{ "chapter": { "id": "probabilites-conditionnelles", "level": "premiere-specialite", "theme": "Probabilités et statistiques", "title": "Probabilités conditionnelles et indépendance", "description": "Indépendance de deux événements, partition de l'univers et\nformule des probabilités totales, succession de deux épreuves\nindépendantes, arbres pondérés, répétition de $n \\leq 4$\népreuves de Bernoulli indépendantes et identiques.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "independance", "definition" ], "title": "Définir l'indépendance", "statement": "Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ (de probabilités\nnon nulles) sont **indépendants** ?", "options": [ { "text": "Lorsque $P_B(A) = P(A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne\nchange pas la probabilité de $A$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'information « $B$ a eu lieu » ne\nmodifie pas les chances de $A$. De façon équivalente :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$." }, { "text": "Lorsque $A \\cap B = \\varnothing$", "correct": false, "feedback": "Confusion majeure : $A \\cap B = \\varnothing$ définit des\névénements **incompatibles**, ce qui est presque le\ncontraire (si $B$ arrive, $A$ devient impossible :\nl'information change tout)." }, { "text": "Lorsque $P(A) = P(B)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité des probabilités ne dit rien du lien\nentre les événements. L'indépendance parle de\nl'**absence d'influence** de l'un sur l'autre." }, { "text": "Lorsque $A$ et $B$ concernent deux expériences différentes", "correct": false, "feedback": "Intuition utile mais pas une définition : la définition\nmathématique est $P_B(A) = P(A)$, vérifiable par calcul\nmême au sein d'une seule expérience." } ], "explanation": "Indépendance : $P_B(A) = P(A)$, ou de manière équivalente\n$P(A \\cap B) = P(A)\\,P(B)$. À ne jamais confondre avec\nl'incompatibilité ($A \\cap B = \\varnothing$)." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "calcul" ], "title": "Tester l'indépendance par le produit", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}5$ et\n$P(A \\cap B) = 0{,}15$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils\nindépendants ?", "options": [ { "text": "Oui, car $P(A) \\times P(B) = 0{,}15 = P(A \\cap B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le critère du produit est vérifié :\n$0{,}3 \\times 0{,}5 = 0{,}15$." }, { "text": "Non, car $P(A) \\neq P(B)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'indépendance n'exige pas des probabilités\négales : elle compare $P(A \\cap B)$ au produit\n$P(A)P(B)$." }, { "text": "Non, car $A \\cap B$ n'est pas vide", "correct": false, "feedback": "Confusion incompatibilité/indépendance : des événements\nindépendants (non triviaux) ont justement une\nintersection de probabilité **non nulle**, égale au\nproduit." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans arbre", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois nombres donnés suffisent : le critère\n$P(A \\cap B) = P(A)P(B)$ se teste directement." } ], "explanation": "Critère : $A$ et $B$ indépendants $\\Leftrightarrow$\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$. Ici $0{,}15 = 0{,}3 \\times\n0{,}5$ : indépendants." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "piege" ], "title": "Incompatibles et indépendants ?", "statement": "Deux événements $A$ et $B$ de probabilités **non nulles**\nsont incompatibles ($A \\cap B = \\varnothing$). Peuvent-ils\nêtre indépendants ?", "options": [ { "text": "Non : $P(A \\cap B) = 0$ alors que $P(A)P(B) > 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le critère du produit échoue forcément :\nincompatibles et indépendants sont **exclusifs** l'un de\nl'autre (hors probabilités nulles)." }, { "text": "Oui : ne pas pouvoir se produire ensemble, c'est être\nindépendants", "correct": false, "feedback": "Contresens : l'incompatibilité est une **dépendance\nextrême** : si $B$ arrive, $A$ devient impossible :\n$P_B(A) = 0 \\neq P(A)$." }, { "text": "Oui, si $P(A) = P(B)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : même équiprobables, $P(A \\cap B) = 0$ resterait\ndifférent de $P(A)P(B) > 0$." }, { "text": "Cela dépend de