{ "chapter": { "id": "information-chiffree-bivariee", "level": "premiere-tronc-commun", "theme": "Analyse de l'information chiffrée", "title": "Statistique à deux variables", "description": "Analyse croisée de deux caractères : tableaux croisés\n(caractères qualitatifs), nuage de points (caractères\nquantitatifs), point moyen, ajustement affine, interpolation et\nextrapolation, esprit critique face aux données.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "representation", "nuage" ], "title": "Représenter deux caractères quantitatifs", "statement": "Quelle représentation graphique est adaptée à l'étude croisée\nde **deux caractères quantitatifs** (par exemple taille et\nmasse) ?", "options": [ { "text": "Un nuage de points", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque individu devient un point (taille\nen abscisse, masse en ordonnée) : la forme du nuage révèle\nl'éventuel lien entre les deux caractères." }, { "text": "Un diagramme circulaire", "correct": false, "feedback": "Erreur : le diagramme circulaire répartit un **seul**\ncaractère qualitatif en secteurs, il ne croise rien." }, { "text": "Un tableau croisé d'effectifs", "correct": false, "feedback": "Erreur : le tableau croisé convient à deux caractères\n**qualitatifs** (ou regroupés en classes). Deux\nquantitatifs continus se dispersent en nuage." }, { "text": "Un histogramme", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'histogramme décrit la répartition d'un **seul**\ncaractère quantitatif regroupé en classes." } ], "explanation": "Choix de représentation : deux qualitatifs $\\to$ tableau\ncroisé (ou barres comparées) ; deux quantitatifs $\\to$ nuage\nde points, support de l'ajustement affine." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "point-moyen", "calcul" ], "title": "Calculer un point moyen", "statement": "Un nuage est constitué des points $(1\\,;\\,2)$, $(3\\,;\\,4)$ et\n$(5\\,;\\,6)$. Quelles sont les coordonnées du point moyen\n$G$ ?", "options": [ { "text": "$G(3\\,;\\,4)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\bar{x} = \\dfrac{1+3+5}{3} = 3$ et\n$\\bar{y} = \\dfrac{2+4+6}{3} = 4$ : le point moyen a pour\ncoordonnées les **moyennes** des abscisses et des\nordonnées." }, { "text": "$G(9\\,;\\,12)$", "correct": false, "feedback": "Oubli de la division : $(9\\,;\\,12)$ sont les **sommes**\ndes coordonnées ; il reste à diviser par l'effectif $3$." }, { "text": "$G(5\\,;\\,6)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(5\\,;\\,6)$ n'est que le dernier point du nuage.\nLe point moyen synthétise **tous** les points." }, { "text": "$G(4\\,;\\,3)$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées échangées : $\\bar{x} = 3$ (abscisse) et\n$\\bar{y} = 4$ (ordonnée)." } ], "explanation": "Point moyen : $G(\\bar{x}\\,;\\,\\bar{y})$, moyennes des\ncoordonnées (capacité attendue). C'est le « centre de\ngravité » du nuage, point de passage naturel d'une droite\nd'ajustement." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "lecture-graphique", "point-moyen" ], "title": "Lire un nuage ajusté", "statement": "Le nuage ci-dessous est ajusté par la droite $d$ ; le point\nbleu est le point moyen $G$. Quelles sont ses coordonnées ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.72]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-0.7,-0.7) grid (7.7,5.7);\n \\draw[->] (-0.9,0) -- (7.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-0.9) -- (0,5.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {1,...,7} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {1,...,5} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\foreach \\a/\\b in {1/1.5,2/2,3/2.4,4/3,5/3.6,6/4,7/4.5} \\fill (\\a,\\b) circle (0.09);\n \\draw[thick,red,domain=0.3:7.7] plot (\\x,{0.5*\\x+1});\n \\fill[blue] (4,3) circle (0.12);\n \\node[blue,above left,font=\\small] at (4,3) {$G$};\n \\node[red,font=\\small] at (7.3,5.1) {$d$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Repère avec un nuage de sept points presque alignés,\ncroissants, de (1 ; 1,5) à (7 ; 4,5). Une droite\nd'ajustement rouge d traverse le nuage et passe par le point\nmoyen G(4 ; 3), marqué en bleu.