{
  "chapter": {
    "id": "suites-numeriques",
    "level": "premiere-specialite",
    "theme": "Algèbre",
    "title": "Suites numériques, modèles discrets",
    "description": "Modes de génération d'une suite (formule explicite, relation de\nrécurrence), suites arithmétiques et géométriques : terme\ngénéral, sommes $1 + 2 + \\cdots + n$ et $1 + q + \\cdots + q^n$,\nsens de variation, modélisation d'évolutions discrètes et\nintuition de la notion de limite.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition",
        "arithmetique"
      ],
      "title": "Reconnaître une suite arithmétique",
      "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = u_n + 5$.\nQuelle est la nature de cette suite ?",
      "options": [
        {
          "text": "Arithmétique de raison $5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : on passe d'un terme au suivant en\n**ajoutant** toujours $5$ : c'est la définition d'une\nsuite arithmétique de raison $5$."
        },
        {
          "text": "Géométrique de raison $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : géométrique signifierait **multiplier** par $5$ à\nchaque étape ($u_{n+1} = 5u_n$). Ici on ajoute."
        },
        {
          "text": "Arithmétique de raison $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2$ est le **premier terme** $u_0$, pas la\nraison. La raison est le nombre ajouté à chaque étape :\n$5$."
        },
        {
          "text": "Ni arithmétique ni géométrique",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'ajout d'une constante à chaque rang est\nexactement le modèle arithmétique."
        }
      ],
      "explanation": "Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ (accroissement\nconstant $r$) ; suite géométrique : $u_{n+1} = q \\times u_n$\n(taux constant). Ici : arithmétique, $r = 5$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "arithmetique",
        "terme-general"
      ],
      "title": "Terme général d'une suite arithmétique",
      "statement": "Soit $(u_n)$ arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de\nraison $r = 2$. Que vaut $u_{10}$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$23$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_n = u_0 + n\\,r$, donc\n$u_{10} = 3 + 10 \\times 2 = 23$."
        },
        {
          "text": "$21$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'indice : $21 = 3 + 9 \\times 2$ utilise la formule\n$u_0 + (n-1)r$, valable pour un premier terme $u_1$. Avec\n$u_0$, on ajoute $n$ fois la raison."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 2^{10} = 3072$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de modèle : les puissances relèvent des suites\n**géométriques**. Une arithmétique avance par additions :\n$u_{10} = 3 + 20$."
        },
        {
          "text": "$30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $30 = 3 \\times 10$ multiplie le premier terme par\nl'indice. La formule est $u_0 + n\\,r = 3 + 20 = 23$."
        }
      ],
      "explanation": "Terme général d'une suite arithmétique (démonstration au\nprogramme) : $u_n = u_0 + n\\,r$. Ici $u_{10} = 3 + 10 \\times\n2 = 23$. Lien avec les fonctions affines : $u_n = f(n)$ avec\n$f(x) = 2x + 3$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique",
        "terme-general"
      ],
      "title": "Terme général d'une suite géométrique",
      "statement": "Soit $(v_n)$ géométrique de premier terme $v_0 = 5$ et de\nraison $q = 2$. Que vaut $v_4$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$80$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $v_n = v_0 \\times q^n$, donc\n$v_4 = 5 \\times 2^4 = 5 \\times 16 = 80$."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'exposant : $40 = 5 \\times 2^3$. De $v_0$ à\n$v_4$, on multiplie **quatre** fois par la raison :\n$q^4 = 16$."
        },
        {
          "text": "$13$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de modèle : $13 = 5 + 4 \\times 2$ est le calcul\n**arithmétique**. Une géométrique multiplie :\n$5 \\times 2^4$."
        },
        {
          "text": "$625$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $625 = 5^4$ élève le premier terme à la\npuissance. La formule est $v_0 \\times q^n$ : seule la\n**raison** porte l'exposant."
