{
  "chapter": {
    "id": "variation-exponentielle",
    "level": "premiere-tronc-commun",
    "theme": "Phénomènes d'évolution",
    "title": "Variation exponentielle",
    "description": "Suites géométriques à termes strictement positifs (récurrence,\nterme de rang $n$, sens de variation, représentation),\nfonctions exponentielles $x \\mapsto a^x$ ($a > 0$,\n$x \\geq 0$) : propriétés admises des puissances, exposant\n$\\frac{1}{n}$, taux d'évolution moyen, problèmes de seuil,\nordres de grandeur.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reconnaissance",
        "geometrique"
      ],
      "title": "Reconnaître une croissance exponentielle",
      "statement": "Un capital placé à intérêts **composés** de $5\\ \\%$ par an\nest multiplié par $1{,}05$ chaque année. La suite des\ncapitaux annuels est :",
      "options": [
        {
          "text": "Géométrique, de raison $1{,}05$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un **taux** d'évolution constant se\ntraduit par un facteur multiplicatif constant : modèle\ngéométrique (croissance exponentielle)."
        },
        {
          "text": "Arithmétique, de raison $1{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : arithmétique signifierait **ajouter** $1{,}05$\neuro par an. Ici on multiplie : les intérêts produisent\ndes intérêts."
        },
        {
          "text": "Géométrique, de raison $0{,}05$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $0{,}05$ effondrerait le capital\nà $5\\ \\%$ de sa valeur. Le coefficient d'une hausse de\n$5\\ \\%$ est $1 + 0{,}05 = 1{,}05$."
        },
        {
          "text": "Arithmétique, de raison $5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $+5$ euros par an correspondrait à des intérêts\n**simples** (calculés sur le capital initial seulement)."
        }
      ],
      "explanation": "Taux d'évolution constant $\\Leftrightarrow$ suite géométrique\nde raison le coefficient multiplicateur ($1{,}05$ pour\n$+5\\ \\%$). C'est le modèle de toutes les croissances\nexponentielles."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "terme-general"
      ],
      "title": "Formule explicite",
      "statement": "Un capital initial de $2000$ euros est multiplié par\n$1{,}05$ chaque année. Quelle formule donne le capital\n$u(n)$ après $n$ années ?",
      "options": [
        {
          "text": "$u(n) = 2000 \\times 1{,}05^n$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $n$ multiplications successives par\n$1{,}05$ se condensent en une puissance : $1{,}05^n$."
        },
        {
          "text": "$u(n) = 2000 + 0{,}05\\,n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : cette formule ajoute $5$ **centimes** par an\n(modèle linéaire, et mal calibré). Les intérêts composés\nmultiplient."
        },
        {
          "text": "$u(n) = 2000 \\times 0{,}05^n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : élever $0{,}05$ à la puissance écrase le\ncapital vers $0$. Le facteur annuel est $1{,}05$."
        },
        {
          "text": "$u(n) = 2000 \\times 1{,}05 \\times n$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $n$ donne une croissance\n**linéaire**. La répétition du facteur exige une\npuissance : $1{,}05^n$."
        }
      ],
      "explanation": "Terme de rang $n$ d'une suite géométrique :\n$u(n) = u(0) \\times q^n$. Ici $2000 \\times 1{,}05^n$ :\naprès $10$ ans, environ $3258$ euros."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "sens-variation"
      ],
      "title": "Sens de variation",
      "statement": "Soit la suite géométrique $u(n) = 50 \\times 0{,}9^n$\n(termes strictement positifs). Quel est son sens de\nvariation ?",
      "options": [
        {
          "text": "Décroissante, car la raison $0{,}9$ est entre $0$ et $1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : multiplier une quantité positive par\n$0{,}9$ la diminue de $10\\ \\%$ à chaque rang : $50$ ;\n$45$ ; $40{,}5$…"
        },
        {
          "text": "Croissante, car $50$ est positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le premier terme donne l'échelle, pas la\ndirection. C'est la position de la raison par rapport à\n$1$ qui décide."
        },
        {
          "text": "Décroissante, car $0{,}9$ est négatif",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'argument : $0{,}9 > 0$. La décroissance vient de\n$0{,}9 < 1$ (chaque multiplication réduit), pas d'un\nsigne négatif."
