{
"chapter": {
"id": "modelisation-quadratique",
"level": "premiere-tronc-commun",
"theme": "Phénomènes d'évolution",
"title": "Modélisation quadratique",
"description": "Fonctions polynômes de degré 2 : allure de la parabole, axe de\nsymétrie (obtenu sans formule, par exemple en résolvant\n$f(x) = c$), sommet, tableau de variations, racines et signe\nd'une forme factorisée (le discriminant n'est pas au\nprogramme), modèles (trajectoires, chiffre d'affaires).",
"prerequisites": [],
"references": []
},
"questions": [
{
"id": "q01",
"difficulty": 1,
"skills": [
"allure",
"parabole"
],
"title": "Orientation d'une parabole",
"statement": "La courbe de la fonction $f(x) = -2x^2 + 3x + 1$ est une\nparabole. Dans quel sens est-elle tournée ?",
"options": [
{
"text": "Vers le bas, car le coefficient de $x^2$ est négatif",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe du coefficient de $x^2$ commande\nl'allure : négatif, branches vers le bas, sommet au\nplus haut."
},
{
"text": "Vers le haut, car $3$ et $1$ sont positifs",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : seuls le coefficient de $x^2$ décide de\nl'orientation ; les autres termes déplacent la parabole\nsans la retourner."
},
{
"text": "Vers le bas, car la courbe passe par $1$ en $x = 0$",
"correct": false,
"feedback": "La conclusion est bonne mais l'argument non :\nl'ordonnée à l'origine positionne la courbe, elle ne dit\nrien de son orientation."
},
{
"text": "On ne peut pas savoir sans tracer",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le signe de $-2$ suffit : parabole tournée vers\nle bas, sans aucun tracé."
}
],
"explanation": "Allure de la parabole $y = ax^2 + bx + c$ : $a > 0$ tournée\nvers le haut (sommet minimum), $a < 0$ tournée vers le bas\n(sommet maximum). Premier réflexe de lecture d'un modèle\nquadratique."
},
{
"id": "q02",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"racines"
],
"title": "Racines lues sur la parabole",
"statement": "La parabole $\\mathcal{P}$ ci-dessous représente une fonction\npolynôme de degré 2. Quelles sont ses racines ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:3.32,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{-\\x*\\x+2*\\x+3});\n \\node[blue,font=\\small] at (3.6,2.2) {$\\mathcal{P}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de\nsommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et\nx = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "$-1$ et $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les racines sont les abscisses des points\noù la parabole **coupe l'axe des abscisses**."
},
{
"text": "$1$ et $4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $(1\\,;\\,4)$ sont les coordonnées du **sommet**.\nLes racines se lisent sur l'axe horizontal."
},
{
"text": "$3$ seulement",
"correct": false,
"feedback": "Incomplet : la parabole traverse l'axe **deux** fois,\naussi en $x = -1$, à gauche de l'origine."
},
{
"text": "$0$ et $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : en $x = 0$ la parabole vaut $3$ (elle coupe\nl'axe des **ordonnées**) : $0$ n'est pas une racine."
}
],
"explanation": "Racines $=$ abscisses des intersections avec l'axe des\nabscisses (là où $f(x) = 0$). Ici $-1$ et $3$ : la fonction\ns'écrit d'ailleurs $f(x) = -(x + 1)(x - 3)$."