        }
      ],
      "explanation": "Terme général d'une suite géométrique (démonstration au\nprogramme) : $v_n = v_0 \\times q^n$. Ici $5 \\times 2^4 = 80$.\nLien avec l'exponentielle : croissance à taux constant."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "geometrique",
        "reconnaissance"
      ],
      "title": "Reconnaître une suite géométrique",
      "statement": "Les premiers termes d'une suite sont $3$, $6$, $12$, $24$.\nQuel modèle reconnaît-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une suite géométrique de raison $2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le **rapport** de deux termes consécutifs\nest constant : $\\dfrac{6}{3} = \\dfrac{12}{6} =\n\\dfrac{24}{12} = 2$."
        },
        {
          "text": "Une suite arithmétique de raison $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les écarts valent $3$, $6$, $12$ : ils ne sont\npas constants. C'est le **quotient** qui l'est : modèle\ngéométrique."
        },
        {
          "text": "Une suite géométrique de raison $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est le premier terme. La raison est le\nrapport entre termes consécutifs : $2$."
        },
        {
          "text": "Ni arithmétique ni géométrique",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le rapport constant $2$ signe une suite\ngéométrique (chaque terme double)."
        }
      ],
      "explanation": "Réflexe de diagnostic : différences constantes $\\to$\narithmétique ; **rapports** constants $\\to$ géométrique. Ici\nchaque terme est le double du précédent : géométrique de\nraison $2$."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variations"
      ],
      "title": "Sens de variation",
      "statement": "Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 3 \\times 0{,}8^n$. Quel est le\nsens de variation de cette suite ?",
      "options": [
        {
          "text": "Décroissante",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque terme est multiplié par\n$0{,}8 < 1$ (et les termes sont positifs) : la suite\ndiminue à chaque rang."
        },
        {
          "text": "Croissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par un nombre entre $0$ et $1$\n**réduit** une quantité positive : $3$ ; $2{,}4$ ;\n$1{,}92$…"
        },
        {
          "text": "Constante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : constante exigerait une raison $q = 1$. Ici\n$q = 0{,}8 \\neq 1$."
        },
        {
          "text": "Ni croissante ni décroissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le signe de $u_{n+1} - u_n = 3 \\times 0{,}8^n\n\\times (0{,}8 - 1) < 0$ est constant : décroissance à\nchaque rang."
        }
      ],
      "explanation": "Suite géométrique de premier terme positif : croissante si\n$q > 1$, décroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$.\nIci $q = 0{,}8$ : décroissante (modèle des décroissances à\ntaux constant)."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme",
        "arithmetique"
      ],
      "title": "La somme $1 + 2 + \\cdots + n$",
      "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 3 + \\cdots + 100$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$5050$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 + 2 + \\cdots + n = \\dfrac{n(n+1)}{2}$,\ndonc $\\dfrac{100 \\times 101}{2} = 5050$ (la légende de\nGauss écolier)."
        },
        {
          "text": "$10\\,100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la division par $2$ : $100 \\times 101$ compte\nchaque paire deux fois (la somme à l'endroit plus la somme\nà l'envers)."
        },
        {
          "text": "$5000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5000 = \\dfrac{100 \\times 100}{2}$. Le second\nfacteur est $n + 1 = 101$, d'où $5050$."
        },
        {
          "text": "$4950$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4950 = \\dfrac{99 \\times 100}{2}$ est la somme\n$1 + \\cdots + 99$. Il manque le terme $100$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule (démonstration au programme) : $1 + 2 + \\cdots + n =\n\\dfrac{n(n+1)}{2}$. Idée de la preuve : écrire la somme dans\nles deux sens et additionner, chaque colonne vaut $n + 1$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Somme de termes d'une suite géométrique",
      "statement": "Que vaut la somme $1 + 2 + 4 + 8 + \\cdots + 2^9$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2^{10} - 1 = 1023$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1 + q + \\cdots + q^n =\n\\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$, ici $\\dfrac{1 - 2^{10}}{1 -\n2} = 2^{10} - 1$."
        },
        {
          "text": "$1024$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $1024 = 2^{10}$ est le terme **suivant** de la\nsuite. La somme des dix premiers termes vaut un de moins :\n$1023$."
        },
        {
          "text": "$512$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $512 = 2^9$ n'est que le **dernier terme** de la\nsomme, pas la somme elle-même."
