{
  "chapter": {
    "id": "produit-scalaire",
    "level": "premiere-specialite",
    "theme": "Géométrie",
    "title": "Calcul vectoriel et produit scalaire",
    "description": "Produit scalaire : projection orthogonale, formule avec le\ncosinus, expression en base orthonormée, caractérisation de\nl'orthogonalité, bilinéarité, développement de\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$, formule d'Al-Kashi, ensemble des\npoints $M$ tels que $\\overrightarrow{MA} \\cdot\n\\overrightarrow{MB} = 0$.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "coordonnees",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire en coordonnées",
      "statement": "Dans un repère orthonormé du plan, on donne\n$\\vec{u}(2\\,;\\,3)$ et $\\vec{v}(1\\,;\\,-2)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-4$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy' =\n2 \\times 1 + 3 \\times (-2) = 2 - 6 = -4$."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $3 \\times (-2) = -6$, pas $+6$. Total :\n$2 - 6 = -4$."
        },
        {
          "text": "$(2\\,;\\,-6)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un **nombre**\n(un scalaire, d'où son nom), pas un vecteur."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le résultat est bien $4$ en valeur absolue, mais\n**négatif** : $2 - 6 = -4$ (l'angle entre les vecteurs\nest obtus)."
        }
      ],
      "explanation": "En base orthonormée : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$.\nIci $-4 < 0$ : l'angle entre les deux vecteurs est obtus."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "orthogonalite"
      ],
      "title": "Caractériser l'orthogonalité",
      "statement": "À quelle condition deux vecteurs non nuls $\\vec{u}$ et\n$\\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la nullité du produit scalaire est **la**\ncaractérisation de l'orthogonalité : c'est son utilité\npremière."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur $1$ n'a rien de spécial. L'angle droit\ncorrespond à $\\cos\\frac{\\pi}{2} = 0$, donc à un produit\nscalaire **nul**."
        },
        {
          "text": "$\\vec{u} = -\\vec{v}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : des vecteurs opposés sont **colinéaires**\n(angle plat), le contraire de perpendiculaires."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = \\|\\vec{v}\\|$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'égalité des longueurs ne dit rien de l'angle.\nL'orthogonalité se teste par $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\perp \\vec{v} \\Leftrightarrow \\vec{u} \\cdot \\vec{v}\n= 0$ (via $\\cos\\frac{\\pi}{2} = 0$). En coordonnées :\n$xx' + yy' = 0$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "formule-cosinus",
        "calcul"
      ],
      "title": "Formule avec le cosinus",
      "statement": "Soient $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ tels que $\\|\\vec{u}\\| = 3$,\n$\\|\\vec{v}\\| = 4$ et l'angle entre eux vaut\n$\\dfrac{\\pi}{3}$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} =\n\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta = 3 \\times 4 \\times\n\\dfrac{1}{2} = 6$."
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du cosinus : $12 = \\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|$\ncorrespondrait à des vecteurs colinéaires de même sens\n($\\cos 0 = 1$). Ici $\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$6\\sqrt{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : tu as utilisé $\\sin\\dfrac{\\pi}{3} =\n\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$. Le produit scalaire fait intervenir\nle **cosinus**."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit scalaire ne s'annule que pour un angle\n**droit** ; or $\\dfrac{\\pi}{3} \\neq \\dfrac{\\pi}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|\n\\cos(\\vec{u}\\,,\\,\\vec{v})$. Avec $\\cos\\frac{\\pi}{3} =\n\\frac{1}{2}$ : $6$. Choisir la formule adaptée aux données\n(normes et angle, coordonnées, ou projection) est la capacité\nclé."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "signe",
        "angle"
      ],
      "title": "Signe du produit scalaire",
      "statement": "Que peut-on dire du signe de $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ selon\nl'angle $\\theta$ entre les deux vecteurs (non nuls) ?",
      "options": [
        {
          "text": "Positif si $\\theta$ est aigu, nul si $\\theta$ est droit,\nnégatif si $\\theta$ est obtus",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le signe du produit scalaire est celui de\n$\\cos\\theta$ : positif avant $\\frac{\\pi}{2}$, nul à\n$\\frac{\\pi}{2}$, négatif au-delà."