},
{
"id": "q03",
"difficulty": 2,
"skills": [
"lecture-graphique",
"axe-symetrie"
],
"title": "Axe de symétrie",
"statement": "Pour la même parabole (racines $-1$ et $3$, sommet en\nhauteur $4$), quel est l'axe de symétrie ?",
"figure": {
"tikz": "\\begin{tikzpicture}[scale=0.7]\n \\draw[very thin,color=gray!40] (-2.7,-2.7) grid (4.7,4.7);\n \\draw[->] (-2.9,0) -- (4.9,0) node[below right] {$x$};\n \\draw[->] (0,-2.9) -- (0,4.9) node[above left] {$y$};\n \\foreach \\x in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[below,font=\\small] at (\\x,-0.15) {$\\x$};\n \\foreach \\y in {-2,-1,1,2,3,4} \\node[left,font=\\small] at (-0.15,\\y) {$\\y$};\n \\draw[domain=-1.32:3.32,smooth,samples=60,thick,blue] plot (\\x,{-\\x*\\x+2*\\x+3});\n \\node[blue,font=\\small] at (3.6,2.2) {$\\mathcal{P}$};\n\\end{tikzpicture}",
"alt": "Repère orthonormé avec une parabole tournée vers le bas, de\nsommet (1 ; 4), coupant l'axe des abscisses en x = -1 et\nx = 3, et l'axe des ordonnées en y = 3.",
"svg": "\n"
},
"options": [
{
"text": "La droite verticale $x = 1$, à mi-chemin des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : par symétrie, l'axe passe au **milieu**\ndes racines : $\\dfrac{-1 + 3}{2} = 1$, et par le sommet."
},
{
"text": "La droite horizontale $y = 4$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'axe de symétrie d'une parabole est\n**vertical** ($4$ est la hauteur du sommet, pas un axe)."
},
{
"text": "La droite $x = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $2$ n'est pas le milieu de $-1$ et $3$\n($\\frac{-1+3}{2} = 1$). Attention au signe de la racine\nnégative."
},
{
"text": "L'axe des ordonnées",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : l'axe des ordonnées ($x = 0$) ne partage pas la\nparabole en deux moitiés symétriques ici (racines $-1$\net $3$ non symétriques par rapport à $0$)."
}
],
"explanation": "L'axe de symétrie passe au milieu des racines (ou de tout\ncouple de points de même hauteur : méthode $f(x) = c$ du\nprogramme) : $x = \\frac{-1+3}{2} = 1$. Le sommet est dessus."
},
{
"id": "q04",
"difficulty": 2,
"skills": [
"sommet",
"symetrie"
],
"title": "Sommet sans formule",
"statement": "Une fonction polynôme de degré 2 a pour racines $2$ et $8$,\net sa parabole est tournée vers le haut. En quelle abscisse\nson minimum est-il atteint ?",
"options": [
{
"text": "En $x = 5$, milieu des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le sommet est sur l'axe de symétrie, à\nmi-chemin des racines : $\\dfrac{2 + 8}{2} = 5$. Aucune\nformule à mémoriser : la symétrie suffit."
},
{
"text": "En $x = 6$, car $8 - 2 = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est l'**écart** entre les racines. Le\nsommet est à leur **milieu** : $\\frac{2+8}{2} = 5$."
},
{
"text": "En $x = 2$, la première racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aux racines, la fonction vaut $0$ ; entre elles,\nelle descend jusqu'au creux, atteint au **milieu** $5$."
},
{
"text": "Impossible à dire sans le discriminant",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le discriminant n'est pas au programme, et pour\ncause : la **symétrie** de la parabole donne le sommet\nsans aucun calcul de ce type."
}
],
"explanation": "Méthode du programme : l'abscisse du sommet est le milieu\ndes racines (ou de deux antécédents d'une même valeur). Ici\n$x = 5$ : les paraboles se dominent par symétrie, pas par\nformules."
},
{
"id": "q05",
"difficulty": 2,
"skills": [
"forme-factorisee",
"racines"
],
"title": "Racines d'une forme factorisée",
"statement": "Soit $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$. Quelles sont les racines de\n$f$ ?",
"options": [
{
"text": "$1$ et $5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : un produit est nul quand un facteur est\nnul : $x - 1 = 0$ ou $x - 5 = 0$."
},
{
"text": "$-1$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de signe : $x - 1 = 0$ donne $x = +1$. Les\nracines sont les valeurs qui **annulent** les facteurs."
