{
  "chapter": {
    "id": "variation-lineaire",
    "level": "premiere-tronc-commun",
    "theme": "Phénomènes d'évolution",
    "title": "Variation linéaire",
    "description": "Suites arithmétiques (définition par récurrence, terme de rang\n$n$, sens de variation, représentation graphique) et fonctions\naffines (taux d'accroissement, coefficient directeur) :\nmodéliser les croissances à accroissement constant, résoudre\ndes problèmes de seuil.",
    "prerequisites": [],
    "references": []
  },
  "questions": [
    {
      "id": "q01",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "reconnaissance",
        "arithmetique"
      ],
      "title": "Reconnaître une croissance linéaire",
      "statement": "Un livret rapporte des intérêts **simples** : chaque année,\nle capital augmente de $20$ euros exactement. La suite des\ncapitaux annuels est :",
      "options": [
        {
          "text": "Arithmétique, de raison $20$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un accroissement **constant** en valeur\nabsolue ($+20$ euros par an) est la signature du modèle\narithmétique (croissance linéaire)."
        },
        {
          "text": "Géométrique, de raison $20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : géométrique signifierait multiplier par $20$\nchaque année. Ici on **ajoute** un montant fixe."
        },
        {
          "text": "Géométrique, de raison $1{,}20$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\times\\,1{,}20$ modéliserait des intérêts\n**composés** de $20\\ \\%$. Les intérêts simples ajoutent\ntoujours le même montant : modèle arithmétique."
        },
        {
          "text": "Ni l'une ni l'autre",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « $+20$ chaque année » est exactement la\ndéfinition d'une suite arithmétique de raison $20$."
        }
      ],
      "explanation": "Croissance linéaire $=$ accroissement constant $=$ suite\narithmétique ($u(n+1) = u(n) + r$). À opposer à la\ncroissance exponentielle (taux constant, suite géométrique)."
    },
    {
      "id": "q02",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "terme-general",
        "calcul"
      ],
      "title": "Terme de rang donné",
      "statement": "Un abonnement coûte $500$ euros à l'ouverture (rang $0$)\npuis $200$ euros par mois : $u(n) = 500 + 200n$. Combien\na-t-on dépensé au total au rang $n = 12$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2900$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $u(12) = 500 + 200 \\times 12 = 500 +\n2400 = 2900$ euros."
        },
        {
          "text": "$8400$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $700 \\times 12$ multiplie la somme $500 + 200$\npar $12$. Seul le terme mensuel est multiplié par $n$ :\n$500 + 200 \\times 12$."
        },
        {
          "text": "$2700$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur d'indice : $500 + 200 \\times 11 = 2700$\ncorrespond au rang $11$. Au rang $12$ : $2900$."
        },
        {
          "text": "$700$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $700 = u(1)$ est la dépense au premier mois.\nPour $n = 12$, la formule donne $2900$."
        }
      ],
      "explanation": "Formule explicite d'une suite arithmétique :\n$u(n) = u(0) + n \\times r$. Elle donne directement le terme\nde rang $n$, sans dérouler tous les rangs intermédiaires."
    },
    {
      "id": "q03",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "sens-variation"
      ],
      "title": "Sens de variation",
      "statement": "Soit la suite arithmétique définie par $u(n+1) = u(n) - 3$\net $u(0) = 100$. Quel est son sens de variation ?",
      "options": [
        {
          "text": "Décroissante, car la raison $-3$ est négative",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : chaque terme perd $3$ : $100$, $97$,\n$94$… Le signe de la raison commande tout."
        },
        {
          "text": "Croissante, car $u(0) = 100$ est grand",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : le premier terme fixe le point de départ, pas la\ndirection. C'est la **raison** $-3 < 0$ qui fait\ndescendre la suite."
        },
        {
          "text": "Constante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : constante exigerait une raison nulle. Ici on\nretire $3$ à chaque rang."
        },
        {
          "text": "Croissante puis décroissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une suite arithmétique garde le même sens de\nvariation du début à la fin (ses points sont alignés)."
        }
      ],
      "explanation": "Suite arithmétique de raison $r$ : croissante si $r > 0$,\ndécroissante si $r < 0$, constante si $r = 0$. Parallèle\nexact avec le coefficient directeur des fonctions affines."