        },
        {
          "text": "Toujours positif, comme toute « multiplication » de\nlongueurs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le facteur $\\cos\\theta$ peut être négatif :\ndeux vecteurs « qui se tournent le dos » ont un produit\nscalaire négatif."
        },
        {
          "text": "Positif si les deux vecteurs sont dans le même quadrant",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les quadrants n'ont rien à voir : seul compte\nl'**angle entre** les vecteurs (aigu ou obtus)."
        },
        {
          "text": "Le signe dépend uniquement des normes",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les normes sont toujours positives ; le signe\nvient exclusivement du cosinus de l'angle."
        }
      ],
      "explanation": "Lecture géométrique du signe : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ du\nsigne de $\\cos\\theta$. Aigu : positif ; droit : nul ; obtus :\nnégatif. La projection orthogonale raconte la même chose\n(projeté du même côté ou non)."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "bilinearite"
      ],
      "title": "Utiliser la bilinéarité",
      "statement": "Sachant que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3$, que vaut\n$(2\\vec{u}) \\cdot (3\\vec{v})$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$18$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : par bilinéarité, les facteurs sortent :\n$(2\\vec{u}) \\cdot (3\\vec{v}) = 2 \\times 3 \\times\n(\\vec{u} \\cdot \\vec{v}) = 6 \\times 3 = 18$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 = 2 \\times 3$ oublie le produit scalaire\ninitial. Les trois nombres se multiplient :\n$2 \\times 3 \\times 3 = 18$."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seul un des deux facteurs a été sorti\n($3 \\times 3$). Chaque coefficient sort : $2 \\times 3\n\\times 3$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les coefficients $2$ et $3$ ne disparaissent\npas : le produit scalaire est linéaire en **chacun** de\nses arguments."
        }
      ],
      "explanation": "Bilinéarité : $(a\\vec{u}) \\cdot (b\\vec{v}) = ab\\,(\\vec{u}\n\\cdot \\vec{v})$ et distributivité sur les sommes. Ici :\n$6 \\times 3 = 18$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polarisation",
        "calcul"
      ],
      "title": "Développer $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$",
      "statement": "Soient $\\|\\vec{u}\\| = 2$, $\\|\\vec{v}\\| = 3$ et\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 1$. Que vaut\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$15$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2 = 4 + 2 + 9 = 15$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli du double produit : $4 + 9 = 13$ ne vaudrait que\npour des vecteurs **orthogonaux** (Pythagore). Ici\n$2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = 2$ s'ajoute."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25 = (2+3)^2$ additionne les normes avant le\ncarré, ce qui supposerait des vecteurs colinéaires de\nmême sens. La formule exacte passe par le produit\nscalaire."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le double produit vaut $2 \\times 1 = 2$, pas\n$1$ : total $4 + 2 + 9 = 15$."
        }
      ],
      "explanation": "Identité fondamentale : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 =\n\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\,\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$.\nLue à l'envers, elle **définit** le produit scalaire à partir\ndes normes (polarisation)."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "al-kashi",
        "calcul"
      ],
      "title": "Formule d'Al-Kashi",
      "statement": "Dans un triangle $ABC$, on donne $AB = 3$, $AC = 4$ et\n$\\widehat{A} = \\dfrac{\\pi}{3}$. Que vaut $BC$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$BC = \\sqrt{13}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : Al-Kashi : $BC^2 = AB^2 + AC^2 -\n2 \\times AB \\times AC \\times \\cos\\widehat{A} = 9 + 16 -\n24 \\times \\dfrac{1}{2} = 13$."
        },
        {
          "text": "$BC = 5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25 = 9 + 16$ est le calcul de **Pythagore**,\nvalable seulement pour un angle droit en $A$. Ici\n$\\widehat{A} = \\frac{\\pi}{3}$ : le terme correctif\n$-2bc\\cos A$ retranche $12$."
        },
        {
          "text": "$BC = \\sqrt{37}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $9 + 16 + 12 = 37$ ajoute le terme au\nlieu de le retrancher. La formule porte un **moins** :\n$b^2 + c^2 - 2bc\\cos A$."
