{
  "chapter": {
    "id": "variables-aleatoires",
    "level": "premiere-specialite",
    "theme": "Probabilités et statistiques",
    "title": "Variables aléatoires réelles",
    "description": "Variable aléatoire réelle sur un univers fini, loi de\nprobabilité, notations $\\{X = a\\}$ et $P(X \\leq a)$, espérance\n(linéarité), variance et écart-type, formule de König-Huygens,\nmodélisation (jeux, gains) et notion de jeu équitable.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "definition"
      ],
      "title": "Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?",
      "statement": "Dans le cadre du programme (univers fini), qu'est-ce qu'une\nvariable aléatoire réelle $X$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une fonction qui associe un nombre réel à chaque issue de\nl'univers",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X$ transforme chaque issue en nombre\n(un gain, un score, un temps…) : c'est la formalisation au\nprogramme."
        },
        {
          "text": "Un nombre qui change tout le temps",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop vague : la variable est une **fonction** bien\ndéfinie sur l'univers ; c'est le résultat de l'expérience\nqui est aléatoire, pas la règle d'affectation."
        },
        {
          "text": "Un événement particulier",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un événement est un **sous-ensemble** de\nl'univers. La variable aléatoire est une fonction à\nvaleurs réelles ; $\\{X = a\\}$, lui, est un événement."
        },
        {
          "text": "Une probabilité comprise entre 0 et 1",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les valeurs de $X$ sont des nombres quelconques\n(gains négatifs compris) ; ce sont les $P(X = a)$ qui\nsont des probabilités."
        }
      ],
      "explanation": "Variable aléatoire réelle : fonction $X : \\Omega \\to\n\\mathbb{R}$. La notation $\\{X = a\\}$ désigne l'événement\n« l'issue obtenue a pour image $a$ », de probabilité\n$P(X = a)$."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi"
      ],
      "title": "Compléter une loi de probabilité",
      "statement": "La variable $X$ prend les valeurs $-1$, $2$ et $5$ avec\n$P(X = -1) = 0{,}5$ et $P(X = 2) = 0{,}3$. Que vaut\n$P(X = 5)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la somme des probabilités de la loi vaut\n$1$ : $P(X = 5) = 1 - 0{,}5 - 0{,}3 = 0{,}2$."
        },
        {
          "text": "$0{,}8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}8 = 0{,}5 + 0{,}3$ est la somme des deux\nprobabilités connues ; la manquante en est le\n**complément à $1$**."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : rien n'impose d'égaler la première probabilité.\nLa contrainte est la somme totale : $1$."
        },
        {
          "text": "On ne peut pas savoir",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
        }
      ],
      "explanation": "Loi de probabilité de $X$ : la donnée des valeurs $x_i$ et\ndes probabilités $p_i = P(X = x_i)$, positives et de somme\n$1$. Ici : $0{,}2$."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance",
        "calcul"
      ],
      "title": "Calculer une espérance",
      "statement": "Avec la loi précédente ($-1$ avec $0{,}5$ ; $2$ avec\n$0{,}3$ ; $5$ avec $0{,}2$), que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = (-1)(0{,}5) + 2(0{,}3) +\n5(0{,}2) = -0{,}5 + 0{,}6 + 1 = 1{,}1$."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 = \\dfrac{-1 + 2 + 5}{3}$ est la moyenne\n**non pondérée** des valeurs. L'espérance pondère chaque\nvaleur par sa probabilité."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est la somme brute des valeurs, sans les\nprobabilités."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}5$ est la probabilité la plus grande, pas\nl'espérance. Formule : $\\sum x_i\\,p_i = 1{,}1$."
        }
      ],
      "explanation": "$E(X) = \\sum x_i\\,p_i$ : moyenne des valeurs **pondérée par\nles probabilités**. Ici $1{,}1$ : analogie directe avec la\nmoyenne pondérée des statistiques."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "esperance",
        "interpretation"
      ],
      "title": "Interpréter l'espérance",
      "statement": "$X$ désigne le gain (en euros) à un jeu, avec $E(X) =\n1{,}1$. Quelle interprétation est correcte ?",
      "options": [
        {
          "text": "Sur un grand nombre de parties, le gain moyen par partie\nest proche de $1{,}10$ euro",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance est un gain moyen **en\ntendance**, que les fréquences réalisent sur le long\nterme (loi des grands nombres, vue en simulation)."
