{
"chapter": {
"id": "second-degre",
"level": "premiere-specialite",
"theme": "Algèbre",
"title": "Le second degré",
"description": "Trinôme du second degré : forme canonique, discriminant, racines,\nfactorisation, somme et produit des racines, signe du trinôme,\nparabole (sommet, orientation, lectures graphiques).",
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"calcul",
"discriminant"
],
"title": "Calculer un discriminant",
"statement": "Quel est le discriminant du trinôme $2x^2 - 3x + 1$ ?",
"options": [
{
"text": "$\\Delta = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $\\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \\times 2\n\\times 1 = 9 - 8 = 1$."
},
{
"text": "$\\Delta = 17$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $9 + 8 = 17$ correspond à $b^2 + 4ac$. La\nformule est $b^2 - 4ac$, avec un **moins**."
},
{
"text": "$\\Delta = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $4ac - b^2 = -1$ inverse les deux termes. C'est\n$b^2$ qui vient en premier : $b^2 - 4ac = 9 - 8 = 1$."
},
{
"text": "$\\Delta = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : tu as sans doute utilisé $b$ au lieu de $b^2$.\nIci $b = -3$ donc $b^2 = 9$, et $\\Delta = 9 - 8 = 1$."
}
],
"explanation": "Pour $ax^2 + bx + c$ : $\\Delta = b^2 - 4ac$. Avec $a = 2$,\n$b = -3$, $c = 1$ : $\\Delta = 9 - 8 = 1$."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"calcul",
"racines"
],
"title": "Calculer les racines",
"statement": "Quelles sont les racines du trinôme $2x^2 - 3x + 1$\n(on rappelle que $\\Delta = 1$) ?",
"options": [
{
"text": "$x_1 = \\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = 1$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\n= \\dfrac{3 \\pm 1}{4}$, soit $\\dfrac{2}{4} = \\dfrac{1}{2}$\net $\\dfrac{4}{4} = 1$."
},
{
"text": "$x_1 = -\\dfrac{1}{2}$ et $x_2 = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $-b = -(-3) = +3$. Le numérateur est\n$3 \\pm 1$, pas $-3 \\pm 1$."
},
{
"text": "$x_1 = 1$ et $x_2 = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de dénominateur : tu as divisé par $2$ au lieu de\n$2a = 4$. La formule est $\\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}$."
},
{
"text": "Le trinôme n'a pas de racine réelle",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\Delta = 1 > 0$, donc il y a exactement deux\nracines réelles distinctes."
}
],
"explanation": "$\\Delta = 1 > 0$ : deux racines\n$x = \\dfrac{3 \\pm 1}{2 \\times 2}$, soit $x_1 = \\dfrac{1}{2}$ et\n$x_2 = 1$. Vérification : $2 \\times 1 - 3 + 1 = 0$."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 1,
"skills": [
"forme-canonique",
"sommet"
],
"title": "Sommet et forme canonique",
"statement": "Soit $f(x) = (x - 2)^2 + 3$. Quelles sont les coordonnées du\nsommet de la parabole représentant $f$ ?",
"options": [
{
"text": "$(2\\,;\\,3)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sous la forme canonique\n$a(x - \\alpha)^2 + \\beta$, le sommet est $(\\alpha\\,;\\,\\beta)$,\nici $(2\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "$(-2\\,;\\,3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe classique : dans $(x - \\alpha)^2$, on lit\n$\\alpha = 2$ car $x - 2 = x - \\alpha$. Le signe **moins**\nfait que l'abscisse du sommet est $+2$."
},
{
"text": "$(2\\,;\\,-3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\beta = +3$ se lit directement, sans changement de\nsigne. Seul $\\alpha$ est affecté par le moins de la formule."
},
{
"text": "$(3\\,;\\,2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'inversion : $\\alpha = 2$ est l'**abscisse** et\n$\\beta = 3$ l'**ordonnée** du sommet, pas l'inverse."