},
{
"text": "$2$, $1$ et $5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur constant $2$ ne s'annule jamais, il\nne fournit pas de racine (il règle l'ouverture de la\nparabole)."
},
{
"text": "$1$ et $-5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur sur la seconde : $x - 5 = 0 \\Rightarrow x = +5$."
}
],
"explanation": "Forme factorisée $a(x - x_1)(x - x_2)$ : les racines $x_1$\net $x_2$ se lisent directement (produit nul). Ici $1$ et\n$5$."
},
{
"id": "q06",
"difficulty": 2,
"skills": [
"forme-factorisee",
"signe"
],
"title": "Signe d'une forme factorisée",
"statement": "Toujours avec $f(x) = 2(x - 1)(x - 5)$, sur quel intervalle\n$f(x)$ est-il strictement négatif ?",
"options": [
{
"text": "Sur $]1\\,;\\,5[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : entre les racines, les deux facteurs\nsont de signes contraires : produit négatif (le\ncoefficient $2 > 0$ ne change rien au signe)."
},
{
"text": "Sur $]-\\infty\\,;\\,1[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : avant $1$, les deux facteurs sont négatifs :\nproduit **positif**."
},
{
"text": "Sur $]5\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : après $5$, les deux facteurs sont positifs :\nproduit positif."
},
{
"text": "Nulle part, car $2 > 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le facteur $2$ positif n'empêche pas le produit\n$(x-1)(x-5)$ d'être négatif entre les racines."
}
],
"explanation": "Signe d'un polynôme de degré 2 factorisé : du signe de $a$ à\nl'extérieur des racines, du signe contraire **entre**\nelles. Ici : négatif sur $]1\\,;\\,5[$."
},
{
"id": "q07",
"difficulty": 2,
"skills": [
"association",
"courbe"
],
"title": "Associer expression et courbe",
"statement": "Quelle est l'allure de la courbe de $f(x) = x^2 + 3$ ?",
"options": [
{
"text": "Une parabole tournée vers le haut, de sommet\n$(0\\,;\\,3)$ sur l'axe des ordonnées",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : c'est la parabole de $x^2$ translatée de\n$3$ vers le haut : sommet $(0\\,;\\,3)$, axe de symétrie\n$x = 0$."
},
{
"text": "Une parabole de sommet $(3\\,;\\,0)$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le $+3$ agit sur les **ordonnées** (décalage\nvertical), pas sur les abscisses. Sommet $(0\\,;\\,3)$."
},
{
"text": "Une parabole coupant l'axe des abscisses en $-3$ et $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $x^2 + 3 \\geq 3 > 0$ pour tout $x$ : cette\nparabole ne coupe **jamais** l'axe des abscisses (aucune\nracine)."
},
{
"text": "Une droite de pente $3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le terme $x^2$ impose une courbe parabolique,\npas une droite."
}
],
"explanation": "Formes de référence (capacité attendue) : $x \\mapsto ax^2$\n(sommet à l'origine), $x \\mapsto ax^2 + c$ (sommet\n$(0\\,;\\,c)$), $x \\mapsto a(x - x_1)(x - x_2)$ (racines\nlisibles). Ici : sommet $(0\\,;\\,3)$, pas de racine."
},
{
"id": "q08",
"difficulty": 2,
"skills": [
"modelisation",
"physique"
],
"title": "Trajectoire parabolique",
"statement": "La hauteur d'un ballon est modélisée par $h(t) = -5t^2 +\n10t$ ($h$ en mètres, $t$ en secondes). À quel instant la\nhauteur est-elle maximale, et que vaut-elle ?",
"options": [
{
"text": "À $t = 1$ s, hauteur $5$ m",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 2)$ s'annule en $0$ et\n$2$ : sommet au milieu, $t = 1$, et $h(1) = -5 + 10 =\n5$ m."
