{ "chapter": { "id": "variations-courbes", "level": "premiere-specialite", "theme": "Analyse", "title": "Variations et courbes représentatives", "description": "Lien entre signe de la dérivée et sens de variation, fonctions\nconstantes, extremums et tangente horizontale, fonctions paires\net impaires (traduction géométrique), position relative de deux\ncourbes, optimisation, étude du second degré par la dérivation.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "signe-derivee", "variations" ], "title": "Du signe de la dérivée aux variations", "statement": "Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$, avec $f'(x) > 0$\npour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$f$ est strictement croissante sur $I$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : une pente partout positive fait monter la\ncourbe : c'est le théorème central du chapitre." }, { "text": "$f$ est positive sur $I$", "correct": false, "feedback": "Confusion signe/variations : $f' > 0$ parle de la\n**pente**, pas de la hauteur. Une fonction peut monter en\nrestant négative." }, { "text": "$f$ est décroissante sur $I$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : la décroissance correspond à $f' < 0$\n(pente négative, la courbe descend)." }, { "text": "$f$ est constante sur $I$", "correct": false, "feedback": "Erreur : constante correspond à $f' = 0$ sur tout\nl'intervalle. Ici la dérivée est strictement positive." } ], "explanation": "Théorème : $f' > 0$ sur $I$ $\\Rightarrow$ $f$ strictement\ncroissante ; $f' < 0$ $\\Rightarrow$ décroissante ; $f' = 0$\npartout $\\Rightarrow$ constante. Toute l'étude de fonctions\nrepose dessus." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "etude", "tableau-variations" ], "title": "Étudier les variations par la dérivée", "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 3x$, de dérivée $f'(x) = 3x^2 - 3 =\n3(x-1)(x+1)$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?", "options": [ { "text": "Sur $[-1\\,;\\,1]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le trinôme $3(x-1)(x+1)$ est négatif entre\nses racines $-1$ et $1$ : la dérivée y est négative, la\nfonction y descend." }, { "text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,-1]$", "correct": false, "feedback": "Erreur : pour $x < -1$, les deux facteurs sont négatifs et\n$f' > 0$ : la fonction **monte**." }, { "text": "Sur $[1\\,;\\,+\\infty[$", "correct": false, "feedback": "Erreur : au-delà de $1$, les deux facteurs sont positifs,\n$f' > 0$ : croissance." }, { "text": "Nulle part : $x^3$ est toujours croissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : $x^3$ seul est croissant, mais le terme $-3x$\ncreuse une descente entre $-1$ et $1$ (calcule\n$f(-1) = 2$ et $f(1) = -2$)." } ], "explanation": "Méthode complète : dériver, étudier le **signe** de $f'$\n(tableau de signes du trinôme), en déduire les variations.\n$f' < 0$ sur $]-1\\,;\\,1[$ : $f$ décroît sur $[-1\\,;\\,1]$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique", "tangente-horizontale" ], "title": "Tangentes horizontales", "statement": "La courbe ci-dessous représente $f(x) = x^3 - 3x$. En quelles\nabscisses la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-4.7) grid (2.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (2.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-4.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.18) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-4,-2,2,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.18,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-2.25:2.25,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{\\x*\\x*\\x-3*\\x});\n \\draw[dashed,red] (-1.8,2) -- (-0.2,2);\n \\draw[dashed,red] (0.2,-2) -- (1.8,-2);\n \\node[blue,font=\\small] at (2.45,3.6) {$\\mathcal{C}_f$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère orthonormé avec la courbe de f(x) = x³ - 3x : maximum\nlocal (-1 ; 2) et minimum local (1 ; -2), où deux segments\nhorizontaux rouges en pointillés matérialisent les tangentes\nhorizontales.