        },
        {
          "text": "À chaque partie, on gagne exactement $1{,}10$ euro",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune partie ne rapporte $1{,}10$ euro (les\ngains possibles sont $-1$, $2$ et $5$) : l'espérance est\nune moyenne, pas une valeur garantie."
        },
        {
          "text": "On gagne dans $1{,}1$ partie sur $2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'espérance n'est pas une fréquence de succès\n(et « $1{,}1$ sur $2$ » n'a pas de sens). Elle moyenne\nles **montants**."
        },
        {
          "text": "Le gain le plus probable est $1{,}10$ euro",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur la plus probable est $-1$ (probabilité\n$0{,}5$). L'espérance ne coïncide pas avec le mode."
        }
      ],
      "explanation": "$E(X)$ : valeur moyenne par répétition, sur un grand nombre\nd'expériences. Un jeu d'espérance positive est favorable au\njoueur en tendance, sans rien garantir sur une partie."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "jeu-equitable"
      ],
      "title": "Jeu équitable",
      "statement": "Quand dit-on qu'un jeu d'argent est **équitable** ?",
      "options": [
        {
          "text": "Lorsque l'espérance du gain algébrique (mise déduite) est\nnulle",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : en moyenne, ni le joueur ni l'organisateur\nne gagnent : $E(X) = 0$."
        },
        {
          "text": "Lorsque toutes les issues sont équiprobables",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équité concerne l'**espérance du gain**, pas\nl'uniformité des probabilités : un jeu peut être\néquiprobable et très défavorable."
        },
        {
          "text": "Lorsqu'on gagne une fois sur deux",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : gagner souvent de petits montants et perdre\nrarement de gros peut être défavorable : seul le bilan\nmoyen (l'espérance) juge l'équité."
        },
        {
          "text": "Lorsque la mise est faible",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la modestie de la mise ne dit rien du rapport\nentre mise et gains espérés."
        }
      ],
      "explanation": "Jeu équitable : $E(\\text{gain algébrique}) = 0$. Capacité\nattendue type : ajuster une mise ou un lot pour annuler\nl'espérance."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "variance",
        "definition"
      ],
      "title": "Ce que mesure la variance",
      "statement": "Que mesure la variance $V(X)$ d'une variable aléatoire ?",
      "options": [
        {
          "text": "La dispersion des valeurs de $X$ autour de son espérance\n(moyenne des carrés des écarts)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(X) = E\\left((X - \\mu)^2\\right)$ :\nplus les valeurs s'éloignent de $\\mu$ en probabilité,\nplus la variance est grande."
        },
        {
          "text": "La valeur moyenne de $X$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la valeur moyenne est l'**espérance**. La\nvariance mesure l'étalement autour d'elle."
        },
        {
          "text": "La probabilité que $X$ dépasse sa moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette probabilité est un autre objet ; la\nvariance moyenne les **carrés des écarts**, dépassements\net déficits confondus."
        },
        {
          "text": "La plus grande valeur possible de $X$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le maximum ne dépend pas des probabilités ; la\nvariance, si : elle pèse chaque écart par sa probabilité."
        }
      ],
      "explanation": "$V(X) = E\\left((X - \\mu)^2\\right)$ avec $\\mu = E(X)$ :\nindicateur de dispersion (toujours positif), dont la racine\n$\\sigma(X)$ (écart-type) s'exprime dans l'unité de $X$."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "konig-huygens",
        "calcul"
      ],
      "title": "Formule de König-Huygens",
      "statement": "Soit $X$ telle que $E(X) = 2$ et $E(X^2) = 7$. Que vaut\n$V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : König-Huygens : $V(X) = E(X^2) -\n\\left(E(X)\\right)^2 = 7 - 4 = 3$."
        },
        {
          "text": "$5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $7 - 2$ soustrait $E(X)$ au lieu de son\n**carré** : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = 7 - 4$."
        },
        {
          "text": "$45$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $49 - 4$ ? C'est $E(X^2) = 7$ qui est donné, pas\n$E(X^2) = 49$. $V = 7 - 4 = 3$."
        },
        {
          "text": "$-3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une variance est toujours **positive**\n(moyenne de carrés). L'ordre de la soustraction est\n$E(X^2) - E(X)^2$."