        },
        {
          "text": "$2046$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2046 = 2^{11} - 2$ correspondrait à la somme\n$2 + 4 + \\cdots + 2^{10}$. Notre somme commence à $1 =\n2^0$ et s'arrête à $2^9$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule (démonstration au programme) : $1 + q + \\cdots + q^n\n= \\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$ pour $q \\neq 1$. Avec $q = 2$,\n$n = 9$ : $2^{10} - 1 = 1023$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "modes-generation"
      ],
      "title": "Modes de génération d'une suite",
      "statement": "La suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$ est\ndonnée par :",
      "options": [
        {
          "text": "Une relation de récurrence",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque terme se calcule **à partir du\nprécédent** : pour connaître $u_{10}$, on remonte de\nproche en proche (ou on cherche une formule explicite)."
        },
        {
          "text": "Une formule explicite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une formule explicite donnerait $u_n$\n**directement en fonction de $n$** (comme $u_n = 2^{n+1}\n- 1$, qui est d'ailleurs la version explicite de cette\nsuite)."
        },
        {
          "text": "La définition d'une suite arithmétique",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la présence du facteur $2$ devant $u_n$ sort du\nmodèle arithmétique ($u_{n+1} = u_n + r$)."
        },
        {
          "text": "La définition d'une suite géométrique",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le $+1$ sort du modèle géométrique ($u_{n+1} =\nq\\,u_n$). C'est un mélange des deux (suite\narithmético-géométrique, étudiée en terminale)."
        }
      ],
      "explanation": "Deux grands modes de génération : **explicite** ($u_n = f(n)$,\naccès direct au rang $n$) et **par récurrence** ($u_{n+1} =\nf(u_n)$, calcul de proche en proche). Passer de l'un à l'autre\nest un enjeu du chapitre."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modelisation",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Modéliser un placement",
      "statement": "Un capital de $1000$ euros est placé à $3\\ \\%$ d'intérêts par\nan (intérêts composés). On note $C_n$ le capital après $n$\nannées. Quelle est la nature de la suite $(C_n)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Géométrique de raison $1{,}03$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque année, le capital est multiplié par\n$1{,}03$ (coefficient multiplicateur de $+3\\ \\%$) :\n$C_{n+1} = 1{,}03\\,C_n$."
        },
        {
          "text": "Arithmétique de raison $30$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $+30$ euros par an vaudrait pour des intérêts\n**simples** (toujours calculés sur $1000$). Composés, les\nintérêts produisent des intérêts : modèle multiplicatif."
        },
        {
          "text": "Géométrique de raison $0{,}03$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}03$ réduirait le capital à\n$3\\ \\%$ de sa valeur ! Le coefficient d'une hausse de\n$3\\ \\%$ est $1 + 0{,}03 = 1{,}03$."
        },
        {
          "text": "Géométrique de raison $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : raison $3$ signifierait tripler chaque année. Le\ntaux se convertit en coefficient : $1{,}03$."
        }
      ],
      "explanation": "Automatisme central (au programme) : une évolution à **taux\nfixe** se modélise par une suite géométrique de raison le\ncoefficient multiplicateur. $+3\\ \\%$ par an :\n$C_n = 1000 \\times 1{,}03^n$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "evolutions",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Taux d'évolution équivalent",
      "statement": "Une population augmente de $10\\ \\%$ par an pendant deux ans.\nQuel est le taux d'évolution global sur les deux ans ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+21\\ \\%$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les coefficients se multiplient :\n$1{,}1 \\times 1{,}1 = 1{,}21$, soit $+21\\ \\%$ (les\n$10\\ \\%$ de la deuxième année portent sur une base déjà\naugmentée)."
        },
        {
          "text": "$+20\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège additif : les taux ne s'additionnent pas. La\ndeuxième hausse s'applique à la population **déjà\naugmentée** : $1{,}1^2 = 1{,}21$."
        },
        {
          "text": "$+121\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $1{,}21$ est le **coefficient** ; le taux\nd'évolution en est la partie au-delà de $1$ : $21\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$+12\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun calcul ne mène à $12\\ \\%$. Deux hausses de\n$10\\ \\%$ composées : $1{,}1 \\times 1{,}1 = 1{,}21$."
