{ "chapter": { "id": "phenomenes-aleatoires", "level": "premiere-tronc-commun", "theme": "Phénomènes aléatoires", "title": "Phénomènes aléatoires", "description": "Probabilités conditionnelles (tableaux croisés et arbres\npondérés), indépendance de deux événements, répétition\nd'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes\n($n \\leq 4$), tests médicaux et faux positifs, jeux (dont le\nproblème de Monty Hall), distinction modèle/réalité.", "prerequisites": [], "references": [] }, "questions": [ { "id": "q01", "difficulty": 1, "skills": [ "conditionnelle", "definition" ], "title": "Probabilité conditionnelle", "statement": "Que désigne $P_A(B)$ ?", "options": [ { "text": "La probabilité de $B$ **sachant que** $A$ est réalisé", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : on restreint l'univers aux cas où $A$ a\neu lieu, et on y mesure les chances de $B$." }, { "text": "La probabilité que $A$ et $B$ se réalisent ensemble", "correct": false, "feedback": "Erreur : « $A$ et $B$ » se note $P(A \\cap B)$. La\ndistinction entre $P(A \\cap B)$, $P_A(B)$ et $P_B(A)$ est\nun automatisme du programme." }, { "text": "La probabilité de $A$ sachant $B$", "correct": false, "feedback": "Inversé : l'**indice** porte la condition. $P_A(B)$\nconditionne par $A$ ; « $A$ sachant $B$ » s'écrit\n$P_B(A)$." }, { "text": "La probabilité que $A$ se produise avant $B$", "correct": false, "feedback": "Erreur : aucune chronologie dans la notation ; seulement\nune information supposée acquise ($A$) et un événement\nmesuré ($B$)." } ], "explanation": "$P_A(B)$ : probabilité de $B$ dans le monde où $A$ est\nréalisé. Sur un arbre : pondération de la branche $A \\to B$ ;\ndans un tableau : effectif de $A \\cap B$ divisé par\nl'effectif de $A$." }, { "id": "q02", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "chemin" ], "title": "Probabilité d'un chemin", "statement": "Sur l'arbre pondéré ci-dessous, quelle est la probabilité de\nl'événement $A \\cap B$ (chemin du haut) ?", "figure": { "tikz": "\\begin{tikzpicture}[xscale=1.15,yscale=0.85,font=\\small]\n \\coordinate (R) at (0,0);\n \\node (A) at (2.2,1.4) {$A$};\n \\node (nA) at (2.2,-1.4) {$\\overline{A}$};\n \\node (B1) at (4.4,2.1) {$B$};\n \\node (nB1) at (4.4,0.7) {$\\overline{B}$};\n \\node (B2) at (4.4,-0.7) {$B$};\n \\node (nB2) at (4.4,-2.1) {$\\overline{B}$};\n \\draw (R) -- (A) node[midway,above,sloped] {$0{,}3$};\n \\draw (R) -- (nA) node[midway,below,sloped] {$0{,}7$};\n \\draw (A) -- (B1) node[midway,above,sloped] {$0{,}6$};\n \\draw (A) -- (nB1) node[midway,below,sloped] {$0{,}4$};\n \\draw (nA) -- (B2) node[midway,above,sloped] {$0{,}2$};\n \\draw (nA) -- (nB2) node[midway,below,sloped] {$0{,}8$};\n\\end{tikzpicture}", "alt": "Arbre de probabilité à deux niveaux. Depuis la racine : la\nbranche du haut mène à A avec 0,3 et la branche du bas à\nA-barre avec 0,7. Depuis A : B avec 0,6 et B-barre avec 0,4.\nDepuis A-barre : B avec 0,2 et B-barre avec 0,8.", "svg": "\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n" }, "options": [ { "text": "$0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le long d'un chemin, les pondérations se\n**multiplient** : $P(A \\cap B) = P(A) \\times P_A(B)$." }, { "text": "$0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on n'additionne pas le long d'un chemin\n(l'addition sert entre chemins **différents**)." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Incomplet : $0{,}6$ est la conditionnelle $P_A(B)$ ;\nencore faut-il que $A$ se réalise ($\\times\\,0{,}3$)." }, { "text": "$0{,}9 \\times 0{,}18$", "correct": false, "feedback": "Erreur : ce produit ne correspond à aucune règle. Chemin\n$A$ puis $B$ : $0{,}3 \\times 0{,}6$." } ], "explanation": "Règle de l'arbre : multiplier les pondérations le long d'un\nchemin. $P(A \\cap B) = 0{,}3 \\times 0{,}6 = 0{,}18$." }, { "id": "q03", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "definition" ], "title": "Événements indépendants", "statement": "Quand dit-on que deux événements $A$ et $B$ sont\nindépendants (avec $P(B) \\neq 0$) ?", "options": [ { "text": "Lorsque $P_B(A) = P(A)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : savoir que $B$ s'est