        }
      ],
      "explanation": "König-Huygens (au programme) : $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ :\n« moyenne des carrés moins carré de la moyenne ». Toujours\npositif : $E(X^2) \\geq E(X)^2$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ecart-type"
      ],
      "title": "De la variance à l'écart-type",
      "statement": "Une variable aléatoire vérifie $V(X) = 9$. Que vaut son\nécart-type $\\sigma(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)} = \\sqrt{9} = 3$ :\nl'écart-type ramène la dispersion dans l'**unité** de\n$X$."
        },
        {
          "text": "$81$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de sens : $81 = 9^2$ élève au carré au lieu de\nprendre la racine."
        },
        {
          "text": "$9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $9$ est la variance elle-même. L'écart-type en\nest la racine carrée : $3$."
        },
        {
          "text": "$4{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : on ne divise pas par $2$ : on prend la racine\ncarrée, $\\sqrt{9} = 3$."
        }
      ],
      "explanation": "$\\sigma(X) = \\sqrt{V(X)}$. La variance s'exprime en unités au\ncarré, l'écart-type dans l'unité de la variable : c'est lui\nqu'on interprète."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "linearite",
        "esperance"
      ],
      "title": "Linéarité de l'espérance",
      "statement": "Soit $X$ avec $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(aX + b) = a\\,E(X) + b = 2 \\times 5 +\n3 = 13$."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $10 = 2E(X)$ oublie le décalage $+3$, qui se\ntransmet tel quel à l'espérance."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2(5 + 3) = 16$ distribue mal : le $+3$ n'est\npas multiplié par $2$. Formule : $aE(X) + b$."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25 = 5^2$ n'a rien à voir : la transformation\nest affine, pas quadratique."
        }
      ],
      "explanation": "Linéarité (au programme) : $E(aX + b) = a\\,E(X) + b$.\nExemple d'usage : conversion d'unités, ajout d'un bonus fixe\nà un gain."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "variance",
        "transformation"
      ],
      "title": "Variance de $aX + b$",
      "statement": "Soit $X$ avec $V(X) = 2$. Que vaut $V(2X + 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $V(aX + b) = a^2\\,V(X) = 4 \\times 2 = 8$ :\nle décalage $+3$ ne disperse rien, le facteur $2$ dilate\nles écarts, donc leurs carrés par $4$."
        },
        {
          "text": "$7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 \\times 2 + 3$ applique la formule de\nl'**espérance**. Pour la variance : $a$ au carré et $b$\ndisparaît."
        },
        {
          "text": "$4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 = 2 \\times 2$ multiplie par $a$ au lieu de\n$a^2$. Les écarts doublés donnent des carrés quadruplés."
        },
        {
          "text": "$11$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $4 \\times 2 + 3 = 11$ ajoute le décalage ; or\nune translation ne change pas la dispersion : $V(aX+b) =\na^2V(X) = 8$."
        }
      ],
      "explanation": "$V(aX + b) = a^2\\,V(X)$ (et $\\sigma(aX+b) = |a|\\,\\sigma(X)$) :\nla constante $b$ translate sans disperser, le facteur $a$\nentre au carré."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "notations",
        "cumul"
      ],
      "title": "Utiliser la notation $P(X \\leq a)$",
      "statement": "Avec la loi : $P(X = -1) = 0{,}5$, $P(X = 2) = 0{,}3$,\n$P(X = 5) = 0{,}2$, que vaut $P(X \\leq 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\{X \\leq 2\\}$ regroupe les valeurs $-1$\net $2$ : $P = 0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$."
        },
        {
          "text": "$0{,}3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $0{,}3 = P(X = 2)$ seulement. L'inégalité\n**large** inclut aussi la valeur $-1$."
        },
        {
          "text": "$0{,}2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $0{,}2 = P(X = 5) = P(X > 2)$ est la probabilité\nde l'événement **contraire**."
        },
        {
          "text": "$0{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $0{,}5 = P(X = -1)$ oublie la valeur $2$,\nincluse dans $X \\leq 2$."
        }
      ],
      "explanation": "Passer de la langue au symbole (capacité attendue) :\n$\\{X \\leq a\\}$ cumule toutes les valeurs inférieures ou\négales à $a$. Ici $0{,}5 + 0{,}3 = 0{,}8$ (ou $1 - P(X = 5)$)."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "esperance"
      ],
      "title": "Espérance d'une loterie",
      "statement": "Une loterie vend $100$ billets à $1$ euro ; un seul billet\ngagne un lot de $50$ euros. Soit $X$ le gain algébrique d'un\nacheteur d'un billet. Que vaut $E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-0{,}50$ euro : le jeu est défavorable au joueur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $X$ vaut $49$ (lot moins mise) avec\nprobabilité $0{,}01$, et $-1$ avec probabilité $0{,}99$ :\n$E(X) = 0{,}49 - 0{,}99 = -0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$+0{,}50$ euro",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de signe : le joueur **perd** en moyenne. La\nrecette ($100$ euros) dépasse le lot ($50$ euros) : la\ndifférence se répartit sur les joueurs."