}
],
"explanation": "Forme canonique $f(x) = a(x - \\alpha)^2 + \\beta$ : le sommet de\nla parabole est $S(\\alpha\\,;\\,\\beta)$. Ici $\\alpha = 2$ et\n$\\beta = 3$."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"signe",
"tableau-de-signes"
],
"title": "Signe d'un trinôme",
"statement": "Le trinôme $x^2 - 4x + 3$ a pour racines $1$ et $3$.\nSur quel ensemble est-il strictement négatif ?",
"options": [
{
"text": "Sur $]1\\,;\\,3[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $a = 1 > 0$, donc le trinôme est du signe de\n$a$ (positif) à l'extérieur des racines et du signe contraire\n(négatif) **entre** les racines."
},
{
"text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,1[ \\cup ]3\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est là que le trinôme est **positif** (signe de\n$a$ à l'extérieur des racines, avec $a = 1 > 0$)."
},
{
"text": "Sur $[1\\,;\\,3]$",
"correct": false,
"feedback": "Presque : entre les racines le trinôme est bien négatif,\nmais **en** $1$ et $3$ il s'annule. « Strictement négatif »\nexclut les racines : intervalle ouvert."
},
{
"text": "Nulle part, car $a > 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $a > 0$ garantit un signe positif seulement si\n$\\Delta < 0$. Ici il y a deux racines, donc le trinôme change\nde signe."
}
],
"explanation": "Règle du signe d'un trinôme avec deux racines : signe de $a$ à\nl'extérieur des racines, signe opposé entre elles. Ici $a = 1 > 0$\ndonc $x^2 - 4x + 3 < 0$ exactement sur $]1\\,;\\,3[$."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"somme-produit"
],
"title": "Somme et produit des racines",
"statement": "Le trinôme $x^2 - 5x + 6$ admet deux racines. Que valent leur\nsomme $S$ et leur produit $P$ ?",
"options": [
{
"text": "$S = 5$ et $P = 6$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $S = -\\dfrac{b}{a} = 5$ et\n$P = \\dfrac{c}{a} = 6$. Les racines sont d'ailleurs $2$ et\n$3$."
},
{
"text": "$S = -5$ et $P = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $S = -\\dfrac{b}{a}$ avec $b = -5$ donne\n$S = +5$. Le moins de la formule et celui de $b$ se\ncompensent."
},
{
"text": "$S = 6$ et $P = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'inversion : la somme se lit sur $b$\n($S = -b/a$) et le produit sur $c$ ($P = c/a$)."
},
{
"text": "$S = 5$ et $P = -6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe sur le produit : $P = \\dfrac{c}{a} =\n\\dfrac{6}{1} = 6$, sans changement de signe."
}
],
"explanation": "Pour $ax^2 + bx + c$ de racines $x_1$ et $x_2$ :\n$S = x_1 + x_2 = -\\dfrac{b}{a}$ et $P = x_1 x_2 = \\dfrac{c}{a}$.\nIci $S = 5$, $P = 6$ (racines $2$ et $3$)."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 1,
"skills": [
"parabole",
"orientation"
],
"title": "Orientation de la parabole",
"statement": "Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a < 0$. Que peut-on dire de la\nparabole représentant $f$ ?",
"options": [
{
"text": "Elle est tournée vers le bas et son sommet est un maximum",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : quand $a < 0$, les branches descendent et le\nsommet est le point le plus haut de la courbe."
},
{
"text": "Elle est tournée vers le haut et son sommet est un minimum",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est la situation $a > 0$. Le signe de $a$ commande\nl'orientation des branches."
},
{
"text": "Elle est tournée vers le bas et son sommet est un minimum",
"correct": false,
"feedback": "Incohérent : si les branches descendent, le sommet est\nau-dessus de tout le reste, c'est un **maximum**."
},
{
"text": "Son orientation dépend du signe de $c$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $c = f(0)$ ne fixe que le point d'intersection avec\nl'axe des ordonnées. L'orientation dépend uniquement du signe\nde $a$."
}
],
"explanation": "Le signe de $a$ donne l'orientation : $a > 0$ branches vers le\nhaut (sommet minimum), $a < 0$ branches vers le bas (sommet\nmaximum)."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"racines"
],
"title": "Lire les racines sur la parabole",
"statement": "La parabole $\\mathcal{P}$ ci-dessous représente un trinôme du\nsecond degré $f$. Quelles sont les racines de $f$ ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:3.32,smooth,thick,blue] plot (\\x,{-\\x*\\x+2*\\x+3});\n \\node[blue,font=\\small] at (3.6,2.2) {$\\mathcal{P}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de\nsommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3,\net l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de\nf(x) = -x² + 2x + 3.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$-1$ et $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points où\nla parabole coupe l'axe des abscisses, ici $-1$ et $3$."