réalisé ne change\npas la probabilité de $A$ : c'est la définition du\nprogramme." }, { "text": "Lorsqu'ils ne peuvent pas se réaliser en même temps", "correct": false, "feedback": "Confusion : c'est l'**incompatibilité**, qui est au\ncontraire une dépendance très forte (si $B$ arrive, $A$\ndevient impossible)." }, { "text": "Lorsqu'ils ont la même probabilité", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité des probabilités ne dit rien du\n**lien** entre les événements." }, { "text": "Lorsqu'ils concernent deux jours différents", "correct": false, "feedback": "Intuition parfois utile, mais pas une définition : le\ncritère mathématique est $P_B(A) = P(A)$ (ou le produit\n$P(A \\cap B) = P(A)P(B)$)." } ], "explanation": "Indépendance : $P_B(A) = P(A)$ : l'information « $B$ a eu\nlieu » n'apporte rien sur $A$. Critère équivalent :\n$P(A \\cap B) = P(A) \\times P(B)$." }, { "id": "q04", "difficulty": 2, "skills": [ "independance", "calcul" ], "title": "Vérifier une indépendance", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}2$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?", "options": [ { "text": "Oui, car $0{,}4 \\times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \\cap B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le produit des probabilités égale la\nprobabilité de l'intersection : indépendance vérifiée." }, { "text": "Non, car $0{,}4 \\neq 0{,}5$", "correct": false, "feedback": "Erreur : on ne compare pas $P(A)$ et $P(B)$ entre elles,\nmais $P(A \\cap B)$ au produit $P(A)P(B)$." }, { "text": "Non, car $A$ et $B$ peuvent se réaliser ensemble", "correct": false, "feedback": "Contresens : pouvoir se réaliser ensemble est\n**nécessaire** à l'indépendance (des incompatibles non\ntriviaux ne sont jamais indépendants)." }, { "text": "On ne peut pas répondre sans arbre pondéré", "correct": false, "feedback": "Erreur : les trois nombres suffisent au critère du\nproduit ; l'arbre n'est qu'une représentation possible." } ], "explanation": "Critère du produit : $A$ et $B$ indépendants\n$\\Leftrightarrow$ $P(A \\cap B) = P(A)\\,P(B)$. Ici\n$0{,}2 = 0{,}4 \\times 0{,}5$ : indépendants." }, { "id": "q05", "difficulty": 3, "skills": [ "faux-positifs", "tableau" ], "title": "Test de dépistage et faux positifs", "statement": "Sur $1000$ personnes, $100$ sont porteuses d'un virus. Un\ntest détecte $90$ des $100$ porteurs, mais il est aussi\npositif, à tort, pour $90$ des $900$ non-porteurs. Parmi les\npersonnes testées positives, quelle est la proportion de\nporteurs réels ?", "options": [ { "text": "$50\\ \\%$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : positifs $= 90 + 90 = 180$, dont $90$\nporteurs : $\\dfrac{90}{180} = 50\\ \\%$. Un test positif ne\nvaut ici qu'une chance sur deux, à cause des faux\npositifs nombreux chez les non-porteurs." }, { "text": "$90\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Inversion du conditionnement : $90\\ \\%$ est la\nproportion de positifs **parmi les porteurs**\n($90/100$), pas de porteurs parmi les positifs\n($90/180$)." }, { "text": "$9\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $9\\ \\% = 90/1000$ est la part des vrais\npositifs dans la population entière ; la question\nrestreint aux $180$ positifs." }, { "text": "$18\\ \\%$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $18\\ \\% = 180/1000$ est la proportion de tests\npositifs dans la population, pas la composition du groupe\ndes positifs." } ], "explanation": "Situation phare du programme (tests médicaux) : construire le\ntableau croisé, puis conditionner **par le résultat du\ntest** : $P_{\\text{positif}}(\\text{porteur}) =\n\\frac{90}{180} = 50\\ \\%$, bien loin des $90\\ \\%$ de\nsensibilité du test." }, { "id": "q06", "difficulty": 2, "skills": [ "bernoulli", "repetition" ], "title": "Répéter une épreuve de Bernoulli", "statement": "Une opération réussit avec la probabilité $0{,}9$. On la\nrépète $3$ fois de façon indépendante. Quelle est la\nprobabilité de $3$ réussites ?", "options": [ { "text": "$0{,}9^3 = 0{,}729$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : par indépendance, les probabilités du\nchemin réussite-réussite-réussite se multiplient :\n$0{,}9 \\times 0{,}9 \\times 0{,}9$." }, { "text": "$0{,}9 \\times 3 = 2{,}7$", "correct": false, "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$.