        }
      ],
      "explanation": "Évolutions successives (automatisme) : on multiplie les\ncoefficients. $n$ années à $+10\\ \\%$ : coefficient\n$1{,}1^n$ : c'est exactement le lien entre taux fixe et suite\ngéométrique."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "limite",
        "intuition"
      ],
      "title": "Conjecturer une limite",
      "statement": "Soit $u_n = \\dfrac{1}{n}$ pour $n \\geq 1$ : les termes valent\n$1$ ; $0{,}5$ ; $0{,}33\\ldots$ ; $0{,}25$… Que peut-on\nconjecturer sur le comportement de $(u_n)$ quand $n$ devient\ntrès grand ?",
      "options": [
        {
          "text": "Les termes se rapprochent de $0$ : la suite semble tendre\nvers $0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_{1000} = 0{,}001$,\n$u_{10^6} = 0{,}000001$ : les termes s'écrasent vers $0$\nsans jamais l'atteindre. (La formalisation de la limite\nattendra la terminale.)"
        },
        {
          "text": "La suite tend vers $1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1$ n'est que le **premier terme**. La suite\ns'en éloigne dès le rang $2$ et continue de descendre."
        },
        {
          "text": "Les termes finissent par devenir négatifs",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{n}$ reste strictement positif pour\ntout $n \\geq 1$ : la suite s'approche de $0$ par valeurs\npositives."
        },
        {
          "text": "La suite n'a aucun comportement prévisible",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la décroissance vers $0$ est parfaitement\nrégulière : c'est l'exemple type d'une suite qui « tend\nvers » une valeur."
        }
      ],
      "explanation": "Sensibilisation à la limite (au programme, sans\nformalisation) : observer numériquement le comportement des\ntermes pour $n$ grand. $\\frac{1}{n}$ tend vers $0$,\n$q^n$ ($0<q<1$) aussi, $n^2$ devient arbitrairement grand."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "motifs",
        "raisonnement"
      ],
      "title": "Suite définie par un motif",
      "statement": "Pour $n \\geq 1$, on note $u_n = n^2$ le nombre de carreaux\nd'un carré de côté $n$ : $1$, $4$, $9$, $16$… Cette suite\nest-elle arithmétique ou géométrique ?",
      "options": [
        {
          "text": "Ni l'une ni l'autre : les écarts ($3$, $5$, $7$…) et les\nquotients varient",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les différences $u_{n+1} - u_n = 2n + 1$\ncroissent, et les rapports $\\frac{4}{1} \\neq \\frac{9}{4}$\nvarient : aucun des deux modèles ne convient."
        },
        {
          "text": "Arithmétique, car les termes augmentent régulièrement",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « augmenter régulièrement » ne suffit pas :\nl'arithmétique exige un écart **constant**. Ici les écarts\n$3$, $5$, $7$ grandissent."
        },
        {
          "text": "Géométrique, car $4 = 4 \\times 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le rapport suivant vaut $\\dfrac{9}{4} = 2{,}25\n\\neq 4$ : le quotient n'est pas constant."
        },
        {
          "text": "Arithmétique de raison $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'écart $3$ ne tient qu'entre $u_1$ et $u_2$ ;\nensuite $9 - 4 = 5$. Une seule vérification ne suffit\njamais."
        }
      ],
      "explanation": "Toutes les suites ne sont pas arithmétiques ou géométriques !\nLes suites de motifs (nombres figurés) en donnent des exemples\nnaturels : $u_n = n^2$ a des **accroissements** arithmétiques\n($2n+1$ : les nombres impairs), mais n'est ni arithmétique ni\ngéométrique."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "ni-arithmetique-ni-geometrique"
      ],
      "title": "Ni arithmétique, ni géométrique",
      "statement": "La suite définie par $u_n = n^2$ est-elle arithmétique ou\ngéométrique ?",
      "options": [
        {
          "text": "Ni l'une ni l'autre : les différences valent $1, 3, 5,\n\\dots$ et les quotients varient aussi",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u_1 - u_0 = 1$ mais $u_2 - u_1 = 3$ :\npas de raison additive ; $\\frac{u_2}{u_1} = 4$ mais\n$\\frac{u_3}{u_2} = \\frac{9}{4}$ : pas de raison\nmultiplicative."
