{ "chapter": { "id": "trigonometrie", "level": "premiere-specialite", "theme": "Analyse", "title": "Trigonométrie", "description": "Cercle trigonométrique, radian et longueur d'arc, enroulement de\nla droite des réels, cosinus et sinus d'un nombre réel, lien\navec le triangle rectangle, valeurs remarquables, relation\n$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$, angles associés (opposés,\nplus un tour).", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "radian" ], "title": "Degrés et radians", "statement": "À combien de radians correspond un angle de $90°$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le tour complet ($360°$) mesure $2\\pi$\nradians, donc le quart de tour vaut $\\dfrac{2\\pi}{4} =\n\\dfrac{\\pi}{2}$." }, { "text": "$\\pi$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\pi$ radians est le **demi-tour** ($180°$). Le\nquart de tour en est la moitié : $\\pi/2$." }, { "text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{4}$ correspond à $45°$ (le huitième\nde tour)." }, { "text": "$90\\pi$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne multiplie pas les degrés par $\\pi$. La\nconversion : $180° = \\pi$ rad, donc $90° = \\pi/2$." } ], "explanation": "Le radian mesure un angle par la **longueur d'arc** sur le\ncercle de rayon $1$ : tour complet $= 2\\pi$, demi-tour $=\n\\pi$, quart de tour $= \\pi/2$. Conversion : $x° =\nx \\times \\frac{\\pi}{180}$ rad." }, { "id": "q02", "difficulty": 1, "skills": [ "enroulement" ], "title": "Enroulement de la droite", "statement": "Sur le cercle trigonométrique, quel point est associé au réel\n$\\dfrac{\\pi}{2}$ par l'enroulement de la droite des réels ?", "options": [ { "text": "Le point de coordonnées $(0\\,;\\,1)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : partant de $I(1\\,;\\,0)$ et parcourant un\nquart de tour dans le sens direct (longueur d'arc\n$\\pi/2$), on atteint le sommet du cercle." }, { "text": "Le point de coordonnées $(1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,0)$ est le point de **départ**, associé\nau réel $0$." }, { "text": "Le point de coordonnées $(0\\,;\\,-1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(0\\,;\\,-1)$ est atteint pour $-\\dfrac{\\pi}{2}$\n(quart de tour dans le sens indirect) ou pour\n$\\dfrac{3\\pi}{2}$." }, { "text": "Le point de coordonnées $(1\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce point n'est même pas sur le cercle (sa\ndistance à l'origine vaut $\\sqrt{2} \\neq 1$)." } ], "explanation": "L'enroulement part de $I(1\\,;\\,0)$ et parcourt le cercle dans\nle sens direct (antihoraire) sur une longueur égale au réel :\n$\\pi/2 \\to (0\\,;\\,1)$, $\\pi \\to (-1\\,;\\,0)$,\n$2\\pi \\to$ retour en $I$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique", "valeurs" ], "title": "Lire cosinus et sinus sur le cercle", "statement": "Sur le cercle trigonométrique ci-dessous, le point $M$ est\nassocié au réel $\\dfrac{\\pi}{3}$. Quelles sont ses\ncoordonnées ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=1.6]\n \\draw[->] (-1.4,0) -- (1.5,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-1.4) -- (0,1.5) node[above left] {$y$};\n \\draw[thick] (0,0) circle (1);\n \\fill (1,0) circle (0.025);\n \\node[below right,font=\\small] at (1,0) {$I$};\n \\draw (0,0) -- (0.5,0.866);\n \\fill[blue] (0.5,0.866) circle (0.03);\n \\node[blue,above right,font=\\small] at (0.5,0.866) {$M$};\n \\draw[dashed] (0.5,0.866) -- (0.5,0);\n \\node[below,font=\\small] at (0.5,-0.03) {$\\frac{1}{2}$};\n \\draw[dashed] (0.5,0.866) -- (0,0.866);\n \\node[left,font=\\small] at (-0.03,0.866) {$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$};\n \\draw[->] (0.3,0) arc (0:60:0.3);\n \\node[font=\\small] at (0.42,0.2) {$\\frac{\\pi}{3}$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Cercle trigonométrique de centre O. Le point M est sur le\ncercle, dans le premier quadrant, repéré par l'angle pi/3\ndepuis le point I(1 ; 0). Des pointillés relient M à\nl'abscisse 1/2 sur l'axe horizontal et à l'ordonnée\nracine de 3 sur 2 sur l'axe vertical.