    },
    {
      "id": "q04",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "representation-graphique"
      ],
      "title": "Représentation graphique d'une suite arithmétique",
      "statement": "On représente les termes d'une suite arithmétique par les\npoints de coordonnées $(n\\,;\\,u(n))$. Qu'observe-t-on ?",
      "options": [
        {
          "text": "Des points alignés sur une droite",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : l'accroissement constant $r$ joue le rôle\nd'un coefficient directeur : les points $(n\\,;\\,u(0) +\nrn)$ suivent la droite $y = rx + u(0)$."
        },
        {
          "text": "Des points sur une courbe qui monte de plus en plus vite",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : l'accélération est la signature des suites\n**géométriques** (croissance exponentielle). Le modèle\narithmétique avance à pas constant : alignement."
        },
        {
          "text": "Une droite continue",
          "correct": false,
          "feedback": "Nuance importante : une suite est **discrète**, sa\nreprésentation est un ensemble de points isolés (alignés),\npas un trait continu."
        },
        {
          "text": "Des points disposés au hasard",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la régularité du pas $r$ produit au contraire un\nalignement parfait."
        }
      ],
      "explanation": "Suite arithmétique $\\leftrightarrow$ points alignés (version\ndiscrète de la fonction affine). Ce lien visuel permet de\n**reconnaître** une croissance linéaire sur un graphique."
    },
    {
      "id": "q05",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "fonction-affine",
        "taux"
      ],
      "title": "Taux d'accroissement d'une fonction affine",
      "statement": "Soit la fonction affine $f(x) = 2x + 3$. Quand $x$ augmente\nde $1$, de combien varie $f(x)$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "De $+2$ : le taux d'accroissement est le coefficient\ndirecteur",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $f(x+1) - f(x) = 2(x+1) + 3 - 2x - 3 =\n2$ : variation constante, égale au coefficient de $x$."
        },
        {
          "text": "De $+3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $3$ est l'**ordonnée à l'origine** (la valeur en\n$x = 0$), pas la variation par unité."
        },
        {
          "text": "De $+5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $5 = f(1)$ est une **valeur** de la fonction,\npas son accroissement (qui vaut $f(1) - f(0) = 5 - 3 =\n2$)."
        },
        {
          "text": "Cela dépend de la valeur de $x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est le propre des fonctions affines :\nl'accroissement par unité est **constant** (c'est même ce\nqui les caractérise)."
        }
      ],
      "explanation": "Fonction affine $f(x) = mx + p$ : accroissement constant\n$m$ par unité de $x$ (coefficient directeur de la droite).\nVersion continue de la suite arithmétique."
    },
    {
      "id": "q06",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modelisation",
        "physique"
      ],
      "title": "Degrés Celsius et Fahrenheit",
      "statement": "La conversion s'écrit $F = 1{,}8\\,C + 32$. Quelle\ntempérature Fahrenheit correspond à $20$ degrés Celsius ?",
      "options": [
        {
          "text": "$68$ degrés Fahrenheit",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $1{,}8 \\times 20 + 32 = 36 + 32 = 68$."
        },
        {
          "text": "$52$ degrés Fahrenheit",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $20 + 32 = 52$ oublie le facteur $1{,}8$\nappliqué aux Celsius."
        },
        {
          "text": "$36$ degrés Fahrenheit",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $1{,}8 \\times 20 = 36$, mais il reste à\najouter le décalage $+32$."
        },
        {
          "text": "$93{,}6$ degrés Fahrenheit",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $1{,}8 \\times (20 + 32)$ ajoute avant de\nmultiplier. La formule multiplie d'abord : $1{,}8C + 32$."
        }
      ],
      "explanation": "Modèle affine typique (au programme) : $F = 1{,}8C + 32$\ncombine un facteur d'échelle ($1{,}8$) et un décalage\nd'origine ($32$). $20$ °C $= 68$ °F."
    },
    {
      "id": "q07",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "seuil",
        "calcul"
      ],
      "title": "Problème de seuil linéaire",
      "statement": "Avec $u(n) = 500 + 200n$ (dépense cumulée au rang $n$), à\npartir de quel rang la dépense dépasse-t-elle $2000$\neuros ?",
      "options": [
        {
          "text": "À partir de $n = 8$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $500 + 200n > 2000 \\Leftrightarrow n >\n7{,}5$ : le premier rang **entier** au-delà est $n = 8$\n($u(8) = 2100$)."