        },
        {
          "text": "$BC = 13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la racine : $13$ est $BC^2$. La longueur vaut\n$\\sqrt{13} \\approx 3{,}6$."
        }
      ],
      "explanation": "Al-Kashi (démonstration au programme, par le produit\nscalaire) : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\widehat{A}$ : le\n« Pythagore généralisé » aux triangles quelconques. Ici\n$BC = \\sqrt{13}$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "lieu",
        "cercle"
      ],
      "title": "L'ensemble des points $M$ tels que $\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0$",
      "statement": "Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Quel est\nl'ensemble des points $M$ vérifiant\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Le cercle de diamètre $[AB]$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la nullité du produit scalaire signifie\nque le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ (ou que $M$ est\nen $A$ ou $B$) : c'est le cercle de diamètre $[AB]$\n(démonstration au programme)."
        },
        {
          "text": "La médiatrice de $[AB]$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la médiatrice est l'ensemble des points\n**équidistants** de $A$ et $B$ ($MA = MB$), une autre\ncondition."
        },
        {
          "text": "La droite $(AB)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : sur la droite $(AB)$ (hors segment), les\nvecteurs $\\overrightarrow{MA}$ et $\\overrightarrow{MB}$\nsont colinéaires : produit scalaire non nul (sauf en $A$\net $B$)."
        },
        {
          "text": "Le cercle de centre $A$ passant par $B$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce cercle correspond à la condition $MA = AB$.\nNotre condition parle d'un **angle droit en $M$** :\ncercle de diamètre $[AB]$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0\n\\Leftrightarrow$ $M$ voit $[AB]$ sous un angle droit\n$\\Leftrightarrow$ $M$ appartient au cercle de diamètre\n$[AB]$. Version vectorielle du théorème du cercle de Thalès."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polarisation",
        "calcul"
      ],
      "title": "Produit scalaire par les normes",
      "statement": "Soient $\\|\\vec{u}\\| = 3$, $\\|\\vec{v}\\| = 4$ et\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\| = 5$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0$ : les vecteurs sont orthogonaux",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = \\dfrac{1}{2}\\left(\n\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 - \\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2\n\\right) = \\dfrac{25 - 9 - 16}{2} = 0$. Le triangle\n$3$-$4$-$5$ est rectangle !"
        },
        {
          "text": "$12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12 = 3 \\times 4$ supposerait un angle nul.\nLa formule de polarisation donne $\\frac{25 - 25}{2} = 0$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25$ est $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$, une étape du\ncalcul, pas le produit scalaire."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune formule ne donne $5$. Polarisation :\n$\\frac{1}{2}(25 - 9 - 16) = 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Polarisation : $\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = \\frac{1}{2}\\left(\n\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 - \\|\\vec{u}\\|^2 - \\|\\vec{v}\\|^2\\right)$.\nLe triplet $3$-$4$-$5$ redonne Pythagore : produit scalaire\nnul, vecteurs orthogonaux."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "angle",
        "calcul"
      ],
      "title": "Retrouver un angle",
      "statement": "Soient $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ tels que\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = -6$, $\\|\\vec{u}\\| = 2$ et\n$\\|\\vec{v}\\| = 6$. Que vaut l'angle $\\theta$ entre les deux\nvecteurs ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{2\\pi}{3}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u}\\cdot\\vec{v}}\n{\\|\\vec{u}\\|\\,\\|\\vec{v}\\|} = \\dfrac{-6}{12} =\n-\\dfrac{1}{2}$, donc $\\theta = \\dfrac{2\\pi}{3}$\n($120°$)."
        },
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $\\cos\\theta = -\\dfrac{1}{2}$, négatif :\nl'angle est **obtus**. $\\frac{\\pi}{3}$ correspond à\n$+\\frac{1}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\theta = \\dfrac{\\pi}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'angle droit exigerait un produit scalaire\n**nul** ; ici il vaut $-6$."