\nRépéter multiplie les probabilités entre elles, pas par\nle nombre d'essais." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}9$ vaut pour **une** réussite. En exiger\ntrois consécutives est plus difficile : $0{,}729$." }, { "text": "$0{,}27$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}27 = 0{,}9 \\times 0{,}3$ ? Le calcul\ncorrect élève $0{,}9$ au cube : $0{,}729$." } ], "explanation": "Répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et\nindépendantes : la probabilité d'une liste d'issues est le\nproduit. Trois succès : $p^3$." }, { "id": "q07", "difficulty": 2, "skills": [ "arbre", "denombrement" ], "title": "Taille de l'arbre", "statement": "On représente par un arbre la répétition de $4$ épreuves de\nBernoulli. Combien l'arbre compte-t-il de chemins complets ?", "options": [ { "text": "$2^4 = 16$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : chaque épreuve double le nombre de\nchemins (succès ou échec) : $2 \\times 2 \\times 2 \\times 2\n= 16$ listes de résultats possibles." }, { "text": "$8$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $8 = 2^3$ correspond à $3$ épreuves. Pour $4$\nniveaux : $2^4 = 16$." }, { "text": "$4$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $4$ est le nombre d'**épreuves** (la profondeur\nde l'arbre), pas le nombre de chemins." }, { "text": "$24$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $24 = 4!$ compterait des ordres d'objets\ndistincts. Ici chaque niveau offre $2$ branches :\n$2^4$." } ], "explanation": "Arbre d'une répétition de $n$ épreuves à deux issues :\n$2^n$ chemins. Le programme limite à $n \\leq 4$ pour garder\nles arbres lisibles : $16$ chemins au plus." }, { "id": "q08", "difficulty": 3, "skills": [ "bernoulli", "contraire" ], "title": "« Au moins une » réussite", "statement": "On lance $3$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la\nprobabilité d'obtenir **au moins un** pile ?", "options": [ { "text": "$1 - \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{7}{8}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le contraire de « au moins un pile » est\n« aucun pile » (trois faces), de probabilité\n$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{8}$ est la probabilité du\n**contraire** (aucun pile). Il reste à la retrancher de\n$1$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : sur trois lancers, obtenir au moins un pile est\ntrès probable ($7$ chemins favorables sur $8$), bien plus\nque $\\frac{1}{2}$." }, { "text": "$\\dfrac{3}{8}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{3}{8}$ est la probabilité d'**exactement\nun** pile. « Au moins un » cumule un, deux ou trois\npiles : $\\frac{7}{8}$." } ], "explanation": "Réflexe « au moins un » : passer par l'événement contraire\n« aucun ». $P = 1 - (1-p)^n$ ; ici $1 - \\frac{1}{8} =\n\\frac{7}{8}$." }, { "id": "q09", "difficulty": 2, "skills": [ "jeux", "modelisation" ], "title": "Deux dés indépendants", "statement": "On lance deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité\nd'obtenir un double six ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{36}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les lancers sont indépendants :\n$\\dfrac{1}{6} \\times \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{1}{36}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{12}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{6} + \\dfrac{1}{6} = \\dfrac{2}{6}$ ou\n$\\frac{1}{12}$ ? Ni l'un ni l'autre : les deux exigences\nsimultanées se **multiplient** : $\\frac{1}{36}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : additionner les probabilités correspond à\n« l'un **ou** l'autre » (et encore, pour des événements\nincompatibles). Ici il faut six **et** six." }, { "text": "$\\dfrac{1}{6}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{6}$ est la probabilité d'un six sur\n**un** dé. Le second six divise encore par $6$." } ], "explanation": "Épreuves indépendantes : les probabilités se multiplient.