        },
        {
          "text": "À partir de $n = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $u(7) = 1900 < 2000$ : le seuil n'est pas encore\nfranchi au rang $7$."
        },
        {
          "text": "À partir de $n = 7{,}5$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur de nature : un rang est un **entier** ; la\nsolution $n > 7{,}5$ de l'inéquation s'arrondit au\npremier entier supérieur : $8$."
        },
        {
          "text": "Jamais : la suite est bornée",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une suite arithmétique de raison positive\ndépasse **tout** seuil (croissance sans plafond, quoique\nlente)."
        }
      ],
      "explanation": "Problème de seuil (capacité attendue) : résoudre\nl'inéquation $500 + 200n > 2000$, puis prendre le premier\nrang entier convenable : $n = 8$."
    },
    {
      "id": "q08",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "interets",
        "distinction"
      ],
      "title": "Intérêts simples ou composés ?",
      "statement": "Quelle est la différence entre intérêts simples et intérêts\ncomposés ?",
      "options": [
        {
          "text": "Simples : même montant ajouté chaque année (linéaire) ;\ncomposés : même pourcentage appliqué chaque année\n(exponentiel)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : les intérêts simples se calculent\ntoujours sur le capital initial (suite arithmétique) ;\nles composés sur le capital **courant** (suite\ngéométrique)."
        },
        {
          "text": "Simples : petits montants ; composés : gros montants",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : la distinction porte sur le **mécanisme** de\ncalcul, pas sur la taille des sommes."
        },
        {
          "text": "Les deux reviennent au même à long terme",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : c'est tout le contraire : à long terme, les\ncomposés (exponentiels) creusent un écart de plus en plus\ngrand sur les simples (linéaires)."
        },
        {
          "text": "Composés : les intérêts sont versés deux fois par an",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : « composés » signifie que les intérêts\n**produisent eux-mêmes** des intérêts, quelle que soit la\nfréquence de versement."
        }
      ],
      "explanation": "Deux modèles d'évolution au cœur du programme : intérêts\nsimples $\\to$ arithmétique (linéaire) ; intérêts composés\n$\\to$ géométrique (exponentiel). Le chapitre suivant explore\nle second."
    },
    {
      "id": "q09",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "modelisation",
        "economie"
      ],
      "title": "Offre, demande et point d'équilibre",
      "statement": "L'offre est modélisée par $y = 2x + 1$ et la demande par\n$y = -x + 10$ ($x$ : prix unitaire). En quel prix $x$\nl'offre égale-t-elle la demande (point d'équilibre) ?",
      "options": [
        {
          "text": "$x = 3$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $2x + 1 = -x + 10 \\Leftrightarrow 3x = 9\n\\Leftrightarrow x = 3$ (et la quantité d'équilibre vaut\n$y = 7$)."
        },
        {
          "text": "$x = 9$",
          "correct": false,
          "feedback": "Oubli de la division : $3x = 9$ donne $x = 3$, pas\n$x = 9$."
        },
        {
          "text": "$x = 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion : $7$ est l'**ordonnée** du point d'équilibre\n(la quantité), pas le prix $x$."
        },
        {
          "text": "Il n'y a pas d'équilibre : les droites sont parallèles",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : les pentes $2$ et $-1$ diffèrent : les droites\nse coupent en exactement un point."
        }
      ],
      "explanation": "Modèle affine de l'offre et de la demande (au programme) :\nle point d'équilibre est l'intersection des deux droites.\nÉgaler les expressions : $x = 3$, $y = 7$."
    },
    {
      "id": "q10",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "coefficient-directeur",
        "automatisme"
      ],
      "title": "Coefficient directeur par deux points",
      "statement": "Une droite passe par les points $(2\\,;\\,5)$ et\n$(6\\,;\\,13)$. Quel est son coefficient directeur ?",
      "options": [
        {
          "text": "$2$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $m = \\dfrac{13 - 5}{6 - 2} =\n\\dfrac{8}{4} = 2$."
        },
        {
          "text": "$\\dfrac{1}{2}$",
          "correct": false,
          "feedback": "Fraction renversée : la variation des **ordonnées**\n($8$) se divise par celle des abscisses ($4$)."