        },
        {
          "text": "$\\cos\\theta = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : un cosinus reste entre $-1$ et $1$. Il faut\ndiviser par le produit des normes : $\\frac{-6}{12} =\n-\\frac{1}{2}$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\cos\\theta = \\dfrac{\\vec{u}\\cdot\\vec{v}}{\\|\\vec{u}\\|\\,\n\\|\\vec{v}\\|}$ : ici $-\\frac{1}{2}$, donc $\\theta =\n\\frac{2\\pi}{3}$. Le produit scalaire mesure les angles sans\nrapporteur."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "orthogonalite",
        "parametre"
      ],
      "title": "Déterminer un paramètre",
      "statement": "Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\\vec{u}(3\\,;\\,k)$ et\n$\\vec{v}(2\\,;\\,-1)$ sont-ils orthogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "$k = 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6 - k = 0\n\\Leftrightarrow k = 6$. Vérification :\n$(3\\,;\\,6) \\cdot (2\\,;\\,-1) = 6 - 6 = 0$."
        },
        {
          "text": "$k = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : l'équation est $3 \\times 2 + k \\times\n(-1) = 6 - k = 0$, donc $k = +6$."
        },
        {
          "text": "$k = \\dfrac{3}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{2}$ rendrait les vecteurs\n**colinéaires** ($\\det = 3 \\times (-1) - k \\times 2 = 0$\ndonne $k = -\\frac{3}{2}$… vérifie ton critère). Pour\nl'orthogonalité, on annule le **produit scalaire**."
        },
        {
          "text": "$k = 0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : avec $k = 0$, $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6 \\neq\n0$ : pas orthogonaux."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode : écrire la condition $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 0$ et\nrésoudre. $6 - k = 0 \\Rightarrow k = 6$. (Ne pas confondre\navec le déterminant, qui teste la **colinéarité**.)"
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "transformation",
        "milieu"
      ],
      "title": "Transformer $\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$",
      "statement": "Soit $I$ le milieu de $[AB]$. Quelle transformation de\nl'expression $\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB}$\nest correcte (pour tout point $M$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MI^2 -\n\\dfrac{AB^2}{4}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en insérant $I$ par Chasles,\n$(\\overrightarrow{MI} + \\overrightarrow{IA}) \\cdot\n(\\overrightarrow{MI} + \\overrightarrow{IB})$ se développe\nen $MI^2 - IA^2$, et $IA = \\dfrac{AB}{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MI^2 +\n\\dfrac{AB^2}{4}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : $\\overrightarrow{IA}$ et\n$\\overrightarrow{IB}$ sont **opposés** : leur produit\nscalaire vaut $-IA^2$, d'où le moins."
        },
        {
          "text": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MA^2 +\nMB^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme des carrés des distances relève d'une\nautre identité (théorème de la médiane). Le produit\nscalaire se transforme en $MI^2 - IA^2$."
        },
        {
          "text": "$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MI^2 -\nAB^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de facteur : c'est $IA^2 = \\left(\\dfrac{AB}{2}\n\\right)^2 = \\dfrac{AB^2}{4}$ qui se retranche, pas\n$AB^2$."
        }
      ],
      "explanation": "Transformation au programme :\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = MI^2 -\n\\frac{AB^2}{4}$ ($I$ milieu). On y lit le cercle de diamètre\n$[AB]$ : produit nul $\\Leftrightarrow MI = \\frac{AB}{2}$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "calcul-coordonnees"
      ],
      "title": "Un produit scalaire en coordonnées",
      "statement": "Soient $\\vec{u}(3\\ ;\\ -1)$ et $\\vec{v}(2\\ ;\\ 4)$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $xx' + yy' = 3 \\times 2 + (-1) \\times 4\n= 6 - 4 = 2$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $(-1) \\times 4 = -4$, à **soustraire** : $6 - 4\n= 2$."
        },
        {
          "text": "$(6\\ ;\\ -4)$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : le produit scalaire est un\n**nombre**, pas un vecteur : on additionne les produits\nde coordonnées."
        },
        {
          "text": "$14$",
          "correct": false,
          "feedback": "Croisement : $3 \\times 4 + (-1) \\times 2 = 10$… non\nplus : la formule apparie $x$ avec $x'$ et $y$ avec\n$y'$, sans croiser."