        },
        {
          "text": "Constante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : constante exigerait une raison $q = 1$. Ici\nchaque terme perd $10\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Suite géométrique à termes positifs : croissante si $q > 1$,\ndécroissante si $0 < q < 1$, constante si $q = 1$."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "exposant-fractionnaire"
      ],
      "title": "L'exposant $\\frac{1}{n}$",
      "statement": "Que vaut $2^{1/2}$ (deux à la puissance un demi) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\sqrt{2} \\approx 1{,}41$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $a^{1/n}$ est la racine $n$-ième de $a$ :\nle nombre positif dont la puissance $n$ redonne $a$.\nContrôle : $\\left(2^{1/2}\\right)^2 = 2^1 = 2$."
        },
        {
          "text": "$1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^0 = 1$, mais l'exposant vaut ici\n$\\frac{1}{2}$, pas $0$ : $2^{1/2} = \\sqrt{2}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{2}{2} = 1$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant fractionnaire n'est pas une\ndivision de la base. La règle des puissances impose\n$\\left(2^{1/2}\\right)^2 = 2$ : c'est $\\sqrt{2}$."
        },
        {
          "text": "$1{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}5^2 = 2{,}25 \\neq 2$. La valeur exacte est\n$\\sqrt{2} \\approx 1{,}414$."
        }
      ],
      "explanation": "Extension des puissances (admise au programme) : $a^{1/n} =$\nracine $n$-ième de $a$, seule valeur compatible avec\n$\\left(a^{1/n}\\right)^n = a^1$. Clé du taux d'évolution\nmoyen."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "proprietes",
        "puissances"
      ],
      "title": "Propriétés de $a^x$",
      "statement": "Pour $a > 0$ et $x, y \\geq 0$, que vaut\n$a^x \\times a^y$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$a^{x+y}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : la règle des puissances entières\ns'étend (elle est admise) aux exposants réels : produit\ndes puissances $=$ somme des exposants."
        },
        {
          "text": "$a^{xy}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le produit des exposants correspond à\n$\\left(a^x\\right)^y$, la puissance de puissance."
        },
        {
          "text": "$2a^{x+y}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucun facteur $2$ n'apparaît :\n$a^x a^y = a^{x+y}$ tout court."
        },
        {
          "text": "$a^x + a^y$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le **produit** des puissances ne devient pas\nune somme de puissances ; ce sont les **exposants** qui\ns'additionnent."
        }
      ],
      "explanation": "Les fonctions exponentielles $x \\mapsto a^x$ héritent des\nrègles des puissances : $a^x a^y = a^{x+y}$,\n$\\left(a^x\\right)^y = a^{xy}$, $a^0 = 1$."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "taux-moyen"
      ],
      "title": "Taux d'évolution moyen",
      "statement": "Une grandeur a augmenté de $21\\ \\%$ en deux ans. Quel est le\ntaux d'évolution annuel **moyen** ?",
      "options": [
        {
          "text": "$10\\ \\%$ par an, car $1{,}1^2 = 1{,}21$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le taux moyen est celui qui, répété deux\nfois, reproduit l'évolution globale : coefficient\n$1{,}21^{1/2} = 1{,}1$, soit $+10\\ \\%$ par an."
        },
        {
          "text": "$10{,}5\\ \\%$ par an, la moitié de $21\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège de la division : les taux ne se moyennent pas\narithmétiquement, car ils se **composent** par produit.\nVérifie : $1{,}105^2 = 1{,}221 \\neq 1{,}21$."
        },
        {
          "text": "$21\\ \\%$ par an",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $21\\ \\%$ est le taux **global** sur deux ans,\npas le taux annuel."