        },
        {
          "text": "$8$",
          "correct": false,
          "feedback": "Incomplet : $8$ est la variation vertic ale totale ; le\ncoefficient la rapporte à l'avancée horizontale ($4$) :\n$2$ par unité."
        },
        {
          "text": "$18$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\dfrac{13 + 5}{6 - 2}$ additionne au lieu de\nsoustraire au numérateur. Formule :\n$\\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$."
        }
      ],
      "explanation": "Automatisme du programme : $m = \\dfrac{y_B - y_A}{x_B -\nx_A} = 2$ : la droite monte de $2$ par pas de $1$ vers la\ndroite."
    },
    {
      "id": "q11",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "impot",
        "affine-par-morceaux"
      ],
      "title": "Impôt et taux marginal",
      "statement": "Un barème d'impôt prévoit : $0\\ \\%$ jusqu'à $10\\,000$ euros\nde revenu, puis $30\\ \\%$ sur la partie **au-delà** de\n$10\\,000$ euros. Quel est l'impôt pour un revenu de\n$15\\,000$ euros ?",
      "options": [
        {
          "text": "$1500$ euros : $30\\ \\%$ des $5000$ euros au-dessus du\nseuil",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le taux **marginal** de $30\\ \\%$ ne\ns'applique qu'à la tranche au-delà de $10\\,000$ euros :\n$0{,}3 \\times 5000 = 1500$."
        },
        {
          "text": "$4500$ euros : $30\\ \\%$ de tout le revenu",
          "correct": false,
          "feedback": "L'erreur répandue sur les impôts : le taux d'une tranche\nne s'applique **jamais** à tout le revenu, seulement à la\npartie située dans la tranche."
        },
        {
          "text": "$3000$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $30\\ \\%$ de $10\\,000$ calcule sur la mauvaise\npartie : la première tranche est à $0\\ \\%$, la taxation\nporte sur les $5000$ euros excédentaires."
        },
        {
          "text": "$0$ euro, car le revenu dépasse à peine le seuil",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : dès que le revenu dépasse $10\\,000$ euros, la\npartie excédentaire est imposée : $1500$ euros ici."
        }
      ],
      "explanation": "Modèle affine **par morceaux** (au programme) : chaque taux\ns'applique à sa tranche. Impôt $= 0{,}3 \\times (15\\,000 -\n10\\,000) = 1500$ euros ; le taux moyen effectif vaut\n$10\\ \\%$, bien moins que le taux marginal de $30\\ \\%$."
    },
    {
      "id": "q12",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "reconnaissance",
        "modeles"
      ],
      "title": "Linéaire ou pas ?",
      "statement": "Parmi ces quatre évolutions annuelles, laquelle relève d'un\nmodèle **linéaire** (suite arithmétique) ?",
      "options": [
        {
          "text": "Une forêt gagne $50$ hectares chaque année",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : accroissement **constant en valeur\nabsolue** ($+50$ ha/an) : croissance linéaire, suite\narithmétique de raison $50$."
        },
        {
          "text": "Une population augmente de $2\\ \\%$ chaque année",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : un **taux** constant ($\\times 1{,}02$) définit\nune croissance exponentielle (suite géométrique)."
        },
        {
          "text": "Un capital est multiplié par $1{,}5$ chaque année",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : multiplication répétée : modèle géométrique\n(exponentiel), pas linéaire."
        },
        {
          "text": "Une quantité perd la moitié de sa valeur chaque année",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $\\times \\frac{1}{2}$ répété est une\n**décroissance exponentielle** (demi-vie), pas linéaire."
        }
      ],
      "explanation": "Test de reconnaissance : « $+$ le même **montant** » $\\to$\nlinéaire ; « $\\times$ le même **facteur** » (ou $\\pm$ le même\npourcentage) $\\to$ exponentiel. Diagnostic indispensable\navant tout choix de modèle."
    },
    {
      "id": "q13",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "suite-recurrente-arithmetique"
      ],
      "title": "Avancer de terme en terme",
      "statement": "Une suite vérifie $u_0 = 20$ et $u_{n+1} = u_n + 5$. Que\nvaut $u_3$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "$35$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : trois pas de $+5$ depuis $20$ : $25$,\n$30$, $35$ (ou directement $20 + 3 \\times 5$)."