l'univers", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul tranche dans tous les cas : $0 \\neq$\nproduit strictement positif." } ], "explanation": "Point de vigilance central : incompatibles $\\neq$\nindépendants. Incompatibles : ne peuvent pas coexister\n(dépendance forte). Indépendants : coexistent avec probabilité\nexactement $P(A)P(B)$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilites-totales", "arbre" ], "title": "Formule des probabilités totales", "statement": "L'arbre ci-dessous décrit une expérience en deux étapes. Que\nvaut $P(B)$ ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\\small]\n \\coordinate (R) at (0,0);\n \\node (A) at (2.2,1.4) {$A$};\n \\node (nA) at (2.2,-1.4) {$\\overline{A}$};\n \\node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};\n \\node (nB1) at (4.4,0.7) {$\\overline{B}$};\n \\node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};\n \\node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\\overline{B}$};\n \\draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};\n \\draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};\n \\draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};\n \\draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};\n \\draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};\n \\draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la\nbranche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à\nA-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.\nDepuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$P(B) = 0{,}3 \\times 0{,}6 + 0{,}7 \\times 0{,}2 = 0{,}32$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $B$ s'atteint par deux chemins ($A$ puis\n$B$, ou $\\overline{A}$ puis $B$) : on additionne leurs\nprobabilités : $0{,}18 + 0{,}14 = 0{,}32$." }, { "text": "$P(B) = 0{,}6 + 0{,}2 = 0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : additionner les conditionnelles brutes oublie de\nles **pondérer** par les probabilités des branches de\npremier niveau : $0{,}3 \\times 0{,}6 + 0{,}7 \\times\n0{,}2$." }, { "text": "$P(B) = 0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $0{,}18 = P(A \\cap B)$ ne compte que le\nchemin passant par $A$. $B$ peut aussi arriver via\n$\\overline{A}$ : $+ 0{,}14$." }, { "text": "$P(B) = 0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}6 = P_A(B)$ est une conditionnelle. $P(B)$\nmélange les deux scénarios selon leurs poids : $0{,}32$." } ], "explanation": "Formule des probabilités totales ($A$, $\\overline{A}$\npartition de l'univers) : $P(B) = P(A)\\,P_A(B) +\nP(\\overline{A})\\,P_{\\overline{A}}(B)$ : la somme des chemins\nde l'arbre menant à $B$." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "partition" ], "title": "Partition de l'univers", "statement": "Que forment les événements $A$ et $\\overline{A}$ (avec\n$0 < P(A) < 1$) vis-à-vis de l'univers $\\Omega$ ?", "options": [ { "text": "Une partition : ils sont incompatibles et leur réunion\nest $\\Omega$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : tout résultat de l'expérience réalise\nexactement l'un des deux : c'est ce qui autorise la\nformule des probabilités totales." }, { "text": "Deux événements indépendants", "correct": false, "feedback": "Erreur : $A$ et $\\overline{A}$ sont au contraire\ntotalement **dépendants** : si l'un se réalise, l'autre\nnon ($P_{A}(\\overline{A}) = 0 \\neq P(\\overline{A})$)." }, { "text": "Deux événements équiprobables", "correct": false, "feedback": "Erreur : rien n'impose $P(A) = 0{,}5$. La partition tient\nà « incompatibles et tout couvrir », pas aux valeurs." }, { "text": "Le même événement écrit de deux façons", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce sont des événements **contraires** : ils ne\npartagent aucune issue." } ], "explanation": "Partition (système complet) : événements deux à deux\nincompatibles dont la réunion est $\\Omega$. Le couple\n$\\{A\\,;\\,\\overline{A}\\}$ en est le cas le plus simple : base\ndes arbres et des probabilités totales." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "succession", "independance" ], "title": "Succession de deux épreuves indépendantes", "statement": "On lance un dé équilibré puis une pièce équilibrée. Quelle\nest la probabilité d'obtenir un $6$ **et** pile ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{6} \\times \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{1}{12}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux épreuves sont indépendantes : la\nprobabilité du couple est le **produit** des\nprobabilités." }, { "text": "$\\dfrac{1}{6} + \\dfrac{1}{2} = \\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'addition correspond à « l'un **ou** l'autre »\npour des événements incompatibles. Pour « l'un **et**\nl'autre » en indépendance : produit." }, { "text": "$\\dfrac{1}{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{8} = \\dfrac{1}{2^3}$ ne correspond à\nrien ici. Produit : $\\dfrac{1}{6} \\times \\dfrac{1}{2} =\n\\dfrac{1}{12}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ ignore la contrainte du dé. Les\ndeux conditions se cumulent : $\\dfrac{1}{12}$." } ], "explanation": "Succession d'épreuves indépendantes : la probabilité d'une\nissue composée est le produit des probabilités de ses\ncomposantes : $\\frac{1}{6} \\times \\frac{1}{2} =\n\\frac{1}{12}$ (l'univers produit compte $12$ couples\néquiprobables)." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "bernoulli", "repetition" ], "title": "Trois épreuves de Bernoulli", "statement": "On lance trois fois de suite une pièce équilibrée (lancers\nindépendants). Quelle est la probabilité d'obtenir trois fois\npile ?", "options": [ { "text": "$\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{1}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par indépendance, le chemin\npile-pile-pile a pour probabilité $\\dfrac{1}{2} \\times\n\\dfrac{1}{2} \\times \\dfrac{1}{2}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est la probabilité d'**un**\npile. Trois exigences simultanées multiplient les\nfacteurs : $\\dfrac{1}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{6} = \\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce quotient mélange le nombre de lancers et\nautre chose. L'arbre à $8$ chemins équiprobables donne\n$\\dfrac{1}{8}$ pour PPP." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ n'apparaît nulle part dans ce\nmodèle : les $2^3 = 8$ listes de résultats sont\néquiprobables." } ], "explanation": "Répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes et\nidentiques : chaque liste de résultats a pour probabilité le\nproduit des probabilités : $(1/2)^3 = 1/8$." }, { "id": "q08", "difficulty": 3, "skills": [ "bernoulli", "denombrement-chemins" ], "title": "Exactement un succès sur trois", "statement": "On répète trois fois une épreuve de Bernoulli de paramètre\n$p = \\dfrac{1}{2}$ (lancers de pièce). Quelle est la\nprobabilité d'obtenir **exactement un** pile ?", "options": [ { "text": "$3 \\times \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{3}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : trois chemins réalisent un pile exactement\n(PFF, FPF, FFP), chacun de probabilité $\\dfrac{1}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{8}$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $\\dfrac{1}{8}$ est la probabilité d'**un\nseul** chemin (par exemple PFF). Le pile peut occuper\ntrois positions : $\\times 3$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ ne correspond à aucun décompte de\nchemins ici ($\\frac{3}{8}$ pour un pile, $\\frac{3}{8}$\npour deux, $\\frac{1}{8}$ pour zéro ou trois)." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le dénominateur naturel est $8 = 2^3$ (les\nchemins équiprobables de l'arbre), pas $3$." } ], "explanation": "Sur l'arbre à trois niveaux : compter les chemins favorables\n($3$ positions possibles pour le pile) et multiplier par la\nprobabilité d'un chemin ($\\frac{1}{8}$) : $\\frac{3}{8}$.