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "En $x = -1$ et $x = 1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : au sommet local et au creux local, la\ntangente est horizontale (pointillés rouges) : la pente\n$f'$ s'y annule." }, { "text": "En $x = 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : en $0$ la courbe **traverse** l'axe en\ndescendant : la tangente y est inclinée\n($f'(0) = -3$), pas horizontale." }, { "text": "En $x = -\\sqrt{3}$ et $x = \\sqrt{3}$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $\\pm\\sqrt{3}$ sont les points où **$f$**\ns'annule (la courbe coupe l'axe des abscisses), pas où\n$f'$ s'annule." }, { "text": "Nulle part", "correct": false, "feedback": "Erreur : les deux extremums locaux, bien visibles,\nimposent des tangentes horizontales : $f'(-1) = f'(1) =\n0$." } ], "explanation": "En un extremum local d'une fonction dérivable, la tangente est\nhorizontale : $f'(a) = 0$. Ne pas confondre les zéros de $f$\n(courbe coupe l'axe) et les zéros de $f'$ (tangentes\nhorizontales)." }, { "id": "q04", "difficulty": 1, "skills": [ "parite", "definition" ], "title": "Fonction paire", "statement": "Que signifie « $f$ est paire », et comment cela se traduit-il\nsur sa courbe ?", "options": [ { "text": "$f(-x) = f(x)$ pour tout $x$ : courbe symétrique par\nrapport à l'axe des ordonnées", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : deux antécédents opposés ont la même\nimage : la courbe se reflète dans l'axe vertical (exemple :\n$x^2$)." }, { "text": "$f(-x) = -f(x)$ pour tout $x$ : courbe symétrique par\nrapport à l'origine", "correct": false, "feedback": "Erreur : ceci définit une fonction **impaire** (exemple :\n$x^3$)." }, { "text": "$f(x) \\geq 0$ pour tout $x$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la parité n'a rien à voir avec le signe. La\nfonction $x^2 - 5$ est paire et prend des valeurs\nnégatives." }, { "text": "$f$ ne prend que des valeurs entières paires", "correct": false, "feedback": "Erreur : « paire » qualifie ici la **symétrie** de la\nfonction, pas la parité arithmétique de ses valeurs." } ], "explanation": "$f$ paire : $f(-x) = f(x)$, courbe symétrique par rapport à\nl'axe des ordonnées. $f$ impaire : $f(-x) = -f(x)$, symétrie\npar rapport à l'origine. Vérifier au passage que le domaine\nest symétrique." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "parite", "calcul" ], "title": "Montrer qu'une fonction est impaire", "statement": "Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Que vaut $f(-x)$, et qu'en\nconclut-on ?", "options": [ { "text": "$f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : la fonction est impaire", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $(-x)^3 = -x^3$ et $-3(-x) = +3x$ : on\nobtient l'opposé de $f(x)$. Courbe symétrique par rapport\nà l'origine." }, { "text": "$f(-x) = x^3 - 3x = f(x)$ : la fonction est paire", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : $(-x)^3 = -x^3$ (le cube conserve le\nsigne). Les deux termes changent de signe : $f(-x) =\n-f(x)$." }, { "text": "$f(-x) = -x^3 - 3x$ : la fonction n'est ni paire ni\nimpaire", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe sur le second terme : $-3 \\times (-x) =\n+3x$. Au total $f(-x) = -x^3 + 3x = -f(x)$ : impaire." }, { "text": "On ne peut rien dire sans la courbe", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul algébrique de $f(-x)$ tranche sans\nfigure : c'est même la méthode la plus sûre." } ], "explanation": "Méthode : calculer $f(-x)$ et comparer à $f(x)$ et $-f(x)$.\nIci $f(-x) = -f(x)$ : impaire (symétrie par rapport à\nl'origine, visible sur la courbe de $x^3 - 3x$)." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "extremum", "tangente-horizontale" ], "title": "Extremum et nombre dérivé", "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ admettant un maximum\nlocal en $x = a$. Que peut-on affirmer ?", "options": [ { "text": "$f'(a) = 0$ : la tangente en $a$ est horizontale", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : au sommet, la courbe cesse de monter avant\nde descendre : la pente s'annule (résultat au programme)." }, { "text": "$f'(a) > 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : une pente strictement positive signifierait que\nla courbe continue de monter : $a$ ne serait pas un\nsommet." }, { "text": "$f(a) = 0$", "correct": false, "feedback": "Confusion : c'est la **dérivée** qui s'annule au sommet,\npas la fonction. La valeur $f(a)$ est le maximum, quelconque." }, { "text": "Réciproquement, $f'(a) = 0$ garantit toujours un extremum", "correct": false, "feedback": "Erreur : la réciproque est fausse : $f(x) = x^3$ vérifie\n$f'(0) = 0$ sans extremum en $0$ (la courbe traverse sa\ntangente)." } ], "explanation": "En un extremum local d'une fonction dérivable : $f'(a) = 0$\n(condition **nécessaire**). Mais $f'(a) = 0$ ne suffit pas :\nil faut que $f'$ change de signe en $a$ (contre-exemple\n$x^3$)." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-variations", "signe-derivee" ], "title": "Construire les variations", "statement": "Soit $f$ dérivable sur $\\mathbb{R}$ avec $f'(x) = x(2 - x)$.\nQuel est le sens de variation de $f$ sur $[0\\,;\\,2]$ ?", "options": [ { "text": "Croissante, car $f' \\geq 0$ sur $[0\\,;\\,2]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : entre les racines $0$ et $2$, le trinôme\n$x(2-x)$ (coefficient dominant négatif) est **positif** :\n$f$ monte." }, { "text": "Décroissante, car le coefficient de $x^2$ est négatif", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe du coefficient dominant dit que $f'$ est\nnégative **à l'extérieur** des racines ; entre elles,\n$f' > 0$." }, { "text": "Décroissante, car $f'$ s'annule en $0$ et en $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur : les annulations aux bornes n'empêchent pas la\npositivité **entre** elles. Teste $f'(1) = 1 > 0$." }, { "text": "On ne peut pas savoir sans connaître $f$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le signe de $f'$ suffit entièrement à donner le\nsens de variation, sans expression de $f$." } ], "explanation": "Tout passe par le tableau de signes de $f'$ : $x(2-x) > 0$\nsur $]0\\,;\\,2[$ (trinôme négatif à l'extérieur de ses\nracines), donc $f$ croissante sur $[0\\,;\\,2]$, décroissante\navant et après." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "position-relative" ], "title": "Position relative de deux courbes", "statement": "Soient $f(x) = x^2$ et $g(x) = x$. Pour étudier la position\nrelative de leurs courbes sur $[0\\,;\\,1]$, on calcule\n$f(x) - g(x) = x(x - 1)$. Qu'en conclut-on ?", "options": [ { "text": "$\\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\\mathcal{C}_g$ sur\n$[0\\,;\\,1]$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : sur $]0\\,;\\,1[$, $x > 0$ et $x - 1 < 0$ :\nla différence $f - g$ est négative, donc $f(x) < g(x)$ :\nla parabole passe sous la droite." }, { "text": "$\\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\\mathcal{C}_g$ sur\n$[0\\,;\\,1]$", "correct": false, "feedback": "Erreur de signe : teste $x = 0{,}5$ : $f = 0{,}25 <\ng = 0{,}5$. Le carré d'un nombre entre $0$ et $1$ est\nplus petit que ce nombre." }, { "text": "Les courbes ne se coupent jamais", "correct": false, "feedback": "Erreur : $f - g$ s'annule en $0$ et en $1$ : les courbes\nse coupent en ces deux points (extrémités de\nl'intervalle)." }, { "text": "On doit comparer $f'$ et $g'$", "correct": false, "feedback": "Erreur de méthode : les dérivées comparent les\n**pentes**, pas les hauteurs. La position relative se lit\nsur le signe de la **différence** $f - g$." } ], "explanation": "Méthode systématique : étudier le signe de $f - g$.\nNégatif : $\\mathcal{C}_f$ en dessous ; positif : au-dessus ;\nannulation : point d'intersection. Ici : parabole sous la\ndroite sur $[0\\,;\\,1]$ (démonstration au programme, position\nde $y = x$ et $y = x^2$)." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "optimisation", "second-degre" ], "title": "Optimiser avec la dérivée", "statement": "Soit $f(x) = x^2 - 6x + 1$ définie sur $\\mathbb{R}$. En\nétudiant sa dérivée, que trouve-t-on ?", "options": [ { "text": "Un minimum égal à $-8$, atteint en $x = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2x - 6$ s'annule en $x = 3$ en\npassant du négatif au positif : minimum\n$f(3) = 9 - 18 + 1 = -8$." }, { "text": "Un maximum égal à $-8$, atteint en $x = 3$", "correct": false, "feedback": "Erreur de nature : $f'$ passe du négatif au positif en\n$3$ (la fonction descend puis monte) : c'est un\n**minimum**. Cohérent avec la parabole tournée vers le\nhaut ($a = 1 > 0$)." }, { "text": "Un minimum égal à $3$, atteint en $x = -8$", "correct": false, "feedback": "Valeurs échangées : la dérivée s'annule **en** $x = 3$\n(l'abscisse), et le minimum est la **valeur** $f(3) =\n-8$." }, { "text": "Aucun extremum, car $f'$ ne s'annule qu'une fois", "correct": false, "feedback": "Erreur : une seule annulation **avec changement de\nsigne** suffit exactement à créer un extremum." } ], "explanation": "Lien dérivation-second degré (au programme) : $f'(x) = 2x - 6$\ns'annule en $x = 3 = -\\frac{b}{2a}$ : on retrouve le sommet de\nla parabole par la dérivée. Minimum $f(3) = -8$." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "fonction-constante" ], "title": "Caractérisation des fonctions constantes", "statement": "Soit $f$ dérivable sur un intervalle $I$ avec $f'(x) = 0$\npour tout $x$ de $I$. Que peut-on conclure ?", "options": [ { "text": "$f$ est constante sur $I$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pente nulle partout : la courbe est un\nsegment horizontal, la fonction ne varie pas." }, { "text": "$f(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$", "correct": false, "feedback": "Confusion : c'est la **dérivée** qui est nulle, pas la\nfonction. $f(x) = 7$ convient parfaitement : constante non\nnulle." }, { "text": "$f$ n'a pas de tangente", "correct": false, "feedback": "Erreur : la courbe a partout une tangente… horizontale\n(confondue avec elle-même)." }, { "text": "$f$ est affine de pente quelconque", "correct": false, "feedback": "Erreur : une affine $mx + p$ a pour dérivée $m$ ; la\nnullité de la dérivée force $m = 0$ : constante." } ], "explanation": "Caractérisation (au programme) : $f' = 0$ sur un intervalle\n$\\Leftrightarrow$ $f$ constante sur cet intervalle. C'est la\nréciproque « dérivée nulle » du théorème des variations." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "inegalite", "methode" ], "title": "Établir une inégalité par une étude de fonction", "statement": "Pour démontrer que $x^2 \\geq 2x - 1$ pour tout réel $x$,\nquelle démarche est la plus directe ?", "options": [ { "text": "Étudier le signe de la différence\n$x^2 - (2x - 1) = (x - 1)^2$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la différence est un carré, donc positive\npour tout $x$ : l'inégalité est établie (avec égalité en\n$x = 1$, point de tangence)." }, { "text": "Vérifier l'inégalité pour $x = 0$, $1$ et $2$", "correct": false, "feedback": "Insuffisant : trois vérifications ne prouvent rien pour\n**tous** les réels. Il faut un argument général (signe de\nla différence)." }, { "text": "Comparer les dérivées : $2x$ et $2$", "correct": false, "feedback": "Erreur de méthode : comparer les pentes ne compare pas les\nvaleurs. C'est le signe de la **différence** des fonctions\nqui conclut." }, { "text": "Diviser les deux membres par $x$", "correct": false, "feedback": "Dangereux : le signe de $x$ est inconnu (division par $0$\nou renversement d'inégalité). La différence, elle,\nfonctionne sans condition." } ], "explanation": "Méthode reine pour les inégalités : tout passer d'un côté et\nétudier le **signe de la différence** (ici un carré ; en\ngénéral, par tableau de variations). Capacité attendue du\nprogramme." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "second-degre", "coherence" ], "title": "Le sommet retrouvé par la dérivée", "statement": "Soit $f(x) = ax^2 + bx + c$ avec $a \\neq 0$. En quelle\nabscisse la dérivée $f'$ s'annule-t-elle ?", "options": [ { "text": "En $x = -\\dfrac{b}{2a}$ : on retrouve l'abscisse du\nsommet de la parabole", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f'(x) = 2ax + b = 0 \\Leftrightarrow x =\n-\\dfrac{b}{2a}$ : la dérivation redémontre la position de\nl'extremum vue en début d'année." }, { "text": "En $x = -\\dfrac{b}{a}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2ax + b = 0$ donne $x = -\\dfrac{b}{2a}$ : le\nfacteur $2$ de la dérivée ne disparaît pas." }, { "text": "En $x = \\dfrac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}$", "correct": false, "feedback": "Confusion : ces valeurs sont les **racines de $f$**\n(là où la parabole coupe l'axe), pas le zéro de $f'$\n(le sommet)." }, { "text": "Elle ne s'annule jamais si $\\Delta < 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\Delta$ gouverne les racines de $f$, pas celles\nde $f'$. La dérivée $2ax + b$, affine, s'annule toujours\nexactement une fois." } ], "explanation": "Boucle de cohérence du programme : $f'(x) = 2ax + b$ s'annule\nen $-\\frac{b}{2a}$, avec changement de signe : extremum au\nsommet de la parabole (minimum si $a > 0$, maximum si\n$a < 0$). La dérivation retrouve et démontre la forme\ncanonique." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "croissance-comparaison" ], "title": "Comparer deux images sans calcul", "statement": "$f$ est strictement croissante sur $\\mathbb{R}$. Comment se\ncomparent $f(2)$ et $f(5)$ ?", "options": [ { "text": "$f(2) < f(5)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : croissante = l'ordre des images suit\nl'ordre des antécédents : $2 < 5 \\Rightarrow f(2) <\nf(5)$, quelle que soit la formule de $f$." }, { "text": "$f(2) > f(5)$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : ce serait le comportement d'une fonction\n**décroissante** (qui renverse l'ordre)." }, { "text": "$f(2) = f(5)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité des images contredirait la stricte\ncroissance ($2 \\neq 5$)." }, { "text": "Impossible à dire sans l'expression de $f$", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est tout l'intérêt de la définition : la\ncroissance transporte les inégalités sans aucun calcul." } ], "explanation": "Croissante : conserve l'ordre ($a < b \\Rightarrow f(a) <\nf(b)$) ; décroissante : le renverse. Comparer des images\nvia le sens de variation, sans calculer, est un réflexe\nd'efficacité maximale." }, { "id": "q14", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-solutions" ], "title": "Compter les solutions sur un tableau", "statement": "Le tableau de variations de $f$ indique : croissante de\n$-2$ à $4$ sur $]-\\infty\\ ;\\ 1]$, puis décroissante de $4$\nvers $0$ sur $[1\\ ;\\ +\\infty[$. Combien de solutions a\nl'équation $f(x) = 3$ ?", "options": [ { "text": "Deux : une avant le sommet, une après", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le niveau $3$ est franchi une fois en\nmontant (de $-2$ à $4$) et recroisé une fois en\ndescendant (de $4$ vers $0$, en restant au-dessus de\n$3$ un temps) : deux solutions." }, { "text": "Une seule", "correct": false, "feedback": "Redescente oubliée : après le maximum $4$, la fonction\nrepasse par $3$ en descendant vers $0$ : deuxième\nsolution." }, { "text": "Aucune : $3$ n'apparaît pas dans le tableau", "correct": false, "feedback": "Erreur de lecture : le tableau liste les valeurs\n**extrêmes** ; toutes les valeurs intermédiaires sont\natteintes ($3$ est entre $-2$ et $4$, et entre $0$ et\n$4$)." }, { "text": "Trois", "correct": false, "feedback": "Trop : chaque flèche (monotone) croise le niveau $3$ au\nplus une fois : deux flèches, deux solutions maximum." } ], "explanation": "Sur un tableau de variations, compter les solutions de\n$f(x) = k$ : une par flèche dont l'intervalle des valeurs\ncontient $k$ (strictement entre les bornes). L'esquisse\nmentale de la courbe (montée, sommet, descente) sécurise le\ndécompte." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-croisee" ], "title": "De la courbe de $f'$ aux variations de $f$", "statement": "La courbe de la **dérivée** $f'$ est au-dessus de l'axe des\nabscisses sur $]-\\infty\\ ;\\ 1[$ et en dessous après. Que\nfait $f$ ?", "options": [ { "text": "$f$ croît jusqu'à $x = 1$ puis décroît : maximum en $1$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f' > 0$ : $f$ monte ; $f' < 0$ : $f$\ndescend ; le basculement en $1$ dessine un sommet." }, { "text": "$f$ est positive avant $1$, négative après", "correct": false, "feedback": "Confusion signe de $f'$ / signe de $f$ : la courbe\ndonnée est celle de $f'$ : son **signe** pilote les\n**variations** de $f$, pas ses valeurs." }, { "text": "$f$ décroît puis croît : minimum en $1$", "correct": false, "feedback": "Inversé : $f'$ positive d'abord = montée d'abord : le\nscénario est sommet, pas creux." }, { "text": "$f$ a une asymptote en $x = 1$", "correct": false, "feedback": "Hors sujet : le changement de signe de $f'$ signale un\nextremum, pas une asymptote (qui concernerait des\nlimites infinies)." } ], "explanation": "Traduction systématique : position de la courbe de $f'$ par\nrapport à l'axe → signe de $f'$ → variations de $f$.