\nDouble six : $\\frac{1}{36}$ (le fameux problème du grand-duc\nde Toscane repose sur ce type de compte)." }, { "id": "q10", "difficulty": 2, "skills": [ "jeux", "equiprobabilite" ], "title": "Pierre-feuille-ciseaux", "statement": "Au jeu pierre-feuille-ciseaux, votre adversaire joue chaque\ncoup au hasard (les trois gestes équiprobables). Quelle est\nla probabilité que vous **gagniez** la manche ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : quel que soit votre geste, un seul des\ntrois gestes adverses vous fait gagner (un autre perd, le\ntroisième annule) : $\\frac{1}{3}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : « gagner ou pas » ne fait pas une chance sur\ndeux : il y a **trois** issues (gain, perte, égalité),\néquiprobables face à un adversaire aléatoire." }, { "text": "$\\dfrac{1}{9}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{9}$ est la probabilité d'un couple\n**précis** de gestes. Gagner regroupe trois couples\nfavorables sur neuf : $\\frac{3}{9} = \\frac{1}{3}$." }, { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{2}{3}$ est la probabilité de **ne pas\ngagner** (perdre ou faire égalité)." } ], "explanation": "Modéliser le jeu : $9$ couples équiprobables, $3$ gagnants,\n$3$ perdants, $3$ nuls : $P(\\text{gain}) = \\frac{1}{3}$.\nCompter les issues favorables avant de conclure." }, { "id": "q11", "difficulty": 3, "skills": [ "monty-hall" ], "title": "Le problème de Monty Hall", "statement": "Trois portes : une cache un lot, deux sont perdantes. Vous en\nchoisissez une ; l'animateur, qui sait où est le lot, ouvre\nune **autre** porte, perdante, puis vous propose de changer.\nQuelle est la probabilité de gagner **si vous changez** de\nporte ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{2}{3}$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : votre premier choix gagne avec\nprobabilité $\\frac{1}{3}$ ; dans les $\\frac{2}{3}$ de cas\nrestants, le lot est derrière l'autre porte fermée, et\nchanger gagne. La stratégie « changer » double les\nchances." }, { "text": "$\\dfrac{1}{2}$, car il reste deux portes", "correct": false, "feedback": "Le piège historique : les deux portes restantes ne sont\n**pas** équiprobables, car l'animateur a utilisé son\ninformation pour ouvrir une porte perdante. Votre porte\ninitiale reste à $\\frac{1}{3}$." }, { "text": "$\\dfrac{1}{3}$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $\\dfrac{1}{3}$ est la probabilité de gagner en\n**gardant** sa porte initiale. Changer récupère les\n$\\frac{2}{3}$ complémentaires." }, { "text": "Impossible à déterminer", "correct": false, "feedback": "Erreur : le modèle est parfaitement déterminé (choix\nuniforme du lot, animateur informé) et la simulation le\nconfirme : $\\frac{2}{3}$ en changeant." } ], "explanation": "Monty Hall (au programme) : garder gagne avec $\\frac{1}{3}$,\nchanger avec $\\frac{2}{3}$. L'ouverture d'une porte perdante\npar un animateur **informé** ne rééquilibre pas les chances :\nune simulation en Python le vérifie de façon éclatante." }, { "id": "q12", "difficulty": 3, "skills": [ "modele", "esprit-critique" ], "title": "Le modèle et la réalité", "statement": "Pour étudier un dé trouvé dans un grenier, on choisit le\nmodèle équiprobable ($P(\\text{six}) = \\frac{1}{6}$). Ce choix\nse démontre-t-il ?", "options": [ { "text": "Non : une loi de probabilité est une hypothèse de\nmodélisation ; on peut la mettre à l'épreuve par\nl'expérience, pas la démontrer", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : l'équiprobabilité se **choisit**\n(symétrie supposée du dé) et se **confronte** aux\nfréquences observées (loi des grands nombres) : si elles\ns'en écartent durablement, on révise le modèle." }, { "text": "Oui : six faces, donc un sixième chacune,\nmathématiquement prouvé", "correct": false, "feedback": "Erreur : le nombre de faces ne prouve rien (un dé pipé a\naussi six faces). L'équiprobabilité est une hypothèse sur\nl'objet réel, pas un théorème." }, { "text": "Oui, en lançant le dé exactement $6$ fois", "correct": false, "feedback": "Erreur : six lancers ne montrent presque rien (les\nfréquences y fluctuent énormément). Et même un grand\nnombre de lancers **teste** le modèle sans le démontrer." }, { "text": "Non : les probabilités ne s'appliquent pas aux objets\nréels", "correct": false, "feedback": "Trop fort : elles s'y appliquent très bien, précisément\n**via** un modèle dont on évalue la pertinence." } ], "explanation": "Point d'insistance du programme : distinguer le modèle\nprobabiliste abstrait de la situation réelle. Le modèle est\nune hypothèse (symétrie, ou fréquences observées via la loi\ndes grands nombres) : on le valide ou on le rejette, on ne le\ndémontre pas." }, { "id": "q13", "difficulty": 1, "skills": [ "contraire" ], "title": "Probabilité du contraire", "statement": "La probabilité qu'il pleuve demain est estimée à $0{,}35$.\nQuelle est la probabilité qu'il ne pleuve pas ?", "options": [ { "text": "$0{,}65$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $P(\\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}35$ :\nles deux éventualités se partagent la certitude." }, { "text": "$0{,}35$", "correct": false, "feedback": "Erreur : un événement et son contraire n'ont la même\nprobabilité qu'à $0{,}5$ : ici le complément vaut\n$0{,}65$." }, { "text": "$-0{,}35$", "correct": false, "feedback": "Impossible : aucune probabilité n'est négative : le\ncontraire se calcule par $1 - 0{,}35$." }, { "text": "On ne peut pas savoir", "correct": false, "feedback": "Erreur : « pleuvoir » et « ne pas pleuvoir » couvrent\ntout sans recouvrement : leurs probabilités somment\nexactement à $1$." } ], "explanation": "$P(\\bar{A}) = 1 - P(A)$ : la règle du complément, valable\npartout (y compris dans les mondes conditionnés). Souvent le\nchemin le plus court vers une probabilité difficile à\ncalculer en direct." }, { "id": "q14", "difficulty": 1, "skills": [ "coherence-arbre" ], "title": "Somme des branches d'un nœud", "statement": "D'un nœud d'un arbre partent deux branches de probabilités\n$0{,}6$ et $p$. Que vaut $p$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}4$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : les branches issues d'un même nœud\ncouvrent toutes les suites possibles : leur somme vaut\n$1$ : $p = 1 - 0{,}6$." }, { "text": "$0{,}6$", "correct": false, "feedback": "Erreur : rien n'impose l'égalité des branches : c'est la\nsomme à $1$ qui contraint : $0{,}4$." }, { "text": "$1{,}6$", "correct": false, "feedback": "Impossible : une probabilité ne dépasse pas $1$ :\nl'addition était à faire en sens inverse ($1 - 0{,}6$)." }, { "text": "N'importe quelle valeur entre $0$ et $1$", "correct": false, "feedback": "Erreur : la règle de cohérence de l'arbre fixe $p$ sans\nliberté : $0{,}4$." } ], "explanation": "Règle de l'arbre : à chaque nœud, les branches sortantes\nsomment à $1$. Premier contrôle sur tout arbre donné,\npremier outil pour compléter un arbre à trous." }, { "id": "q15", "difficulty": 2, "skills": [ "reunion" ], "title": "Probabilité d'une réunion", "statement": "On donne $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$ et $P(A \\cap B) =\n0{,}1$. Que vaut $P(A \\cup B)$ ?", "options": [ { "text": "$0{,}7$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : $0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}1$ : la zone\ncommune, comptée deux fois par l'addition, se retranche\nune fois." }, { "text": "$0{,}8$", "correct": false, "feedback": "Double comptage : les issues de $A \\cap B$ figurent dans\n$P(A)$ ET dans $P(B)$ : l'addition brute les compte deux\nfois." }, { "text": "$0{,}15$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5 \\times 0{,}3$ calcule autre chose (une\nintersection sous indépendance) : la réunion se calcule\npar la formule additive corrigée." }, { "text": "$0{,}9$", "correct": false, "feedback": "Erreur : $0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}1$ AJOUTE l'intersection\nau lieu de la retirer." } ], "explanation": "$P(A \\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \\cap B)$ : le diagramme en\npatates rend la correction évidente. Cas particulier :\nincompatibles ($P(A \\cap B) = 0$) : addition simple." }, { "id": "q16", "difficulty": 2, "skills": [ "sans-remise" ], "title": "L'arbre du tirage sans remise", "statement": "Une urne contient $4$ jetons rouges et $6$ noirs. On tire\ndeux jetons **sans remise**. Quelle