},
{
"text": "À $t = 2$ s, hauteur $10$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à $t = 2$ le ballon **retombe au sol**\n($h(2) = 0$) : c'est la seconde racine, pas le sommet."
},
{
"text": "À $t = 1$ s, hauteur $10$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de hauteur : $h(1) = -5 \\times 1 + 10 \\times 1 =\n5$ m ($10$ est le coefficient, pas la hauteur maximale)."
},
{
"text": "La hauteur augmente sans fin",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le coefficient $-5 < 0$ tourne la parabole vers\nle bas : montée puis descente, avec un maximum au\nsommet."
}
],
"explanation": "Modèle physique type : $h(t) = -5t(t - 2)$, racines $0$ et\n$2$ (décollage et retour au sol), sommet au milieu\n($t = 1$, $h = 5$ m). La parabole capture la montée puis la\nchute."
},
{
"id": "q09",
"difficulty": 3,
"skills": [
"axe-symetrie",
"methode"
],
"title": "Axe de symétrie par la méthode $f(x) = c$",
"statement": "Soit $f(x) = x^2 - 6x + 2$. En résolvant $f(x) = 2$, on\ntrouve $x = 0$ ou $x = 6$. Qu'en déduit-on pour l'axe de\nsymétrie de la parabole ?",
"options": [
{
"text": "C'est la droite $x = 3$, milieu des deux antécédents de\n$2$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $0$ et $6$ ont la même image : ils sont\nsymétriques par rapport à l'axe, qui passe donc en\n$x = \\dfrac{0 + 6}{2} = 3$ (méthode du programme, sans\nformule)."
},
{
"text": "C'est la droite $x = 6$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $6$ est **l'un** des deux antécédents ; l'axe\npasse à mi-chemin entre les deux : $x = 3$."
},
{
"text": "C'est la droite $y = 2$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $y = 2$ est la droite **horizontale** utilisée\npour couper la parabole ; l'axe de symétrie, lui, est\nvertical."
},
{
"text": "On ne peut rien en déduire",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : c'est précisément la méthode attendue : deux\nantécédents d'une même valeur encadrent symétriquement\nl'axe."
}
],
"explanation": "Méthode explicite du programme (aucune formule attendue) :\nrésoudre $f(x) = c$ pour un $c$ commode (ici $c = 2$, le\nterme constant : $x^2 - 6x = 0$ se factorise en $x(x-6)$),\npuis prendre le **milieu** des solutions : axe $x = 3$,\nsommet $(3\\,;\\,f(3)) = (3\\,;\\,-7)$."
},
{
"id": "q10",
"difficulty": 2,
"skills": [
"tableau-variations"
],
"title": "Tableau de variations",
"statement": "Une fonction polynôme de degré 2 a un coefficient de $x^2$\n**négatif** et son sommet en $x = 2$. Quel est son tableau\nde variations ?",
"options": [
{
"text": "Croissante sur $]-\\infty\\,;\\,2]$, décroissante sur\n$[2\\,;\\,+\\infty[$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : parabole tournée vers le bas : la\nfonction monte jusqu'au sommet ($x = 2$), qui est son\n**maximum**, puis redescend."
},
{
"text": "Décroissante puis croissante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : ce profil (descendre puis remonter) correspond\nà un coefficient **positif** (sommet minimum)."
},
{
"text": "Croissante sur tout $\\mathbb{R}$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : aucun polynôme de degré 2 n'est monotone sur\n$\\mathbb{R}$ : la parabole change toujours de sens à son\nsommet."
},
{
"text": "Décroissante sur $]-\\infty\\,;\\,2]$, car le coefficient\nest négatif",
"correct": false,
"feedback": "Erreur de lecture : le coefficient négatif met le sommet\n**en haut** : avant lui, la fonction **monte**."
}
],
"explanation": "Tableau de variations d'un degré 2 : monotone de part et\nd'autre du sommet. $a < 0$ : croissante puis décroissante\n(maximum au sommet) ; $a > 0$ : l'inverse (minimum)."