        },
        {
          "text": "$0$ : le jeu est équitable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'équité exigerait un lot de $100$ euros\n(recette entière redistribuée). Avec $50$ euros :\n$E(X) = -0{,}5$."
        },
        {
          "text": "$-1$ euro",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $-1$ serait la perte **certaine** sans aucun\nlot. La petite chance de gagner relève l'espérance à\n$-0{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "Modélisation type : gain algébrique $=$ lot $-$ mise. Loi :\n$49$ avec $\\frac{1}{100}$, $-1$ avec $\\frac{99}{100}$ :\n$E(X) = -0{,}50$ euro : la moitié de la mise part en moyenne\nà l'organisateur."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "loi-somme-un"
      ],
      "title": "Compléter une loi",
      "statement": "$X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ avec $P(X = 0) =\n0{,}3$ et $P(X = 1) = 0{,}45$. Que vaut $P(X = 2)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$0{,}25$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les probabilités d'une loi somment à\n$1$ : $1 - 0{,}3 - 0{,}45 = 0{,}25$."
        },
        {
          "text": "$0{,}75$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction incomplète : $1 - 0{,}3 + 0{,}45$ mélange\nles signes : on retire **les deux** probabilités\nconnues."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la somme $0{,}3 + 0{,}45 = 0{,}75 \\neq 1$ : il\nmanque $0{,}25$, qui revient à la valeur $2$."
        },
        {
          "text": "Impossible à déterminer",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la contrainte « somme $= 1$ » détermine\nentièrement la probabilité manquante."
        }
      ],
      "explanation": "Toute loi de probabilité vérifie $\\sum P(X = x_i) = 1$ : la\npremière vérification à faire sur un tableau, et l'outil\npour compléter une case manquante."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "esperance-de"
      ],
      "title": "Espérance d'un dé",
      "statement": "$X$ est le résultat d'un dé équilibré à six faces. Que vaut\n$E(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3{,}5$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} =\n\\dfrac{21}{6} = 3{,}5$ : la moyenne des faces,\néquiprobables."
        },
        {
          "text": "$3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ serait la « valeur du milieu » arrondie\nvers le bas : la moyenne exacte des six faces est\n$3{,}5$."
        },
        {
          "text": "$6$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $6$ est la valeur **maximale**, pas la moyenne\nde long terme."
        },
        {
          "text": "$21$",
          "correct": false,
          "feedback": "Division oubliée : $21$ est la somme des faces : chaque\nface pèse $\\frac{1}{6}$ : moyenne $3{,}5$."
        }
      ],
      "explanation": "Cas équiprobable : l'espérance est la moyenne simple des\nvaleurs. $E(X) = 3{,}5$ montre aussi qu'une espérance n'est\npas forcément une valeur **atteignable** : aucun dé\nn'affiche $3{,}5$."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "linearite-calcul"
      ],
      "title": "Espérance de $2X + 3$",
      "statement": "$X$ a pour espérance $E(X) = 5$. Que vaut $E(2X + 3)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$13$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(aX + b) = aE(X) + b = 2 \\times 5 + 3\n= 13$ : la moyenne suit la transformation affine."
        },
        {
          "text": "$10$",
          "correct": false,
          "feedback": "Constante oubliée : $2E(X) = 10$, puis le décalage $+3$\ns'ajoute : $13$."
        },
        {
          "text": "$16$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2 \\times (5 + 3) = 16$ applique le facteur à\nla constante aussi : le $+3$ est ajouté **après** la\nmultiplication."
        },
        {
          "text": "$2E(X) + 3X$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'objet : une espérance est un **nombre** : $X$\nne peut pas subsister dans le résultat."