        }
      ],
      "explanation": "En repère orthonormé : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = xx' + yy'$ :\nproduits coordonnée à coordonnée, puis somme. Le résultat\nest un réel (positif, négatif ou nul)."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "norme"
      ],
      "title": "Norme d'un vecteur",
      "statement": "Que vaut la norme du vecteur $\\vec{u}(3\\ ;\\ 4)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = 5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{3^2 + 4^2} = \\sqrt{25} = 5$ : le\ntriangle $3$-$4$-$5$ (Pythagore)."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 + 4 = 7$ additionne les coordonnées : la\nnorme additionne leurs **carrés** puis prend la racine."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = 25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Racine oubliée : $25 = \\|\\vec{u}\\|^2$ est le carré\nscalaire : la longueur vaut $5$."
        },
        {
          "text": "$\\|\\vec{u}\\| = 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3 \\times 4 = 12$ multiplie les coordonnées :\nrien à voir avec la longueur."
        }
      ],
      "explanation": "$\\|\\vec{u}\\| = \\sqrt{x^2 + y^2}$ : Pythagore en habits\nvectoriels. Lien avec le produit scalaire : $\\|\\vec{u}\\|^2 =\n\\vec{u} \\cdot \\vec{u}$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "colineaires-meme-sens"
      ],
      "title": "Produit scalaire de vecteurs colinéaires",
      "statement": "$\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ sont colinéaires **de même sens**,\navec $\\|\\vec{u}\\| = 2$ et $\\|\\vec{v}\\| = 5$. Que vaut\n$\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : angle nul, $\\cos 0 = 1$ : le produit\nscalaire atteint son maximum $\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\| =\n10$."
        },
        {
          "text": "$-10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Sens : $-10$ correspond aux vecteurs colinéaires de sens\n**contraires** ($\\cos \\pi = -1$)."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0$ signe l'**orthogonalité** : des vecteurs\nalignés donnent au contraire le produit scalaire\nextrême."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 + 5 = 7$ additionne les normes : la formule\nles **multiplie** (avec le cosinus, ici égal à $1$)."
        }
      ],
      "explanation": "$\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|\\cos\\theta$ :\nmême sens ($\\theta = 0$) : produit des normes ; sens\nopposés : l'opposé ; orthogonaux : zéro. Les trois repères\nmentaux du produit scalaire."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "al-kashi-calcul"
      ],
      "title": "Al-Kashi en action",
      "statement": "Dans un triangle, $b = 3$, $c = 5$ et l'angle entre eux vaut\n$60°$. Que vaut le côté opposé $a$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a = \\sqrt{19}$, car $a^2 = 9 + 25 - 2 \\times 3 \\times 5\n\\times \\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 -\n2bc\\cos 60° = 34 - 15 = 19$."
        },
        {
          "text": "$a = \\sqrt{34}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Pythagore appliqué à tort : $34 = 9 + 25$ vaudrait pour\nun angle **droit** ; à $60°$, le terme correctif\n$-2bc\\cos 60° = -15$ s'impose."
        },
        {
          "text": "$a = \\sqrt{49} = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe du correctif : $34 + 15 = 49$ correspondrait à\n$\\cos = -\\frac{1}{2}$ ($120°$) : à $60°$, on\n**retranche**."
        },
        {
          "text": "$a = 2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\sqrt{19} \\approx 4{,}36$ : contrôle de\ncohérence : $a$ doit rester entre $c - b = 2$ (exclu) et\n$c + b = 8$."
        }
      ],
      "explanation": "Al-Kashi : $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\\cos\\widehat{A}$ :\nPythagore corrigé par l'angle. Angle aigu : on retranche ;\nobtus : on ajoute ; droit : correction nulle : Pythagore\nredevient exact."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "angle-entre-vecteurs"
      ],
      "title": "Retrouver l'angle par le cosinus",
      "statement": "Soient $\\vec{u}(1\\ ;\\ 2)$ et $\\vec{v}(3\\ ;\\ 1)$. Que vaut\nl'angle entre $\\vec{u}$ et $\\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$45°$, car $\\cos\\theta = \\dfrac{5}{\\sqrt{5}\\sqrt{10}} =\n\\dfrac{1}{\\sqrt{2}}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 3 + 2 = 5$,\nnormes $\\sqrt{5}$ et $\\sqrt{10}$ : $\\cos\\theta =\n\\frac{5}{\\sqrt{50}} = \\frac{\\sqrt{2}}{2}$ : $45°$."