},
{
"id": "q11",
"difficulty": 3,
"skills": [
"modelisation",
"economie"
],
"title": "Chiffre d'affaires et prix",
"statement": "Le chiffre d'affaires d'un produit vendu au prix unitaire\n$p$ est modélisé par $R(p) = p\\,(100 - 2p)$ (en euros).\nQuel prix maximise le chiffre d'affaires ?",
"options": [
{
"text": "$p = 25$ euros",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $R$ s'annule en $p = 0$ et $p = 50$\n(racines de la forme factorisée) : le maximum est au\nmilieu, $p = 25$, avec $R(25) = 25 \\times 50 = 1250$\neuros."
},
{
"text": "$p = 50$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à $50$ euros, plus personne n'achète\n($100 - 2 \\times 50 = 0$) : chiffre d'affaires **nul**.\nC'est une racine, pas le sommet."
},
{
"text": "Le plus cher possible",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : augmenter le prix fait fuir les acheteurs (le\nfacteur $100 - 2p$ chute) : le modèle quadratique capture\nce compromis, avec un optimum **intermédiaire**."
},
{
"text": "$p = 100$ euros",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : à ce prix, la demande modélisée est négative :\nhors du domaine pertinent. L'optimum est à mi-chemin des\nracines $0$ et $50$."
}
],
"explanation": "Modèle économique du programme : $R(p) = p(100 - 2p)$, nul\nen $0$ et $50$, maximal au milieu $p = 25$. La parabole\nexprime le compromis prix-volume."
},
{
"id": "q12",
"difficulty": 3,
"skills": [
"choix-modele"
],
"title": "Quand choisir un modèle quadratique ?",
"statement": "Quel phénomène appelle naturellement une modélisation par\nune fonction polynôme de degré 2 ?",
"options": [
{
"text": "Une grandeur qui croît puis décroît (ou l'inverse), avec\nun maximum ou un minimum",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'intérêt du degré 2 est la\n**non-monotonie** : un sommet unique entre une montée et\nune descente (trajectoire, chiffre d'affaires, population\nsur un temps court)."
},
{
"text": "Une grandeur qui augmente du même montant chaque année",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : accroissement constant $=$ modèle **linéaire**\n(affine, suite arithmétique)."
},
{
"text": "Une grandeur qui double à intervalles réguliers",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : doublement répété $=$ croissance\n**exponentielle** (suite géométrique, fonction\n$a^x$)."
},
{
"text": "Une grandeur constante",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : une constante se modélise… par une constante.\nLe degré 2 sert aux phénomènes qui se retournent."
}
],
"explanation": "Choisir le modèle d'après le comportement : constant $\\to$\nconstante ; accroissement fixe $\\to$ affine ; taux fixe\n$\\to$ exponentiel ; **montée puis descente** $\\to$\nquadratique. C'est la carte mentale du programme."
},
{
"id": "q13",
"difficulty": 1,
"skills": [
"ordonnee-origine"
],
"title": "Ordonnée à l'origine d'une forme factorisée",
"statement": "Soit $f(x) = (x - 1)(x - 5)$. Où la parabole coupe-t-elle\nl'axe des ordonnées ?",
"options": [
{
"text": "En $y = 5$, car $f(0) = (-1)(-5) = 5$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : l'axe des ordonnées correspond à $x =\n0$ : on évalue $f(0)$, produit des deux parenthèses :\n$(-1) \\times (-5) = +5$."
},
{
"text": "En $y = -5$",
"correct": false,
"feedback": "Signe : $(-1) \\times (-5) = +5$ : le produit de deux\nnégatifs est positif."
},
{
"text": "En $y = 1$ et $y = 5$",
"correct": false,
"feedback": "Confusion d'axes : $1$ et $5$ sont les **racines**, sur\nl'axe des abscisses : l'axe des ordonnées se coupe en un\nseul point, $f(0)$."