        },
        {
          "text": "Arithmétique de raison $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $u_1 - u_0 = 1 \\neq u_2 - u_1 = 3$ : la\ndifférence n'est pas constante (elle augmente de $2$ à\nchaque pas, mais ce n'est pas la définition)."
        },
        {
          "text": "Géométrique de raison $n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de concept : une raison est une **constante** :\nun quotient qui dépend de $n$ disqualifie la suite."
        },
        {
          "text": "Les deux à la fois",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seules les suites constantes (non nulles)\ncumulent les deux statuts : $n^2$ n'est ni l'un ni\nl'autre."
        }
      ],
      "explanation": "Beaucoup de suites ne sont d'aucun des deux modèles : le\ntest (différence constante ? quotient constant ?) doit être\nvérifié sur **tous** les rangs, et un seul contre-exemple\nsuffit à réfuter."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "retrouver-raison"
      ],
      "title": "Retrouver raison et premier terme",
      "statement": "Une suite arithmétique vérifie $u_3 = 11$ et $u_7 = 23$. Que\nvalent la raison $r$ et $u_0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$r = 3$ et $u_0 = 2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : de $u_3$ à $u_7$ : $4$ pas pour $+12$,\ndonc $r = 3$ ; puis $u_0 = u_3 - 3r = 11 - 9 = 2$."
        },
        {
          "text": "$r = 12$ et $u_0 = 11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $12$ est l'écart **total** sur $4$ rangs : la\nraison est l'écart par pas : $\\frac{12}{4} = 3$."
        },
        {
          "text": "$r = 3$ et $u_0 = 11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $11 = u_3$, pas $u_0$ : il faut reculer de\ntrois pas : $11 - 9 = 2$."
        },
        {
          "text": "$r = 4$ et $u_0 = -1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4$ est le **nombre de pas** entre $u_3$ et\n$u_7$, pas la raison ($\\frac{23 - 11}{7 - 3} = 3$)."
        }
      ],
      "explanation": "Entre deux termes d'une suite arithmétique : $u_q = u_p +\n(q - p)r$, d'où $r = \\frac{u_q - u_p}{q - p}$ : une pente,\nexactement comme pour une droite. Puis on remonte à $u_0$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "somme-arithmetique"
      ],
      "title": "Somme de termes en progression arithmétique",
      "statement": "Que vaut la somme $5 + 8 + 11 + \\dots + 35$ (termes en\nprogression arithmétique de raison $3$) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$220$ : onze termes de moyenne $\\dfrac{5 + 35}{2} = 20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : nombre de termes : $\\frac{35 - 5}{3} + 1\n= 11$ ; somme = nombre de termes × moyenne des\nextrêmes : $11 \\times 20 = 220$."
        },
        {
          "text": "$200$ : dix termes de moyenne $20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Terme manquant : $\\frac{35 - 5}{3} = 10$ compte les\n**écarts**, pas les termes : il y en a $10 + 1 = 11$ (le\npiège du « +1 »)."
        },
        {
          "text": "$440$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $11 \\times 40$ prend la **somme** des\nextrêmes au lieu de leur moyenne : diviser par $2$."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 + 35 = 40$ n'additionne que les deux bouts :\nla formule multiplie leur moyenne par le nombre de\ntermes."
        }
      ],
      "explanation": "Somme arithmétique = (nombre de termes) × (premier +\ndernier)/2 : la méthode de Gauss. Deux pièges : compter les\ntermes (écarts + 1) et diviser la somme des extrêmes par\n$2$."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variation-difference"
      ],
      "title": "Variation par la différence",
      "statement": "Une suite vérifie $u_{n+1} - u_n = 2n + 1$ pour tout $n$.\nQue peut-on en conclure ?",
      "options": [
        {
          "text": "La suite est strictement croissante, car $2n + 1 > 0$\npour tout $n \\geq 0$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la différence $u_{n+1} - u_n$ est\npositive à chaque rang : chaque terme dépasse le\nprécédent : croissance stricte (sans connaître $u_0$ !)."