        },
        {
          "text": "$4{,}58\\ \\%$ par an",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : ce serait environ le taux moyen d'une hausse de\n$21\\ \\%$ étalée sur... plus d'années. Sur deux ans :\n$\\sqrt{1{,}21} = 1{,}1$, soit $10\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Taux moyen sur $n$ périodes : le coefficient global élevé à\nla puissance $\\frac{1}{n}$ (racine $n$-ième). Ici\n$1{,}21^{1/2} = 1{,}1$ : $+10\\ \\%$ par an. Jamais de\ndivision du taux global."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "taux-moyen",
        "calcul"
      ],
      "title": "Un autre taux moyen",
      "statement": "Le chiffre d'affaires d'une entreprise a été multiplié par\n$1{,}44$ en deux ans. Quel taux annuel moyen cela\nreprésente-t-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "$+20\\ \\%$ par an, car $1{,}44^{1/2} = 1{,}2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\sqrt{1{,}44} = 1{,}2$ : deux hausses\nsuccessives de $20\\ \\%$ reconstituent bien\n$1{,}2 \\times 1{,}2 = 1{,}44$."
        },
        {
          "text": "$+22\\ \\%$ par an, car $44 \\div 2 = 22$",
          "correct": false,
          "feedback": "Le piège de la division : $1{,}22^2 = 1{,}4884 \\neq\n1{,}44$. Le taux moyen passe par la **racine carrée** du\ncoefficient global."
        },
        {
          "text": "$+44\\ \\%$ par an",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $+44\\ \\%$ est l'évolution **totale** sur deux\nans, pas annuelle."
        },
        {
          "text": "$+1{,}2\\ \\%$ par an",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $1{,}2$ est le **coefficient** annuel moyen ;\nle taux correspondant est sa partie au-delà de $1$ :\n$20\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Même méthode : coefficient moyen $= 1{,}44^{1/2} = 1{,}2$,\ntaux moyen $= 20\\ \\%$. L'exposant $\\frac{1}{n}$ du programme\nsert exactement à cela."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "demi-vie",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Décroissance par demi-vie",
      "statement": "Un échantillon radioactif perd la moitié de ses noyaux à\nchaque demi-vie. Quelle proportion des noyaux initiaux\nreste-t-il après **trois** demi-vies ?",
      "options": [
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{8}$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 =\n\\dfrac{1}{8}$ : moitié, puis quart, puis huitième."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{6}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\frac{1}{2} \\times 3$ au dénominateur ? Les\nmoitiés se **composent** par produit :\n$\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{3}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : perdre la moitié trois fois ne laisse pas un\ntiers, mais un huitième (chaque moitié porte sur le\nreste)."
        },
        {
          "text": "$0$ : tout a disparu",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une décroissance exponentielle ne s'annule\njamais exactement : il reste toujours une fraction\n(ici $12{,}5\\ \\%$)."
        }
      ],
      "explanation": "Décroissance exponentielle type (datation au carbone 14) :\naprès $n$ demi-vies, il reste $\\left(\\frac{1}{2}\\right)^n$\nde la quantité initiale. Trois demi-vies : $\\frac{1}{8}$."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "seuil"
      ],
      "title": "Problème de seuil exponentiel",
      "statement": "Une population de bactéries **double** chaque heure. Elle\ncompte $100$ individus à l'instant initial. Au bout de\ncombien d'heures dépasse-t-elle $1500$ individus ?",
      "options": [
        {
          "text": "$4$ heures",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $100 \\to 200 \\to 400 \\to 800 \\to 1600$ :\naprès $4$ doublements, $100 \\times 2^4 = 1600 > 1500$\n(et $800 < 1500$ après $3$)."
        },
        {
          "text": "$15$ heures",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de modèle : $15 = 1500/100$ raisonne\nlinéairement. Le doublement répété va beaucoup plus\nvite : $4$ heures suffisent."
        },
        {
          "text": "$3$ heures",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $100 \\times 2^3 = 800 < 1500$ : le seuil n'est\npas encore franchi."
        },
        {
          "text": "$8$ heures",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : après $8$ heures, $100 \\times 2^8 = 25\\,600$ :\nle seuil de $1500$ est dépassé depuis longtemps\n(dès la quatrième heure)."
        }
      ],
      "explanation": "Seuil exponentiel (capacité attendue) : dérouler les\npuissances ($100 \\times 2^n$) jusqu'à franchir le seuil, à\nla main, au tableur ou par calculatrice : $n = 4$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "ordre-de-grandeur"
      ],
      "title": "Ordre de grandeur d'un doublement répété",
      "statement": "Une quantité double $10$ fois de suite. Par quel facteur\nglobal est-elle environ multipliée ?",
      "options": [
        {
          "text": "Environ $1000$, car $2^{10} = 1024$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : dix doublements font $2^{10} = 1024\n\\approx 10^3$. Ordre de grandeur précieux : « dix\ndoublements $\\approx$ un facteur mille »."