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$G(4\\,;\\,3)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le point bleu se lit en $(4\\,;\\,3)$, au\ncœur du nuage, et la droite d'ajustement passe par lui." }, { "text": "$G(3\\,;\\,4)$", "correct": false, "feedback": "Coordonnées échangées : abscisse $4$ (axe horizontal),\nordonnée $3$ (axe vertical)." }, { "text": "$G(7\\,;\\,4{,}5)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(7\\,;\\,4{,}5)$ est le dernier point du nuage,\npas son centre." }, { "text": "$G(0\\,;\\,1)$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $(0\\,;\\,1)$ est l'ordonnée à l'origine de la\ndroite $d$, pas le point moyen (qui est au milieu du\nnuage)." } ], "explanation": "Le point moyen se situe au centre du nuage ($\\bar{x} = 4$,\n$\\bar{y} = 3$ ici). Un bon ajustement passe par lui (la\ndroite de Mayer et celle des moindres carrés y passent\nexactement)." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "ajustement", "interpolation" ], "title": "Interpoler avec l'ajustement", "statement": "Un nuage (abscisses de $1$ à $7$) est ajusté par la droite\nd'équation $y = 0{,}5x + 1$. Quelle estimation de $y$ pour\n$x = 3{,}5$ ?", "options": [ { "text": "$y \\approx 2{,}75$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5 \\times 3{,}5 + 1 = 2{,}75$. Comme\n$3{,}5$ est **dans** la plage des données ($1$ à $7$),\nc'est une interpolation, plutôt fiable." }, { "text": "$y \\approx 4{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : $0{,}5 \\times 3{,}5 = 1{,}75$, puis\n$+1$ : $2{,}75$." }, { "text": "$y \\approx 3{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : tu as recopié $x$. Il faut appliquer la formule\nde la droite : $y = 0{,}5x + 1$." }, { "text": "Aucune estimation possible : $3{,}5$ n'est pas une valeur\nobservée", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est précisément l'intérêt de l'ajustement :\n**estimer** des valeurs non observées à l'intérieur de la\nplage des données." } ], "explanation": "Interpoler : utiliser l'équation d'ajustement pour estimer\n$y$ en un $x$ situé **dans** l'intervalle des observations.\nIci $y = 0{,}5 \\times 3{,}5 + 1 = 2{,}75$." }, { "id": "q05", "difficulty": 2, "skills": [ "ajustement", "extrapolation" ], "title": "Extrapoler avec prudence", "statement": "Avec le même ajustement $y = 0{,}5x + 1$ (données observées\npour $x$ de $1$ à $7$), que dire de l'estimation en\n$x = 20$ ?", "options": [ { "text": "Le calcul donne $y = 11$, mais c'est une extrapolation\nloin des données : à interpréter avec prudence", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la formule s'applique\n($0{,}5 \\times 20 + 1 = 11$), mais rien ne garantit que la\ntendance linéaire persiste si loin de la plage observée." }, { "text": "$y = 11$, une valeur aussi sûre que les autres", "correct": false, "feedback": "Erreur : hors de la plage des données, le modèle peut\ncesser d'être valable (saturation, rupture de tendance) :\nl'extrapolation est par nature moins fiable." }, { "text": "$y = 21$", "correct": false, "feedback": "Erreur de calcul : $0{,}5 \\times 20 + 1 = 11$, pas $21$." }, { "text": "Aucun calcul possible au-delà de $x = 7$", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul reste **possible** (la droite se\nprolonge) ; c'est sa **fiabilité** qui se discute. La\nbonne attitude : calculer et nuancer." } ], "explanation": "Extrapoler : estimer **hors** de la plage observée. Le calcul\nest mécanique, l'interprétation exige la prudence : plus on\ns'éloigne des données, plus l'hypothèse de linéarité devient\nfragile." }, { "id": "q06", "difficulty": 1, "skills": [ "vocabulaire" ], "title": "Interpolation ou extrapolation ?", "statement": "Des données sont observées pour des années allant de $2010$ à\n$2020$. Estimer la valeur en $2015$ puis en $2030$ à l'aide\nd'un ajustement, c'est respectivement :", "options": [ { "text": "Interpoler ($2015$, dans la plage), puis extrapoler\n($2030$, hors plage)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : à l'intérieur de l'intervalle des données\non **interpole** ; au-delà, on **extrapole** (avec les\nréserves qui s'imposent)." }, { "text": "Extrapoler puis interpoler", "correct": false, "feedback": "Définitions inversées : « inter » signifie **entre** les\ndonnées, « extra » **en dehors**." }, { "text": "Interpoler dans les deux cas", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2030$ est hors de la période observée\n($2010$-$2020$) : c'est une extrapolation." }, { "text": "Extrapoler dans les deux cas", "correct": false, "feedback": "Erreur : $2015$ est à l'intérieur de la période\nobservée : c'est une interpolation." } ], "explanation": "Interpolation : estimation à l'intérieur de la plage des\nobservations (fiabilité correcte). Extrapolation : au-delà\n(fiabilité décroissante avec la distance aux données)." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "tableau-croise", "rappel" ], "title": "Lire un tableau croisé", "statement": "Une enquête croise « pratique d'un sport » et « genre » :\n$80$ filles dont $48$ sportives, $70$ garçons dont $42$\nsportifs. La proportion de sportifs est-elle différente selon\nle genre ?", "options": [ { "text": "Non : $60\\ \\%$ dans les deux groupes\n($48/80 = 42/70 = 0{,}6$)", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les deux fréquences conditionnelles\nvalent $60\\ \\%$ : sur ces données, la pratique sportive ne\ndépend pas du genre." }, { "text": "Oui : $48$ sportives contre $42$ sportifs", "correct": false, "feedback": "Erreur : comparer des **effectifs** bruts est trompeur\nquand les groupes n'ont pas la même taille. On compare des\n**fréquences** : $48/80$ et $42/70$." }, { "text": "Oui : les filles sont plus nombreuses", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'effectif total des groupes ($80$ contre $70$)\nne dit rien de la **proportion** de sportifs dans chacun." }, { "text": "On ne peut pas comparer des groupes de tailles différentes", "correct": false, "feedback": "Erreur : c'est exactement le rôle des fréquences\nconditionnelles : rendre comparables des groupes d'\neffectifs différents." } ], "explanation": "Analyse croisée de deux caractères qualitatifs : comparer les\n**fréquences conditionnelles** dans chaque groupe.\n$\\frac{48}{80} = \\frac{42}{70} = 60\\ \\%$ : même proportion." }, { "id": "q08", "difficulty": 2, "skills": [ "caracteres", "vocabulaire" ], "title": "Qualitatif ou quantitatif ?", "statement": "Dans un fichier de données sur des communes, on relève :\nla région, la population, l'altitude et le type d'habitat\n(rural/urbain). Quels caractères sont **quantitatifs** ?", "options": [ { "text": "La population et l'altitude", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : ce sont des **nombres** sur lesquels les\ncalculs ont un sens (moyennes, écarts). Région et type\nd'habitat sont des catégories : qualitatifs." }, { "text": "La région et le type d'habitat", "correct": false, "feedback": "Inversé : ce sont les caractères **qualitatifs**\n(des catégories sans arithmétique naturelle)." }, { "text": "Tous les quatre", "correct": false, "feedback": "Erreur : additionner des régions n'a pas de sens. Seuls\npopulation et altitude sont numériques." }, { "text": "Seulement la population", "correct": false, "feedback": "Incomplet : l'altitude est aussi une grandeur numérique\nmesurable, donc quantitative." } ], "explanation": "Quantitatif : valeurs numériques où moyenne et écart ont un\nsens. Qualitatif : modalités (catégories). Le choix des\nreprésentations et des traitements en découle." }, { "id": "q09", "difficulty": 3, "skills": [ "ajustement", "sens" ], "title": "À quoi sert un ajustement affine ?", "statement": "Que permet un ajustement affine d'un nuage de points ?", "options": [ { "text": "Résumer une tendance à peu près linéaire et estimer des\nvaleurs non observées", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la droite condense le lien entre les deux\ncaractères et sert d'outil de prévision (interpolation,\nextrapolation prudente). Plusieurs méthodes existent (au\njugé, Mayer, moindres carrés), sans théorie exigée." }, { "text": "Faire passer une droite par tous les points du nuage", "correct": false, "feedback": "Erreur : des données réelles ne sont jamais parfaitement\nalignées ; la droite passe **au plus près** des points,\npas dessus." }, { "text": "Prouver que le premier caractère cause le second", "correct": false, "feedback": "Erreur : un ajustement décrit une **association**, jamais\nune causalité (voir la question suivante !)