        },
        {
          "text": "$60°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur croisée : $\\cos 60° = \\frac{1}{2} = 0{,}5$, or le\ncalcul donne $\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}71$ :\nc'est $45°$."
        },
        {
          "text": "$90°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit scalaire vaut $5 \\neq 0$ : les\nvecteurs ne sont pas orthogonaux."
        },
        {
          "text": "$5°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5$ est le **produit scalaire**, pas un angle :\nil faut le diviser par le produit des normes puis\nreconnaître le cosinus."
        }
      ],
      "explanation": "Protocole : produit scalaire en coordonnées, normes, puis\n$\\cos\\theta = \\frac{\\vec{u}\\cdot\\vec{v}}\n{\\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|}$, et reconnaissance de la valeur\nremarquable ($\\frac{\\sqrt{2}}{2} \\to 45°$)."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "projection"
      ],
      "title": "Produit scalaire par projection",
      "statement": "$H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$,\net $H$ appartient à la demi-droite $[AB)$. Que vaut\n$\\overrightarrow{AB} \\cdot \\overrightarrow{AC}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$AB \\times AH$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la projection remplace\n$\\overrightarrow{AC}$ par son ombre\n$\\overrightarrow{AH}$ sur la droite $(AB)$ : produit des\nlongueurs, positif car $H$ est du côté de $B$."
        },
        {
          "text": "$AB \\times AC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Projection oubliée : $AB \\times AC$ vaudrait pour des\nvecteurs alignés : en général, seule la composante\nprojetée $AH$ compte."
        },
        {
          "text": "$AB \\times HC$",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais segment : $HC$ est la partie **perpendiculaire**,\ncelle qui ne contribue en rien au produit scalaire."
        },
        {
          "text": "$0$, car $H$ est un projeté orthogonal",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : l'orthogonalité est entre $(CH)$ et $(AB)$ :\nle produit $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC}$, lui, capte la partie alignée $AH\n\\neq 0$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule du projeté : $\\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AC} = \\overrightarrow{AB} \\cdot\n\\overrightarrow{AH} = \\pm AB \\times AH$ (signe selon la\nposition de $H$ par rapport à $A$). La vision géométrique du\nproduit scalaire : longueur × ombre portée."
    },
    {
      "id": "q19",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "orthogonalite-parametre"
      ],
      "title": "Paramètre d'orthogonalité",
      "statement": "Pour quelle valeur de $m$ les vecteurs $\\vec{u}(2\\ ;\\ m)$ et\n$\\vec{v}(3\\ ;\\ -1)$ sont-ils orthogonaux ?",
      "options": [
        {
          "text": "$m = 6$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 6 - m = 0 \\iff\nm = 6$ : l'orthogonalité se traduit en équation, d'une\ninconnue ici."
        },
        {
          "text": "$m = -6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = 2 \\times 3 + m \\times\n(-1) = 6 - m$ : s'annule pour $m = +6$."
        },
        {
          "text": "$m = \\dfrac{2}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion avec la colinéarité : $\\frac{2}{3}$ sortirait\nd'une proportionnalité : l'orthogonalité annule le\nproduit scalaire."
        },
        {
          "text": "Aucune valeur ne convient",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équation $6 - m = 0$ a une solution : en\ndimension $2$, on peut toujours ajuster une coordonnée\npour créer l'angle droit."
        }
      ],
      "explanation": "Orthogonalité $\\iff xx' + yy' = 0$ : avec un paramètre,\ncette condition devient une équation à résoudre. Le contrôle\nfinal : $\\vec{u}(2\\ ;\\ 6) \\cdot \\vec{v}(3\\ ;\\ -1) = 6 - 6 =\n0$ ✓."