        },
        {
          "text": "$20$, car $2 \\times 10$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur linéaire type : les doublements se multiplient\nentre eux, ils ne s'additionnent pas :\n$2^{10} \\approx 1000$, cinquante fois plus que $20$."
        },
        {
          "text": "$100$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $100 = 10^2$ sous-estime : $2^{10} = 1024$,\nsoit environ $10^3$."
        },
        {
          "text": "$512$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $512 = 2^9$ correspond à **neuf** doublements.\nLe dixième porte à $1024$."
        }
      ],
      "explanation": "Estimer les ordres de grandeur exponentiels (capacité\nattendue) : $2^{10} = 1024 \\approx 10^3$. L'intuition\nlinéaire (« $\\times 20$ ») sous-estime massivement les\ncroissances exponentielles."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "comparaison",
        "malthus"
      ],
      "title": "Exponentiel contre linéaire",
      "statement": "Une population croît de $2\\ \\%$ par an (exponentiel) ; ses\nressources alimentaires croissent d'une quantité fixe par an\n(linéaire). D'après ce modèle (dit de Malthus), que se\npasse-t-il à long terme ?",
      "options": [
        {
          "text": "La population finit toujours par croître plus vite que\nles ressources",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : toute croissance exponentielle (même à\npetit taux) finit par dépasser n'importe quelle\ncroissance linéaire : les courbes se croisent\ninévitablement."
        },
        {
          "text": "Les ressources gardent l'avantage si leur croissance\nannuelle est assez grande",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un ajout constant, aussi généreux soit-il, est\ntôt ou tard rattrapé par la multiplication répétée :\nl'exponentielle gagne **toujours** à long terme."
        },
        {
          "text": "Les deux croissances restent proportionnelles",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : leurs formes diffèrent radicalement (droite\ncontre courbe qui s'accélère) : l'écart se creuse au lieu\nde rester proportionnel."
        },
        {
          "text": "Le modèle ne permet aucune conclusion",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le modèle conclut nettement (c'est sa force et\nsa limite : la réalité peut ensuite dévier du modèle,\nmais lui est sans ambiguïté)."
        }
      ],
      "explanation": "Modèle de Malthus (au programme) : géométrique contre\narithmétique. À long terme, l'exponentielle l'emporte\ntoujours sur le linéaire, quel que soit le taux. D'où\nl'importance de reconnaître la nature d'une croissance."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "epidemie",
        "modelisation"
      ],
      "title": "Le facteur de reproduction d'une épidémie",
      "statement": "Au début d'une épidémie, chaque malade en contamine en\nmoyenne $3$ (facteur de reproduction $R_0 = 3$). En partant\nd'**un** cas, combien de nouveaux cas le modèle prévoit-il à\nla quatrième génération de contaminations ?",
      "options": [
        {
          "text": "$3^4 = 81$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque génération multiplie par $3$ :\n$1 \\to 3 \\to 9 \\to 27 \\to 81$ : suite géométrique de\nraison $R_0$."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 4 = 12$",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur linéaire : les contaminations se multiplient de\ngénération en génération, elles ne s'additionnent pas :\n$3^4 = 81$."
        },
        {
          "text": "$4^3 = 64$",
          "correct": false,
          "feedback": "Base et exposant échangés : le facteur $3$ se répète\n$4$ fois : $3^4$, pas $4^3$."
        },
        {
          "text": "$27$",
          "correct": false,
          "feedback": "Presque : $27 = 3^3$ est la **troisième** génération. La\nquatrième triple encore : $81$."
        }
      ],
      "explanation": "Modèle géométrique d'une épidémie naissante (au programme) :\ncas à la génération $n$ $= R_0^n$. Avec $R_0 = 3$ :\ncroissance explosive ($81$ à la génération $4$, près de\n$60\\,000$ à la dixième) : d'où l'enjeu de faire passer\n$R_0$ sous $1$."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "puissance-zero"
      ],
      "title": "La puissance $a^0$",
      "statement": "Pour $a > 0$, que vaut $a^0$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $a^0 = 1$ pour tout $a > 0$ : cohérent\navec la règle des quotients : $\\frac{a^n}{a^n} = a^0 =\n1$."