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$M\\left(\\dfrac{1}{2}\\,;\\,\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par définition, $M(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$ :\nles pointillés donnent $\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}$\n(abscisse) et $\\sin\\frac{\\pi}{3} = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$\n(ordonnée)." }, { "text": "$M\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\,;\\,\\dfrac{1}{2}\\right)$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées échangées : ce point correspondrait à\n$\\dfrac{\\pi}{6}$ (angle plus proche de l'axe horizontal,\ndonc grande abscisse et petite ordonnée)." }, { "text": "$M\\left(\\dfrac{\\pi}{3}\\,;\\,0\\right)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\pi}{3}$ est l'**angle** (la longueur\nd'arc), pas une coordonnée. Les coordonnées du point sont\nle cosinus et le sinus." }, { "text": "$M\\left(\\dfrac{1}{2}\\,;\\,\\dfrac{1}{2}\\right)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce point n'est pas sur le cercle\n($\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 + \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2\n= \\frac{1}{2} \\neq 1$). L'ordonnée de $M$ vaut\n$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$." } ], "explanation": "Définition centrale : le point associé à $x$ a pour\ncoordonnées $(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$. Pour $\\pi/3$ :\n$\\left(\\frac{1}{2}\\,;\\,\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "definition" ], "title": "Définition de cosinus et sinus", "statement": "Soit $M$ le point du cercle trigonométrique associé au réel\n$x$. Comment sont définis $\\cos x$ et $\\sin x$ ?", "options": [ { "text": "$\\cos x$ est l'abscisse de $M$ et $\\sin x$ son ordonnée", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : c'est la définition du programme, qui\nétend le cosinus et le sinus à **tous** les réels." }, { "text": "$\\cos x$ est l'ordonnée de $M$ et $\\sin x$ son abscisse", "correct": false, "feedback": "Rôles échangés : le **c**osinus est l'abscisse\n(horizontale). Vérifie en $x = 0$ : le point $(1\\,;\\,0)$\ndonne bien $\\cos 0 = 1$ et $\\sin 0 = 0$." }, { "text": "$\\cos x$ est la longueur de l'arc parcouru", "correct": false, "feedback": "Erreur : la longueur d'arc est le **réel $x$** lui-même\n(c'est le principe du radian). Le cosinus en est\nl'abscisse du point d'arrivée." }, { "text": "$\\cos x$ et $\\sin x$ ne sont définis que pour\n$x \\in [0\\,;\\,2\\pi]$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'enroulement fonctionne pour tout réel (on peut\nfaire plusieurs tours, ou tourner en sens inverse) :\ncosinus et sinus sont définis sur $\\mathbb{R}$." } ], "explanation": "Pour tout réel $x$ : $M(\\cos x\\,;\\,\\sin x)$ sur le cercle\ntrigonométrique. Conséquence immédiate : $-1 \\leq \\cos x \\leq\n1$ et $-1 \\leq \\sin x \\leq 1$." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "valeurs" ], "title": "Une valeur remarquable", "statement": "Que vaut $\\sin\\dfrac{\\pi}{4}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à $45°$, le point du cercle est sur la\nbissectrice : abscisse et ordonnée égales, valant\n$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$ (démonstration au programme)." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{2}$ est $\\sin\\dfrac{\\pi}{6}$ (ou\n$\\cos\\dfrac{\\pi}{3}$). Pour $\\pi/4$ :\n$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2} \\approx 0{,}707$." }, { "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ est $\\sin\\dfrac{\\pi}{3}$\n(angle plus ouvert, ordonnée plus haute)." }, { "text": "$1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le sinus n'atteint $1$ qu'au quart de tour\ncomplet, $x = \\dfrac{\\pi}{2}$." } ], "explanation": "Valeurs remarquables (dans l'ordre $\\frac{\\pi}{6}$,\n$\\frac{\\pi}{4}$, $\\frac{\\pi}{3}$) : sinus $\\frac{1}{2}$,\n$\\frac{\\sqrt{2}}{2}$, $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ : et cosinus dans\nl'ordre inverse. En $\\pi/4$, symétrie : $\\cos = \\sin =\n\\frac{\\sqrt{2}}{2}$." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "relation-fondamentale" ], "title": "La relation $\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$", "statement": "Soit $x \\in \\left[0\\,;\\,\\dfrac{\\pi}{2}\\right]$ tel que\n$\\sin x = 0{,}6$. Que vaut $\\cos x$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}8$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\cos^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64$, et sur\n$\\left[0\\,;\\,\\frac{\\pi}{2}\\right]$ le cosinus est\npositif : $\\cos x = 0{,}8$." }, { "text": "$0{,}4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $1 - 0{,}6 = 0{,}4$ soustrait les valeurs au\nlieu de leurs **carrés**. La relation est\n$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$." }, { "text": "$\\pm 0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : l'équation du carré donne bien deux\ncandidats, mais l'hypothèse $x \\in [0\\,;\\,\\pi/2]$ (premier\nquadrant) force le cosinus **positif**." }, { "text": "$0{,}64$", "correct": false, "feedback": "Presque : $0{,}64$ est $\\cos^2 x$. Il reste à prendre la\nracine : $\\cos x = 0{,}8$." } ], "explanation": "$\\cos^2 x + \\sin^2 x = 1$ (théorème de Pythagore sur le\ncercle de rayon $1$). On en tire l'un connaissant l'autre, au\n**signe** près, tranché par le quadrant." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "periodicite" ], "title": "Ajouter un tour", "statement": "Le réel $\\dfrac{9\\pi}{4}$ est associé au même point du cercle\nque lequel de ces réels ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{9\\pi}{4} = \\dfrac{\\pi}{4} +\n2\\pi$ : un tour complet de plus, même point d'arrivée." }, { "text": "$\\dfrac{\\pi}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{9\\pi}{4} - \\dfrac{\\pi}{2} =\n\\dfrac{7\\pi}{4}$, qui n'est pas un multiple de $2\\pi$ :\npoints différents." }, { "text": "$\\dfrac{3\\pi}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'écart vaut $\\dfrac{6\\pi}{4} = \\dfrac{3\\pi}{2}$,\npas un tour complet." }, { "text": "$-\\dfrac{\\pi}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{9\\pi}{4} - \\left(-\\dfrac{\\pi}{4}\\right)\n= \\dfrac{10\\pi}{4} = \\dfrac{5\\pi}{2}$ : pas un multiple\nde $2\\pi$. ($-\\pi/4$ est le **symétrique** de $\\pi/4$,\npas le même point.)" } ], "explanation": "Deux réels correspondent au même point si et seulement si leur\ndifférence est un multiple de $2\\pi$ (nombre entier de\ntours). $\\frac{9\\pi}{4} = \\frac{\\pi}{4} + 2\\pi$ : d'où\n$\\cos\\frac{9\\pi}{4} = \\cos\\frac{\\pi}{4}$." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "angles-associes" ], "title": "Angles opposés", "statement": "Que vaut $\\sin\\left(-\\dfrac{\\pi}{6}\\right)$ ?", "options": [ { "text": "$-\\dfrac{1}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les points associés à $x$ et $-x$ sont\nsymétriques par rapport à l'axe des abscisses : même\ncosinus, sinus **opposés**. $\\sin\\frac{\\pi}{6} =\n\\frac{1}{2}$, donc $\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right) =\n-\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le **cosinus** qui résiste au changement de\nsigne de l'angle. Le sinus (l'ordonnée) bascule sous\nl'axe : $-\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de valeur : $\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$ est le sinus de\n$\\dfrac{\\pi}{3}$, pas de $\\dfrac{\\pi}{6}$." }, { "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$", "correct": false, "feedback": "Double erreur : mauvaise valeur remarquable **et** signe\noublié. $\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{6}\\right) = -\\frac{1}{2}$." } ], "explanation": "Angles opposés : $\\cos(-x) = \\cos x$ et $\\sin(-x) = -\\sin x$\n(symétrie par rapport à l'axe des abscisses sur le cercle)." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "triangle-rectangle", "lien" ], "title": "Lien avec le triangle rectangle", "statement": "Dans un triangle rectangle, l'angle aigu $\\theta$ a un côté\nadjacent de longueur $3$ et une hypoténuse de longueur $5$.\nQue vaut $\\cos\\theta$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{5}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\cos\\theta = \\dfrac{\\text{côté\nadjacent}}{\\text{hypoténuse}} = \\dfrac{3}{5}$ (et le\ntroisième côté vaut $4$ : $\\sin\\theta = \\frac{4}{5}$)." }, { "text": "$\\dfrac{4}{5}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{4}{5}$ est le **sinus** (côté opposé,\nqui vaut $4$ par Pythagore, sur hypoténuse)." }, { "text": "$\\dfrac{5}{3}$", "correct": false, "feedback": "Fraction renversée : un cosinus reste entre $-1$ et $1$ ;\nl'hypoténuse, plus grande, va au **dénominateur**." }, { "text": "$\\dfrac{3}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{4}$ divise l'adjacent par l'opposé\n(ce serait la tangente inverse…). Le cosinus rapporte à\nl'**hypoténuse** : $\\frac{3}{5}$." } ], "explanation": "Cohérence avec le collège (au programme) : pour un angle aigu,\nla définition du cercle redonne\n$\\cos\\theta = \\frac{\\text{adjacent}}{\\text{hypoténuse}}$ et\n$\\sin\\theta = \\frac{\\text{opposé}}{\\text{hypoténuse}}$. Ici :\ntriangle $3$-$4$-$5$." }, { "id": "q10", "difficulty": 3, "skills": [ "placement", "quadrants" ], "title": "Placer un réel sur le cercle", "statement": "Dans quel quadrant du cercle trigonométrique se trouve le\npoint associé au réel $\\dfrac{5\\pi}{6}$, et quels sont les\nsignes de son cosinus et de son sinus ?", "options": [ { "text": "Deuxième quadrant (en haut à gauche) : $\\cos < 0$ et\n$\\sin > 0$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{\\pi}{2} < \\dfrac{5\\pi}{6} < \\pi$ :\nentre le quart et le demi-tour. Abscisse négative,\nordonnée positive." }, { "text": "Premier quadrant : $\\cos > 0$ et $\\sin > 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le premier quadrant s'arrête à $\\dfrac{\\pi}{2} =\n\\dfrac{3\\pi}{6}$ ; or $\\dfrac{5\\pi}{6}$ le dépasse." }, { "text": "Troisième quadrant : $\\cos < 0$ et $\\sin < 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le troisième quadrant commence à $\\pi =\n\\dfrac{6\\pi}{6}$, pas encore atteint par\n$\\dfrac{5\\pi}{6}$." }, { "text": "Deuxième quadrant : $\\cos > 0$ et $\\sin < 0$", "correct": false, "feedback": "Signes inversés : en haut à gauche du cercle, l'abscisse\n(cosinus) est **négative** et l'ordonnée (sinus)\n**positive**." } ], "explanation": "Placer un réel : le comparer aux multiples de\n$\\frac{\\pi}{2}$. $\\frac{5\\pi}{6} \\in \\left]\\frac{\\pi}{2}\\,;\\,\n\\pi\\right[$ : deuxième quadrant, $\\cos\\frac{5\\pi}{6} =\n-\\frac{\\sqrt{3}}{2} < 0$ et $\\sin\\frac{5\\pi}{6} =\n\\frac{1}{2} > 0$." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "valeurs", "demonstration" ], "title": "Pourquoi $\\cos\\frac{\\pi}{4} = \\sin\\frac{\\pi}{4}$ ?", "statement": "Comment justifier que $\\cos\\dfrac{\\pi}{4} =\n\\sin\\dfrac{\\pi}{4}$ ?", "options": [ { "text": "Le point associé à $\\dfrac{\\pi}{4}$ est sur la bissectrice\n$y = x$ : son abscisse égale son ordonnée", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à mi-chemin du quart de tour, le point est\nsur la droite $y = x$. Avec $\\cos^2 + \\sin^2 = 1$, chaque\ncoordonnée vaut $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ (démonstration au\nprogramme)." }, { "text": "Parce que $\\cos x = \\sin x$ pour tout $x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : cosinus et sinus diffèrent presque partout\n($\\cos 0 = 1 \\neq 0 = \\sin 0$). L'égalité en $\\pi/4$\nvient de la **symétrie** particulière de cet angle." }, { "text": "Parce que les deux valent $\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de valeur : elles valent $\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\n\\approx 0{,}707$. (Et $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 +\n\\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 = \\frac{1}{2} \\neq 1$ :\nle point ne serait pas sur le cercle.)" }, { "text": "C'est une convention sans justification", "correct": false, "feedback": "Erreur : tout se démontre : symétrie du demi-quart de\ntour (triangle rectangle isocèle) plus la relation\n$\\cos^2 + \\sin^2 = 1$." } ], "explanation": "L'angle $\\pi/4$ est sur la bissectrice du premier quadrant :\nabscisse $=$ ordonnée. En injectant dans $\\cos^2 x + \\sin^2 x\n= 1$ : $2\\cos^2\\frac{\\pi}{4} = 1$, d'où $\\cos\\frac{\\pi}{4} =\n\\frac{\\sqrt{2}}{2}$." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "sens-de-parcours" ], "title": "Le sens de parcours", "statement": "Quel point du cercle trigonométrique est associé au réel\n$-\\dfrac{\\pi}{2}$ ?", "options": [ { "text": "$(0\\,;\\,-1)$ : un quart de tour dans le sens indirect\n(horaire)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les réels négatifs s'enroulent dans le\nsens **indirect** (celui des aiguilles d'une montre) :\nquart de tour vers le bas." }, { "text": "$(0\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur de sens : $(0\\,;\\,1)$ correspond à\n$+\\dfrac{\\pi}{2}$ (sens direct). Le signe moins renverse\nle sens de parcours." }, { "text": "$(-1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(-1\\,;\\,0)$ correspond à $\\pi$ (ou $-\\pi$) : un\ndemi-tour, pas un quart." }, { "text": "$(1\\,;\\,0)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,0)$ est le point de départ (réel $0$, ou\ntout multiple de $2\\pi$)." } ], "explanation": "Convention : sens direct (antihoraire) pour les réels\npositifs, sens indirect pour les négatifs.\n$-\\frac{\\pi}{2} \\to (0\\,;\\,-1)$ : cohérent avec\n$\\cos\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right) = 0$ et\n$\\sin\\left(-\\frac{\\pi}{2}\\right) = -1$." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "valeur-remarquable" ], "title": "La valeur $\\sin\\dfrac{\\pi}{3}$", "statement": "Que vaut $\\sin\\dfrac{\\pi}{3}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à $60°$, le point du cercle est haut :\ngrand sinus $\\frac{\\sqrt{3}}{2}$, petit cosinus\n$\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Échange : $\\frac{1}{2}$ est $\\cos\\frac{\\pi}{3}$ (ou\n$\\sin\\frac{\\pi}{6}$) : à $60°$ le point est plus haut\nque large." }, { "text": "$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\frac{\\sqrt{2}}{2}$ appartient à\n$\\frac{\\pi}{4}$ ($45°$), l'angle de l'égalité\nsinus-cosinus." }, { "text": "$\\sqrt{3}$", "correct": false, "feedback": "Trop grand : un sinus reste entre $-1$ et $1$ ; or\n$\\sqrt{3} \\approx 1{,}73$. Le bon rapport est\n$\\frac{\\sqrt{3}}{2}$." } ], "explanation": "Le trio à mémoriser : $\\frac{\\pi}{6}, \\frac{\\pi}{4},\n\\frac{\\pi}{3}$ donnent pour sinus $\\frac{1}{2},\n\\frac{\\sqrt{2}}{2}, \\frac{\\sqrt{3}}{2}$ (et les mêmes\nvaleurs en cosinus, dans l'ordre inverse)." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "angles-associes", "parite" ], "title": "Cosinus de l'angle opposé", "statement": "Pour tout réel $x$, que vaut $\\cos(-x)$ ?", "options": [ { "text": "$\\cos x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les points d'abscisses curvilignes $x$\net $-x$ sont symétriques par rapport à l'axe\nhorizontal : même abscisse, donc même cosinus." }, { "text": "$-\\cos x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est le **sinus** qui change de signe\n($\\sin(-x) = -\\sin x$) : la symétrie horizontale\npréserve l'abscisse." }, { "text": "$\\sin x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'échange cosinus/sinus vient de\n$\\frac{\\pi}{2} - x$ (angles complémentaires), pas de\nl'opposé." }, { "text": "$1 - \\cos x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune formule d'angle associé ne fait\napparaître de « $1 -$ » : les transformations donnent\n$\\pm\\cos$ ou $\\pm\\sin$." } ], "explanation": "$\\cos(-x) = \\cos x$ (cosinus pair), $\\sin(-x) = -\\sin x$\n(sinus impair) : la symétrie par rapport à l'axe des\nabscisses du cercle. Chaque formule d'angle associé EST une\nsymétrie du cercle : les visualiser plutôt que les réciter." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "angles-associes", "supplementaire" ], "title": "Cosinus de $\\pi - x$", "statement": "Pour tout réel $x$, que vaut $\\cos(\\pi - x)$ ?", "options": [ { "text": "$-\\cos x$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\pi - x$ est le symétrique de $x$ par\nrapport à l'axe **vertical** : l'abscisse change de\nsigne, l'ordonnée est conservée ($\\sin(\\pi - x) = \\sin\nx$)." }, { "text": "$\\cos x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la symétrie verticale renverse l'abscisse :\n$\\cos\\frac{2\\pi}{3} = -\\cos\\frac{\\pi}{3} =\n-\\frac{1}{2}$, pas $+\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$-\\sin x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : pas d'échange cosinus/sinus ici (réservé à\n$\\frac{\\pi}{2} - x$) : le supplémentaire donne\n$-\\cos x$." }, { "text": "$\\sin x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\sin x$ est la valeur de $\\sin(\\pi - x)$ : le\n**sinus** est conservé par cette symétrie, le cosinus\nbascule." } ], "explanation": "$\\pi - x$ (symétrie verticale) : $\\cos$ bascule, $\\sin$\ntient ; $\\pi + x$ (symétrie centrale) : les deux basculent ;\n$-x$ (symétrie horizontale) : $\\sin$ bascule, $\\cos$ tient.\nTrois symétries, tout le jeu des angles associés." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "mesure-principale" ], "title": "Mesure principale", "statement": "Quelle est la mesure principale (dans $]-\\pi\\ ;\\ \\pi]$) de\nl'angle $\\dfrac{17\\pi}{4}$ ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{\\pi}{4}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{17\\pi}{4} = 4\\pi +\n\\dfrac{\\pi}{4}$ : deux tours complets, puis\n$\\frac{\\pi}{4}$ : même point du cercle." }, { "text": "$\\dfrac{3\\pi}{4}$", "correct": false, "feedback": "Erreur de soustraction : $\\frac{17\\pi}{4} - 4\\pi =\n\\frac{17\\pi - 