    },
    {
      "id": "q20",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "polarisation"
      ],
      "title": "Produit scalaire par les normes",
      "statement": "On connaît $\\|\\vec{u}\\| = 3$, $\\|\\vec{v}\\| = 2$ et\n$\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\| = 4$. Que vaut $\\vec{u} \\cdot\n\\vec{v}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{3}{2}$, car $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} =\n\\dfrac{16 - 9 - 4}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 = \\|\\vec{u}\\|^2 +\n2\\vec{u}\\cdot\\vec{v} + \\|\\vec{v}\\|^2$ : isoler :\n$\\vec{u}\\cdot\\vec{v} = \\frac{16 - 13}{2} = \\frac{3}{2}$."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division par $2$ oubliée : le développement contient\n$2\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$ : après isolation, on divise\npar $2$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $16 = \\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2$ est le point de\ndépart, pas la réponse : il faut lui retirer les carrés\ndes normes puis diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6 = \\|\\vec{u}\\|\\|\\vec{v}\\|$ serait le produit\nscalaire de vecteurs **colinéaires de même sens** : ici\nles normes imposent un angle (cosinus $\\frac{1}{4}$)."
        }
      ],
      "explanation": "Identité de polarisation : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} =\n\\frac{1}{2}\\left(\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 - \\|\\vec{u}\\|^2 -\n\\|\\vec{v}\\|^2\\right)$ : le produit scalaire se lit dans\ntrois longueurs : aucune coordonnée, aucun angle\nnécessaires."
    },
    {
      "id": "q21",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "al-kashi-angle"
      ],
      "title": "Al-Kashi à l'envers : trouver l'angle",
      "statement": "Un triangle a pour côtés $a = 7$, $b = 5$, $c = 8$. Que\nvaut l'angle $\\widehat{A}$ (opposé au côté $a$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$60°$, car $\\cos\\widehat{A} = \\dfrac{25 + 64 - 49}{2\n\\times 5 \\times 8} = \\dfrac{1}{2}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : Al-Kashi inversé : $\\cos\\widehat{A} =\n\\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \\frac{40}{80} =\n\\frac{1}{2}$ : angle de $60°$."
        },
        {
          "text": "$30°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Valeur croisée : $\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2} \\approx\n0{,}87 \\neq 0{,}5$ : le calcul donne $\\frac{1}{2}$,\ndonc $60°$."
        },
        {
          "text": "$90°$",
          "correct": false,
          "feedback": "Test de Pythagore : $5^2 + 8^2 = 89 \\neq 49$ : pas\nd'angle droit en $A$ (le cosinus calculé, $0{,}5$, n'est\npas nul)."
        },
        {
          "text": "Impossible sans les angles du triangle",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : trois côtés déterminent entièrement le\ntriangle : Al-Kashi en extrait chaque angle."
        }
      ],
      "explanation": "Forme inversée d'Al-Kashi : $\\cos\\widehat{A} = \\frac{b^2 +\nc^2 - a^2}{2bc}$ : l'angle opposé au côté isolé au\nnumérateur. Trois côtés connus = tous les angles\naccessibles."
    },
    {
      "id": "q22",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "ligne-niveau"
      ],
      "title": "L'ensemble $\\overrightarrow{AM} \\cdot \\vec{u} = 0$",
      "statement": "$A$ est un point et $\\vec{u}$ un vecteur non nul. Quel est\nl'ensemble des points $M$ tels que $\\overrightarrow{AM}\n\\cdot \\vec{u} = 0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "La droite passant par $A$ de vecteur **normal** $\\vec{u}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\overrightarrow{AM}$ doit rester\northogonal à $\\vec{u}$ : $M$ décrit la droite passant\npar $A$ perpendiculaire à la direction de $\\vec{u}$."
        },
        {
          "text": "La droite passant par $A$ dirigée par $\\vec{u}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : sur cette droite, $\\overrightarrow{AM}$ est\n**colinéaire** à $\\vec{u}$ : produit scalaire maximal\n(en valeur absolue), pas nul."
        },
        {
          "text": "Le cercle de centre $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un cercle sortirait d'une condition de\n**distance** ($AM = r$) ; ici la condition est\nd'orthogonalité : une droite."