        },
        {
          "text": "$0$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'exposant $0$ ne signifie pas « rien » mais\n« produit vide » : la valeur neutre est $1$."
        },
        {
          "text": "$a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Décalage : $a = a^1$ : l'exposant $0$ descend d'un cran\nen dessous : $1$."
        },
        {
          "text": "Cela dépend de $a$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $2^0 = 1$, $10^0 = 1$, $0{,}5^0 = 1$ : la\nvaleur est universelle (pour $a > 0$)."
        }
      ],
      "explanation": "$a^0 = 1$ : le point de départ de toute croissance\nexponentielle ($V_0 \\times a^0 = V_0$ : au temps zéro, la\nvaleur initiale). Les courbes $y = a^x$ passent toutes par\n$(0\\ ;\\ 1)$."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "croissance-repetee"
      ],
      "title": "Trois années de croissance",
      "statement": "Une population augmente de $2\\ \\%$ chaque année. Par quel\nnombre est-elle multipliée au bout de $3$ ans ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1{,}02^3 \\approx 1{,}0612$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque année multiplie par $1{,}02$ :\ntrois années enchaînées : $1{,}02 \\times 1{,}02 \\times\n1{,}02$, soit un peu PLUS que $+6\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$1{,}06$ exactement",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition des taux : $3 \\times 2\\ \\% = 6\\ \\%$ néglige\nles intérêts composés : le vrai facteur est $1{,}02^3\n\\approx 1{,}0612$."
        },
        {
          "text": "$3 \\times 1{,}02 = 3{,}06$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplier par $3$ triplerait la population :\nles évolutions s'enchaînent en **puissance**, pas en\nproduit par le nombre d'années."
        },
        {
          "text": "$1{,}02 + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : aucune addition entre coefficient et durée : la\ndurée devient l'**exposant** : $1{,}02^3$."
        }
      ],
      "explanation": "Croissance à taux constant : $V_n = V_0 \\times (1 + t)^n$ :\nla durée en exposant. L'écart avec l'addition des taux\n($6{,}12\\ \\%$ contre $6\\ \\%$) : les fameux intérêts\ncomposés."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "baisse-repetee"
      ],
      "title": "Deux baisses de $10\\ \\%$",
      "statement": "Une valeur baisse de $10\\ \\%$ par an pendant deux ans.\nQuelle est la baisse totale ?",
      "options": [
        {
          "text": "$19\\ \\%$, car $0{,}9^2 = 0{,}81$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : deux années à $\\times 0{,}9$ : $0{,}81$,\nsoit $-19\\ \\%$ : la deuxième baisse porte sur une valeur\ndéjà réduite, elle retire donc un peu moins."
        },
        {
          "text": "$20\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition des taux : presque, mais faux : $0{,}9 \\times\n0{,}9 = 0{,}81 \\neq 0{,}80$ : le point d'écart est la\nbaisse « évitée » sur la partie déjà perdue."
        },
        {
          "text": "$81\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $81\\ \\%$ est ce qui **reste**, pas ce qui\ndisparaît : la baisse est le complément : $19\\ \\%$."
        },
        {
          "text": "$1\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1\\ \\%$ est l'écart entre $20\\ \\%$ (addition\nnaïve) et $19\\ \\%$ (réalité) : la baisse totale est\nbien $19\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Baisses répétées : multiplier les coefficients ($0{,}9^n$),\npuis convertir en taux ($1 - 0{,}81 = 19\\ \\%$). Les baisses\nsuccessives s'amortissent : on ne peut jamais perdre plus de\n$100\\ \\%$ !"
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "interets-composes"
      ],
      "title": "Capital à intérêts composés",
      "statement": "Un capital de $1\\,000$ euros est placé à $4\\ \\%$ par an\n(intérêts composés). Que vaut-il après $2$ ans ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1\\,081{,}60$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1000 \\times 1{,}04^2 = 1000 \\times\n1{,}0816$ : la deuxième année rapporte des intérêts sur\nles intérêts ($1{,}60$ euro de plus que $2 \\times 40$)."