." }, { "text": "Remplacer les données par des valeurs exactes", "correct": false, "feedback": "Erreur : le modèle simplifie, il ne corrige pas les\ndonnées. Les estimations restent des approximations." } ], "explanation": "L'ajustement affine est un **modèle** : il résume la tendance\n(si elle est raisonnablement linéaire) et permet d'estimer.\nIl n'exige aucune théorie des moindres carrés au programme :\nl'usage prime." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "tableur" ], "title": "Le point moyen au tableur", "statement": "Les ordonnées d'un nuage occupent la plage `B2:B8` d'une\nfeuille de calcul. Quelle formule de tableur calcule\n$\\bar{y}$, l'ordonnée du point moyen ?", "options": [ { "text": "`=MOYENNE(B2:B8)`", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la fonction MOYENNE d'un tableur\nadditionne la plage et divise par l'effectif : exactement\n$\\bar{y}$." }, { "text": "`=SOMME(B2:B8)`", "correct": false, "feedback": "Incomplet : la somme n'est pas divisée par le nombre de\nvaleurs. (On pourrait écrire `=SOMME(B2:B8)/7`, mais\nMOYENNE est directe.)" }, { "text": "`=MAX(B2:B8)`", "correct": false, "feedback": "Erreur : MAX renvoie la plus grande valeur, pas la\nmoyenne." }, { "text": "`=B2+B8/2`", "correct": false, "feedback": "Double erreur : seules deux cellules sont utilisées, et\nla priorité des opérations divise seulement `B8` par $2$." } ], "explanation": "Le tableur est l'outil du chapitre (capacité attendue) :\n`MOYENNE` pour $\\bar{x}$ et $\\bar{y}$, graphique « nuage de\npoints » pour visualiser, courbe de tendance pour ajuster." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "esprit-critique", "causalite" ], "title": "Corrélation et causalité", "statement": "Sur un nuage de points, la consommation de glaces et le\nnombre de coups de soleil (relevés mois par mois) sont\nfortement liés : le nuage est presque aligné. Peut-on\nconclure que manger des glaces cause des coups de soleil ?", "options": [ { "text": "Non : une association statistique n'est pas une\ncausalité ; ici l'ensoleillement estival explique les\ndeux", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un facteur commun (l'été) fait varier les\ndeux grandeurs ensemble. Le lien observé est réel, la\ncausalité directe est illusoire." }, { "text": "Oui : le nuage aligné prouve la relation de cause à effet", "correct": false, "feedback": "Erreur classique : l'alignement mesure une\n**association**. Cause commune, hasard ou causalité\ninverse restent possibles." }, { "text": "Oui, si la droite d'ajustement est croissante", "correct": false, "feedback": "Erreur : le sens de la pente indique le sens de\nl'association, pas son mécanisme." }, { "text": "Non, car les nuages de points ne montrent jamais rien", "correct": false, "feedback": "Trop fort : le nuage montre bel et bien un lien\nstatistique ; c'est son **interprétation causale** qui\ndemande d'autres arguments." } ], "explanation": "Esprit critique (objectif central du programme) : corrélation\n$\\neq$ causalité. Devant un lien statistique, chercher les\nexplications alternatives : facteur commun, coïncidence,\ncausalité inversée." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "ajustement", "choix-modele" ], "title": "L'ajustement affine est-il toujours pertinent ?", "statement": "Un nuage de points dessine une courbe nettement incurvée (en\nforme de parabole). Que penser d'un ajustement **affine** de\nce nuage ?", "options": [ { "text": "Il est mal adapté : la tendance n'est pas linéaire, un\nautre modèle serait préférable", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la droite écraserait la courbure et\nfausserait les estimations. On choisit le modèle d'après\nla **forme du nuage** (quadratique ou exponentiel, vus\ndans la suite du programme)." }, { "text": "Il convient toujours : toute tendance se résume par une\ndroite", "correct": false, "feedback": "Erreur : ajuster par une droite un phénomène courbé\nproduit des estimations systématiquement biaisées (trop\nhautes ou trop basses selon la