},
{
"text": "En $y = 0$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $f(0) = 5 \\neq 0$ : la parabole ne passe pas\npar l'origine."
}
],
"explanation": "Intersection avec l'axe des ordonnées : calculer $f(0)$\n(unique). Intersections avec l'axe des abscisses : les\nracines (ici $1$ et $5$). Deux axes, deux questions\ndistinctes."
},
{
"id": "q14",
"difficulty": 1,
"skills": [
"sommet-milieu-racines"
],
"title": "Sommet au milieu des racines",
"statement": "La parabole $f(x) = (x - 1)(x - 5)$ a pour racines $1$ et\n$5$. Quelle est l'abscisse de son sommet ?",
"options": [
{
"text": "$3$ : le milieu des racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : par symétrie, le sommet se trouve à\nmi-chemin des racines : $\\dfrac{1 + 5}{2} = 3$."
},
{
"text": "$4$ : la moyenne pondérée vers la grande racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : la parabole est parfaitement symétrique : le\nsommet est au milieu **exact** : $3$."
},
{
"text": "$5$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $5$ est une racine ($f(5) = 0$) : le sommet est\nentre les deux racines, pas dessus."
},
{
"text": "$6$ : la somme des racines",
"correct": false,
"feedback": "Division oubliée : le milieu est la **demi**-somme :\n$\\frac{6}{2} = 3$."
}
],
"explanation": "L'axe de symétrie passe au milieu des racines : $x_S =\n\\frac{x_1 + x_2}{2}$ : la voie la plus rapide vers le sommet\nquand la forme factorisée est donnée (la valeur du sommet\ns'obtient ensuite : $f(3) = -4$)."
},
{
"id": "q15",
"difficulty": 2,
"skills": [
"signe-a-negatif"
],
"title": "Signe avec parabole renversée",
"statement": "Soit $f(x) = -(x - 2)(x - 6)$. Sur quel intervalle $f$\nest-elle positive ?",
"options": [
{
"text": "Sur $[2\\ ;\\ 6]$ : entre les racines",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : le signe moins retourne la parabole\n(branches vers le bas) : elle passe AU-DESSUS de l'axe\nentre ses racines : positive sur $[2\\ ;\\ 6]$."
},
{
"text": "À l'extérieur des racines",
"correct": false,
"feedback": "Valable pour $a > 0$ : ici le coefficient est négatif :\nles positions s'inversent : positive ENTRE les racines."
},
{
"text": "Nulle part : le signe moins rend tout négatif",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : testez $x = 4$ : $-(2)(-2) = +4 > 0$ : le\nmoins retourne la parabole sans l'enterrer."
},
{
"text": "Partout",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : au-delà des racines ($x = 0$ : $-(-2)(-6) =\n-12$), la fonction plonge : positive seulement entre $2$\net $6$."
}
],
"explanation": "Signe d'un trinôme factorisé : signe de $a$ à l'extérieur\ndes racines, signe opposé entre elles. Ici $a < 0$ : négatif\ndehors, positif dedans. Toujours tester une valeur pour\nconfirmer."
},
{
"id": "q16",
"difficulty": 2,
"skills": [
"solutions-symetriques"
],
"title": "Les solutions de $f(x) = c$ par symétrie",
"statement": "Une parabole a son axe de symétrie en $x = 3$. L'équation\n$f(x) = c$ admet une solution $x = 1$. Quelle est l'autre ?",
"options": [
{
"text": "$x = 5$ : le symétrique de $1$ par rapport à $3$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : les deux solutions de $f(x) = c$ se font\nface autour de l'axe : $1$ est à distance $2$ de l'axe,\nl'autre aussi : $3 + 2 = 5$."