        },
        {
          "text": "$40$",
          "correct": false,
          "feedback": "Un pas de trop : $u_3$ est atteint en **trois** étapes\ndepuis $u_0$ ($40$ serait $u_4$)."
        },
        {
          "text": "$60$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $20 \\times 3$ multiplie le terme initial : la\nsuite AJOUTE $5$ par étape, elle ne multiplie pas."
        },
        {
          "text": "$25$",
          "correct": false,
          "feedback": "Arrêt prématuré : $25 = u_1$ : il reste deux pas\njusqu'à $u_3$."
        }
      ],
      "explanation": "Suite arithmétique : $u_n = u_0 + n \\times r$ (ici $20 +\n5n$). Le rang $n$ compte le nombre de **pas** effectués\ndepuis $u_0$ : source du décalage classique d'une unité."
    },
    {
      "id": "q14",
      "difficulty": 1,
      "skills": [
        "pente-negative"
      ],
      "title": "Pente négative",
      "statement": "Que dire de la fonction affine $f(x) = -3x + 12$ ?",
      "options": [
        {
          "text": "Elle est décroissante : chaque unité de plus sur $x$\nfait perdre $3$ à $f(x)$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : le coefficient directeur $-3$ est le\ntaux de variation : négatif, la droite descend, à\nvitesse constante."
        },
        {
          "text": "Elle est croissante, car $12$ est positif",
          "correct": false,
          "feedback": "Mauvais paramètre : $12$ est la valeur de départ (en\n$x = 0$) : le sens de variation se lit sur le\ncoefficient de $x$."
        },
        {
          "text": "Elle est décroissante seulement pour $x > 4$",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : une droite garde la même pente partout : elle\ndescend AVANT et APRÈS $4$ ($4$ est juste là où elle\ntraverse zéro)."
        },
        {
          "text": "Elle n'est ni croissante ni décroissante",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : seule une fonction **constante** ($m = 0$)\néchappe au classement : ici $m = -3$ : décroissante."
        }
      ],
      "explanation": "Modèle linéaire : le coefficient directeur est le taux\nd'accroissement constant : $m > 0$ croissance, $m < 0$\ndécroissance, et $|m|$ donne la vitesse. Tout est dans la\npente."
    },
    {
      "id": "q15",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "comparaison-tarifs"
      ],
      "title": "Deux tarifs à comparer",
      "statement": "Tarif A : $30$ euros d'abonnement plus $2$ euros par séance.\nTarif B : $5$ euros par séance sans abonnement. À partir de\ncombien de séances le tarif A devient-il avantageux ?",
      "options": [
        {
          "text": "À partir de $11$ séances (les deux tarifs s'égalent à\n$x = 10$)",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $30 + 2x = 5x \\iff x = 10$ : égalité à\n$10$ séances ($50$ euros), et au-delà l'abonnement\nl'emporte ($3$ euros économisés par séance\nsupplémentaire)."
        },
        {
          "text": "Dès la première séance : l'abonnement fait gagner de\nl'argent",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : à $1$ séance : $32$ euros contre $5$ : les\n$30$ euros fixes pèsent lourd au départ : l'abonnement\nse rentabilise avec le volume."
        },
        {
          "text": "Jamais : B est toujours moins cher",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : B grimpe de $5$ par séance contre $2$ pour A :\nles droites se croisent (à $x = 10$) et A passe dessous."
        },
        {
          "text": "À partir de $6$ séances",
          "correct": false,
          "feedback": "Contrôle : à $6$ séances : $42$ euros (A) contre $30$\n(B) : B gagne encore : l'égalité n'arrive qu'à $10$."
        }
      ],
      "explanation": "Comparer deux modèles linéaires : égaler les expressions\n(point d'indifférence), puis raisonner sur les pentes : la\ndroite la moins pentue finit toujours par passer dessous. Le\nschéma des choix d'abonnement, forfaits, locations."
    },
    {
      "id": "q16",
      "difficulty": 2,
      "skills": [
        "modele-cout"
      ],
      "title": "Coût d'un abonnement",
      "statement": "Une salle de sport coûte $25$ euros d'inscription puis $3$\neuros par séance. Quel est le coût total pour $10$\nséances ?",
      "options": [
        {
          "text": "$55$ euros",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : $C(x) = 25 + 3x$, et $C(10) = 25 + 30 =\n55$ : partie fixe + partie proportionnelle."