        }
      ],
      "explanation": "$E(aX + b) = aE(X) + b$ : la linéarité, appliquée\nmécaniquement. Usage type : conversion d'unités, gain après\nfrais fixes, mise initiale."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "gain-net"
      ],
      "title": "Gain net d'un jeu payant",
      "statement": "Un jeu coûte $2$ euros. On gagne $10$ euros avec probabilité\n$0{,}1$, sinon rien. Que vaut l'espérance du gain **net**\n(gain moins mise) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$-1$ euro : le jeu est défavorable au joueur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : gain brut espéré $= 10 \\times 0{,}1 =\n1$ euro ; net : $1 - 2 = -1$ euro : en moyenne, le\njoueur perd un euro par partie."
        },
        {
          "text": "$+1$ euro",
          "correct": false,
          "feedback": "Mise oubliée : $1$ euro est le gain **brut** moyen : il\nfaut retrancher les $2$ euros de mise : $-1$."
        },
        {
          "text": "$0$ : le jeu est équitable",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : équitable exigerait un gain brut moyen égal à\nla mise ($2$ euros) : ici il ne vaut que $1$ euro."
        },
        {
          "text": "$8$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $10 - 2 = 8$ est le net **en cas de victoire**\nseulement : l'espérance pondère par $0{,}1$ (et $-2$\npèse $0{,}9$)."
        }
      ],
      "explanation": "Gain net = gain brut − mise : $E(\\text{net}) =\nE(\\text{brut}) - \\text{mise}$ (linéarité !). Jeu équitable\n$\\iff E(\\text{net}) = 0$. Les jeux d'argent réels sont tous\nà espérance négative pour le joueur."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "variance-koenig-calcul"
      ],
      "title": "Variance par König-Huygens",
      "statement": "$X$ prend les valeurs $0$ et $2$ avec $P(X = 0) = P(X = 2)\n= 0{,}5$. Que vaut $V(X)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$ : $E(X^2) - E(X)^2 = 2 - 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $E(X) = 1$, $E(X^2) = 0 \\times 0{,}5 +\n4 \\times 0{,}5 = 2$ : $V(X) = 2 - 1^2 = 1$ (écart-type\n$1$ : les valeurs sont à distance $1$ de la moyenne)."
        },
        {
          "text": "$0$ : la loi est symétrique",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : la symétrie centre la moyenne, elle\nn'annule pas la **dispersion** : seules les variables\nconstantes ont une variance nulle."
        },
        {
          "text": "$2$",
          "correct": false,
          "feedback": "Soustraction oubliée : $2 = E(X^2)$ : König-Huygens\nretranche le carré de la moyenne : $2 - 1 = 1$."
        },
        {
          "text": "$-1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Impossible : une variance est toujours positive (moyenne\nde carrés d'écarts) : un résultat négatif signale une\nerreur de calcul."
        }
      ],
      "explanation": "König-Huygens : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ : calculer les\ndeux moments, soustraire dans le bon ordre. Garde-fou : $V\n\\geq 0$ toujours."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comparaison-risque"
      ],
      "title": "Même espérance, risques différents",
      "statement": "Deux placements ont la même espérance de gain, mais le\nplacement A a un écart-type de $2$ euros et le placement B\nde $50$ euros. Comment interpréter ?",
      "options": [
        {
          "text": "B est beaucoup plus risqué : mêmes gains moyens, mais\nrésultats bien plus dispersés",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'espérance dit la tendance,\nl'écart-type mesure les fluctuations : B peut gagner ou\nperdre gros, A reste près de la moyenne : le « risque »\nest dans $\\sigma$."
        },
        {
          "text": "B rapporte plus en moyenne",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les espérances sont **égales** par hypothèse :\nl'écart-type ne déplace pas la moyenne, il l'entoure\nd'incertitude."
        },
        {
          "text": "A et B sont identiques : même espérance",
          "correct": false,
          "feedback": "Réducteur : deux lois peuvent partager leur moyenne et\ndifférer du tout au tout en dispersion : c'est\nexactement ce que la variance capture."
        },
        {
          "text": "A est plus risqué : un petit écart-type cache des\nsurprises",
          "correct": false,
          "feedback": "Contresens : petit $\\sigma$ = résultats **concentrés**\nautour de la moyenne = peu de surprises : le risque\ncroît avec l'écart-type."
        }
      ],
      "explanation": "Le couple $(E\\ ;\\ \\sigma)$ résume une variable aléatoire :\ntendance ET dispersion. À espérance égale, l'écart-type\ndépartage : c'est la définition quantitative du risque\n(finance, assurance, files d'attente)."
    }
  ]
}