        },
        {
          "text": "Le seul point $A$",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop pauvre : $A$ convient ($\\overrightarrow{AA} =\n\\vec{0}$), mais tout point de la perpendiculaire aussi :\nl'ensemble est une droite entière."
        }
      ],
      "explanation": "Lignes de niveau du chapitre : $\\overrightarrow{AM} \\cdot\n\\vec{u} = 0$ : droite (normale $\\vec{u}$) ;\n$\\overrightarrow{MA} \\cdot \\overrightarrow{MB} = 0$ : cercle\nde diamètre $[AB]$ ; $AM = r$ : cercle. Reconnaître la\nstructure avant de calculer."
    },
    {
      "id": "q23",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "identite-parallelogramme"
      ],
      "title": "L'identité du parallélogramme",
      "statement": "Que vaut $\\|\\vec{u} + \\vec{v}\\|^2 + \\|\\vec{u} -\n\\vec{v}\\|^2$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2\\|\\vec{u}\\|^2 + 2\\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en développant les deux carrés, les\ndoubles produits $+2\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$ et\n$-2\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$ s'annulent : restent les carrés,\ndeux fois chacun."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une somme de carrés de normes ne s'annule que\nsi tout est nul : les doubles produits se compensent,\npas les carrés."
        },
        {
          "text": "$4\\,\\vec{u} \\cdot \\vec{v}$",
          "correct": false,
          "feedback": "C'est la **différence** des deux carrés qui isole le\nproduit scalaire : $\\|\\vec{u}+\\vec{v}\\|^2 -\n\\|\\vec{u}-\\vec{v}\\|^2 = 4\\vec{u}\\cdot\\vec{v}$."
        },
        {
          "text": "$2\\|\\vec{u}\\|^2 - 2\\|\\vec{v}\\|^2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe : les deux développements donnent\n$+\\|\\vec{v}\\|^2$ : la somme totale les additionne, sans\nsoustraction."
        }
      ],
      "explanation": "Identité du parallélogramme : la somme des carrés des deux\ndiagonales égale la somme des carrés des quatre côtés.\nDémonstration en deux lignes par développement : l'archétype\ndu calcul vectoriel efficace."
    },
    {
      "id": "q24",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "piege-simplification"
      ],
      "title": "Peut-on simplifier par $\\vec{u}$ ?",
      "statement": "On sait que $\\vec{u} \\cdot \\vec{v} = \\vec{u} \\cdot \\vec{w}$\navec $\\vec{u} \\neq \\vec{0}$. Peut-on conclure $\\vec{v} =\n\\vec{w}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : cela signifie seulement que $\\vec{u} \\perp\n(\\vec{v} - \\vec{w})$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'égalité équivaut à $\\vec{u} \\cdot\n(\\vec{v} - \\vec{w}) = 0$ : la différence peut être\nn'importe quel vecteur **orthogonal** à $\\vec{u}$, pas\nseulement le vecteur nul."
        },
        {
          "text": "Oui : on simplifie par $\\vec{u}$ comme avec des nombres",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège exact : le produit scalaire n'est pas une\nmultiplication de nombres : il « écrase » la composante\northogonale, qui reste donc libre : pas de\nsimplification."
        },
        {
          "text": "Oui, si $\\vec{u}$ est unitaire",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la norme de $\\vec{u}$ ne change rien : même\nunitaire, $\\vec{u}$ ignore tout ce qui lui est\northogonal."
        },
        {
          "text": "Non, sauf si $\\vec{v}$ et $\\vec{w}$ sont opposés",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le cas d'égalité n'a rien à voir avec des\nopposés : la conclusion correcte est l'orthogonalité de\n$\\vec{u}$ et $\\vec{v} - \\vec{w}$."
        }
      ],
      "explanation": "Pas de « division » par un vecteur : $\\vec{u} \\cdot \\vec{v}\n= \\vec{u} \\cdot \\vec{w} \\iff \\vec{u} \\perp (\\vec{v} -\n\\vec{w})$. Le produit scalaire ne voit que l'ombre portée\nsur $\\vec{u}$ : deux vecteurs différents peuvent projeter la\nmême ombre."
    }
  ]
}