        },
        {
          "text": "$1\\,080$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Intérêts simples : $2 \\times 40$ euros ignore les\nintérêts produits par les premiers intérêts : composés,\non obtient $1\\,081{,}60$."
        },
        {
          "text": "$1\\,008$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'échelle : $4\\ \\%$ de $1\\,000$ vaut $40$ euros\npar an, pas $4$ : après deux ans composés :\n$1\\,081{,}60$."
        },
        {
          "text": "$2\\,080$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le capital ne double pas en deux ans à\n$4\\ \\%$ : chaque année multiplie par $1{,}04$, pas par\n$2$."
        }
      ],
      "explanation": "Intérêts composés : $C_n = C_0 \\times (1 + t)^n$ : le modèle\nexponentiel du placement. La différence avec les intérêts\nsimples ($C_0(1 + nt)$, modèle linéaire) grandit avec les\nannées."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "linéaire-vs-exponentiel"
      ],
      "title": "Le duel à long terme",
      "statement": "Modèle A : $+1\\,000$ par an (linéaire). Modèle B :\n$+1\\ \\%$ par an (exponentiel), départ $10\\,000$. Que\ndire du long terme ?",
      "options": [
        {
          "text": "B finit toujours par dépasser A : une croissance\nexponentielle dépasse tôt ou tard toute croissance\nlinéaire",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les gains de B grossissent avec la\nvaleur ($1\\ \\%$ d'une somme qui enfle), ceux de A\nrestent figés à $1\\,000$ : l'exponentielle gagne le\nmarathon, même partie très lentement."
        },
        {
          "text": "A gagne toujours : $1\\,000$ est plus grand que $1\\ \\%$\nde $10\\,000$",
          "correct": false,
          "feedback": "Vrai au départ ($1\\,000 > 100$), faux à terme : quand la\nvaleur de B atteint $100\\,000$, son gain annuel rejoint\nles $1\\,000$ de A… puis les dépasse sans retour."
        },
        {
          "text": "Ils restent à égalité de rythme",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'un ajoute une constante, l'autre un\npourcentage croissant : les rythmes divergent\ninexorablement."
        },
        {
          "text": "Impossible à dire sans la durée exacte",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le résultat asymptotique est un théorème : SANS\nconnaître la date de croisement, on sait qu'elle existe."
        }
      ],
      "explanation": "Loi générale : toute exponentielle (raison $> 1$) finit par\ndépasser toute suite linéaire, quel que soit le handicap de\ndépart. Le croisement peut être lointain : c'est la morale\ndes placements, des épidémies et des dettes."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "demi-vie"
      ],
      "title": "Deux demi-vies du carbone 14",
      "statement": "Le carbone 14 perd la moitié de sa quantité tous les\n$5\\,730$ ans (demi-vie). Quelle proportion reste-t-il après\n$11\\,460$ ans (deux demi-vies) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$25\\ \\%$ : la moitié de la moitié",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque demi-vie multiplie par\n$\\frac{1}{2}$ : deux demi-vies : $\\left(\\frac{1}{2}\n\\right)^2 = \\frac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$0\\ \\%$ : deux moitiés font un tout",
          "correct": false,
          "feedback": "Addition des baisses : faux : la deuxième moitié porte\nsur ce qui **reste** : on ne descend jamais à zéro, on\ndivise par $2$ à chaque période."
        },
        {
          "text": "$50\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Une seule demi-vie : $11\\,460 = 2 \\times 5\\,730$ : DEUX\npériodes se sont écoulées : $\\frac{1}{4}$."
        },
        {
          "text": "$75\\ \\%$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $75\\ \\%$ est la proportion **disparue** :\nil en reste $25\\ \\%$."
        }
      ],
      "explanation": "Décroissance par demi-vie : quantité restante $=\n\\left(\\frac{1}{2}\\right)^{n}$ après $n$ demi-vies : le\nmodèle exponentiel de la datation au carbone 14. Jamais\nzéro : chaque période divise, elle ne soustrait pas."
    }
  ]
}