16\\pi}{4} = \\frac{\\pi}{4}$ (retirer\n$\\frac{16\\pi}{4}$, pas $\\frac{14\\pi}{4}$)." }, { "text": "$\\dfrac{17\\pi}{4}$ est déjà principale", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\frac{17\\pi}{4} \\approx 4{,}25\\pi > \\pi$ :\nhors de $]-\\pi\\ ;\\ \\pi]$ : il faut retirer des tours." }, { "text": "$-\\dfrac{\\pi}{4}$", "correct": false, "feedback": "Signe : après retrait de $2$ tours ($4\\pi$), il reste\n$+\\frac{\\pi}{4}$, déjà dans l'intervalle : aucune raison\nde basculer en négatif." } ], "explanation": "Mesure principale : retirer (ou ajouter) des multiples de\n$2\\pi$ jusqu'à tomber dans $]-\\pi\\ ;\\ \\pi]$. Astuce :\nécrire la fraction en quarts de tour ($\\frac{16\\pi}{4} =\n4\\pi$ = deux tours) rend le calcul mental." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "angles-associes-calcul" ], "title": "Calculer $\\sin\\dfrac{7\\pi}{6}$", "statement": "Que vaut $\\sin\\dfrac{7\\pi}{6}$ ?", "options": [ { "text": "$-\\dfrac{1}{2}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{7\\pi}{6} = \\pi +\n\\dfrac{\\pi}{6}$ : symétrie centrale : $\\sin(\\pi + x) =\n-\\sin x = -\\dfrac{1}{2}$ (point dans le troisième\nquadrant, sous l'axe)." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Signe : au-delà de $\\pi$, le point passe **sous** l'axe\ndes abscisses : le sinus devient négatif." }, { "text": "$-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$", "correct": false, "feedback": "Valeur : l'angle de référence est $\\frac{\\pi}{6}$, de\nsinus $\\frac{1}{2}$ ($\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ appartient à\n$\\frac{\\pi}{3}$)." }, { "text": "$\\dfrac{7}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un sinus reste dans $[-1\\ ;\\ 1]$ : on\ndécompose l'angle ($\\pi + \\frac{\\pi}{6}$) et on applique\nla symétrie." } ], "explanation": "Méthode générale : décomposer l'angle par rapport à $\\pi$ ou\n$\\frac{\\pi}{2}$ ($\\frac{7\\pi}{6} = \\pi + \\frac{\\pi}{6}$),\nappliquer la formule d'angle associé, conclure avec la\nvaleur remarquable. Placer mentalement le point sur le\ncercle valide le signe." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "coordonnees-point" ], "title": "Coordonnées d'un point du cercle", "statement": "Quelles sont les coordonnées du point du cercle\ntrigonométrique associé au réel $\\dfrac{2\\pi}{3}$ ?", "options": [ { "text": "$\\left(-\\dfrac{1}{2}\\ ;\\ \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : coordonnées $= (\\cos\\ ;\\ \\sin)$ :\ndeuxième quadrant : cosinus négatif ($-\\frac{1}{2}$),\nsinus positif ($\\frac{\\sqrt{3}}{2}$)." }, { "text": "$\\left(\\dfrac{1}{2}\\ ;\\ \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\right)$", "correct": false, "feedback": "Signe du cosinus : $\\frac{2\\pi}{3} > \\frac{\\pi}{2}$ : le\npoint a dépassé la verticale : abscisse négative (ce\npoint-là est celui de $\\frac{\\pi}{3}$)." }, { "text": "$\\left(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\ ;\\ -\\dfrac{1}{2}\\right)$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées échangées et signe déplacé : l'abscisse est\nle **cosinus** ($-\\frac{1}{2}$), l'ordonnée le sinus\n($+\\frac{\\sqrt{3}}{2}$)." }, { "text": "$\\left(-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\ ;\\ \\dfrac{1}{2}\\right)$", "correct": false, "feedback": "Valeurs échangées : l'angle de référence $\\frac{\\pi}{3}$\ndonne $\\cos = \\frac{1}{2}$ (au signe près) et $\\sin =\n\\frac{\\sqrt{3}}{2}$ : pas l'inverse." } ], "explanation": "Point associé à $x$ : $(\\cos x\\ ;\\ \\sin x)$ : ici\n$\\frac{2\\pi}{3} = \\pi - \\frac{\\pi}{3}$ : cosinus basculé,\nsinus conservé. Réflexe de contrôle : quadrant 2 = (−, +)." } ] }