\ ;\\ 2)$ : l'équation soustrait les\ncoordonnées : $(x - 1)$ et $(y - 2)$." } ], "explanation": "Deux données, deux étapes : rayon = distance centre-point\n(racine de la somme des carrés), puis équation $(x - a)^2 +\n(y - b)^2 = r^2$. Le contrôle : injecter $A$ et vérifier\nl'égalité." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "tangente-cercle" ], "title": "Tangente en un point du cercle", "statement": "Le cercle de centre $\\Omega(0\\ ;\\ 0)$ passe par $A(3\\ ;\\\n4)$. Comment obtenir la tangente au cercle en $A$ ?", "options": [ { "text": "C'est la droite passant par $A$ de vecteur normal\n$\\overrightarrow{\\Omega A}(3\\ ;\\ 4)$ : $3x + 4y - 25 =\n0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la tangente est perpendiculaire au rayon\nau point de contact : normale $(3\\ ;\\ 4)$, et $A$ donne\n$9 + 16 = 25$ : $3x + 4y = 25$." }, { "text": "C'est la droite $(\\Omega A)$ elle-même", "correct": false, "feedback": "Contresens : $(\\Omega A)$ est le **rayon** : il traverse\nle cercle ; la tangente lui est perpendiculaire en $A$." }, { "text": "Elle n'existe pas : une tangente exige une fonction", "correct": false, "feedback": "Erreur : la tangente à un cercle est une notion\ngéométrique (perpendiculaire au rayon) : aucune dérivée\nnécessaire." }, { "text": "C'est la droite horizontale passant par $A$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'horizontale n'est tangente qu'aux points\n« pôle nord/sud » du cercle : en $A(3\\ ;\\ 4)$, la\nperpendiculaire au rayon est oblique." } ], "explanation": "Tangente en $A$ : droite par $A$ de vecteur normal\n$\\overrightarrow{\\Omega A}$ : la construction traduit la\nperpendicularité rayon-tangente. La géométrie repérée\ncombine ici droite (normale imposée) et cercle." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "equation-sans-solution" ], "title": "Une équation de cercle… vide", "statement": "Que représente l'ensemble des points vérifiant $x^2 + y^2 +\n2x + 5 = 0$ ?", "options": [ { "text": "L'ensemble vide : la forme canonique donne $(x + 1)^2 +\ny^2 = -4$, impossible", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une somme de carrés ne peut pas être\nnégative : aucun point ne satisfait l'équation :\nl'écriture « type cercle » ne garantit pas un cercle." }, { "text": "Un cercle de rayon $4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le membre de droite est $-4$, pas $16$ : un\nrayon au carré négatif n'existe pas." }, { "text": "Un cercle de rayon $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : $r^2 = -4$ n'a pas de racine réelle :\nl'ensemble est vide (avec $-4$ au lieu de $+5$ dans\nl'équation, on aurait eu un vrai cercle)." }, { "text": "Le seul point $(-1\\ ;\\ 0)$", "correct": false, "feedback": "Presque : le point unique correspond à $(x+1)^2 + y^2 =\n\\textbf{0}$ : ici la constante est $-4 < 0$ : même le\ncentre ne convient pas." } ], "explanation": "Après complétion des carrés, trois cas selon le membre de\ndroite : $> 0$ : cercle ; $= 0$ : un point ; $< 0$ :\nensemble vide. Toujours conclure APRÈS la forme canonique,\njamais sur la seule allure de l'équation." } ] }