},
{
"text": "$1$ et $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : $1$ est l'abscisse du **sommet**, pas un\npoint de traversée de l'axe des abscisses. La courbe coupe\nl'axe en $x = -1$, à gauche de l'origine."
},
{
"text": "$1$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,4)$ sont les coordonnées du sommet. Les\nracines se lisent sur l'axe des **abscisses**, là où $f$\ns'annule."
},
{
"text": "$3$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Oubli : la parabole traverse l'axe des abscisses en deux\npoints. N'oublie pas l'intersection du côté négatif,\nen $x = -1$."
}
],
"explanation": "Les racines d'un trinôme sont les abscisses des intersections de\nsa parabole avec l'axe des abscisses : ici $x = -1$ et $x = 3$."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 3,
"skills": [
"lecture-graphique",
"discriminant",
"raisonnement"
],
"title": "Signe de $a$ et de $\\Delta$ d'après la courbe",
"statement": "D'après la parabole $\\mathcal{P}$ ci-dessous, quels sont les\nsignes de $a$ (coefficient dominant) et de $\\Delta$\n(discriminant) ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:3.32,smooth,thick,blue] plot (\\x,{-\\x*\\x+2*\\x+3});\n \\node[blue,font=\\small] at (3.6,2.2) {$\\mathcal{P}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de\nsommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et x = 3,\net l'axe des ordonnées en y = 3. C'est la courbe de\nf(x) = -x² + 2x + 3.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$a < 0$ et $\\Delta > 0$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : branches vers le bas donc $a < 0$ ; deux\nintersections avec l'axe des abscisses donc deux racines,\ndonc $\\Delta > 0$."
},
{
"text": "$a > 0$ et $\\Delta > 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur $a$ : les branches de la parabole descendent,\ndonc $a < 0$."
},
{
"text": "$a < 0$ et $\\Delta < 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur $\\Delta$ : la courbe **coupe** l'axe des\nabscisses (deux racines réelles), donc $\\Delta > 0$.\n$\\Delta < 0$ correspondrait à une parabole entièrement d'un\ncôté de l'axe."
},
{
"text": "$a < 0$ et $\\Delta = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $\\Delta = 0$ signifierait que la parabole **touche**\nl'axe des abscisses en un seul point (racine double). Ici\nelle le traverse en deux points distincts."
}
],
"explanation": "Deux informations graphiques : l'orientation des branches donne le\nsigne de $a$ (ici vers le bas, $a < 0$) ; le nombre\nd'intersections avec l'axe des abscisses donne le signe de\n$\\Delta$ (ici deux points, $\\Delta > 0$)."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 2,
"skills": [
"discriminant",
"signe"
],
"title": "Cas $\\Delta < 0$",
"statement": "Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $\\Delta < 0$. Que peut-on en\ndéduire ?",
"options": [
{
"text": "Le trinôme garde le signe de $a$ pour tout réel $x$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : sans racine réelle, le trinôme ne peut pas\nchanger de signe : il reste du signe de $a$ sur tout\n$\\mathbb{R}$."
},
{
"text": "Le trinôme est strictement positif pour tout réel $x$",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : c'est vrai seulement si de plus $a > 0$. Avec\n$a < 0$ et $\\Delta < 0$, le trinôme est toujours\n**négatif**."
},
{
"text": "Le trinôme admet une racine double",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la racine double correspond à $\\Delta = 0$. Avec\n$\\Delta < 0$, il n'y a **aucune** racine réelle."
},
{
"text": "Le trinôme change de signe en $x = -\\dfrac{b}{2a}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $-\\dfrac{b}{2a}$ est l'abscisse du sommet, pas un\npoint de changement de signe. Sans racine, aucun changement\nde signe n'est possible."