        },
        {
          "text": "$30$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Partie fixe oubliée : $3 \\times 10 = 30$ ne compte que\nles séances : l'inscription s'ajoute."
        },
        {
          "text": "$280$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $(25 + 3) \\times 10$ fait payer l'inscription\nà chaque séance : elle ne se paie qu'**une** fois."
        },
        {
          "text": "$250$ euros",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : $25 \\times 10$ multiplie la partie fixe : la\nformule est $25 + 3 \\times 10$."
        }
      ],
      "explanation": "Modèle affine du coût : $C(x) = (\\text{fixe}) +\n(\\text{taux}) \\times x$ : la structure de tous les tarifs à\nabonnement. La partie fixe se paie une fois, le taux à\nchaque unité."
    },
    {
      "id": "q17",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "retrouver-formule"
      ],
      "title": "Retrouver la fonction affine",
      "statement": "Une fonction affine vérifie $f(2) = 7$ et $f(5) = 16$.\nQuelle est son expression ?",
      "options": [
        {
          "text": "$f(x) = 3x + 1$",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : taux $= \\dfrac{16 - 7}{5 - 2} = 3$,\npuis $f(2) = 7$ donne $6 + b = 7$, $b = 1$. Contrôle :\n$f(5) = 16$ ✓."
        },
        {
          "text": "$f(x) = 3x + 7$",
          "correct": false,
          "feedback": "Ordonnée bâclée : $7$ est $f(2)$, pas $f(0)$ : la\nconstante se calcule : $7 - 3 \\times 2 = 1$."
        },
        {
          "text": "$f(x) = 9x + 3$",
          "correct": false,
          "feedback": "Taux faux : $9$ est l'écart des images seul : le taux le\ndivise par l'écart des antécédents ($3$) : $m = 3$."
        },
        {
          "text": "$f(x) = \\dfrac{7}{2}x$",
          "correct": false,
          "feedback": "Proportionnalité supposée à tort : $\\frac{7}{2}\n\\times 5 = 17{,}5 \\neq 16$ : une fonction affine\ngénérale a aussi une constante $b$."
        }
      ],
      "explanation": "Affine par deux valeurs : 1) taux $m = \\frac{f(b) -\nf(a)}{b - a}$ ; 2) constante via l'un des points ; 3)\ncontrôle avec l'autre. Le même calcul que la droite par deux\npoints : c'en est une."
    },
    {
      "id": "q18",
      "difficulty": 3,
      "skills": [
        "valider-modele"
      ],
      "title": "Le tableau est-il linéaire ?",
      "statement": "Un tableau donne : $f(0) = 3$, $f(1) = 5$, $f(2) = 7$,\n$f(3) = 10$. Un modèle linéaire (affine) convient-il ?",
      "options": [
        {
          "text": "Non : les accroissements valent $+2$, $+2$, puis $+3$ :\nle dernier casse la régularité",
          "correct": true,
          "feedback": "Bonne réponse : un modèle affine exige des\naccroissements **constants** à pas égal : le passage de\n$7$ à $10$ ($+3$) dévie : le modèle est au mieux\napproximatif."
        },
        {
          "text": "Oui : les valeurs augmentent régulièrement",
          "correct": false,
          "feedback": "Trop vague : « augmenter » ne suffit pas : il faut\naugmenter du MÊME montant à chaque pas, et $+3 \\neq\n+2$."
        },
        {
          "text": "Oui : quatre points sont toujours alignés",
          "correct": false,
          "feedback": "Erreur : deux points sont toujours alignés, trois ou\nplus rarement : ici le quatrième sort de la droite des\ntrois premiers."
        },
        {
          "text": "Non : il faudrait des accroissements multiplicatifs\nconstants",
          "correct": false,
          "feedback": "Confusion de modèle : le quotient constant caractérise\nle modèle **exponentiel** : le linéaire se teste par les\ndifférences."
        }
      ],
      "explanation": "Test du modèle linéaire : différences constantes à pas\nconstant ($f(x+1) - f(x)$ identiques). Test du modèle\nexponentiel : quotients constants. Deux tests, deux\nmondes : LA distinction structurante de l'année."
    }
  ]
}