\n(Prélude à la loi binomiale de terminale.)" }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "regles" ], "title": "Cohérence d'un arbre pondéré", "statement": "Dans un arbre de probabilité, que vaut la somme des\npondérations des branches issues d'un même nœud ?", "options": [ { "text": "Toujours $1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un nœud couvrent\ntous les cas possibles à cette étape (partition) : leurs\nprobabilités somment à $1$. Contrôle rapide de tout\narbre." }, { "text": "Toujours $0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5$ n'a rien de spécial : avec trois issues\n$0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}5$, la somme fait $1$." }, { "text": "La probabilité du nœud de départ", "correct": false, "feedback": "Erreur : la probabilité du nœud pondère le **chemin qui y\nmène** ; les branches qui en partent se partagent le\ntotal conditionnel, qui vaut $1$." }, { "text": "Cela dépend du niveau dans l'arbre", "correct": false, "feedback": "Erreur : la règle vaut à **tous** les niveaux : chaque\nnœud distribue $100\\ \\%$ de ses cas." } ], "explanation": "Règle de cohérence des arbres : à chaque nœud, les\npondérations somment à $1$ (les branches forment une\npartition des suites possibles). Premier réflexe de\nvérification." }, { "id": "q10", "difficulty": 3, "skills": [ "independance", "contraire" ], "title": "Indépendance et événement contraire", "statement": "Soient $A$ et $B$ indépendants. Les événements $A$ et\n$\\overline{B}$ sont-ils indépendants ?", "options": [ { "text": "Oui : l'indépendance se transmet aux contraires", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A) -\nP(A \\cap B) = P(A)(1 - P(B)) = P(A)P(\\overline{B})$ : le\ncritère du produit reste vérifié." }, { "text": "Non, jamais", "correct": false, "feedback": "Erreur : le petit calcul $P(A \\cap \\overline{B}) =\nP(A) - P(A)P(B)$ montre le contraire : l'indépendance\npasse aux complémentaires." }, { "text": "Seulement si $P(B) = 0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune condition numérique n'est nécessaire : la\nfactorisation $P(A)(1 - P(B))$ fonctionne pour tout\n$P(B)$." }, { "text": "Ils deviennent incompatibles", "correct": false, "feedback": "Erreur : $P(A \\cap \\overline{B}) = P(A)P(\\overline{B})$\nest en général strictement positif : compatibles et\nindépendants." } ], "explanation": "Propriété utile : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$\net $\\overline{B}$ aussi (et de même $\\overline{A}$ et $B$,\n$\\overline{A}$ et $\\overline{B}$). Sur l'arbre : toutes les\nbranches de deuxième niveau portent les mêmes pondérations." }, { "id": "q11", "difficulty": 2, "skills": [ "conditionnelle", "calcul" ], "title": "Retrouver une conditionnelle", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$ et $P(A \\cap B) = 0{,}12$. Que vaut\n$P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}12}{0{,}4} = 0{,}3$." }, { "text": "$0{,}048$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}4 \\times 0{,}12$ multiplie au lieu de\ndiviser. La conditionnelle **rapporte** l'intersection à\nla condition." }, { "text": "$0{,}12$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}12 = P(A \\cap B)$ est la probabilité de\nl'intersection dans l'univers entier ; sachant $A$,\nl'univers se réduit : on divise par $P(A)$." }, { "text": "$0{,}52$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}4 + 0{,}12$ additionne des objets qui ne\ns'additionnent pas. Formule : quotient\n$\\frac{0{,}12}{0{,}4}$." } ], "explanation": "Définition : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)}$\n(renormalisation de l'univers à $A$). À l'envers :\n$P(A \\cap B) = P(A)\\,P_A(B)$, la règle du chemin sur\nl'arbre." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "modelisation", "independance" ], "title": "Justifier l'indépendance dans un modèle", "statement": "Dans quelle situation l'hypothèse d'indépendance entre deux\ntirages successifs est-elle justifiée ?", "options": [ { "text": "Tirage d'une boule, **remise** dans l'urne, second\ntirage", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la remise restaure exactement l'urne\ninitiale : le second tirage se fait dans les mêmes\nconditions, indépendamment du premier." }, { "text": "Tirage d'une boule, puis d'une seconde **sans remise**", "correct": false, "feedback": "Erreur : sans remise, la composition de l'urne dépend du\npremier tirage : les probabilités du second en sont\nmodifiées (dépendance)." }, { "text": "Toute succession de deux tirages, par principe", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'indépendance est une **hypothèse de modèle** à\njustifier (remise, dispositifs séparés…), pas un\nautomatisme." }, { "text": "Aucune : deux tirages successifs ne sont jamais\nindépendants", "correct": false, "feedback": "Erreur : avec remise (ou pour des expériences physiquement\nséparées), l'indépendance est le modèle naturel." } ], "explanation": "Comme en seconde pour l'équiprobabilité : l'indépendance\nfait partie du **modèle** et se justifie par l'analyse de la\nsituation (remise, mécanismes sans influence mutuelle). Sans\nremise : probabilités conditionnelles et arbre non uniforme." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "conditionnelle-calcul" ], "title": "Calculer une probabilité conditionnelle", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}5$ et $P(A \\cap B) = 0{,}2$. Que vaut\n$P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_A(B) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(A)} =\n\\dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4$ : parmi les cas où $A$ se\nproduit, $40\\ \\%$ voient aussi $B$." }, { "text": "$0{,}1$", "correct": false, "feedback": "Multiplication au lieu de division : $0{,}5 \\times\n0{,}2 = 0{,}1$ : la conditionnelle **divise**\nl'intersection par la condition." }, { "text": "$0{,}2$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $0{,}2$ est $P(A \\cap B)$ : la\nconditionnelle rapporte cette intersection au « nouveau\nmonde » $A$ ($P(A) = 0{,}5$)." }, { "text": "$2{,}5$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : $\\frac{0{,}5}{0{,}2} = 2{,}5$\ndépasse $1$ : impossible pour une probabilité :\nl'intersection va au numérateur." } ], "explanation": "$P_A(B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(A)}$ : restreindre l'univers\nà $A$ et y mesurer la part de $B$. Contrôle : le résultat\nest toujours entre $0$ et $1$." }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-effectifs" ], "title": "Conditionnelle dans un tableau", "statement": "Dans une classe : $12$ filles dont $9$ demi-pensionnaires,\n$18$ garçons dont $9$ demi-pensionnaires. On choisit un\nélève au hasard. Que vaut\n$P_{\\text{fille}}(\\text{demi-pensionnaire})$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{9}{12} = 0{,}75$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : conditionner par « fille » réduit\nl'univers aux $12$ filles : $9$ d'entre elles sont\ndemi-pensionnaires : $\\frac{9}{12}$." }, { "text": "$\\dfrac{9}{30}$", "correct": false, "feedback": "Mauvais dénominateur : $\\frac{9}{30}$ est\n$P(\\text{fille et DP})$ dans l'univers entier : la\nconditionnelle divise par l'effectif de la **condition**\n($12$)." }, { "text": "$\\dfrac{9}{18}$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise condition : $18$ est l'effectif des garçons :\nconditionner par « fille » impose le dénominateur $12$." }, { "text": "$\\dfrac{12}{30}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\frac{12}{30}$ est $P(\\text{fille})$ : la\nquestion porte sur la part de demi-pensionnaires PARMI\nles filles." } ], "explanation": "Dans un tableau d'effectifs, la conditionnelle se lit en\nrestreignant à la **ligne (ou colonne) de la condition** :\neffectif croisé / effectif de la condition. Le « parmi » de\nl'énoncé désigne toujours le dénominateur." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "produit" ], "title": "La formule du produit", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}6$ et $P_A(B) = 0{,}3$. Que vaut\n$P(A \\cap B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B) =\n0{,}6 \\times 0{,}3$ : sur l'arbre, on **multiplie le\nlong de la branche**." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Addition au lieu de multiplication : $0{,}6 + 0{,}3$ :\nl'intersection se calcule en produit le long du chemin." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la division $\\frac{0{,}3}{0{,}6}$ renverserait\nla formule : ici on reconstruit l'intersection :\nproduit." }, { "text": "$0{,}3$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $0{,}3$ est la conditionnelle $P_A(B)$ :\nl'intersection la pondère par le poids de $A$ :\n$0{,}18$." } ], "explanation": "Formule du produit : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$ :\nla règle de l'arbre pondéré (racine × branche). C'est la\ndéfinition de la conditionnelle, lue à l'envers." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "probabilites-totales-calcul" ], "title": "Probabilités totales en pratique", "statement": "Un arbre donne : $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}6$,\n$P(\\bar{A}) = 0{,}7$, $P_{\\bar{A}}(B) = 0{,}2$. Que vaut\n$P(B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}32$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux chemins mènent à $B$ : $0{,}3\n\\times 0{,}6 + 0{,}7 \\times 0{,}2 = 0{,}18 + 0{,}14 =\n0{,}32$." }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Chemin manquant : $0{,}18$ ne compte que le passage par\n$A$ : $B$ peut aussi survenir via $\\bar{A}$\n($+0{,}14$)." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}6 + 0{,}2$ additionne les conditionnelles\nbrutes : chacune doit d'abord être **pondérée** par sa\nbranche d'origine." }, { "text": "$0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune combinaison directe ne donne $0{,}5$ :\nla formule est la somme des produits chemin par chemin." } ], "explanation": "Probabilités totales : $P(B) = P(A)P_A(B) +\nP(\\bar{A})P_{\\bar{A}}(B)$ : additionner les chemins\ncomplets qui aboutissent à $B$. Sur l'arbre : multiplier le\nlong, additionner entre chemins." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "inversion-conditionnelle" ], "title": "Renverser le conditionnement", "statement": "Avec les données précédentes ($P(A \\cap B) = 0{,}18$ et\n$P(B) = 0{,}32$), que vaut $P_B(A)$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{0{,}18}{0{,}32} = 0{,}5625$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P_B(A) = \\dfrac{P(A \\cap B)}{P(B)}$ :\nmême intersection, nouveau dénominateur : le\nconditionnement se **renverse** en changeant de monde de\nréférence." }, { "text": "$0{,}6$, comme $P_A(B)$", "correct": false, "feedback": "Le piège central du chapitre : $P_B(A) \\neq P_A(B)$ en\ngénéral : les deux partagent le numérateur mais pas le\ndénominateur." }, { "text": "$0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Division oubliée : $0{,}18$ est l'intersection ; la\nconditionnelle la rapporte à $P(B) = 0{,}32$." }, { "text": "$1 - 0{,}6 = 0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le complémentaire de $P_A(B)$ est\n$P_A(\\bar{B})$, pas $P_B(A)$ : renverser exige de\nrepasser par l'intersection." } ], "explanation": "Renversement : $P_B(A) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}$, où\n$P(B)$ sort des probabilités totales : l'enchaînement\narbre → totales → renversement est LE schéma des sujets\n(tests médicaux, contrôles qualité…)." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "test-medical" ], "title": "Le paradoxe du test de dépistage", "statement": "Une maladie touche $1\\ \\%$ de la population. Un test détecte\n$99\\ \\%$ des malades, mais sonne à tort chez $5\\ \\%$ des\npersonnes saines. Une personne a un test positif : quelle\nest environ la probabilité qu'elle soit malade ?", "options": [ { "text": "Environ $\\dfrac{1}{6}$ : les faux positifs des $99\\ \\%$\nde sains noient les vrais positifs", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : vrais positifs : $0{,}01 \\times 0{,}99\n\\approx 0{,}0099$ ; faux positifs : $0{,}99 \\times\n0{,}05 = 0{,}0495$ : ratio $\\frac{0{,}0099}{0{,}0594}\n= \\frac{1}{6}$ : la rareté de la maladie renverse\nl'intuition." }, { "text": "$99\\ \\%$ : le test est fiable à $99\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Le renversement fautif : $99\\ \\%$ est\n$P(\\text{positif} \\mid \\text{malade})$ : la question\ndemande l'inverse, $P(\\text{malade} \\mid\n\\text{positif})$, écrasé par la rareté de la maladie." }, { "text": "$95\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $95\\ \\%$ est le taux de silence chez les\nsains : sans rapport direct : le calcul complet passe\npar les probabilités totales." }, { "text": "$50\\ \\%$ : malade ou pas, deux cas équiprobables", "correct": false, "feedback": "Erreur d'équiprobabilité : les deux cas n'ont pas du\ntout le même poids ($1\\ \\%$ contre $99\\ \\%$ au départ) :\nl'arbre pondéré tranche : environ $17\\ \\%$." } ], "explanation": "Le paradoxe des tests : quand la maladie est rare, la masse\ndes faux positifs domine. Toujours calculer\n$P(\\text{malade} \\mid \\text{positif})$ par l'arbre :\nintersection sur total des positifs : ici $\\frac{1}{6}$,\nloin des $99\\ \\%$ intuitifs." } ] }