}
],
"explanation": "Si $\\Delta < 0$, le trinôme n'a pas de racine réelle : sa\nparabole ne coupe jamais l'axe des abscisses, donc il garde un\nsigne constant, celui de $a$."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"factorisation"
],
"title": "Factoriser un trinôme",
"statement": "Quelle est la forme factorisée de $x^2 - x - 6$ ?",
"options": [
{
"text": "$(x - 3)(x + 2)$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont $3$ et $-2$ (avec\n$\\Delta = 25$), donc\n$x^2 - x - 6 = (x - 3)\\left(x - (-2)\\right) = (x-3)(x+2)$."
},
{
"text": "$(x + 3)(x - 2)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signes : ce produit se développe en\n$x^2 + x - 6$. Vérifie toujours le terme en $x$ après\nfactorisation."
},
{
"text": "$(x - 6)(x + 1)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 5x - 6$. Le produit des\nracines doit valoir $-6$ **et** leur somme $1$ : c'est\n$3$ et $-2$, pas $6$ et $-1$."
},
{
"text": "$(x - 2)(x - 3)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce produit vaut $x^2 - 5x + 6$, dont le terme\nconstant est $+6$. Ici il faut un produit de racines égal à\n$-6$, donc deux racines de signes opposés."
}
],
"explanation": "Racines de $x^2 - x - 6$ : $\\Delta = 1 + 24 = 25$,\n$x = \\dfrac{1 \\pm 5}{2}$, soit $3$ et $-2$. D'où la\nfactorisation $a(x - x_1)(x - x_2) = (x - 3)(x + 2)$."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"inequation"
],
"title": "Résoudre une inéquation du second degré",
"statement": "Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation\n$x^2 - 2x - 8 < 0$ ?",
"options": [
{
"text": "$]-2\\,;\\,4[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont $-2$ et $4$\n($\\Delta = 36$), et comme $a = 1 > 0$, le trinôme est\nnégatif strictement **entre** ses racines."
},
{
"text": "$]-\\infty\\,;\\,-2[ \\cup ]4\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de règle : à l'extérieur des racines, le trinôme est\ndu signe de $a = 1 > 0$, donc **positif**. La partie négative\nest entre les racines."
},
{
"text": "$[-2\\,;\\,4]$",
"correct": false,
"feedback": "Attention au strict : l'inégalité est $< 0$, or le trinôme\ns'annule en $-2$ et $4$. Ces bornes sont donc exclues :\nintervalle ouvert."
},
{
"text": "$]2\\,;\\,4[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de calcul des racines : $x = \\dfrac{2 \\pm 6}{2}$\ndonne $4$ et $-2$, pas $2$. Reprends la formule\n$x = \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}$."
}
],
"explanation": "$\\Delta = 4 + 32 = 36$, racines $\\dfrac{2 \\pm 6}{2} = 4$ et\n$-2$. Avec $a > 0$, le trinôme est strictement négatif entre ses\nracines : $S = \\,]-2\\,;\\,4[$."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"extremum",
"variations"
],
"title": "Extremum d'un trinôme",
"statement": "Soit $f(x) = 2x^2 - 8x + 1$. Quel est l'extremum de $f$ sur\n$\\mathbb{R}$, et en quelle valeur de $x$ est-il atteint ?",
"options": [
{
"text": "Un minimum égal à $-7$, atteint en $x = 2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $x = -\\dfrac{b}{2a} = \\dfrac{8}{4} = 2$ et\n$f(2) = 8 - 16 + 1 = -7$. Comme $a = 2 > 0$, c'est un\nminimum."
},
{
"text": "Un maximum égal à $-7$, atteint en $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur d'orientation : $a = 2 > 0$, la parabole est tournée\nvers le haut, son sommet est donc un **minimum**."
},
{
"text": "Un minimum égal à $1$, atteint en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 = f(0)$ est l'ordonnée à l'origine, pas\nl'extremum. Le sommet est en $x = -\\dfrac{b}{2a} = 2$."
},
{
"text": "Un minimum égal à $-7$, atteint en $x = -2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $-\\dfrac{b}{2a} = -\\dfrac{-8}{4} = +2$.\nLe moins de la formule et celui de $b = -8$ se compensent."
}
],
"explanation": "L'extremum d'un trinôme est atteint en $x = -\\dfrac{b}{2a} = 2$ ;\n$f(2) = -7$. Le signe de $a$ ($2 > 0$) indique que la parabole\nest tournée vers le haut : c'est un minimum."
}
]
}