\nL'erreur type est de lire la courbe de $f'$ comme si\nc'était $f$ : toujours vérifier QUELLE courbe est donnée." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "extremum-intervalle" ], "title": "Minimum sur un intervalle fermé", "statement": "Sur $[0\\ ;\\ 4]$, $f$ décroît de $5$ à $-1$ (atteint en $x =\n3$) puis croît de $-1$ à $2$. Quel est le minimum de $f$\nsur $[0\\ ;\\ 4]$ ?", "options": [ { "text": "$-1$, atteint en $x = 3$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le creux du tableau : toutes les autres\nvaleurs lui sont supérieures : minimum $-1$, position\n$x = 3$." }, { "text": "$0$, la borne gauche de l'intervalle", "correct": false, "feedback": "Confusion abscisse/valeur : $0$ est une **borne du\ndomaine** : le minimum est une valeur de $f$, lue dans\nles flèches : $-1$." }, { "text": "$2$, la dernière valeur du tableau", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2$ est la valeur **finale** ($f(4)$), pas la\nplus basse : la fonction est descendue à $-1$ avant de\nremonter." }, { "text": "$3$", "correct": false, "feedback": "Inversion classique : $3$ est l'**abscisse** où le\nminimum est atteint ; le minimum lui-même est la valeur\n$f(3) = -1$." } ], "explanation": "Un extremum se décrit par deux nombres : sa **valeur** (le\nminimum vaut $-1$) et sa **position** (atteint en $x = 3$).\nLes confondre est l'erreur la plus pénalisée dans les\nlectures de tableaux." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "parite-economie" ], "title": "La parité comme économie d'étude", "statement": "Soit $f(x) = x^4 - x^2$. Pourquoi suffit-il de l'étudier\nsur $[0\\ ;\\ +\\infty[$ ?", "options": [ { "text": "$f$ est paire : sa courbe est symétrique par rapport à\nl'axe des ordonnées", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $f(-x) = (-x)^4 - (-x)^2 = x^4 - x^2 =\nf(x)$ : chaque information sur $[0\\ ;\\ +\\infty[$ se\nreflète sur l'autre moitié." }, { "text": "$f$ est impaire : symétrie par rapport à l'origine", "correct": false, "feedback": "Test raté : $f(-x) = +f(x)$ (les exposants sont\n**pairs**) : c'est la parité, pas l'imparité ($f(-x) =\n-f(x)$)." }, { "text": "$f$ n'est pas définie pour $x < 0$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un polynôme est défini sur tout $\\mathbb{R}$ :\nla restriction est un choix d'**économie**, pas une\ncontrainte de domaine." }, { "text": "On ne peut pas : il faut toujours étudier sur\n$\\mathbb{R}$ entier", "correct": false, "feedback": "Erreur : exploiter une symétrie est une méthode\nofficielle (et attendue) : moitié d'étude, symétrie,\nconclusion complète." } ], "explanation": "Parité : $f(-x) = f(x)$ (exposants pairs) : symétrie d'axe\n$(Oy)$ ; imparité : $f(-x) = -f(x)$ : symétrie de centre\n$O$. Détecter la symétrie AVANT l'étude divise le travail\npar deux." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "position-droite" ], "title": "Courbe et droite $y = x$", "statement": "Pour situer la courbe de $f$ par rapport à la droite $y =\nx$, on étudie $g(x) = f(x) - x$. Si $g(x) > 0$ sur un\nintervalle, que peut-on dire ?", "options": [ { "text": "La courbe de $f$ est au-dessus de la droite sur cet\nintervalle", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $g > 0 \\iff f(x) > x$ : les points de la\ncourbe dominent ceux de la droite aux mêmes abscisses." }, { "text": "La courbe est en dessous de la droite", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : dessous correspondrait à $f(x) < x$,\nc'est-à-dire $g < 0$." }, { "text": "$f$ est croissante sur cet intervalle", "correct": false, "feedback": "Confusion : le signe de $g = f - x$ compare des\n**positions**, pas des variations (qui relèveraient de\n$f'$)." }, { "text": "La courbe coupe la droite sur cet intervalle", "correct": false, "feedback": "Contraire : couper exigerait $g(x) = 0$ quelque part ;\n$g > 0$ strictement = aucun contact." } ], "explanation": "Position relative de deux courbes = signe de la\n**différence** : $f - g > 0$ : au-dessus ; $< 0$ : en\ndessous ; $= 0$ : intersection. La méthode vaut pour toute\npaire de courbes, la droite $y = x$ n'étant qu'un cas\nfréquent (suites, points fixes)." } ] }