est la probabilité de la\ndeuxième branche « rouge sachant rouge au premier tirage » ?", "options": [ { "text": "$\\dfrac{3}{9}$ : il reste $3$ rouges parmi $9$ jetons", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : le premier jeton rouge est sorti : l'urne\ncontient $9$ jetons dont $3$ rouges : les branches du\ndeuxième niveau se **recalculent**." }, { "text": "$\\dfrac{4}{10}$ : la même qu'au premier tirage", "correct": false, "feedback": "Remise fantôme : sans remise, l'urne change après chaque\ntirage : conserver $\\frac{4}{10}$ décrirait un tirage\nAVEC remise." }, { "text": "$\\dfrac{4}{9}$", "correct": false, "feedback": "Numérateur non actualisé : le rouge tiré n'est plus dans\nl'urne : il reste $3$ rouges (le dénominateur $9$,\nlui, est correct)." }, { "text": "$\\dfrac{3}{10}$", "correct": false, "feedback": "Dénominateur non actualisé : l'urne n'a plus que $9$\njetons après le premier tirage." } ], "explanation": "Sans remise : chaque niveau de l'arbre se recalcule avec\nl'urne mise à jour (numérateur ET dénominateur diminuent\npour la couleur tirée). C'est le mécanisme des probabilités\nconditionnelles en acte." }, { "id": "q17", "difficulty": 3, "skills": [ "frequence-probabilite" ], "title": "Fréquence simulée et probabilité", "statement": "On simule $10\\,000$ lancers d'une punaise : elle retombe\npointe en l'air $3\\,470$ fois. Que peut-on en tirer ?", "options": [ { "text": "Une estimation : $P(\\text{pointe en l'air}) \\approx\n0{,}35$, d'autant plus fiable que le nombre d'essais est\ngrand", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : pour un objet sans symétrie, pas\nd'équiprobabilité théorique : la fréquence observée sur\nun GRAND échantillon est la meilleure estimation\ndisponible." }, { "text": "Rien : seule une formule théorique donne une probabilité", "correct": false, "feedback": "Erreur : quand la symétrie manque (punaise, punaise !),\nl'approche **fréquentiste** est la voie légitime : la\nfréquence se stabilise vers la probabilité." }, { "text": "$P = 0{,}5$ : pointe en l'air ou pas, deux issues", "correct": false, "feedback": "Équiprobabilité décrétée : les $3\\,470$ sur $10\\,000$\nla contredisent : deux issues n'ont pas forcément le\nmême poids." }, { "text": "$P = 0{,}347$ exactement", "correct": false, "feedback": "Trop précis : la fréquence **estime** la probabilité\navec une marge : une nouvelle série de $10\\,000$ lancers\ndonnerait un nombre voisin, pas identique." } ], "explanation": "Deux sources de probabilités : le modèle (symétries,\néquiprobabilité justifiée) et la fréquence (grands\néchantillons, loi des grands nombres). La simulation relie\nles deux : la fréquence se stabilise autour de la\nprobabilité." }, { "id": "q18", "difficulty": 3, "skills": [ "independance-incompatibilite" ], "title": "Indépendants ou incompatibles ?", "statement": "Deux événements $A$ et $B$ ont des probabilités non nulles.\nS'ils sont incompatibles ($A \\cap B = \\varnothing$),\npeuvent-ils être indépendants ?", "options": [ { "text": "Non : l'incompatibilité donne $P(A \\cap B) = 0 \\neq\nP(A) \\times P(B)$", "correct": true, "feedback": "Bonne réponse : incompatibles = ne JAMAIS ensemble :\nsavoir $A$ réalisé interdit $B$ : c'est une dépendance\nextrême, tout le contraire de l'indépendance." }, { "text": "Oui : incompatibles et indépendants sont synonymes", "correct": false, "feedback": "Confusion de vocabulaire : incompatibles = pas en même\ntemps ; indépendants = ne s'influencent pas : deux\nnotions non seulement différentes, mais opposées ici." }, { "text": "Oui, si leurs probabilités sont égales", "correct": false, "feedback": "Erreur : l'égalité des probabilités ne répare rien :\n$P(A)P(B) > 0$ alors que $P(A \\cap B) = 0$ : le test\néchoue toujours." }, { "text": "Cela dépend de l'expérience", "correct": false, "feedback": "Erreur : le calcul tranche dans tous les cas : $0 \\neq\nP(A)P(B)$ dès que les probabilités sont non nulles." } ], "explanation": "Incompatibles (probabilités non nulles) $\\Rightarrow$\ndépendants : l'un exclut l'autre, information maximale.\nL'indépendance se **teste** ($P(A \\cap B) = P(A)P(B)$),\nelle ne se lit pas sur un diagramme." } ] }