},
{
"text": "$x = -1$",
"correct": false,
"feedback": "Symétrie par rapport à $0$ : la parabole se reflète\nautour de $x = 3$, pas autour de l'axe des ordonnées."
},
{
"text": "$x = 3$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $3$ est l'axe lui-même : les solutions\nl'encadrent (sauf si $c$ est la valeur du sommet, cas\nd'une solution unique)."
},
{
"text": "Il n'y en a pas d'autre",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $1 \\neq 3$ n'est pas sur l'axe : son reflet\n$5$ donne la même image : deuxième solution garantie."
}
],
"explanation": "Méthode $f(x) = c$ : les solutions vont par paires\nsymétriques autour de l'axe, et leur **milieu** EST l'axe.\nCette symétrie remplace le discriminant dans le programme du\ntronc commun."
},
{
"id": "q17",
"difficulty": 3,
"skills": [
"optimisation-enclos"
],
"title": "L'enclos d'aire maximale",
"statement": "Avec $20$ mètres de grillage, on forme un rectangle dont un\ncôté mesure $x$ : l'aire vaut $A(x) = x(10 - x)$. Quelle\nvaleur de $x$ maximise l'aire ?",
"options": [
{
"text": "$x = 5$ : le sommet de la parabole, au milieu des\nracines $0$ et $10$",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $A$ s'annule en $0$ et $10$ : le maximum\nest au milieu, $x = 5$ (un carré de $25$ m²) : la\nsymétrie fait tout le travail."
},
{
"text": "$x = 10$ : le côté le plus long possible",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $A(10) = 10 \\times 0 = 0$ : rectangle écrasé :\nmaximiser un côté tue l'autre."
},
{
"text": "$x = 20$",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $20$ est le grillage TOTAL : le demi-périmètre\nvaut $10$, et $x$ ne peut pas le dépasser."
},
{
"text": "Aucune : plus $x$ grandit, plus l'aire grandit",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : le produit $x(10 - x)$ monte puis redescend\n(parabole renversée) : le pic est en $x = 5$."
}
],
"explanation": "Optimisation quadratique sans dérivée : racines du produit\n($0$ et $10$), sommet au milieu ($5$). À périmètre fixé, le\nrectangle optimal est le carré : conclusion à retenir comme\npoint de contrôle."
},
{
"id": "q18",
"difficulty": 3,
"skills": [
"trajectoire"
],
"title": "La balle retombe",
"statement": "La hauteur d'une balle est modélisée par $h(t) = -5t^2 +\n10t$ (en mètres, $t$ en secondes). Quand retombe-t-elle au\nsol, et quelle hauteur maximale atteint-elle ?",
"options": [
{
"text": "Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $5$ m à $t = 1$ s",
"correct": true,
"feedback": "Bonne réponse : $h(t) = -5t(t - 2)$ : racines $0$\n(départ) et $2$ (retombée) ; sommet au milieu $t = 1$ :\n$h(1) = 5$ m."
},
{
"text": "Au sol à $t = 10$ s ; hauteur maximale $10$ m",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : factoriser donne $-5t(t - 2)$ : la deuxième\nracine est $2$, pas $10$ (et $h(1) = 5$, pas $10$)."
},
{
"text": "Elle ne retombe jamais : le temps n'a pas de racine",
"correct": false,
"feedback": "Erreur : $h(2) = -20 + 20 = 0$ : le modèle prévoit la\nretombée à $2$ secondes."
},
{
"text": "Au sol à $t = 2$ s ; hauteur maximale $10$ m à $t = 1$ s",
"correct": false,
"feedback": "Valeur du sommet fausse : $h(1) = -5 + 10 = 5$ m (le\ncoefficient $-5$ écrase la moitié du $10t$)."
}
],
"explanation": "Trajectoire parabolique : factoriser pour les racines\n(départ, retombée), sommet au milieu pour l'apogée. Trois\ninformations physiques lues sur une seule factorisation :\nle modèle quadratique en action."
}
]
}