zone)." }, { "text": "Il suffit d'enlever les points qui dérangent", "correct": false, "feedback": "Erreur méthodologique grave : supprimer des données pour\nsauver un modèle inverse la démarche scientifique." }, { "text": "Le tableur choisit toujours le bon modèle automatiquement", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'outil trace ce qu'on lui demande. Le choix et\nla validation du modèle restent une décision **humaine**,\nau vu du nuage." } ], "explanation": "Valider un modèle (compétence modéliser) : commencer par\nregarder la forme du nuage. Ligne droite $\\to$ ajustement\naffine ; courbure $\\to$ modèles quadratique ou exponentiel\ndes chapitres suivants." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "taux-evolution" ], "title": "Calculer un taux d'évolution", "statement": "Une valeur passe de $40$ à $50$. Quel est le taux\nd'évolution ?", "options": [ { "text": "$+25\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $\\dfrac{50 - 40}{40} = \\dfrac{10}{40} =\n0{,}25$ : la variation se rapporte à la valeur de\n**départ**." }, { "text": "$+20\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Mauvaise base : $\\frac{10}{50}$ divise par la valeur\nd'**arrivée** : le taux d'évolution se calcule sur la\nvaleur initiale." }, { "text": "$+10\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $10$ est la variation **absolue** (en\nunités) : le taux la rapporte à $40$ : un quart." }, { "text": "$+125\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $125\\ \\% = \\frac{50}{40}$ est le rapport\nfinal/initial (le coefficient) : le **taux** en retire\nles $100\\ \\%$ de départ : $+25\\ \\%$." } ], "explanation": "Taux d'évolution : $t = \\dfrac{V_{\\text{arrivée}} -\nV_{\\text{départ}}}{V_{\\text{départ}}}$ : toujours la valeur\ninitiale au dénominateur. Lien : coefficient multiplicateur\n$= 1 + t$." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "coefficient-multiplicateur" ], "title": "Lire un coefficient multiplicateur", "statement": "Un prix est multiplié par $1{,}08$. Quelle évolution cela\nreprésente-t-il ?", "options": [ { "text": "Une hausse de $8\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $1{,}08 = 1 + 0{,}08$ : la part\nau-dessus de $1$ est le taux de hausse." }, { "text": "Une hausse de $108\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $108\\ \\%$ est la valeur finale **en proportion\nde** l'initiale : la hausse proprement dite est l'écart\nà $100\\ \\%$ : $8\\ \\%$." }, { "text": "Une baisse de $8\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Sens inversé : une baisse a un coefficient **inférieur**\nà $1$ ($\\times 0{,}92$ pour $-8\\ \\%$)." }, { "text": "Une hausse de $1{,}08\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Confusion : $1{,}08$ est le multiplicateur, pas un\npourcentage : l'écart à $1$ donne le taux." } ], "explanation": "Coefficient $= 1 + t$ : traduire dans les deux sens sans\nhésiter : $\\times 1{,}08 \\leftrightarrow +8\\ \\%$ ; $\\times\n0{,}92 \\leftrightarrow -8\\ \\%$. Tout le chapitre repose sur\ncette conversion." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "prevision-modele" ], "title": "Prédire avec la droite d'ajustement", "statement": "Un nuage de points est ajusté par la droite $y = 0{,}5x +\n1$. Quelle valeur de $y$ le modèle prévoit-il pour $x =\n10$ ?", "options": [ { "text": "$y = 6$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5 \\times 10 + 1 = 6$ : le modèle\nsert exactement à ça : produire une valeur estimée pour\nun $x$ donné." }, { "text": "$y = 10{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $10 + 0{,}5$ additionne au lieu de\nmultiplier : $0{,}5x$ signifie $0{,}5 \\times x$." }, { "text": "$y = 5$", "correct": false, "feedback": "Constante oubliée : $0{,}5 \\times 10 = 5$, puis le $+1$\ndu modèle s'ajoute." }, { "text": "Impossible : il faut la valeur observée", "correct": false, "feedback": "Contresens : le modèle sert justement à **estimer** en\nl'absence d'observation : c'est une prévision, pas une\nmesure." } ], "explanation": "Utiliser un ajustement : substituer $x$ dans l'équation de\nla droite. La valeur obtenue est une **estimation** du\nmodèle : fiable en interpolation, fragile en extrapolation." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "hausse-puis-baisse" ], "title": "$+10\\ \\%$ puis $-10\\ \\%$", "statement": "Une valeur subit une hausse de $10\\ \\%$ puis une baisse de\n$10\\ \\%$. Revient-elle à son niveau initial ?", "options": [ { "text": "Non : $1{,}1 \\times 0{,}9 = 0{,}99$ : il manque\n$1\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la baisse s'applique à une valeur plus\n**haute** : elle retire davantage que la hausse n'avait\najouté : bilan $-1\\ \\%$." }, { "text": "Oui : $+10$ et $-10$ s'annulent", "correct": false, "feedback": "Le réflexe additif : faux : les taux ne s'additionnent\npas car ils ne portent pas sur la même base : le produit\ndes coefficients donne $0{,}99$." }, { "text": "Non : elle finit $1\\ \\%$ au-dessus", "correct": false, "feedback": "Sens de l'écart : $0{,}99 < 1$ : la valeur finit EN\nDESSOUS de son niveau initial." }, { "text": "Cela dépend de la valeur de départ", "correct": false, "feedback": "Erreur : le bilan $\\times 0{,}99$ vaut pour toute valeur\ninitiale : les coefficients se moquent du montant." } ], "explanation": "Hausse puis baisse de même taux : toujours une perte nette\n($1{,}1 \\times 0{,}9 = 0{,}99$) : les deux évolutions\nportent sur des bases différentes. Multiplier les\ncoefficients, jamais additionner les taux." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "ecart-modele" ], "title": "Écart entre observation et modèle", "statement": "Le modèle $y = 0{,}5x + 1$ prévoit $y = 4$ pour $x = 6$,\nmais la valeur observée est $4{,}2$. Comment appeler et\ninterpréter la différence ?", "options": [ { "text": "L'écart au modèle vaut $+0{,}2$ : l'observation dépasse\nlégèrement la prévision, le modèle reste bon", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : un ajustement ne prétend pas passer par\ntous les points : de petits écarts (résidus) sont\nnormaux : leur taille mesure la qualité du modèle." }, { "text": "Une erreur de calcul : le modèle devrait donner\nexactement $4{,}2$", "correct": false, "feedback": "Contresens : la droite **résume** le nuage, elle ne le\ntraverse pas point par point : l'écart fait partie du\njeu." }, { "text": "La preuve que le modèle est faux et doit être jeté", "correct": false, "feedback": "Excessif : $0{,}2$ sur $4$ ($5\\ \\%$) est un petit\nécart : on rejette un modèle sur des écarts\n**systématiques ou grands**, pas sur un résidu isolé." }, { "text": "Une extrapolation abusive", "correct": false, "feedback": "Hors sujet : $x = 6$ est dans la zone des données\n(interpolation) : la question porte sur l'écart\nobservation/prévision, pas sur le domaine." } ], "explanation": "Écart (résidu) = observé − prédit : petits écarts non\nsystématiques = modèle pertinent ; écarts grands ou tous du\nmême signe = modèle à revoir. Juger un ajustement, c'est\nregarder ses écarts." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "point-moyen-droite" ], "title": "Le point moyen et la droite d'ajustement", "statement": "Quelle propriété relie le point moyen $G(\\bar{x}\\ ;\\\n\\bar{y})$ du nuage et la droite d'ajustement ?", "options": [ { "text": "La droite d'ajustement passe par le point moyen $G$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : la droite pivote autour du « centre de\ngravité » du nuage : connaître $G$ et la pente suffit à\nla tracer." }, { "text": "$G$ est toujours le point le plus haut du nuage", "correct": false, "feedback": "Erreur : $G$ est le point **moyen** : il occupe le\ncentre du nuage, pas son sommet." }, { "text": "$G$ est un point observé du nuage", "correct": false, "feedback": "Erreur : $G$ est calculé (moyennes des deux\ncoordonnées) : il ne coïncide généralement avec aucune\nobservation réelle." }, { "text": "Aucune : le point moyen ne sert qu'aux statistiques à\nune variable", "correct": false, "feedback": "Erreur : en statistique à deux variables, $G$ est\nl'ancre de l'ajustement : la droite passe par lui." } ], "explanation": "Propriété d'ancrage : la droite d'ajustement passe par\n$G(\\bar{x}\\ ;\\ \\bar{y})$. Usage pratique : vérifier une\néquation de droite proposée (substituer $G$), ou tracer la\ndroite depuis $G$ avec la pente." } ] }