        },
        {
          "text": "La suite est arithmétique de raison $2n + 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une raison doit être **constante** : ici la\ndifférence grandit avec $n$ : croissante oui,\narithmétique non."
        },
        {
          "text": "On ne peut rien dire sans connaître $u_0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le sens de variation ne dépend que du **signe\ndes différences** : $u_0$ fixe le point de départ, pas\nla pente."
        },
        {
          "text": "La suite est décroissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Signe mal lu : $2n + 1 \\geq 1 > 0$ : les différences\nsont toutes positives : la suite monte."
        }
      ],
      "explanation": "Méthode reine pour les variations : étudier le signe de\n$u_{n+1} - u_n$. Positif pour tout $n$ : croissante ;\nnégatif : décroissante. (Pour les suites à termes positifs,\ncomparer $\\frac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ marche aussi.)"
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "seuil",
        "algorithme"
      ],
      "title": "Dépassement de seuil",
      "statement": "Un capital de $1\\,000$ euros est placé à $5\\ \\%$ par an\n(suite $c_n = 1000 \\times 1{,}05^n$). À partir de quelle\nannée dépasse-t-il $2\\,000$ euros, sachant que\n$1{,}05^{14} \\approx 1{,}98$ et $1{,}05^{15} \\approx\n2{,}08$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Au bout de $15$ ans",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : il faut $1{,}05^n > 2$ : encore\n$1{,}98 < 2$ au rang $14$, et $2{,}08 > 2$ au rang\n$15$ : premier dépassement à $n = 15$."
        },
        {
          "text": "Au bout de $14$ ans",
          "correct": false,
          "feedback": "Lecture trop rapide : $1000 \\times 1{,}98 = 1980 <\n2000$ : le seuil n'est pas encore franchi au rang $14$."
        },
        {
          "text": "Au bout de $20$ ans : $5\\ \\% \\times 20 = 100\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Raisonnement linéaire sur un phénomène **multiplicatif** :\nles intérêts composés s'accumulent plus vite : le\ndoublement arrive dès $15$ ans."
        },
        {
          "text": "Jamais : le capital croît de moins en moins",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : la croissance géométrique de raison $> 1$\ns'**accélère** en valeur absolue : tout seuil finit par\ntomber."
        }
      ],
      "explanation": "Recherche de seuil pour une suite géométrique : premier $n$\ntel que $q^n$ dépasse le rapport visé : par balayage\n(calculatrice ou boucle `while c < 2000`). La réponse est le\nPREMIER rang qui franchit, à vérifier des deux côtés."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "arithmetico-geometrique"
      ],
      "title": "Le cas mixte $u_{n+1} = 2u_n + 3$",
      "statement": "La suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$\nest-elle arithmétique ou géométrique ?",
      "options": [
        {
          "text": "Ni l'une ni l'autre : les premiers termes $1, 5, 13,\n29$ n'ont ni différence ni quotient constants",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : différences $4, 8, 16$ (variables),\nquotients $5, 2{,}6, 2{,}23$ (variables aussi) : le\nmélange « fois $2$ plus $3$ » sort des deux modèles\npurs."
        },
        {
          "text": "Géométrique de raison $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $+3$ gâche tout : $\\frac{u_1}{u_0} = 5 \\neq 2$ :\nsans le terme additif, elle serait géométrique ; avec,\nelle ne l'est plus."
        },
        {
          "text": "Arithmétique de raison $3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le $\\times 2$ gâche tout : $u_1 - u_0 = 4 \\neq 3$ : le\ndoublement rompt la régularité additive."
        },
        {
          "text": "Arithmétique ET géométrique",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cumuler les deux exigerait une suite constante ;\ncelle-ci explose ($1, 5, 13, 29, \\dots$)."
        }
      ],
      "explanation": "$u_{n+1} = au_n + b$ (avec $a \\neq 1$, $b \\neq 0$) : suite\n**arithmético-géométrique** : aucun des deux modèles purs.\nLe test numérique sur trois termes suffit toujours à le\nmontrer. (Leur étude complète attend la terminale.)"
    }
  ]
}